高中数学竞赛专题大全竞赛专题5数列50题竞赛真题强化训练含解析

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竞赛专题5 数列
（50题竞赛真题强化训练）
一、填空题
1．（2020·江苏·高三竞赛）从集合中取出225个不同的数，组成递增的等差数列，满足要求的数列共有_________个．
【答案】8100##
【解析】
【详解】
解析：由题意可得，且为正整数，则．
故必须满足，分别讨论公差的取值情形；
当公差为1时，共1796组；
公差为2时，共1572组；
当公差为3时，共1348组．

组数依次构成公差为-24的等差数列，
而公差为9时，共有4组，故满足要求的数列共有．
故答案：.
2．（2021·浙江金华第一中学高三竞赛）设，，，则的值为______．
【答案】-24
【解析】
【分析】
【详解】
由于
,
从而,
由此可知,即数列为等比数列.
故
.
故答案为：.
3．（2021·全国·高三竞赛）记，则___________.
【答案】
【解析】
【详解】
.
故答案为：.
4．（2021·全国·高三竞赛）设数列的首项，且求．
【答案】
【解析】
【详解】
若n为偶数，则，即，
所以，
于是．故．
若n为奇数，则，即，
所以．
于是，；
故答案为：.
5．（2021·全国·高三竞赛）已知数列满足：，且当为偶数时，；当为奇数时，.若，则___________.
【答案】或56##56或9.
【解析】
【详解】
解析：（1）当m是奇数时，是偶数，所以，，或，解之得或，经检验，.
（2）当m是偶数时，
①当时，，或，
解之得或，所以或8，经检验，.
②当时，，所以，无解.
综上所述，或56.
故答案为：或56.
6．（2021·浙江·高三竞赛）设，，…，满足，，且，则数列的通项______.
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】
,
令 , 则 ,
,
又是以3为首项,3为公比的等比数列,
,
由累乘法可知：，
,
经检验满足上式,
故答案为：.
7．（2021·浙江·高三竞赛）已知整数数列，，…，，满足，，且（，2，…，9），则这样的数列个数共有______个.
【答案】192
【解析】
【分析】
【详解】
分情况讨论：
①先考虑,设，则：
(1);
(2);
(3);
(4);
(5);
(6);
②再考虑,同理共有4种,且,其中;
③最后考虑共有8种,且,其中,所以,故一定有解,
综上共有个;
故答案为：192.
8．（2021·浙江·高二竞赛）设，，，，则______.
【答案】6
【解析】
【分析】
【详解】

.
故答案为：6.
9．（2021·全国·高三竞赛）已知数列满足，，则整数k的最小值是___________．
【答案】1
【解析】
【分析】
【详解】
因为，故有，
平方得，，所以，
故，因此.
故答案为：1.
10．（2021·全国·高三竞赛）已知数列满足，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】
由原式可得，
令，则原式变为，
累加得，所以．
故答案为：.
11．（2021·全国·高三竞赛）数列与满足：，若对任意正整数k，都有，则实数t的最小值为_________．
【答案】4
【解析】
【分析】
【详解】
将条件两式相加，得．又，所以，
将条件两式相减，得，
所以．
又，所以，
故，所以，
所以，
，
故，所以t的最小值为4．
故答案为：4.
12．（2021·全国·高三竞赛）数列满足：.则_______.
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】
由题意，特征方程是
，
所以是以24为周期的数列，
故.
故答案为：.
13．（2021·全国·高三竞赛）若数列满足：对任意，均有成立，且都是等比数列，其公比分别为，若，且对任意恒成立，则的取值范围为___________．
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】
由题意知．
代入，得．
．                           ①
由①可知，所以，
．
又因为，由数学归纳法知，
所以，
即，
可得，
有．
当为奇数时，可得，                                 ②
当为偶数时，可得．                                 ③
将代入②整理得，所以．
同理，代入③整理得，
所以．
故答案为：.
14．（2021·全国·高三竞赛）数列{an}满足：(其中[an]和{an}分别表示实数an的整数部分与小数部分)，则a2019=____________ .
【答案】
【解析】
【详解】
，，
，
，
归纳易得，.
因此.
故答案为：．
15．（2019·贵州·高三竞赛）已知集合A={1，2，3，…，2019}，对于集合A的每一个非空子集的所有元素，计算它们乘积的倒数.则所有这些倒数的和为____________ .
【答案】2019
【解析】
【详解】
集合A的22019－1个非空子集中，每一个集合的所有元素之积分别为：1，2，…，2019，1×2，1×3…，2018×2019，…，1×2×…×2019，它们的倒数和为


