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【暑假提升】人教版数学四年级（四升五）暑假预习：第7单元《数学广角--植树问题》讲义（知识点+例题+练习）（含解析）
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这是一份【暑假提升】人教版数学四年级（四升五）暑假预习：第7单元《数学广角--植树问题》讲义（知识点+例题+练习）（含解析），共16页。试卷主要包含了不封闭栽树问题，封闭图形四周栽树问题，鸡兔同笼问题(龟鹤问题，图形的运动，数字编码等内容，欢迎下载使用。
人教版五年级数学上册暑假预习与检测衔接讲义
第7单元 数学广角--植树问题
一、不封闭栽树问题
1、一条路的一边两端都栽树=路长÷间隔+1；
已知间隔数，树的棵树，求路长。路长=间隔数×（树的棵树-1）
2、一条路的两边两端都栽树=（路长÷间隔+1）×2
3、一条路的一边两端不栽树=路长÷间隔-1
4、一条路的两边两端不栽树=（路长÷间隔-1）×2
5、锯木头时间问题：锯一段木头时间=总时间÷（段数-1）
二、封闭图形四周栽树问题
栽树棵树=周长÷间隔
三、鸡兔同笼问题(龟鹤问题、大船小船问题）
1、算术假设法1：假设几只都是兔子（都是脚多的兔子），先求鸡的只数=（总头数×4-总脚数）÷（4-2即一只兔的脚数减去一只鸡的脚数）
兔的只数=总头数-鸡的只数
算术假设法2：假设几只都是鸡（都是脚少的鸡），先求兔子的只数=（总脚数-总头数×2）÷（4-2即一只兔的脚数减去一只鸡的脚数）
鸡的只数=总头数-兔子的只数
2、方程法：设兔子有x只，则兔子脚有2x只。那么鸡有（总头数-x)只
根据“兔子脚+鸡脚=总脚数”列方程解答先求兔子只数，再算出鸡的只数。
即：4x+2×（总头数-x）=总脚数
四、从不同的角度观察物体，看到的形状可能是不同的
观察长方体或正方体时，从固定位置最多能看到三个面。（习惯上我们从左面、正面、上面看 ，把这三种视图统称三视图）
五、图形的运动：轴对称图形
1、沿一条直线对折后，两边完全重合的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。圆有无数条对称轴。正方形有4条对称轴。等边三角形有3条对称轴。长方形有2条对称轴。等腰三角形和等腰梯形有1条对称轴。
2、轴对称图形的特点：沿对称轴对折，两边完全重合。‚每一组对应点到对称轴距离度相等。对应点之间的连线与对称轴互相垂直。
3、要能根据对称轴画出对称图形的另一半。
六、数字编码
1、数不仅可以用来表示数量和顺序，还可以用来编码。
2、邮政编码由6位数字组成，前2位表示省；前3位表示邮区，前4位表示县市，最后2位表示投递局（大地基乡投递局）
3、身份证18位：第7至14位表示出生年月日 倒数第二位的数字表示性别，单数-男，双数-女
【例1】学校操场旁边栽了一行小树，从第一棵到最后一棵的距离是80米，原来每隔2米栽一棵树，现在小树长大了，改为每隔5米栽一棵树，如果两端不移动，中间有几棵树不用移动？
【分析】此题属于植树问题，两端不移动，要求中间有几棵树不用移动，只要求出在80以内2和5的公倍数即可解答，即是2和5的公倍数的米数是不动的．
【解答】解：80以内的2和5的公倍数有：10；20；30；40；50；60；70；
即10米、20米、30米、40米、50米、60米、70米处的7棵树不用移动；
答：中间有7棵树不用移动．
【点评】本题主要考查求在一定范围内的两个数的公倍数，注意分析题意判定是求公倍数．
【例2】一条小道两旁，每隔5米种一棵树（两端都栽），共种202棵树，这条路长多少米？
【分析】路的两边从头到尾共种202棵，说明是两头都栽，先用总棵数除以2，求出一边植树的棵数，再减去1求出间隔数，然后用间隔数乘上间距5米，就是这条路的长度．
【解答】解：（202÷2﹣1）×5
＝100×5
＝500（米）
答：这条路长500米．
【点评】解决本题先用总棵数除以2，求出一边的棵数，再根据两端都栽的植树问题的数量关系：间隔数＝植树棵数﹣1进行求解．
【例3】如图，一个正方形水池，每个角各栽一棵树．现要把水池的面积扩大到原来的2倍，扩大后的水池还是正方形，并且4棵树都不能移动，仍在水池边上．怎么办？请在图中画出示意图．
【分析】让这四棵大树在扩大后的正方形水池每边的中点上，相当于以原来正方形的边长分别为四个等腰直角三角形的斜边．
【解答】解：可能，把这四个角上的树，变为四个边的中点，图如下：
【点评】关键是明确让这四棵大树在扩大后的正方形水池每边的中点上即可．
【例4】照如图这样，小海把9根短绳连在一起，要打 8 个结。
【分析】根据题意知道，打结的个数等于短绳的条数减1，由此得出答案。
【解答】解：9﹣1＝8（个）
答：需要打8个结，
故答案为：8。
【点评】此题主要考查了打结的个数与短绳的条数的关系，即打结的个数等于短绳的条数减1。
【例5】陈庄小学有一个长60米、宽40米的小操场，四个顶点都种有一棵树，长边上每隔10米种一棵，宽边上每隔8米种一棵．操场四周一共种树多少棵？
【分析】先用60除以10求出操场的一条长边栽树的棵数（只栽了一个顶点），再用40÷8求出操场的一条宽边栽树的棵数（也只栽了一个顶点），由此在其它的两边也这样栽数，即可求出操场四周一共种树的棵数．
【解答】解：（60÷10+40÷8）×2，
＝（6+5）×2，
＝11×2，
＝22（棵）；
答：操场四周一共种树22棵．
【点评】关键是根据操场是封闭的四边形，它是每一个间隔种一棵，由此只要求出每条边有几个间隔即可．
一．选择题（共8小题）
1．一根绳子长60米，剪了5次，剪出来的每段都一样长，共剪出（ ）段绳子。
