艺术生高考数学专题讲义：考点13 导数与函数的单调性

考点十三  导数与函数的单调性

知识梳理

1．函数的单调性与导数

在区间(a，b)内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：

如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)为该区间上的增函数；

如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)为该区间上的减函数．

二者关系：

(1)f′(x)>0(或<0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件，这是因为f′(x)>0能推出f(x)为该区间上的增函数，但反之不一定．如函数f(x)＝x3在R上单调递增，但f′(x)＝3x2≥0，所以f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要.

(2)f′(x)≥0(或≤0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件(f′(x)＝0不恒成立)．

典例剖析

题型一  利用导数证明函数的单调性

例1　求证函数y＝x＋在[1, ＋∞)内为增函数．

解析  y′＝1－＝

当x>1时，x2－1>0，∴y′>0，

∴函数y＝x＋在[1, ＋∞)内为增函数．

变式训练  求证函数y＝x3＋x2＋x在R上是增函数．

解析　y′＝3x2+2x＋1=3(x＋)2＋

显然对任意x∈R，均有y′>0，

∴函数y＝x3＋x2＋x在R上是增函数．

题型二  求函数的单调区间

例2　已知函数f(x)＝(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．

(1)求k的值；

(2)求f(x)的单调区间．

解析　(1)由f(x)＝，

得f′(x)＝，x∈(0，＋∞)，

由于曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与x轴平行，所以f′(1)＝0，因此k＝1.

(2)由(1)得f′(x)＝(1－x－xln x)，x∈(0，＋∞)，

令h(x)＝1－x－xln x，x∈(0，＋∞)，

当x∈(0,1)时，h(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0.

又ex>0，所以x∈(0,1)时，f′(x)>0；

x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.

因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．

变式训练  (1)函数f(x)＝的单调递减区间是________．

(2) 已知函数f(x)＝4x－x4，x∈R，则f(x)的单调递增区间为________．

答案　(1) (0,1)，(1，e)      (2) (－∞，1)

解析　(1) f′(x)＝，令f′(x)<0，得∴0<x<1或1<x<e，

故函数的单调递减区间是(0,1)和(1，e)．

(2)解　由f(x)＝4x－x4，可得f′(x)＝4－4x3.

当f′(x)＞0，即x＜1时，函数f(x)单调递增，所以，f(x)的单调递增区间为(－∞，1)．

解题要点  求可导函数单调区间的一般步骤和方法

(1)确定函数f(x)的定义域；

(2)求导数y′＝f′(x)；

(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；

(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．

题型三  由函数的单调性求参数范围问题

例3　已知函数f(x)＝x3－ax－1.

(1) 若a＝3时，求f(x)的单调区间；

(2) 若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围．

解析　(1) 当a＝3时，f(x)＝x3－3x－1，

∴ f′(x)＝3x2－3，令f′(x)>0即3x2－3>0，解得x>1或x<－1，

∴ f(x)的单调增区间为(－∞，－1)、(1，＋∞)，同理可求f(x)的单调减区间为(－1，1)．

(2) f′(x)＝3x2－a.∵ f(x)在实数集R上单调递增，

∴ f′(x)≥0恒成立，即3x2－a≥0恒成立，∴ a≤(3x2)min.

∵ 3x2的最小值为0，∴ a≤0.

变式训练  已知函数f(x)＝ex－ax－1.

(1)求f(x)的单调增区间；

(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．

解析　f′(x)＝ex－a，

(1)若a≤0，则f′(x)＝ex－a≥0，即f(x)在R上单调递增，

若a>0，令ex－a≥0，则ex≥a，x≥ln a.

因此当a≤0时，f(x)的单调增区间为R，

当a>0时，f(x)的单调增区间为[ln a，＋∞)．

(2)∵f′(x)＝ex－a≤0在(－2,3)上恒成立．

∴a≥ex在x∈(－2,3)上恒成立．

∴e－2<ex<e3，只需a≥e3.

当a＝e3时，f′(x)＝ex－e3<0在x∈(－2,3)上恒成立，即f(x)在(－2,3)上为减函数，∴a≥e3.

故存在实数a≥e3，使f(x)在(－2,3)上为减函数．

解题要点  已知函数的单调性求参数范围可以转化为不等式恒成立问题,由函数f(x)在区间[a，b]内单调递增(或递减)，可得f′(x)≥0(或≤0)在该区间恒成立，而不是f′(x)>0(或<0)恒成立，“＝”不能少，否则漏解．

题型四  函数存在单调区间或不单调求参数范围问题

例4　设f(x)＝－x3＋x2＋2ax.若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围．

解析　f′(x)＝－x2＋x＋2a

由题意知f′(x) >0在上有解，即－x2＋x＋2a>0，2a>x2－x，

令g(x)＝x2－x，g(x)>g＝－.即a>－.

∴a的取值范围为.

变式训练  已知函数f(x)＝2x2－ax＋ln x在其定义域上不单调，求实数a的取值范围．

解析　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，

因为f(x)＝2x2－ax＋ln x，所以f′(x)＝4x－a＋＝(4x2－ax＋1)．

由函数f(x)在区间(0，＋∞)上不单调可知，f′(x)＝0有两个正解，即4x2－ax＋1＝0有两个正解，设为x1，x2.

故有解得a>4.

