2023年江苏省苏州十六中中考数学二模试卷(含解析）

这是一份2023年江苏省苏州十六中中考数学二模试卷(含解析），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年江苏省苏州十六中中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 2023的相反数是(    )
A. 12023 B. −12023 C. 2023 D. −2023
2. 下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是(    )
A. a3⋅a4=a12 B. a5÷a3=a2 C. (3a4)2=6a8 D. (−a)5⋅a=a6
4. 2023年“五一”黄金周期间，苏州各大景区人头攒动，重点商圈热力澎湃.4月29日—5月3日，苏州共接待游客919.3万人次，实现旅游收入110.2亿元.将919.3万用科学记数法表示为(    )
A. 9.193×107 B. 9.193×106 C. 91.93×106 D. 9.193×104
5. 八年级一班的学生升九年级时，下列有关年龄的统计量不变的是(    )
A. 平均年龄 B. 年龄的方差 C. 年龄的众数 D. 年龄的中位数
6. 反比例函数y=9x，y=4x图象如图所示，点A在y=9x图象上，连接OA交y=4x图象于点B，则AB：BO的比为(    )

A. 1：2 B. 2：3 C. 4：5 D. 4：9
7. 如图，是抛物线y=ax2+bx+c的部分图象，其过点A(x1,0)(−2 A. c=−3
B. 该抛物线必过点(2,−3)
C. 当x>2时，y随x增大而增大
D. 当x>3时，y>0


8. 如图，已知点A(10,0)，O为坐标原点，P是线段OA上任意一点(不含端点O、A)，过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D.当OD=AD=13时，这两个二次函数的最大值之和等于(    )

A. 5 B. 2 7 C. 8 D. 12
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 若分式23−x有意义，则x的取值范围是______．
10. 把多项式a2−4分解因式的结果是        ．
11. 关于x的一元二次方程(m−1)x2−2x−1=0有两个实数根，则实数m的取值范围是______．
12. 已知圆锥底面半径为5cm，高为12cm，则它的侧面展开图的面积是______cm2．
13. 如图，菱形ABCD中，分别以点B，D为圆心，以12BD长为半径画弧，分别交边BC，AD于点E，F.若AB=4，∠BAD=60°，则图中阴影部分的面积为______ .(结果不取近似值)

14. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在AD上，∠BAC=22.5°，则BC的长为______ ．


15. 如图，点P是⊙O上一点，AB是一条弦，点C是APB上一点，与点D关于AB对称，AD交⊙O于点E，CE与AB交于点F，且BD//CE.给出下面四个结论：
①CD平分∠BCE；②BE=BD；③AE2=AF⋅AB；④BD为⊙O的切线．
其中所有正确结论的序号是______．

16. 如图，在⊙O中，点A、点B在⊙O上，∠AOB=90°，OA=6，点C在OA上，且OC=2AC，点D是OB的中点，点M是劣弧AB上的动点，则CM+2DM的最小值为______．


三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
17. 解不等式组3x−6<4x−52x−13≤1，把它的解集在数轴上表示出来并写出整数解．



四、解答题（本大题共10小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题8.0分)
计算：( 2−1)0−2sin30°+(13)−1．
19. (本小题8.0分)
解方程：2x+1−1x=0．
20. (本小题8.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，E、F为BC上两点，且BE=CF，AF=DE，求证：
(1)△ABF≌△DCE；
(2)四边形ABCD是矩形．


21. (本小题8.0分)
中国空间站作为国家太空实验室，也是重要的太空科普教育基地，对激发社会大众特别是青少年弘扬科学精神、热爱航天事业具有特殊优势．“天宫课”第三课已于2022年3月23日下午开讲并直播．航天员相互配合，生动演示了微重力环境下A.太空冰雪实验、B.液桥演示实验C.水油分离实验、D.太空抛物实验．某班的班主任为加深同学们的印象，让每位同学各自从这四个实验中随机抽取一个，制作手抄报讲解实验现象背后的科学原理．
(1)求该班班长随机抽取的实验是“太空抛物实验”的概率；
(2)小丽和小雨也是该班同学，利用树状图或列表的方法求小丽和小雨抽到不同实验的概率．
22. (本小题8.0分)
某中学计划根据学生的兴趣爱好组建课外兴趣小组，并随机抽取了部分同学的兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：