.
故答案为：2019．
16．（2020·浙江温州·高一竞赛）已知数列满足，，数列的前项和为，则使不等式成立的最小正整数的值为___________．
【答案】6
【解析】
【详解】
题述等式即，所以，
则．
计算可得：，，所以，则．
故答案为：6.
17．（2021·全国·高三竞赛）两数列满足，且对任意正整数n，，则为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】
易知两数列均为严格递增的正数列，且不同时存在极限（否则对递推式取极限得矛盾）.
将两个递推式等号两边加1，可得：

再取倒数可得
所以，
当时，由得，于是数列有极限，从而没有极限，即，
此时；
当时，，于是都没有极限.
此时，
当时，，所以，
于是数列有极限，没有极限，
此时.
综上可得：.
故答案为：.
18．（2021·全国·高三竞赛）设均为正实数，且则的最小值为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】
令，则，且，其中，2，…，2020.
所以
.
19．（2019·河南·高二竞赛）等差数列{an}中，，记数列的前n项和为Sn，若对任意的n∈N+恒成立，则正整数m的最小值为____________ .
【答案】5
【解析】
【详解】
由题意可得：，解得，
，



，
∴数列是递减数列，
数列的最大项为，
，
又∵m是正整数，∴m的最小值为5.
故答案为：5.
二、解答题
20．（2021·全国·高三竞赛）已知正项数列满足．记数列的前n项和为，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】
根据数列的递推关系可得为常数列，从而可求，
求出后可求和式的值.
【详解】
由数列的递推式可知，故，
于是，进而，
直接求和可得，于是．
于是我们直接带入得到：

．
【点睛】
思维点睛：对于给定的数列的递推关系，应该通过对其变形得到容易求出通项的新数列，从而利用常见数列的求和方法解决与原数列相关的问题.
21．（2021·全国·高三竞赛）求证：对于正整数n，令，数列中有无穷多个奇数和无穷多个偶数（表示不超过实数x的最大整数）．
【答案】证明见解析
【解析】
【详解】
在二进制中，记，
其中.
用反证法，先证明数列中有无穷多个偶数．
假设，数列中只有有限个偶数，那么存在整数N，，是奇数，
则存在正整数，使得，
且当时，，
故，矛盾！
同理可证明数列中有无穷多个偶数．
所以数列中有无穷多个奇数和无穷多个偶数．
22．（2021·全国·高三竞赛）数列满足且．证明：其中无理数．
【答案】证明见解析
【解析】
【详解】
证法一：由递推关系有.
故．
两边取对数并利用已知不等式得：
．
故．
有，
，
…
．
将上述不等式两边相加可得


．
即，故．
证法二：由数学归纳法易证对成立，故
．
令，则．
对上述不等式两边取对数并利用已知不等式得：
．
故，
，
…
．
将上述不等式两边相加可得：
．
因．故．
故，又显然，故对一切成立．
23．（2021·全国·高三竞赛）求最大的正实数，使得对任意正整数n及正实数，均有．
【答案】的最大值为3．
【解析】
【分析】
先取，通过对其求和可得的范围，再利用放缩法可得，最后求出最大的正实数的值.
【详解】
一方面，取，得

即
．
令，得．
另一方面对正实数x，y有，故
，
，
，
……
．
以上各式相加，得
．
故时，原不等式恒成立．综上，的最大值为3．
24．（2021·全国·高三竞赛）实数列满足：，求的值．
【答案】0.
【解析】
【分析】
【详解】
令，则当时，有．
两式相减，得．所以．
此式在时也成立．于是当时，

．
所以
.
25．（2021·全国·高三竞赛）定义在R上的函数，，，是否存在常数，使得对，有.
【答案】不存在
【解析】
【分析】
【详解】
首先，易证，则.
因为对，有，
故，
当时，无界，
所以不存在常数，使得对，有.
26．（2020·浙江·高三竞赛）已知数列满足，，.
（1）若对任意的正整数，有，求实数的取值范围；
（2）若，且对任意大于1的正整数，有恒成立，求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【详解】
解 （1）必要条件：，解得，此时.
设时，，
则当时，，
因为，，故，
由数学归纳法可知时，有.
（2）由题意有，，，则，.
因为，故，
若，则，则恒成立，这不可能成立，
故，
猜想：，下面利用数学归纳法证明.
当时，
设当时，有，
则当时，
；
另一方面：
.
由数学归纳法可得猜想成立.
因为对任意大于1的正整数，有恒成立，
故，故对任意大于1的正整数，有恒成立，
取，则，
取，则，故，
而，故.
下证：,
当时，由的取值范围的来源可得不等式成立，
设当时，，
则当时，
而