A．6 B．8 C．10 D．9
2．每两棵树之间相距9米，那么从第一棵到第八棵一共有（ ）米。
A．72米 B．63米 C．81米
3．如图这样，把8根短绳连在一起，要打（ ）个结。
A．3 B．8 C．7
4．小区花园是一个长60米，宽40米的长方形，现在要在花园的四周栽树，四个角都要栽，每相邻两棵间隔5米．一共要栽（ ）棵．
A．20 B．36 C．40 D．44
5．小芳和小丽住在同一幢楼的同一个单元1楼和13楼，每相邻两层楼之间的台阶是18级。从小芳家到小丽家一共有（ ）级台阶。
A．144 B．198 C．216 D．234
6．在一条72米的长廊的一侧，每隔4米挂一个红灯笼，共挂了19个。现在要将每两个灯笼之间的间隔改为6米，共有（ ）个灯笼不要移动。
A．4 B．5 C．6 D．7
7．学校会议室的顶部是正方形，装修师傅要沿正方形一周安装顶灯。如果要求每个角均安装1盏灯，且每边安装6盏，在正方形的中间还要安装6盏灯，那么会议室顶部一共装了（ ）盏灯。
A．30 B．31 C．26 D．20
8．一根长12厘米的绳子，剪了3次，平均每段长（ ）厘米。
A．3 B．4 C．6
二．填空题（共10小题）
9．小刚家住在六楼，他从1楼到4楼一共走了48个台阶，他回到家一共要走 个台阶。
10．一根长绳拉直后，把它平均剪成3米一段的短绳，剪了6次，正好剪完。这根长绳原来一共长 米。
11．在一个圆形花台边，每隔4米种一棵树，共种了60棵。这个花台的周长是 米。
12．小明和爸爸同时上楼，爸爸上楼的速度是小明的2倍，当小明到达5楼时，爸爸到 楼。
13．在一条长40米道路两旁种树（两端都种），每隔5米一棵，一共种 棵。
14．一个长42米，宽28米的长方形花坛的四周以最大距离栽树（四个顶点都栽），一共栽了 棵树。
15．甲班10名同学排成一路纵队，相邻两人之间相距1米。这路纵队长 米。
16．奶奶从一楼到三楼用了3分钟，上到六楼用时 分钟。
17．每相邻两棵树之间距离都是5米。
× ＝
18．公路旁每两根电线杆之间的距离是400米，那么从第1根走到第6根需要走 米。
三．判断题（共5小题）
19．小刚爬一层楼需要20秒，他家在六楼，那么小刚从一楼回到家只需120秒。 （判断对错）
20．把24米长的绳子剪成每根3米长的跳绳，需要剪7次。 （判断对错）
21．在一条笔直的小道旁插了21面红旗（两端都插），每两面红旗的间隔是2m，这条小道全长为42m。 （判断对错）
22．建设大楼上的大钟3时敲3下，4秒钟敲完。6时敲6下，敲完需要10秒钟。 （判断对错）
23．广场上的大钟5点敲5下，12秒敲完，10点敲10下，27秒敲完。 （判断对错）
四．应用题（共7小题）
24．工人叔叔测量公路的长度时，先在起点立一根标杆，以后每隔50米立一根，已经立了8根，第一根和第八根标杆相距多少米？
25．一段公路，每隔2千米立一块标志牌，从起点到终点一共立了6块标志牌（两端都立有标志牌），这段公路全长多少千米？先画一画，再解决问题。
26．张师傅将一根圆木锯成8段，共用21分钟，那么张师傅锯4段所用的时间是锯成8段所用时间的几分之几？（注：每次锯的时间相等）
27．一条长80米的道路两旁，每隔5米有一盏路灯（首尾都有）。因工地夜间施工，需要把路灯的间隔改成每4米一盏，有多少盏路灯不需要移动？
28．一条绳子每隔15米剪一刀，剪了10刀，剪成的绳子每段长度都相同，这条绳子有多长？（画图分析）
29．爸爸把一根木头截成两段用了5分钟，如果把这根木头截成4段，需要几分钟？
30．沿着环形跑道的起点每隔相等的距离插上一面红旗，一共有20面。一个运动员起跑后，6秒到达第三面红旗处。如果速度保持不变，这个运动员一共要用多少秒才能跑完一圈回到第一面红旗处？
五．解答题（共3小题）
31．学校有一个长方形花池长12米，宽9米，如果每平方米栽21株花，这个花池一共能栽多少株花？
32．一根木料长12米，要把它平均分成6段．每锯下一段需要7分钟，锯完一共要用多少分钟？
33．广场上的大钟5时敲5下，8秒敲完，12时敲12下，需要多长时间？
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【分析】共剪了5次，剪成的段数比剪的次数多1，那么剪成了5+1＝6（段）。
【解答】解：5+1＝6（段）
答：共剪出6段绳子。
故选：A。
【点评】本题关键是知道：剪的段数＝剪的次数+1。
2．【分析】由题意，第一棵树到第八棵树一共有8﹣1＝7个间隔，用每两棵树之间的相隔9米乘7即得由第一棵树到第八棵树的距离；据此解答。
【解答】解：9×（8﹣1）
＝9×7
＝63（米）
答：从第一棵树到第八棵树有63米。
故选：B。
【点评】本题考查了植树问题，知识点是：间隔数＝棵数﹣1；知识链接（沿直线上栽）：栽树的棵数＝间隔数﹣1（两端都不栽），植树的棵数＝间隔数+1（两端都栽），植树的棵数＝间隔数（只栽一端）。
3．【分析】根据题意知道，打结的个数等于短绳的条数减1，由此得出答案。
【解答】解：8﹣1＝7（个）
答：要打7个结。
故选：C。
【点评】此题主要考查了打结的个数与短绳的条数的关系，即打结的个数等于短绳的条数减1。
4．【分析】根据长方形的周长公式：C＝（a+b）×2，求出它的周长，再除以它的间隔距离5米即可，据此解答。
【解答】解：花园的周长是：
（60+40）×2
＝100×2
＝200（米）
四周可以栽树：
200÷5＝40（棵）
答：一共要栽40棵。
故选：C。
【点评】在一个封闭图形里面植树，封闭图形的周长除以间隔距离就是植树棵数。
5．【分析】根据植树问题规律可知，从1楼到13楼，一共有13﹣1＝12层台阶，每层18级，用乘法计算台阶的级数即可。