(1)学校这次调查共抽取了______名学生；
(2)求m的值并补全条形统计图；
(3)在扇形统计图，“围棋”所在扇形的圆心角度数为______；
(4)设该校共有学生1000名，请你估计该校有多少名学生喜欢足球．
23. (本小题8.0分)
习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”.某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》(徐则臣著)和《牵风记》(徐怀中著)两种书共50本．已知购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元；购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同．
(1)求这两种书的单价；
(2)若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？
24. (本小题8.0分)
如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，AB⊥BC于点B，底座BC=1.3米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB=60°，点H在支架AF上，篮板底部支架EH//BC.EF⊥EH于点E，已知AH= 22米，HF= 2米，HE=1米．
(1)求篮板底部支架HE与支架AF所成的∠FHE的度数．
(2)求篮板底部点E到地面的距离，(精确到0.01米)(参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73)


25. (本小题8.0分)
如图，△ABC内接于⊙O，CD平分∠ACB交⊙O于D，过点D作PQ//AB分别交CA、CB延长线于P、Q，连接BD．
(1)求证：PQ是⊙O的切线；
(2)求证：BD2=AC⋅BQ；
(3)若AC、BQ的长是关于x的方程x+4x=m的两实根，且tan∠PCD=13，求⊙O的半径．

26. (本小题8.0分)
抛物线y=13x2+bx+c与x轴分别交于点A，B(4,0)，与y轴交于点C(0,−4)．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，▱BCPQ顶点P在抛物线上，如果▱BCPQ面积为某值时，符合条件的点P有且只有三个，求点P的坐标．
(3)如图2，点M在第二象限的抛物线上，点N在MO延长线上，OM=2ON，连接BN并延长到点D，使ND=NB.MD交x轴于点E，∠DEB与∠DBE均为锐角，tan∠DEB=2tan∠DBE，求点M的坐标．


27. (本小题8.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=BD= 13，点M为边AB的中点，动点P从点A出发，沿折线AD−DB以每秒 13个单位长度的速度向终点B运动，连结PM.作点A关于直线PM的对称点A′，连结A′P、A′M.设点P的运动时间为t秒．
(1)点D到边AB的距离为______ ；
(2)用含t的代数式表示线段DP的长；
(3)连结A′D，当线段A′D最短时，求△DPA′的面积；
(4)当M、A′、C三点共线时，直接写出t的值．


答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：2023的相反数是−2023．
故选：D．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．

2.【答案】B 
【解析】
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．
【解答】
解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：B．  
3.【答案】B 
【解析】解：A、a3⋅a4=a7，故此选项错误；
B、a5÷a3=a2，正确；
C、(3a4)2=9a8，故此选项错误；
D、(−a)5⋅a=−a6，故此选项错误；
故选：B．
直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则分别化简得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

4.【答案】B 
【解析】解：919.3万=9193000=9.193×106．
故选：B．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数．
本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原来的数，变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数，确定a与n的值是解题的关键．

5.【答案】B 
【解析】解：由题意知，八年级一班的学生升九年级时，每个同学的年龄都加1，
其中平均年龄加1，众数加1，中位数加1，方差不变，
故A、C、D不符合要求；B符合要求；
故选：B．
根据当数据都加上一个数时的平均数，方差，众数，中位数的变化特征进行判断即可．
本题考查了平均数、方差、众数和中位数．解题的关键在于熟练掌握当数据都加上(或减去)一个数时，方差不变，即数据的波动情况不变．

6.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象，根据三角形相似的性质得到OAOB=32是解题的关键．
作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，根据反比例函数y=kx系数k的几何意义得到S△AOM=12×9=92，S△BOC=12×4=2，然后根据三角形相似的性质求得结论．
【解答】
解：作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，
∵点A在y=9x图象上，连接OA交y=4x图象于点B，
∴S△AOM=12×9=92，S△BOC=12×4=2，
∵AM//BN，
∴S△AOMS△BON=(OAOB)2=94，
∴OAOB=32，
∴OA−OBOB=3−22，即ABOB=12，
故选：A．  
7.【答案】D 
【解析】解：∵b=−2a，
∴抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1，
∵抛物线经过(0,−3)，
∴c=−3且抛物线经过(2,−3)，
∴选项A正确，选项B正确．
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，
∴x>1时，y随x的增大而增大，
∴选项C正确．
∵x=−1时，y<0，
∴x=3时，y<0，选项D错误．
故选：D．
由b=−2a可得抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性及点A，B坐标求解．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．