所以实数a的取值范围为(4，＋∞)．

解题要点  函数在区间D上存在单调递增区间，即在区间D上f′(x) >0能成立，分离变量后可求参数范围.需注意，a>f(x)能成立，只需a>f(x)min，a<f(x)能成立，则a<f(x)max．

当堂练习

1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是________．

答案  (2，＋∞)

解析  由题意知，f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex.由f′(x)>0得x>2.

2．函数f(x)＝x2－2ln x的单调减区间是________．

答案　(0,1)

解析　∵f′(x)＝2x－＝(x>0)．

∴当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．

3. 若函数y＝cos x＋ax在上是增函数，则实数a的取值范围是________．

答案  [1，＋∞)

解析  y′＝－sin x＋a，若函数在上是增函数，则a≥sin x在上恒成立，所以a≥1，即实数a的取值范围是[1，＋∞)．

4．函数f(x)＝1＋x－sin x在(0，2π)上的单调情况是________．

答案  单调递增

解析  在(0，2π)上有f′(x)＝1－cos x>0，所以f(x)在(0，2π)上单调递增．

5．函数f(x)＝ex－x的单调递增区间是________．

答案  (0，＋∞)

解析  ∵f(x)＝ex－x，∴f′(x)＝ex－1，

由f′(x)>0，得ex－1>0，即x>0.

课后作业

一、    填空题

1．函数y＝x2(x－3)的单调递减区间是________．

答案　(0,2)

解析　y′＝3x2－6x，由y′＜0，得0＜x＜2.

2．函数y＝(3－x2)ex的单调递增区间是________．

答案  (－3,1)

解析  y′＝－2xex＋(3－x2)ex＝ex(－x2－2x＋3)，

由y′>0⇒x2＋2x－3<0⇒－3<x<1，∴函数y＝(3－x2)ex的单调递增区间是(－3,1).

3．函数f(x)＝x＋elnx的单调递增区间为________．

答案  (0，＋∞)

解析  函数定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋>0，故单调增区间是(0，＋∞)．

4．函数f(x)=xln x，则________．

①在(0，+∞)上是增加的          ②在(0，+∞)上是减少的

③在(0，)上是增加的          ④在(0，)上是减少的

答案　④

解析  因为函数f(x)=xln x，所以f′(x)=ln x+1，f′(x)>0，解得x>，则函数的单调增区间为(,+∞)，又f′(x)<0，解得0<x<，则函数的单调减区间为(0,)，故选④.

5．函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为________．

答案  (0,1)

解析  函数的定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝1－＝，令f′(x)＜0，解得0＜x＜1，所以单调递减区间是(0,1)．

6．已知函数f(x)＝x3＋ax＋4，则“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的________条件．

答案  充分不必要

解析  f′(x)＝x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，故“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件．

7．若函数y＝a(x3－x)的单调递减区间为(－，)，则实数a的取值范围是________．

答案　a＞0

解析　y′＝a(3x2－1)，解3x2－1＜0，得－＜x＜.

∴f(x)＝x3－x在(－，)上为减函数．

又y＝a(x3－x)的单调递减区间为(－，)，

∴a＞0.

8．设函数f(x)＝x2－9lnx在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是________．

答案  1<a≤2

解析  ∵f(x)＝x2－9lnx，∴f′(x)＝x－(x>0)，当x－≤0时，有0<x≤3，即在(0,3]上函数f(x)是减函数，∴a－1>0，a＋1≤3，解得1<a≤2.

9．函数f(x)＝的单调递减区间是________．

答案  (0,1)，(1，e)

解析  f′(x)＝，令f′(x)<0，得∴0<x<1或1<x<e，故函数的单调递减区间是(0,1)和(1，e)．

10．若函数f(x)＝x3＋ax－2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．

答案　[－3，＋∞)

解析　f′(x)＝3x2＋a，f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，

则f′(x)＝3x2＋a≥0在(1，＋∞)上恒成立，

即a≥－3x2在(1，＋∞)上恒成立．∴a≥－3.

11．已知函数y＝－x3＋bx2－(2b＋3)x＋2－b在R上不是单调减函数，则b的取值范围是________．

答案  b<－1或b>3

解析  y′＝－x2＋2bx－(2b＋3)，要使原函数在R上单调递减，应有y′≤0恒成立，

∴Δ＝4b2－4(2b＋3)＝4(b2－2b－3)≤0，

∴－1≤b≤3，故使该函数在R上不是单调减函数的b的取值范围是b<－1或b>3.

二、解答题

12．(2015天津文节选)已知函数f(x)＝4x－x4，x∈R.求f(x)的单调区间；

解析　由f(x)＝4x－x4，可得f′(x)＝4－4x3.

当f′(x)＞0，即x＜1时，函数f(x)单调递增；

当f′(x)＜0，即x＞1时，函数f(x)单调递减．

所以，f(x)的单调递增区间为(－∞，1)，单调递减区间为(1，＋∞)．

13．已知函数f(x)＝＋ln x，求函数f(x)的极值和单调区间．

解析　因为f′(x)＝－＋＝，

令f′(x)＝0，得x＝1，又f(x)的定义域为(0，＋∞)，

f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：

所以x＝1时，f(x)的极小值为1.

f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，

单调递减区间为(0,1)．