【解答】解：（13﹣1）×18
＝12×18
＝216（级）
答：从小芳家到小丽家一共有216级台阶。
故选：C。
【点评】本题主要考查植树问题，关键是分清台阶层数和楼层数的关系做题。
6．【分析】不用移动的灯笼的米数应是4和6的公倍数，用72除以4和6的公倍数，再加上第一个灯笼不用移动，就是这一边不用移动的灯笼的数量。据此解答．
【解答】解：6和4的最小公倍数是：12
72÷12+1
＝6+1
＝7（个）
答：共有7个灯笼不要移动。
故选：D。
【点评】本题的关键是理解不用移动的灯笼的米数是4和6的公倍数，注意因首尾都挂，起始的一个灯笼也不用移动。
7．【分析】每个边上安装6盏灯，一共是4个边，所以是6×4＝24（盏），但是四个顶点的被计算了2次，所以再减去4就是四周一共要安装的盏数，最后再加上中间的6盏灯，即可求得。
【解答】解：6×4＝24（盏）
24﹣4＝20（盏）
20+6＝26（盏）
答：会议室顶部一共装了26盏灯。
故选：C。
【点评】解决本题要注意顶点被计算了2次，要减去顶点数。
8．【分析】根据植树问题公式可知，把一根绳子剪3次，可以剪成4段，用总长度除以剪成的段数，求每段长度即可。
【解答】解：12÷（3+1）
＝12÷4
＝3（厘米）
答：平均每段长3厘米。
故选：A。
【点评】本题主要考查植树问题，关键是弄清所剪次数和段数的关系做题。
二．填空题（共10小题）
9．【分析】根据植树问题公式可知，从1楼到4楼，需上4﹣1＝3（层）台阶，每层48÷3＝16（个）台阶，从1楼到6楼，需上6﹣1＝5（层）台阶，然后再乘上每层的台阶数。
【解答】解：48÷（4﹣1）
＝48÷3
＝16（个）
16×（6﹣1）
＝16×5
＝80（个）
答：他回到家一共要走80个台阶。
故答案为：80。
【点评】本题主要考查植树问题，关键分清楼层数和台阶层数的关系。
10．【分析】根据题意可知，剪了6次，实际剪出了6+1＝7（段），可用3乘7进行计算即可得到答案。
【解答】解：3×（6+1）
＝3×7
＝21（米）
答：这根长绳原来一共长21米。
故答案为：21。
【点评】本题关键是理解：剪的段数＝剪的次数+1这一知识点。
11．【分析】圆形是封闭图形，封闭图形的植树相当于植树问题中的一段种，另一端不种，棵数等于间隔数。全长＝间隔数×株距。
【解答】解：60×4＝240（米）
答：这个花台的周长是240米。
故答案为：240。
【点评】本题属于植树问题中的一端种，另一端不种。
12．【分析】小明到达5楼时，走了（5﹣1）层，爸爸上楼速度是小明的2倍，那么他走的层数也是小明的2倍，据此计算即可。
【解答】解：2×（5﹣1）+1
＝2×4+1
＝8+1
＝9（楼）
答：爸爸到9楼。
故答案为：9。
【点评】本题主要考查了植树问题，正确理解层数和楼数之间的关系是本题解题的关键。
13．【分析】利用植树问题公式：如果植树路线的两边与两端都植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，再乘2，即：棵数＝（段数+1）×2；根据植树棵数先求段数：40÷5＝8（段），然后求植树棵数：（8+1）×2计算即可。
【解答】解：（40÷5+1）×2
＝（8+1）×2
＝18（棵）
答：一共种树18棵。
故答案为：18。
【点评】本题主要考查植树问题，关键是分清段数和植树棵数的关系做题。
14．【分析】要想使树的间距最大，用42和28的最大公因数作间距即可。先计算长方形花坛的周长，然后根据植树问题公式：在封闭线路上植树，棵数与段数相等，即：棵数＝间隔数，计算一周可以栽多少棵数即可。
【解答】解：42和28的最大公因数是14，
（42+28）×2÷14
＝70×2÷14
＝140÷14
＝10（棵）
答：一共栽了10棵树。
故答案为：10。
【点评】本题主要考查植树问题，关键是分清植树棵树和间隔数的关系做题。
15．【分析】本题相当于植树问题中的“两端都种”的情况，此时间隔数＝棵树﹣1。再根据关系式：全长＝株距×间隔数，即可求得这路纵队的长度。
【解答】解：10﹣1＝9（个）
9×1＝9（米）
答：路纵队长9米。
故答案为：9。
【点评】解本题的关键在于数出这个纵队有几个间隔。
16．【分析】从一楼到三楼，走的楼梯间隔数是：3﹣1＝2（个），共用了3分钟，那么走一个楼梯间隔数用：3÷2＝1.5（分）；如果上到6楼，需要走的楼梯间隔数是：6﹣1＝5（个），要用：1.5×5＝7.5（分）；据此解答。
【解答】解：3﹣1＝2（个）
3÷2＝1.5（分）
6﹣1＝5（个）
1.5×5＝7.5（分）
答：上到六楼用时7.5分钟。
故答案为：7.5。
【点评】本题相当于植树问题中的“两端都种”的情况，间隔数＝棵树﹣1。
17．【分析】根据植树问题公式：如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，即：棵数＝间隔数+1。数出间隔数，进而求道路总长度即可。
【解答】解：8×5＝40（米）
答：一共长40米。
故答案为：8，5，40，（米）。
【点评】本题主要考查植树问题，关键是分清植树棵数与间隔数的关系做题。
18．【分析】从第1根走到第6根共有（6﹣1）个间隔，每个间隔的距离已知，求总距离，用乘法计算。
【解答】解：400×（6﹣1）
＝400×5
＝2000（米）
答：从第1根走到第6根需要走2000米。
故答案为：2000。
【点评】本题主要考查了植树问题，正确的计算间隔数是本题解题的关键。
三．判断题（共5小题）
19．【分析】因为每爬一层楼梯需要20秒，那么从一楼到六楼爬了（6﹣1）个楼梯间隔，由此用乘法列式解答即可。
【解答】解：20×（6﹣1）
＝20×5
＝100（秒）