8.【答案】D 
【解析】解：分别过点B、D、C作BF⊥AO于点F，DE⊥AO于点E，CM⊥AO于点M，

∵DA=DO=13，
∴OE=12OA=5，
∴DE= OD2−OE2= 132−52=12，
设OF=m，AM=n，则PF=OF=m，MP=AM=n，
∵OF+FP+PM+AM=OA=10，即2m+2n=10，
∴m+n=5，
∵BF//DE，
∴△OBF∽△ODE，
∴BFDE=OFOE，
即BF12=m5①，
同理CM12=n5②，
①+②得：BF+CM12=m+n5=1，
∴BF+CM=12，
故选：D．
首先利用勾股定理得到DE=12，然后利用抛物线的对称性及相似三角形的判定和性质得到BF12=m5和CM12=n5，两个式子相加得出结果．
本题考查等腰三角形的性质、抛物线的对称性以及相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的性质得到比例式是解决问题的关键．

9.【答案】x≠3 
【解析】解：依题意，得
3−x≠0，
解得，x≠3．
故答案是：x≠3．
分式有意义，分母不等于零．
本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
(1)分式无意义⇔分母为零；
(2)分式有意义⇔分母不为零；
(3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零．

10.【答案】(a+2)(a−2) 
【解析】解：a2−4=(a+2)(a−2)．
故答案为：(a+2)(a−2)．
直接利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了因式分解−运用公式法，正确运用平方差公式是解题关键．

11.【答案】m≥0且m≠1 
【解析】解：根据题意得m−1≠0且△=(−2)2−4(m−1)×(−1)≥0．
解得m≥0且m≠1．
故答案为m≥0且m≠1．
利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到m−1≠0且△=(−2)2−4(m−1)×(−1)≥0，然后解不等式求出它们的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．

12.【答案】65π 
【解析】解：∵圆锥的高为12cm，底面半径为5cm，
∴圆锥的母线长为： 52+122=13cm，
∴圆锥的侧面展开图的面积为：π×5×13=65πcm2．
故答案为：65π
利用勾股定理易得圆锥的母线长，圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．
本题考查圆锥侧面积公式的运用，掌握公式是关键；注意圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形这个知识点．

13.【答案】6 3−2π3 
【解析】解：如图，连接AC交BD于点O，则AC⊥BD，

∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴∠BAC=∠ACD=30°，AB=BC=CD=DA=4，
在Rt△AOB中，AB=4，∠BAO=30°，
∴BO=12AB=2，AO= 32AB=2 3，
∴S阴影部分=2S扇形BOE
=2×60π×22360
=4π3，
故答案为：4π3．
根据菱形的性质求出对角线的长，进而求出菱形的面积，再根据扇形面积的计算方法求出扇形ADE的面积，可得答案．
本题考查扇形面积的计算，菱形的性质，掌握扇形面积的计算方法以及菱形的性质是正确解答的前提．

14.【答案】5π4 
【解析】解：如图，圆心为O，连接OA，OB，OC，OD．

∵OA=OB=OD=5，∠BOC=2∠BAC=45°，
∴BC的长=45π×5180=5π4．
故答案为：5π4．
如图，圆心为O，连接OA，OB，OC，OD.利用弧长公式求解即可．
本题考查弧长公式，解题的关键是正确寻找圆心O的位置，属于中考常考题型．

15.【答案】①②④ 
【解析】解：∵点C与点D关于AB对称，
∴AB是CD的垂直平分线，
∴AD=AC，BD=BC，
∴∠BCD=∠BDC，
∵BD//CE，
∴∠BDC=∠DCE，
∴∠DCE=∠BCD，
∴CD平分∠BCE；
故①正确；
∵四边形ACBE是⊙O的内接四边形，
∴∠ACB+∠AEB=180°，
∵∠AEB+∠DEB=180°，
∴∠DEB=∠ACB，
在△ADB和△ACB中，AD=ACAB=ABBD=BC
∴△ADB≌△ACB(SSS)，
∴∠ADB=∠ACB，
∴∠DEB=∠ADB，
∴BD=BE，
故②正确；
∵AC≠AE，
∴AC≠AE，
∴∠AEF≠∠ABE，
∴△AEF与△ABE不相似，
故③不正确；
连接OB，交EC于点H，