()，
所以，
又
而

，

故成立，
由数学归纳法得到对任意的恒成立，
故的最小值为：
27．（2021·全国·高三竞赛）已知.求证：.
【答案】证明见解析
【解析】
【详解】
当时，，并且时，，
因此，对任意，存在唯一的，使得.
则有，所以.
同理，，
所以（其中充分大使得）



.
28．（2021·全国·高三竞赛）已知n个非负实数和为1．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【详解】
作如下换元：设，则

（，且这里特别定义）．
定义数列如下：，则

原式．
只需，即只需，即．
采用归纳法，对成立．
假设成立，考虑，
，
归纳成立．
所以．
29．（2021·全国·高三竞赛）若数列，求证：存在无穷多个正整数n，使得，并确定是否存在无穷多个正整数n使得？（这里表示不超过x的最大整数）
【答案】证明见解析，存在无穷多个n，使.
【解析】
【详解】
用表示正整数i的正因数个数，
则.
所以若取，
则，
所以.
而
.
所以，于是，故存在无穷多个n使.
若取（p为质数，），
则，.
当时，
.
所以.
所以，于是.
故存在无穷多个n，使.
30．（2021·全国·高三竞赛）设为给定的正整数，实数及满足如下条件：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
证明：对一切，均有．
【答案】证明见解析
【解析】
【详解】
考虑集合，
若，不妨设，则及仍满足题目的所有条件，故可以不妨设．
设，
注意到由条件（3）可知，
且对一切，均有：

，
故在，内各至少有一个实根，注意到，故至少有个不同的实根，
结合可知，也即，
进而可以直接得到．
31．（2021·浙江金华第一中学高三竞赛）设，，且．称为好数，如果使上述所定义的满足且．求全体好数在数轴上所对应的所有区间的长度之和．
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】
由已知可得,
,
,,
,
故：


，
所以,
所以,
所以,,
因为,
所以,
且,且,
所以,
综上,,又,
所以,
所以,
即全体好数在数轴上所对应的所有区间的长度之和为.
32．（2021·全国·高三竞赛）设多项式的系数为正整数．定义数列：．证明：对于任意的整数，均存在质数p，使得，且．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
【详解】
假设存在整数，使得的任意一个质因子均为某个的因子（对于的不同的质因子，i的取值可以不同）．
令p为的一个质因子，且，其中．
则
假设成立，则．
所以由数学归纳法知对任意的正整数，均有．
进而有，所以．
定义表示正整数m的标准分解中所含的的幂次数，
由，得．
令对某个成立，同上可证．
于是．
从而，若p为的一个质因子，则它在的中的次数等于在某个中的次数．
所以，进而．
由，得，
所以，矛盾，故原命题成立．
33．（2021·全国·高三竞赛）已知数列满足．
（1）求证：．
（2）是否存在实数，使得，若存在求出的值；若不存在．请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在实数满足题意，．
【解析】
【分析】
【详解】
（1）运用数学归纳法易证，所以，
故，此.
（2），所以，
故，
.
若存在实数，满足，则有，
故.
下证成立．
由，假设，则：
，
，
故．
综上所述，命题成立．
34．（2021·全国·高三竞赛）设m是任一给定的正整数，正整数列定义如下：，求所有的正整数a，使得是周期的．
【答案】．且m是奇数．
【解析】
【分析】
【详解】
若m为偶数，记，那么有，
则，该数列无上限，此时不存在合适的a．
若m是奇数，构造集合．
当，则有．于是对于，总有．
那么时，必有最终是周期的．
此时假设是数列中第一个被重复的项，即．
若，当时，有，于是，与假设矛盾．
当，同理，矛盾，所以，即．
若，记为数列中最小的项，为奇数，那么必有，否则与假设矛盾．
此时显然有不是周期的．
综上，．且m是奇数．
35．（2021·全国·高三竞赛）求常数C的最大值，使得对于任意实数均有．
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】
定义数列满足．
不难用数学归纳法证明．
对于正整数i，
由，
得.
上式两边对i从1到2019求和，
得．
另一方面，取，可得．
故常数C的最大值为．
36．（2021·全国·高三竞赛）给定整数.求具有下列性质的最大常数，若实数列满足：，则.
【答案】.
【解析】
【分析】
【详解】
取，得.下面用数学归纳法证明.
当时，显然成立.
假设时，有；
考虑时的情况，只需证明：
.
记.易得.
则只需证明：，
.
由.
证毕.
37．（2021·全国·高三竞赛）已知数列满足：，且对于任意正整数，均有.
求证：（1）；
（2）数列为单调数列.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
【详解】
（1）证明：注意到，
均满足.
假设当时，有，则：
，
当时，上式显然成立，即对，结论成立.
综上，对任意正整数，均有.
（2）证明：因为，由数学归纳法易证，即，下面我们证明.
即证.
因为右边，
所以只要证明