即小刚从一楼回到家需要100秒，所以原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】关键是明白楼层间隔数＝楼层数﹣1，再根据基本的数量关系列式解答。
20．【分析】用绳子的长度除以每根的长度就是剪的根数，然后用根数减去1就是剪的次数。
【解答】解：24÷3＝8（根）
8﹣1＝7（次）
即，需要剪7次，所以原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】本题主要考查植树问题，关键利用植树问题公式计算，注意所剪根数与次数的关系。
21．【分析】两端都插，那么红旗的面数就比间隔数多1，先用红旗的面数减去1，求出间隔数，再用间距乘上间隔数，即可求出这条小道的长度，再与42米比较即可。
【解答】解：（21﹣1）×2
＝20×2
＝40（米）
所以，这条小道全长为40米，原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】本题考查了两端都栽的植树问题：间隔数＝植树的棵数﹣1。
22．【分析】一面大钟3时敲3下，需要4秒完成；要经历3﹣1＝2个间隔，那么每个间隔所经历的时间是：4÷2＝2秒；由此即可求得敲6下，即6﹣1＝5个间隔需要的时间。
【解答】解：4÷（3﹣1）
＝4÷2
＝2（秒）
（6﹣1）×2
＝5×2
＝10（秒）
即敲6下需要10秒，所以原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】抓住间隔数＝敲的次数﹣1求出敲响一次需要的时间；这是解决本题的关键。
23．【分析】根据题意，利用植树问题的解决方法，敲5下有5﹣1＝4（个）间隔，所以每个间隔时间是12÷4＝3（秒）；敲10下有10﹣1＝9（个）间隔，所以所用时间为：3×9＝27（秒），据此判断。
【解答】解：12÷（5﹣1）×（10﹣1）
＝12÷4×9
＝27（秒）
所以敲10下用27秒，原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】本题主要考查植树问题，关键分清所敲下数和间隔数的关系。
四．应用题（共7小题）
24．【分析】从第一根到第八根一共是8﹣1＝7（个）间隔，用每个间隔的长度乘上间隔数即可求出总长度，据此解答。
【解答】解：50×（8﹣1）
＝50×7
＝350（米）
答：第一根和第八根标杆相距350米。
【点评】解决本题关健是根据两端都栽的植树问题进行解答：间隔数＝植树棵数﹣1。
25．【分析】如图：，间隔数＝标志牌数﹣1，即可求出公路一旁的间隔数是6﹣1＝5（个），再乘每个间隔的长度2千米，就是这条公路的长度。
【解答】解：2×（6﹣1）
＝2×5
＝10（千米）
答：这段公路全长10千米。
【点评】此题属于两端都要栽的情况：抓住间隔数＝标志牌数﹣1即可解答。
26．【分析】锯成8段，那么需要锯7次，锯4段需要锯3次，每次锯的时间相等，所以，锯4段的时间是锯成8段所用时间的。
【解答】解：4﹣1＝3（次）
8﹣1＝7（次）
3÷7＝
答：张师傅锯4段所用的时间是锯成8段所用时间的。
【点评】本题关键是知道锯的次数比锯段数少1，然后再根据分数的意义求解。
27．【分析】本来是每隔5米有一盏路灯，现在是每4米一盏，则在4米和5米的公倍数的那棵就不用移动。注意这道题是两旁的路灯。
【解答】解：5米和4米的公倍数是20米，40米，60米，80米……
因为这段公路只有80米，所以不用移动的路灯是20米，40米，60米，80米，以及首盏路灯。
所以有4+1＝5（盏）
5×2＝10（盏）
答：有10盏路灯不需要移动。
【点评】本题相当于植树问题中的两端都种。解本题的关键在于找到4和5的公倍数。
28．【分析】一根绳子剪了1刀，会有（1+1）段，剪了2刀，会有（2+1）段；则剪了10刀，会有（10+1）段。已知一段是15米，所以绳子的长度是15×（10+1）米。
【解答】解：画图如下
15×（10+1）
＝15×11
＝165（米）
答：这条绳子有165米。
【点评】本题相当于植树问题中的两端不种。
29．【分析】截成两段只要锯一次，锯一次要5分钟；截成4段需要锯3次，需要3个5分钟。
【解答】解：5×（4﹣1）
＝5×3
＝15（分钟）
答：需要15分钟。
【点评】本题相当于植树问题中的两端都不种，棵树＝间隔数﹣1。本题锯的次数就相当于棵树。
30．【分析】根据植树问题规律可知，在沿着环形跑道的起点每隔相等的距离插上一面红旗，一共有20面，一共有20个间隔。从第一面旗到第三面旗一共是3﹣1＝2（个）间隔，求跑1个间隔的时间，再乘20即可。
【解答】解：6÷（3﹣1）×20
＝6÷2×20
＝60（秒）
答：这个运动员一共要用60秒才能跑完一圈回到第一面红旗处。
【点评】本题主要考查植树问题，关键是根据间隔数与红旗面数的关系做题。
五．解答题（共3小题）
31．【分析】首先根据长方形的面积公式：s＝ab，求出这个花池的面积，再乘每平方米栽花的棵数，由此列式解答．
【解答】解：12×9×21，
＝108×21，
＝2268（株），
答：这个花池一共能栽2268株花．
【点评】此题主要考查长方形的面积公式以及乘法的意义的计算应用．
32．【分析】根据题干，锯1次需要7分钟，锯成6段，需要锯6﹣1＝5次，由此利用乘法的意义，即可解答．
【解答】解：7×（6﹣1）
＝7×5
＝35（分钟）
答：锯完一共需要35分钟．
【点评】抓住“锯的次数＝锯出的段数﹣1”即可解答此类问题．
33．【分析】根据“大钟5时敲响5下，8秒敲完，”知道大钟敲了（5﹣1）个间隔用了8秒，由此求出一个间隔所用的时间；因为12时敲12下，即敲了（12﹣1）个间隔，再乘一个间隔所用的时间，就是敲12下所用的时间．