∵BD=BE，BD=BC，
∴BE=BC，
∴BE=BC，
∴OB⊥CE，
∴∠OHE=90°，
∵BD//CE，
∴∠OHE=∠OBD=90°，
∵OB是⊙O的半径，
∴BD为⊙O的切线，
故④正确；
所以给出上面四个结论，其中所有正确结论的序号是：①②④，
本题考查了角平分线的定义，切线的判定，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定，以及圆周角定理，垂径定理是解题的关键．

16.【答案】4 10 
【解析】解：延长OB到T，使得BT=OB，连接MT，CT．

∵OM=6，OD=DB=3，OT=12，
∴OM2=OD⋅OT，
∴OMOD=OTOM，
∵∠MOD=∠TOM，
∴△MOD∽△TOM，
∴DMMT=OMOT=12，
∴MT=2DM，
∵CM+2DM=CM+MT≥CT，
又∵在Rt△OCT中，∠COT=90°，OC=4，OT=12，
∴CT= OC2+OT2= 42+122=4 10，
∴CM+2DM≥4 10，
∴CM+2DM的最小值为4 10，
∴答案为4 10．
延长OB到T，使得BT=OB，连接MT，CT.利用相似三角形的性质证明MT=2DM，求CM+2DM的最小值问题转化为求CM+MT的最小值．求出CT即可判断．
本题考查相似三角形的判定和性质，胡不归问题，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．

17.【答案】解：3x−6<4x−5①2x−13≤1②，
解不等式①得：x>−1，
解不等式②得：x≤2，
所以不等式组的解集为：−1 在数轴上表示为：
．
不等式组的整数解有0，1，2． 
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

18.【答案】解：( 2−1)0−2sin30°+(13)−1
=1−2×12+3
=3． 
【解析】根据零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂进行计算即可求解．
本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，熟练掌握零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂是解题的关键．

19.【答案】解：2x+1−1x=0
分式方程两边乘以x(x+1)，
得2x−(x+1)=0，
解得：x=1，
经检验x=1是原方程的解． 
【解析】分式方程两边乘以x(x+1)，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．

20.【答案】证明：(1)∵BE=CF，BF=BE+EF，CE=CF+EF，
∴BF=CE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC．
在△ABF和△DCE中，
AB=DCBF=CEAF=DE，
∴△ABF≌△DCE(SSS)．
(2)∵△ABF≌△DCE，
∴∠B=∠C．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD．
∴∠B+∠C=180°，
∴∠B=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形． 
【解析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和矩形的判定等知识点．全等三角形的判定是本题的重点．
(1)根据题中的已知条件我们不难得出：AB=CD，AF=DE，又因为BE=CF，那么两边都加上EF后，BF=CE，因此就构成了全等三角形的判定中边边边(SSS)的条件．
(2)由于四边形ABCD是平行四边形，只要证明其中一角为直角即可．

21.【答案】解：(1)该班班长随机抽取的实验是“太空抛物实验”的概率是14；

(2)根据题意画图如下：

共有16种等可能的情况数，其中小丽和小雨抽到不同实验的有12种，
则小丽和小雨抽到不同实验的概率是1216=34． 
【解析】(1)直接根据概率公式求解即可；
(2)根据题意画出树状图得出16种等可能的结果数，找出小丽和小雨抽到不同实验的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

22.【答案】(1)100；
(2)m=100−25−25−20−10=20，
∴“书法”的人数为100×20%=20人，
补全图形如下：

(3)36°；
(4)估计该校喜欢足球的学生人数为1000×25%=250人． 
【解析】解：(1)学校本次调查的学生人数为10÷10%=100名，
故答案为：100；
(2)见答案；
(3)在扇形统计图中，“围棋”所在扇形的圆心角度数为360°×10%=36°，
故答案为：36°；
(4)见答案．

(1)用“围棋”的人数除以其所占百分比可得；
(2)用总人数乘以“书法”人数所占百分比求得其人数，据此即可补全图形；
(3)用360°乘以“围棋”人数所占百分比即可得；
(4)用总人数乘以样本中“足球”人数所占百分比可得．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了用样本估计总体的思想．