.
综上，数列为单调数列.
38．（2021·全国·高三竞赛）空间中的个点，其中任何三点不共线，把它们分成点数互不相同的组，且，在任何三个不同的组中各取一点为顶点作三角形，要使这种三角形的总数最大，各组的点数应是多少?
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】
【详解】
把这个点分成组，设当每组点数分别为，这里，顶点分别在三个组的三角形的总数为：
                                 ①
取得最大值．
（1）先证明：．
若不然，设有使，不妨设，我们将①式改写为．                    ②
令，则，
，
当用代替，其余值保持不变时值变大，矛盾．
（2）证明使的值不多于1个，
若有，使，
则当用代替而其余不变时，，
但，类似②式可知也变大，这是不可能的．
（3）证明：使的值恰有一个．
若对所有，均有，则组的点数分别为，
于是有：．                    ③
由题设及③式，得，而题设，故矛盾．
（4）设第个差，而其余的差均为1，
于是可令；，
所以，
得．                                 ④
又，由④式得
．                           ⑤
故符合题意的对应各组的点数由④、⑤两式确定正整数与．
39．（2021·全国·高三竞赛）设数列是公差不为零的等差数列．满足．设数列的前项和为，且．对于任意，在和之间插入个数，使成等差数列．记，是否存在正整数，使成立?若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由．
【答案】存在，及．
【解析】
【分析】
【详解】
设数列的公差为，
则有条件，可得，
所以．
又由可得．
将代入上式得，所以．
因为所以，所以．
由，                                 ①
当时，．                           ②
得，所以．
又，所以．
故是首项为，公比为的等比数列，故，
在和之间插入个数．
因为成等差数列，设公差为，则：
，
则．
所以，
所以．                    ③
则．                           ④
得
，
所以．
若，因为，所以，则：
，
从而，
故．
当时，；
当时，﹔
当时，．
下设时，有，即证．
设，则．
所以在上单调递增．
故时，，即．
从而时，不是整数，故所求的所有整数对为及．
40．（2021·全国·高三竞赛）圆周上有个1600点．以逆时针方向依次标号1，2，…，1600．它们将圆分成1600段圆弧．今选定某一点染成红色，然后按如下规则，逐次染红其余的一些点：如果前一次第号点被染红，则后一次将此点以逆时针方向转过段圆弧后的那个点染红．如此操作下去．问圆周上最多可以得到多少个红点?
【答案】26
【解析】
【分析】
【详解】
一般地，设个点的圆周上，最多能染个红点，且设若首次染号点，最终能染出个红点．
对正整数及整数，记为满足且的整数．
显然有．
引理：对，有．
对于个点的圆周，将标号为2，4，…，的点另记为．
若首次染号点，则第二步染号点，且之后每一步不会再染到奇数号点．
此流程去掉第一步，等同于在标号为的圆周，首次在（或）处染色．
引理得证．
由引理，．
故．
对于25个点的圆周，首次染1号点，则染色点号码序列为：1，2，4，8，16，7，14，3，6，12，24，23，21，17，9，18，11，22，19，13，1，…．即．
若存在，则该序列中，必有5的倍数．由于，故所有5的倍数的相邻项必是5的倍数．而25以内只有5个5的倍数，矛盾．
从而．
41．（2021·全国·高三竞赛）对于数列，若存在常数使得对任意正整数成立，则称是有界数列．已知数列满足递推式，求证：
（1）若，则不是有界数列．
（2）若，则是有界数列．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
【详解】
（1）归纳证明．当时命题成立．
假设当时命题成立，则当时，
．
因此命题成立，不是有界数列．
（2）显然．注意到．
因此时，
．
而．
因此，即是有界数列．
42．（2021·全国·高三竞赛）已知正实数数列满足，，求数列的通项公式.
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】
因为