【解答】解：8÷（5﹣1）×（12﹣1），
＝8÷4×11，
＝2×11，
＝22（秒），
答：需要22秒，
【点评】关键是根据间隔数＝挂钟敲的下数﹣1与基本的数量关系解决问题．
人教版五年级数学上册暑假预习与检测衔接讲义
第7单元 数学广角--植树问题
一、不封闭栽树问题
1、一条路的一边两端都栽树=路长÷间隔+1；
已知间隔数，树的棵树，求路长。路长=间隔数×（树的棵树-1）
2、一条路的两边两端都栽树=（路长÷间隔+1）×2
3、一条路的一边两端不栽树=路长÷间隔-1
4、一条路的两边两端不栽树=（路长÷间隔-1）×2
5、锯木头时间问题：锯一段木头时间=总时间÷（段数-1）
二、封闭图形四周栽树问题
栽树棵树=周长÷间隔
三、鸡兔同笼问题(龟鹤问题、大船小船问题）
1、算术假设法1：假设几只都是兔子（都是脚多的兔子），先求鸡的只数=（总头数×4-总脚数）÷（4-2即一只兔的脚数减去一只鸡的脚数）
兔的只数=总头数-鸡的只数
算术假设法2：假设几只都是鸡（都是脚少的鸡），先求兔子的只数=（总脚数-总头数×2）÷（4-2即一只兔的脚数减去一只鸡的脚数）
鸡的只数=总头数-兔子的只数
2、方程法：设兔子有x只，则兔子脚有2x只。那么鸡有（总头数-x)只
根据“兔子脚+鸡脚=总脚数”列方程解答先求兔子只数，再算出鸡的只数。
即：4x+2×（总头数-x）=总脚数
四、从不同的角度观察物体，看到的形状可能是不同的
观察长方体或正方体时，从固定位置最多能看到三个面。（习惯上我们从左面、正面、上面看 ，把这三种视图统称三视图）
五、图形的运动：轴对称图形
1、沿一条直线对折后，两边完全重合的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。圆有无数条对称轴。正方形有4条对称轴。等边三角形有3条对称轴。长方形有2条对称轴。等腰三角形和等腰梯形有1条对称轴。
2、轴对称图形的特点：沿对称轴对折，两边完全重合。‚每一组对应点到对称轴距离度相等。对应点之间的连线与对称轴互相垂直。
3、要能根据对称轴画出对称图形的另一半。
六、数字编码
1、数不仅可以用来表示数量和顺序，还可以用来编码。
2、邮政编码由6位数字组成，前2位表示省；前3位表示邮区，前4位表示县市，最后2位表示投递局（大地基乡投递局）
3、身份证18位：第7至14位表示出生年月日 倒数第二位的数字表示性别，单数-男，双数-女
【例1】学校操场旁边栽了一行小树，从第一棵到最后一棵的距离是80米，原来每隔2米栽一棵树，现在小树长大了，改为每隔5米栽一棵树，如果两端不移动，中间有几棵树不用移动？
【分析】此题属于植树问题，两端不移动，要求中间有几棵树不用移动，只要求出在80以内2和5的公倍数即可解答，即是2和5的公倍数的米数是不动的．
【解答】解：80以内的2和5的公倍数有：10；20；30；40；50；60；70；
即10米、20米、30米、40米、50米、60米、70米处的7棵树不用移动；
答：中间有7棵树不用移动．
【点评】本题主要考查求在一定范围内的两个数的公倍数，注意分析题意判定是求公倍数．
【例2】一条小道两旁，每隔5米种一棵树（两端都栽），共种202棵树，这条路长多少米？
【分析】路的两边从头到尾共种202棵，说明是两头都栽，先用总棵数除以2，求出一边植树的棵数，再减去1求出间隔数，然后用间隔数乘上间距5米，就是这条路的长度．
【解答】解：（202÷2﹣1）×5
＝100×5
＝500（米）
答：这条路长500米．
【点评】解决本题先用总棵数除以2，求出一边的棵数，再根据两端都栽的植树问题的数量关系：间隔数＝植树棵数﹣1进行求解．
【例3】如图，一个正方形水池，每个角各栽一棵树．现要把水池的面积扩大到原来的2倍，扩大后的水池还是正方形，并且4棵树都不能移动，仍在水池边上．怎么办？请在图中画出示意图．
【分析】让这四棵大树在扩大后的正方形水池每边的中点上，相当于以原来正方形的边长分别为四个等腰直角三角形的斜边．
【解答】解：可能，把这四个角上的树，变为四个边的中点，图如下：
【点评】关键是明确让这四棵大树在扩大后的正方形水池每边的中点上即可．
【例4】照如图这样，小海把9根短绳连在一起，要打 8 个结。
【分析】根据题意知道，打结的个数等于短绳的条数减1，由此得出答案。
【解答】解：9﹣1＝8（个）
答：需要打8个结，
故答案为：8。
【点评】此题主要考查了打结的个数与短绳的条数的关系，即打结的个数等于短绳的条数减1。
【例5】陈庄小学有一个长60米、宽40米的小操场，四个顶点都种有一棵树，长边上每隔10米种一棵，宽边上每隔8米种一棵．操场四周一共种树多少棵？
【分析】先用60除以10求出操场的一条长边栽树的棵数（只栽了一个顶点），再用40÷8求出操场的一条宽边栽树的棵数（也只栽了一个顶点），由此在其它的两边也这样栽数，即可求出操场四周一共种树的棵数．
【解答】解：（60÷10+40÷8）×2，
＝（6+5）×2，
＝11×2，
＝22（棵）；
答：操场四周一共种树22棵．
【点评】关键是根据操场是封闭的四边形，它是每一个间隔种一棵，由此只要求出每条边有几个间隔即可．
一．选择题（共8小题）
1．一根绳子长60米，剪了5次，剪出来的每段都一样长，共剪出（ ）段绳子。
A．6 B．8 C．10 D．9
2．每两棵树之间相距9米，那么从第一棵到第八棵一共有（ ）米。
A．72米 B．63米 C．81米
3．如图这样，把8根短绳连在一起，要打（ ）个结。
A．3 B．8 C．7
4．小区花园是一个长60米，宽40米的长方形，现在要在花园的四周栽树，四个角都要栽，每相邻两棵间隔5米．一共要栽（ ）棵．