23.【答案】解：(1)设购买《北上》的单价为x元，《牵风记》的单价为y元，
由题意得：2x+y=1006x=7y，
解得x=35y=30．
答：购买《北上》的单价为35元，《牵风记》的单价为30元；
(2)设购买《北上》的数量为n本，则购买《牵风记》的数量为(50−n)本，
根据题意得n≥12(50−n)35n+30(50−n)≤1600，
解得：1623≤n≤20，
则n可以取17、18、19、20，
当n=17时，50−n=33，共花费17×35+33×30=1585元；
当n=18时，50−n=32，共花费18×35+32×30=1590元；
当n=19时，50−n=31，共花费19×35+31×30=1595元；
当n=20时，50−n=30，共花费20×35+30×30=1600元；
所以，共有4种购买方案分别为：购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本;
购买《北上》和《牵风记》的数量分别为18本和32本;
购买《北上》和《牵风记》的数量分别为19本和31本;
购买《北上》和《牵风记》的数量分别为20本和30本；
其中购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本费用最低，最低费用为1585元． 
【解析】本题考查了二元一次方程组和不等式组的应用，弄清题意、确定等量关系和不等关系是解答本题的关键．
(1)设购买《北上》的单价为x元，《牵风记》的单价为y元，根据“购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元”和“购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同”建立方程组求解即可；
(2)设购买《北上》的数量n本，则购买《牵风记》的数量为(50−n)本，根据“购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半”和“购买两种书的总价不超过1600元”两个不等关系列不等式组解答并确定整数解即可．

24.【答案】解：(1)在Rt△EFH中，cos∠FHE=HEHF=1 2= 22，
∴∠FHE=45°．
答：篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数为45°；
(2)延长FE交CB的延长线于M，过点A作AG⊥FM于G，过点H作HN⊥AG于N，

则四边形ABMG和四边形HNGE是矩形，
∴GM=AB，HN=EG，
在Rt△ABC中，∵tan∠ACB=ABAC，
∴AB=BCtan60°=1.3× 3=1.3 3(米)，
∴GM=AB=1.3 3(米)，
在Rt△ANH中，∠FAN=∠FHE=45°，
∴HN=AHsin45°= 22× 22=12(米)，
∴EM=EG+GM=12+1.3 3≈2.75(米)．
答：篮板底部点E到地面的距离大约是2.75米． 
【解析】本题考查解直角三角形、锐角三角函数、解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．
(1)由cos∠FHE=HEHF= 22可得答案；
(2)延长FE交CB的延长线于M，过点A作AG⊥FM于G，过点H作HN⊥AG于N，据此知GM=AB，HN=EG，Rt△ABC中，求得AB=BCtan60°=1.3 3；Rt△ANH中，求得HN=AHsin45°=12；根据EM=EG+GM可得答案．

25.【答案】(1)证明：∵PQ//AB，
∴∠ABD=∠BDQ=∠ACD，
∵∠ACD=∠BCD，
∴∠BDQ=∠ACD，
如图1，连接OB，OD，交AB于E，
则∠OBD=∠ODB，∠O=2∠DCB=2∠BDQ，
在△OBD中，∠OBD+∠ODB+∠O=180°，
∴2∠ODB+2∠O=180°，
∴∠ODB+∠O=90°，
∴PQ是⊙O的切线；

(2)证明：如图2，连接AD，由(1)知PQ是⊙O的切线，
∴∠BDQ=∠DCB=∠ACD=∠BCD=∠BAD，
∴AD=BD，
∵∠DBQ=∠ACD，
∴△BDQ∽△ACD，
∴ADBQ=ACBD，
∴BD2=AC⋅BQ；

(3)解：方程x+4x=m可化为x2−mx+4=0，
∵AC、BQ的长是关于x的方程x+4x=m的两实根，
∴AC⋅BQ=4，由(2)得BD2=AC⋅BQ，
∴BD2=4，
∴BD=2，
由(1)知PQ是⊙O的切线，
∴OD⊥PQ，
∵PQ//AB，
∴OD⊥AB，由(1)得∠PCD=∠ABD，
∵tan∠PCD=13，
∴tan∠ABD=13，
∴BE=3DE，
∴DE2+(3DE)2=BD2=4，
∴DE=2 105，
∴BE=6 105，
设OB=OD=R，
∴OE=R−2 105，
∵OB2=OE2+BE2，
∴R2=(R−2 105)2+(6 105)2，
解得：R=2 10，
∴⊙O的半径为2 10． 
【解析】(1)根据平行线的性质和圆周角定理得到∠ABD=∠BDQ=∠ACD，连接OB，OD，交AB于E，根据圆周角定理得到∠OBD=∠ODB，∠O=2∠DCB=2∠BDQ，
根据三角形的内角和得到2∠ODB+2∠O=180°，于是得到∠ODB+∠O=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
(2)证明：连接AD，根据等腰三角形的判定得到AD=BD，根据相似三角形的性质即可得到结论；
(3)根据题意得到AC⋅BQ=4，得到BD=2，由(1)知PQ是⊙O的切线，由切线的性质得到OD⊥PQ，根据平行线的性质得到OD⊥AB，根据三角函数的定义得到BE=3DE，根据勾股定理得到BE=6 105，设OB=OD=R，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，一元二次方程根与系数的关系，圆周角定理，平行线的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．