，
所以，结合可知.
设，则有.
对于，有，两式相减可得：，
即，从而有.
设，由，可得，
于是有，
所以，其特征方程为，其特征根为.
设，
由及，定义，
于是，
从而可得，
所以，
.
43．（2021·全国·高三竞赛）求具有下述性质的最大整数m：对全体正整数的任意一个排列，总存在正整数，使得：构成公差为奇数的等差数列．（可以认为：两项也是等差的）
【答案】3
【解析】
【分析】
【详解】
首先定义一个优越数：，如果，均有：．
可以证明：对于任意的正整数的排列，优越数是有无穷多个的．
事实上，我们使用数学归纳法便可以得证：
（1）当然我们可以认为是优越数，再往后走，当然是有第一个比大的数，它就是第二个优越数；
（2）假设有第k个优越数，则往数列，，，…的后面看，仍旧会出现第一个比，大的数（不可能后的数均比小，与正整数的无穷性矛盾！）这样就有第个优越数，这样就完成了归纳证明．
再者，我们能够证明：
因为优越数是有无穷多个的，则我们可以找到一个，使得中有奇数也有偶数，这样，我们就可以在其中寻找一个与奇偶性不同的数，我们考虑：
，
知此数在之后，故这样的，能保证是成公差为奇数的等差数列．
故．
最后，我们说．因为，如果将正整数排列为：

则若其存在项数大于等于4的奇数公差的等差数列，则必存在连续三项是偶数、奇数、偶数的，不妨记为，则根据上述排列的特点，是奇数的项的后面接的偶数至少是其2倍，则，这与a、b、c成等差数列矛盾！故，只能m的最大值为3．
44．（2021·全国·高三竞赛）求最大的，使对于给定n，任意一个实数列，总存在一个子列满足：
（a）中有1项或2项属于T；
（b）．
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】
取数列，考查其中项，其中至多有4项属于T，至少有2项属于T．若其中有4项属于T，则必然为2个1和2个；若其中有3项属于T，则3项和为1或；若其中有2项属于T，则2项和为0．
取，m是正整数，则．
不妨设，下面证明：．
规定：若X为一个数列，则表示所有非负项构成的子列，表示所有负项构成的子列．
考虑下面个数阵，其中
，
，
…，
，
我们得到上面的个数列的和为：
，
，
…，
，
对其求和，总和为
，
由抽屉原理可知，存在一个子列，所有数和的绝对值．
45．（2021·全国·高三竞赛）已知正整数数列满足：，求的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】
先考虑一种简单的情况：，则，
相应的时不为正整数，舍去．
所以，此时．
由题意可知，则，
相减可得，下面分类讨论：
①若，则，则，所以，代入检验矛盾．
②若，则，易得（同上）
或者，此时，可得，
得到．
③若，则，即，若对任意的k都有（否则同②），，与数列是正整数数列矛盾．
综上可知的取值范围是．
46．（2021·全国·高三竞赛）对于正整数，如果严格递增的非负整数数列，使得所有非负整数可以唯一地表示为，其中i､j､k可以相同，则称数列，为好的.
（1）证明：对任意正整数n，存在唯一的好的数列.
（2）已知存在最小的正奇数m，使得在好的数列中有，求的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
【详解】
（1）证明：唯一性.
假设有两个不同的好的数列，取满足的最小的r，不妨设，
显然，，则.
从而，在好的数列中，可唯一表示为，在好的数列中，可唯一表示为.
则i，j，，故，
所以，与关于的唯一表示矛盾.
故假设不成立，即好的数列至多有一个.
存在性：下面构造满足条件的，对任意非负整数m，设.
其中为m的n进制表示中第位数码.
定义，显然，严格递增，且:

.
每个m的表示唯一.
（2）由（1）.
又，从而n的素因子只能为2､3､5､7､19.
由知.
若，则，矛盾.故.
若，则.
如果，则，矛盾.
如果，则，矛盾.
如果，则，矛盾.
如果，则，矛盾.
故.
若，则.
对应，12，15，30，A分别有因数8､11､14､29，矛盾､
如果，则.
由，知，
则，矛盾.
故.
若，则，矛盾.
故，即.
对应､10，A分别有因数24､11，矛盾.
若，则，
故，矛盾.
故，则，
故
，矛盾.
若，则，
则.
由m为满足要求的最小正奇数，知.
从而.
47．（2021·全国·高三竞赛）设集合.若X是的子集，把X中的所有数的和称为X的“容量”.(规定空集的容量为0).若X的容量为奇(偶)数，则称X为的奇(偶)子集.
（1）求证：的奇子集与偶子集个数相等.
（2）求证：当时,的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等.
（3）当时，求的所有奇子集的容量之和.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.
【解析】
【分析】
【详解】
（1）设的奇子集的个数为，偶子集的个数为，则，①
直接求，以表示为不超过实数x的最大整数.
设，从中任取一个子集(含空集)，
再从中任取一个含奇数个元素的子集，
则与的并集便是一个奇子集，反之，的任一奇子集可写成与之并.
的取法有种，
的取法有(种)，
(是不大于l的最大奇数)于是，
由①式知.
（2）设表示中全体奇(偶)子集容量之和.
1)若n为奇数.
的所有奇子集可由下列两类子集组成：
（i）的奇子集，
（ii）的每一个偶子集与集的并，
于是，
类似，可得，
所以.
2)若n是偶数.
的所有奇子集可由下列两类子集组成：
（i）的所有奇子集，
（ii）的每一个奇子集与集的并，
于是，
类似，可得，所以.
综合1)､2)的结论，对任何，
（3）X在的余集记为则X与的容量之和等于的容量，
即，
因此，中所有子集的容量之和是：.
因为，故.
48．（2020·全国·高三竞赛）称一个复数数列{zn}为“有趣的”，若|z1|=1，且对任意正整数n，均有.求最大的常数C，使得对一切有趣的数列{zn}及任意正整数m，均有.
【答案】
【解析】
【分析】
根据有趣的复数数列的定义，对参数进行分类讨论，结合数列的极限，即可求得结果.
【详解】
考虑有趣的复数数列{zn}.归纳可知zn≠0(n∈N+).
由条件得，解得.
因此，
故             ①
进而有             ②
记.
当m=2s(s∈N+)时，利用②可得
.
当m=2s+1(s∈N+)时，由①、②可知，
故.
当m=1时，.
以上表明满足要求.
另一方面，当时，易验证知{zn}为有趣的数列.
此时，
这表明C不能大于.
综上，所求的C为.
【点睛】
本题考查新定义问题，涉及数列的极限、数列的新定义，复数的运算，属综合困难题.
49．（2021·浙江·高二竞赛）设为给定的正整数，，，…，为满足对每个都有的一列实数，求的最大值.
【答案】.
【解析】
【分析】
先利用和的变换得到，然后利用绝对值不等式放缩，并利用已知条件得到，然后构造满足题意的实数组，并使得这里的所有“≤”取等号，从而说明的最大值为.
【详解】
由

，
所以.
取
则满足对每个都有，且此时,
所以的最大值为,
故答案为：.
50．（2021·全国·高三竞赛）求所有无穷正整数列满足下列条件：
（1）；
（2）不存在正整数（可以相同i、j、k）使．
（3）有无穷多个正整数k，使．
【答案】答案见解析
【解析】
【详解】
所求的正整数列只有．
一方面，不难验证此数列满足条件．另一方面，我们证明所求的数列只能是此数列．
设．我们证明：，设．
由数列单调递增，知均在中．
又由条件（2），知．
将集合划分为个二元组
．
由抽屉原理，中必有两数在同一个二元组内，这与条件（2）矛盾．
所以．
进而，对非负整数m，有
．            ①
于是，对任意正整数r满足，均有
，
由条件（3），知存在无穷多组使得等号成立，任取其中一组．
等号成立当且仅当，三式同时成立．
又因为，
所以．
而因为，所以，
结合条件（1），知．由①取等知．
若，则，所以，与条件（2）矛盾．
所以．由①，，由条件（2）及知数列的项两两不相邻．又由条件（3）及数列单调递增，知所求的正整数列只有（否则，若使得，则不存在，矛盾！）．