A．20 B．36 C．40 D．44
5．小芳和小丽住在同一幢楼的同一个单元1楼和13楼，每相邻两层楼之间的台阶是18级。从小芳家到小丽家一共有（ ）级台阶。
A．144 B．198 C．216 D．234
6．在一条72米的长廊的一侧，每隔4米挂一个红灯笼，共挂了19个。现在要将每两个灯笼之间的间隔改为6米，共有（ ）个灯笼不要移动。
A．4 B．5 C．6 D．7
7．学校会议室的顶部是正方形，装修师傅要沿正方形一周安装顶灯。如果要求每个角均安装1盏灯，且每边安装6盏，在正方形的中间还要安装6盏灯，那么会议室顶部一共装了（ ）盏灯。
A．30 B．31 C．26 D．20
8．一根长12厘米的绳子，剪了3次，平均每段长（ ）厘米。
A．3 B．4 C．6
二．填空题（共10小题）
9．小刚家住在六楼，他从1楼到4楼一共走了48个台阶，他回到家一共要走 个台阶。
10．一根长绳拉直后，把它平均剪成3米一段的短绳，剪了6次，正好剪完。这根长绳原来一共长 米。
11．在一个圆形花台边，每隔4米种一棵树，共种了60棵。这个花台的周长是 米。
12．小明和爸爸同时上楼，爸爸上楼的速度是小明的2倍，当小明到达5楼时，爸爸到 楼。
13．在一条长40米道路两旁种树（两端都种），每隔5米一棵，一共种 棵。
14．一个长42米，宽28米的长方形花坛的四周以最大距离栽树（四个顶点都栽），一共栽了 棵树。
15．甲班10名同学排成一路纵队，相邻两人之间相距1米。这路纵队长 米。
16．奶奶从一楼到三楼用了3分钟，上到六楼用时 分钟。
17．每相邻两棵树之间距离都是5米。
× ＝
18．公路旁每两根电线杆之间的距离是400米，那么从第1根走到第6根需要走 米。
三．判断题（共5小题）
19．小刚爬一层楼需要20秒，他家在六楼，那么小刚从一楼回到家只需120秒。 （判断对错）
20．把24米长的绳子剪成每根3米长的跳绳，需要剪7次。 （判断对错）
21．在一条笔直的小道旁插了21面红旗（两端都插），每两面红旗的间隔是2m，这条小道全长为42m。 （判断对错）
22．建设大楼上的大钟3时敲3下，4秒钟敲完。6时敲6下，敲完需要10秒钟。 （判断对错）
23．广场上的大钟5点敲5下，12秒敲完，10点敲10下，27秒敲完。 （判断对错）
四．应用题（共7小题）
24．工人叔叔测量公路的长度时，先在起点立一根标杆，以后每隔50米立一根，已经立了8根，第一根和第八根标杆相距多少米？
25．一段公路，每隔2千米立一块标志牌，从起点到终点一共立了6块标志牌（两端都立有标志牌），这段公路全长多少千米？先画一画，再解决问题。
26．张师傅将一根圆木锯成8段，共用21分钟，那么张师傅锯4段所用的时间是锯成8段所用时间的几分之几？（注：每次锯的时间相等）
27．一条长80米的道路两旁，每隔5米有一盏路灯（首尾都有）。因工地夜间施工，需要把路灯的间隔改成每4米一盏，有多少盏路灯不需要移动？
28．一条绳子每隔15米剪一刀，剪了10刀，剪成的绳子每段长度都相同，这条绳子有多长？（画图分析）
29．爸爸把一根木头截成两段用了5分钟，如果把这根木头截成4段，需要几分钟？
30．沿着环形跑道的起点每隔相等的距离插上一面红旗，一共有20面。一个运动员起跑后，6秒到达第三面红旗处。如果速度保持不变，这个运动员一共要用多少秒才能跑完一圈回到第一面红旗处？
五．解答题（共3小题）
31．学校有一个长方形花池长12米，宽9米，如果每平方米栽21株花，这个花池一共能栽多少株花？
32．一根木料长12米，要把它平均分成6段．每锯下一段需要7分钟，锯完一共要用多少分钟？
33．广场上的大钟5时敲5下，8秒敲完，12时敲12下，需要多长时间？
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【分析】共剪了5次，剪成的段数比剪的次数多1，那么剪成了5+1＝6（段）。
【解答】解：5+1＝6（段）
答：共剪出6段绳子。
故选：A。
【点评】本题关键是知道：剪的段数＝剪的次数+1。
2．【分析】由题意，第一棵树到第八棵树一共有8﹣1＝7个间隔，用每两棵树之间的相隔9米乘7即得由第一棵树到第八棵树的距离；据此解答。
【解答】解：9×（8﹣1）
＝9×7
＝63（米）
答：从第一棵树到第八棵树有63米。
故选：B。
【点评】本题考查了植树问题，知识点是：间隔数＝棵数﹣1；知识链接（沿直线上栽）：栽树的棵数＝间隔数﹣1（两端都不栽），植树的棵数＝间隔数+1（两端都栽），植树的棵数＝间隔数（只栽一端）。
3．【分析】根据题意知道，打结的个数等于短绳的条数减1，由此得出答案。
【解答】解：8﹣1＝7（个）
答：要打7个结。
故选：C。
【点评】此题主要考查了打结的个数与短绳的条数的关系，即打结的个数等于短绳的条数减1。
4．【分析】根据长方形的周长公式：C＝（a+b）×2，求出它的周长，再除以它的间隔距离5米即可，据此解答。
【解答】解：花园的周长是：
（60+40）×2
＝100×2
＝200（米）
四周可以栽树：
200÷5＝40（棵）
答：一共要栽40棵。
故选：C。
【点评】在一个封闭图形里面植树，封闭图形的周长除以间隔距离就是植树棵数。
5．【分析】根据植树问题规律可知，从1楼到13楼，一共有13﹣1＝12层台阶，每层18级，用乘法计算台阶的级数即可。
【解答】解：（13﹣1）×18
＝12×18
＝216（级）
答：从小芳家到小丽家一共有216级台阶。
故选：C。
【点评】本题主要考查植树问题，关键是分清台阶层数和楼层数的关系做题。
6．【分析】不用移动的灯笼的米数应是4和6的公倍数，用72除以4和6的公倍数，再加上第一个灯笼不用移动，就是这一边不用移动的灯笼的数量。据此解答．