26.【答案】解：(1)将B(4,0)、C(0,−4)代入y=13x2+bx+c得，
13×42+4b+c=0c=−4，
∴b=−13c=−4，
∴抛物线的解析式为y=13x2−13x−4；
(2)如图1，

作直线l//BC且与抛物线相切于点P1，直线l交y轴于E，作直线m//BC且直线m到BC的距离等于直线l到BC的距离，
∵BC的解析式为y=x−4，
∴设直线l的解析式为：y=x+b，
由13x2−13x−4=x+b得，
x2−4x−3(b+4)=0，
∵Δ=0，
∴16+12(b+4)=0，
∴b=−163，
∴x2−4x+4=0，y=x−163，
∴x=2，y=−103，
即P1(2,−103)，
∵E(0,−163)，C(0,−4)，
∴F(0,−4×2−(−163))，
即(0,−83)，
∴直线m的解析式为：y=x−83，
∴y=13x2−13x−4y=x−83，
∴x1=2+2 2y1=2 2−23，x2=2−2 2y2=−2 2−23，
∴P2(2−2 2,−2 2−23)，P3(2+2 2,2 2−23)，
综上所述：点P(2,−103)或(2−2 2,−2 2−23)或(2+2 2,2 2−23)；
(3)如图2，

作MG⊥x轴于G，作NH⊥x轴于H，过D作DF//y轴交x轴于F，作MK⊥DF，交DF的延长线于K，
设D点的横坐标为a，
∵BN=DN，
∴BD=2BN，N点的横坐标为：a+42，
∴OH=a+42，
∵NH//DF//y轴，
∴△BHN∽△BFD，
∴NHDF=BNBD=12，
∴DF=2NH，
同理可得：△OMG∽△ONH，
∴MGNH=OGOH=OMON=2，
∴MG=2NH，OG=2OH=a+4，
∴KF=MG=DF，
∵tan∠DEB=2tan∠DBE
∴DFEF=2⋅DFBF，
∴EF=12BF，
∵BF=4−a，
∴EF=12(4−a)，
∵EF//MK，
∴△DEF∽△DMK，
∴EFMK=DFDK=12，
∴12(4−a)2a+4=12，
∴a=0，
∴OG=a+4=4，
∴G(−4,0)，
当x=−4时，y=13×(−4)2−13×(−4)−4=83，
∴M(−4,83). 
【解析】(1)将A、B两点坐标代入抛物线的解析式，从而求得b，c，进而得出抛物线的解析式；
(2)在BC的下方存在一个点P，在BC的上方时两个，其中过BC下方的点P且与BC平行的直线l与抛物线相切，根据直线l的解析式与抛物线解析式可以得出一个一元二次方程，该一元二次方程的根的判别式为0，从而求得b的值，进而得出在BC的上方的直线解析式，与抛物线联立成方程组，进一步求得结果；
(3)作MG⊥x轴于G，作NH⊥x轴于H，作MK⊥DF，交DF的延长线于K，
设D点的横坐标为a，根据△BHN∽△BFD得出DF=2NH，根据△OMG∽△ONH得出MG=2NH，OG=2OH=a+4，从而KF=MG=DF，根据tan∠DEB=2tan∠DBE可表示出EF，根据△DEF∽△DMK可得出a的值，进一步求得结果．
本题考查了求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，一次函数和二次函数图象的交点与方程组之间的关系，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是利用相似三角形寻找线段间的数量关系．