【解答】解：6和4的最小公倍数是：12
72÷12+1
＝6+1
＝7（个）
答：共有7个灯笼不要移动。
故选：D。
【点评】本题的关键是理解不用移动的灯笼的米数是4和6的公倍数，注意因首尾都挂，起始的一个灯笼也不用移动。
7．【分析】每个边上安装6盏灯，一共是4个边，所以是6×4＝24（盏），但是四个顶点的被计算了2次，所以再减去4就是四周一共要安装的盏数，最后再加上中间的6盏灯，即可求得。
【解答】解：6×4＝24（盏）
24﹣4＝20（盏）
20+6＝26（盏）
答：会议室顶部一共装了26盏灯。
故选：C。
【点评】解决本题要注意顶点被计算了2次，要减去顶点数。
8．【分析】根据植树问题公式可知，把一根绳子剪3次，可以剪成4段，用总长度除以剪成的段数，求每段长度即可。
【解答】解：12÷（3+1）
＝12÷4
＝3（厘米）
答：平均每段长3厘米。
故选：A。
【点评】本题主要考查植树问题，关键是弄清所剪次数和段数的关系做题。
二．填空题（共10小题）
9．【分析】根据植树问题公式可知，从1楼到4楼，需上4﹣1＝3（层）台阶，每层48÷3＝16（个）台阶，从1楼到6楼，需上6﹣1＝5（层）台阶，然后再乘上每层的台阶数。
【解答】解：48÷（4﹣1）
＝48÷3
＝16（个）
16×（6﹣1）
＝16×5
＝80（个）
答：他回到家一共要走80个台阶。
故答案为：80。
【点评】本题主要考查植树问题，关键分清楼层数和台阶层数的关系。
10．【分析】根据题意可知，剪了6次，实际剪出了6+1＝7（段），可用3乘7进行计算即可得到答案。
【解答】解：3×（6+1）
＝3×7
＝21（米）
答：这根长绳原来一共长21米。
故答案为：21。
【点评】本题关键是理解：剪的段数＝剪的次数+1这一知识点。
11．【分析】圆形是封闭图形，封闭图形的植树相当于植树问题中的一段种，另一端不种，棵数等于间隔数。全长＝间隔数×株距。
【解答】解：60×4＝240（米）
答：这个花台的周长是240米。
故答案为：240。
【点评】本题属于植树问题中的一端种，另一端不种。
12．【分析】小明到达5楼时，走了（5﹣1）层，爸爸上楼速度是小明的2倍，那么他走的层数也是小明的2倍，据此计算即可。
【解答】解：2×（5﹣1）+1
＝2×4+1
＝8+1
＝9（楼）
答：爸爸到9楼。
故答案为：9。
【点评】本题主要考查了植树问题，正确理解层数和楼数之间的关系是本题解题的关键。
13．【分析】利用植树问题公式：如果植树路线的两边与两端都植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，再乘2，即：棵数＝（段数+1）×2；根据植树棵数先求段数：40÷5＝8（段），然后求植树棵数：（8+1）×2计算即可。
【解答】解：（40÷5+1）×2
＝（8+1）×2
＝18（棵）
答：一共种树18棵。
故答案为：18。
【点评】本题主要考查植树问题，关键是分清段数和植树棵数的关系做题。
14．【分析】要想使树的间距最大，用42和28的最大公因数作间距即可。先计算长方形花坛的周长，然后根据植树问题公式：在封闭线路上植树，棵数与段数相等，即：棵数＝间隔数，计算一周可以栽多少棵数即可。
【解答】解：42和28的最大公因数是14，
（42+28）×2÷14
＝70×2÷14
＝140÷14
＝10（棵）
答：一共栽了10棵树。
故答案为：10。
【点评】本题主要考查植树问题，关键是分清植树棵树和间隔数的关系做题。
15．【分析】本题相当于植树问题中的“两端都种”的情况，此时间隔数＝棵树﹣1。再根据关系式：全长＝株距×间隔数，即可求得这路纵队的长度。
【解答】解：10﹣1＝9（个）
9×1＝9（米）
答：路纵队长9米。
故答案为：9。
【点评】解本题的关键在于数出这个纵队有几个间隔。
16．【分析】从一楼到三楼，走的楼梯间隔数是：3﹣1＝2（个），共用了3分钟，那么走一个楼梯间隔数用：3÷2＝1.5（分）；如果上到6楼，需要走的楼梯间隔数是：6﹣1＝5（个），要用：1.5×5＝7.5（分）；据此解答。
【解答】解：3﹣1＝2（个）
3÷2＝1.5（分）
6﹣1＝5（个）
1.5×5＝7.5（分）
答：上到六楼用时7.5分钟。
故答案为：7.5。
【点评】本题相当于植树问题中的“两端都种”的情况，间隔数＝棵树﹣1。
17．【分析】根据植树问题公式：如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，即：棵数＝间隔数+1。数出间隔数，进而求道路总长度即可。
【解答】解：8×5＝40（米）
答：一共长40米。
故答案为：8，5，40，（米）。
【点评】本题主要考查植树问题，关键是分清植树棵数与间隔数的关系做题。
18．【分析】从第1根走到第6根共有（6﹣1）个间隔，每个间隔的距离已知，求总距离，用乘法计算。
【解答】解：400×（6﹣1）
＝400×5
＝2000（米）
答：从第1根走到第6根需要走2000米。
故答案为：2000。
【点评】本题主要考查了植树问题，正确的计算间隔数是本题解题的关键。
三．判断题（共5小题）
19．【分析】因为每爬一层楼梯需要20秒，那么从一楼到六楼爬了（6﹣1）个楼梯间隔，由此用乘法列式解答即可。
【解答】解：20×（6﹣1）
＝20×5
＝100（秒）
即小刚从一楼回到家需要100秒，所以原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】关键是明白楼层间隔数＝楼层数﹣1，再根据基本的数量关系列式解答。
20．【分析】用绳子的长度除以每根的长度就是剪的根数，然后用根数减去1就是剪的次数。
【解答】解：24÷3＝8（根）
8﹣1＝7（次）
即，需要剪7次，所以原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】本题主要考查植树问题，关键利用植树问题公式计算，注意所剪根数与次数的关系。
21．【分析】两端都插，那么红旗的面数就比间隔数多1，先用红旗的面数减去1，求出间隔数，再用间距乘上间隔数，即可求出这条小道的长度，再与42米比较即可。
【解答】解：（21﹣1）×2
＝20×2
＝40（米）
所以，这条小道全长为40米，原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】本题考查了两端都栽的植树问题：间隔数＝植树的棵数﹣1。
22．【分析】一面大钟3时敲3下，需要4秒完成；要经历3﹣1＝2个间隔，那么每个间隔所经历的时间是：4÷2＝2秒；由此即可求得敲6下，即6﹣1＝5个间隔需要的时间。
【解答】解：4÷（3﹣1）
＝4÷2
＝2（秒）
（6﹣1）×2
＝5×2
＝10（秒）
即敲6下需要10秒，所以原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】抓住间隔数＝敲的次数﹣1求出敲响一次需要的时间；这是解决本题的关键。
23．【分析】根据题意，利用植树问题的解决方法，敲5下有5﹣1＝4（个）间隔，所以每个间隔时间是12÷4＝3（秒）；敲10下有10﹣1＝9（个）间隔，所以所用时间为：3×9＝27（秒），据此判断。
【解答】解：12÷（5﹣1）×（10﹣1）
＝12÷4×9
＝27（秒）
所以敲10下用27秒，原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】本题主要考查植树问题，关键分清所敲下数和间隔数的关系。
四．应用题（共7小题）
24．【分析】从第一根到第八根一共是8﹣1＝7（个）间隔，用每个间隔的长度乘上间隔数即可求出总长度，据此解答。
【解答】解：50×（8﹣1）
＝50×7
＝350（米）
答：第一根和第八根标杆相距350米。
【点评】解决本题关健是根据两端都栽的植树问题进行解答：间隔数＝植树棵数﹣1。
25．【分析】如图：，间隔数＝标志牌数﹣1，即可求出公路一旁的间隔数是6﹣1＝5（个），再乘每个间隔的长度2千米，就是这条公路的长度。
【解答】解：2×（6﹣1）
＝2×5
＝10（千米）
答：这段公路全长10千米。
【点评】此题属于两端都要栽的情况：抓住间隔数＝标志牌数﹣1即可解答。
26．【分析】锯成8段，那么需要锯7次，锯4段需要锯3次，每次锯的时间相等，所以，锯4段的时间是锯成8段所用时间的。
【解答】解：4﹣1＝3（次）
8﹣1＝7（次）
3÷7＝
答：张师傅锯4段所用的时间是锯成8段所用时间的。
【点评】本题关键是知道锯的次数比锯段数少1，然后再根据分数的意义求解。
27．【分析】本来是每隔5米有一盏路灯，现在是每4米一盏，则在4米和5米的公倍数的那棵就不用移动。注意这道题是两旁的路灯。
【解答】解：5米和4米的公倍数是20米，40米，60米，80米……
因为这段公路只有80米，所以不用移动的路灯是20米，40米，60米，80米，以及首盏路灯。
所以有4+1＝5（盏）
5×2＝10（盏）
答：有10盏路灯不需要移动。
【点评】本题相当于植树问题中的两端都种。解本题的关键在于找到4和5的公倍数。
28．【分析】一根绳子剪了1刀，会有（1+1）段，剪了2刀，会有（2+1）段；则剪了10刀，会有（10+1）段。已知一段是15米，所以绳子的长度是15×（10+1）米。
【解答】解：画图如下
15×（10+1）
＝15×11
＝165（米）
答：这条绳子有165米。
【点评】本题相当于植树问题中的两端不种。
29．【分析】截成两段只要锯一次，锯一次要5分钟；截成4段需要锯3次，需要3个5分钟。
【解答】解：5×（4﹣1）
＝5×3
＝15（分钟）
答：需要15分钟。
【点评】本题相当于植树问题中的两端都不种，棵树＝间隔数﹣1。本题锯的次数就相当于棵树。
30．【分析】根据植树问题规律可知，在沿着环形跑道的起点每隔相等的距离插上一面红旗，一共有20面，一共有20个间隔。从第一面旗到第三面旗一共是3﹣1＝2（个）间隔，求跑1个间隔的时间，再乘20即可。
【解答】解：6÷（3﹣1）×20
＝6÷2×20
＝60（秒）
答：这个运动员一共要用60秒才能跑完一圈回到第一面红旗处。
【点评】本题主要考查植树问题，关键是根据间隔数与红旗面数的关系做题。
五．解答题（共3小题）
31．【分析】首先根据长方形的面积公式：s＝ab，求出这个花池的面积，再乘每平方米栽花的棵数，由此列式解答．
【解答】解：12×9×21，
＝108×21，
＝2268（株），
答：这个花池一共能栽2268株花．
【点评】此题主要考查长方形的面积公式以及乘法的意义的计算应用．
32．【分析】根据题干，锯1次需要7分钟，锯成6段，需要锯6﹣1＝5次，由此利用乘法的意义，即可解答．
【解答】解：7×（6﹣1）
＝7×5
＝35（分钟）
答：锯完一共需要35分钟．
【点评】抓住“锯的次数＝锯出的段数﹣1”即可解答此类问题．
33．【分析】根据“大钟5时敲响5下，8秒敲完，”知道大钟敲了（5﹣1）个间隔用了8秒，由此求出一个间隔所用的时间；因为12时敲12下，即敲了（12﹣1）个间隔，再乘一个间隔所用的时间，就是敲12下所用的时间．
【解答】解：8÷（5﹣1）×（12﹣1），
＝8÷4×11，
＝2×11，
＝22（秒），
答：需要22秒，
【点评】关键是根据间隔数＝挂钟敲的下数﹣1与基本的数量关系解决问题．
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