27.【答案】3 
【解析】解：(1)如图，连接DM，

∵AB=4，AD=BD= 13，点M为边AB的中点，
∴AM=BM=2，DM⊥AB，
∴DM= AD2−AM2=3，
即点D到边AB的距离为3；
故答案为：3
(2)根据题意得：当0≤t≤1时，点P在AD边上，DP= 13− 13t；
当1 综上所述，当0≤t≤1时，DP= 13− 13t；当1 (3)如图，过点P作PE⊥DM于点E，

∵作点A关于直线PM的对称点A′，
∴A′M=AM=2，
∴点A的运动轨迹为以点M为圆心，AM长为半径的圆，
∴当点D、A′、M三点共线时，线段A′D最短，此时点P在AD上，
∴A′D=1，
根据题意得：A′P=AP= 13t，DP= 13− 13t，
由(1)得：DM⊥AB，
∵PE⊥DM，
∴PE//AB，
∴△PDE∽△ADM，
∴PDAD=DEDM=PEAM，
∴ 13− 13t 13=DE3=PE2，
解得：DE=3−3t，PE=2−2t，
∴A′E=DE−A′D=2−3t，
在Rt△A′PE中，A′P2=PE2+A′E2，
∴( 13t)2=(2−2t)2+(2−3t)2，
解得：t=25，
∴PE=65，
∴S△DPA′=12A′D⋅PE=12×1×65=35；
(4)如图，当点M、A′、C三点共线时，且点A′位于M、C之间时，此时点P在AD上，连接AA′，A′B，过点P作PF⊥AB于点F，过点A′作A′G⊥AB于点G，则AA′⊥PM，

∵AB为直径，
∴∠AA′B=90°，即AA′⊥A′B，
∴PM//A′B，
∴∠PMF=∠ABA′，
过点C作CN⊥AB交AB延长线于点N，
在平行四边形ABCD中，AB//DC，
∵DM⊥AB，
∴DM//CN，
∴四边形CDMN为平行四边形，
∴CN=DM=3，MN=CD=4，
∴CM=5，
∴sin∠CMN=CNCM=35，
∵A′M=2，
∴A′G=2×35=65，
∴MG=85，
∴BG=BM−MG=25，
∴tan∠A′BA=A′GBG=3，
∴tan∠PMF=tan∠A′BA=3，
∴PFFM=3，即PF=3FM，
∵tan∠DAM=DMAM=PFAF=32，cos∠DAM=AMAD=AFAP=2 13，
∴PF=32AF，
∴3FM=32AF，即AF=2FM，
∵AM=2，
∴AF=43，
∴43 13t=2 13，
解得：t=23；
如图，当点A′(A′′)位于CM的延长线上时，此时点P在BD上，PB=2 13− 13t，
过点A′′作A′′G′⊥AB于点G′，则∠AMA′′=∠CMN，取AA′′的中点H，则点M、P、H三点共线，过点H作HK⊥AB 于点K，过点P作PT⊥AB于点T，

同理：A″G′=65,AG′=25，
∵HK⊥AB，A′′G′⊥AB，
∴HK//A′′G′，
∴△AHK∽△AA′′G′，
∵点H是AA′′的中点，
，
∴HK=35,AK=15，
∴MK=95，
∴tan∠PMT=tan∠HMK=HKMK=13，
∴PTMT=13，即MT=3PT，
∵tan∠PBT=DMBM=PTBT=32，cos∠PBT=BTPB=BMBD=2 13，
∴BT=23PT，
∴MT=92BT，
∵MT+BT=BM=2，
∴BT=411，
∴4112 13− 13t=2 13，
解得：t=2011；
综上所述，t的值为23或2011．
(1)连接DM，根据等腰三角形的性质可得DM⊥AB，再由勾股定理，即可求解；
(2)分两种情况讨论：当0≤t≤1时，点P在AD边上；当1 (3)过点P作PE⊥DM于点E，根据题意可得点A的运动轨迹为以点M为圆心，AM长为半径的圆，可得到当点D、A′、M三点共线时，线段A′D最短，此时点P在AD上，再证明△PDE∽△ADM，可得DE=3−3t，PE=2−2t，从而得到A′E=DE−A′D=2−3t，在Rt△A′PE中，由勾股定理可得t=25，即可求解；
(4)分两种情况讨论：当点A′位于M、C之间时，此时点P在AD上；当点A′(A′′)位于CM的延长线上时，此时点P在BD上，即可求解．
本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的性质，圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，根据题意得到点A′的运动轨迹是解题的关键，是中考的压轴题．