【暑假提升】沪教版数学高一暑假-第10讲《幂、指数与对数》同步讲学案

第十讲  幂、指数与对数

【教学目标】

1. 掌握有理数指数幂的定义和运算性质，掌握实数指数幂的定义和运算性质，并会简单证明；

2. 经历由指数得到对数的过程，理解对数的概念；

3. 能熟练利用初中学过的指数运算公式解决实际的计算问题，对数的运算公式熟练掌握；

4. 熟练地进行对数式与指数式的互换，掌握对数的运算性质．

一、应知应会

【难度系数：★   参考时间：5 min】

1. 根式

（1）根式的概念

若，则叫做的次方根，其中且. 式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数.

（2）的次方根

2. 有理数指数幂

指数幂的运算

指数幂的运算规律

（1）有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算.

（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数.

（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数.

（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答.

二、知识梳理

【难度系数：★★   参考时间：15 min】

（一）指数幂的拓展

对任意给定的正数及实数，前述的指数幂的三个运算性质仍然成立，即有

对任意给定的正数及实数，成立

，

，

.

我们不加证明地给出

定理  当，，恒成立.

此定理称为幂的基本不等式.

（二）对数

1．对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：，其中叫做对数的底数，叫做真数.

【注意】①是否是所有的实数都有对数呢？负数和零没有对数，即.  

②底数的限制：且.

2．指数与对数的互化

幂底数  ←→  对数底数

指数   ←→   对数

幂   ←→   真数

3．对数的形式

①常用对数：以10为底的对数，简记为.  

②自然对数：以无理数=2. 71828…为底的对数，简记为.  

③一般对数：.  

4．对数运算

（1）基本性质

① 0和负数没有对数，即；          ② 1的对数是0，即；

③底数的对数等于1，即；        ④对数恒等式：.

（2）运算法则

如果，则

①；          ②；

③（）；        ④；             ⑤.

5．换底公式

若，且，且，，则.

【两个常用推论】

（1）           

（2）（且）

三、典型例题

【难度系数：★★★   参考时间：30 min】

例1．用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中，）：

（1）；  （2）；

【答案】（1）；                          （2）；

（3）； （4）.

（3）AB；                                 （4）

例2．求下列各式中的值：

（1）； （2）；    （3）；   （4）.

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）

例3．求下列各式的值：

（1）； （2）； （3）.

【答案】（1）由，得；

（2）由，得；

（3）.

例4．判断下列各式是否成立，如果成立，请给出证明；若不成立，请给出反例. （且；；）

（1）；     （2）；

（3）；    （4）.

【答案】（1）不成立，取，；   （2）不成立，取，；

（3）不成立，取，；         （4）不成立，取，.

例5．求下列各式的值：

（1）；  （2）；

（3）；  （4）；

（5）； （6）.

【答案】（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

例6．已知，（且），用含有的代数式表示.

【答案】

【提示】，

设，，则

例7．（1）设，试用含有的代数式表示；

（2）设，，试用、表示；

（3）设，，试用、表示.

【答案】（1）

（2），

（3），

例8．设均为正实数，且，求的最大值.

【答案】1                              【解析】，

，当且仅当即时取等

【对数函数单调性（暂时超纲）】，故的最大值为1

例9．已知方程的两个实根分别为、，求的值.

【答案】      【提示】设，则方程的两根为、，

由韦达定理，得

例10．设，求证：. 【提示】指数变对数+换底公式

A组  双基过关

【难度系数：★★   参考时间：20 min】

1. 化简：________.  

【答案】

2. 设，则________.  

【答案】

3. 若，，则________.  

【答案】77

4. 若，则________.  

【答案】2

5. 若，则用含有的代数式表示________.  

【答案】

6. 设且，，若，则________.  

【答案】

7. 若，则的结果是……………………………………………………（  C  ）

A．； B．；     

C．1； D．.

8. 设，，则……………………………………………………………（  B  ）

A．； B．；      

C．；          D．.

9. 设、是方程的两个实根，则的值是………………………………（  A  ）

A．2； B．3；      

C．4； D．以上均不对.

10. 设，若，则………………………………………………………（  C  ）

A．2；               B．1；              

C．0；        D．.

B组  巩固提高

【难度系数：★★★   参考时间：20 min】

1. 若，则的值是________.

【答案】4

2. 如果，那么________.

【答案】10     【提示】

3. 若，且，则的值是________.

【答案】

4. 方程的解为________.

【答案】0或1

【提示】设

5. 若正实数、、均不为1，满足，且，则的值为________.

【答案】1

6. 已知，. 用含有的代数式表示.

【答案】

7. 设是方程的两根，求的值.

【答案】    

【提示】韦达定理，，

8. 已知关于x的不等式，当不等式解集为时，求实数的值．

【答案】

【提示】设2，3是方程的两个根

C组  拓展延伸

【难度系数：★★★★   参考时间：30 min】

1. 若，则的值为………………………………………………（ B ）

A.  B. 4 

C. 1 D. 4或1

2. 若，，，且，，则等于………………（ D ）

A.  B.

C.  D.

3. 已知，求的值.

【答案】

【解析】由，

去分母可得，

所以，所以.

4. 设实数，，求的最小值.

【答案】

【提示】，，当且仅当，取等

5. 已知、是方程的两个实根，求的值.

【答案】12

【提示】设两根为和

D组  综合训练

【难度系数：★★★    参考时间：30 min】

1. 计算：_____. 【答案】 【提示】

2. 若有意义，则的取值范围为……………………………………………………………（  D  ）

A．； B．；      C．；         D．.

3. 设且，则……………………………………………………（  A  ）

A．      B．        C．；   D．.

4. 设且，，若，则……………………………………………（  D  ）

A．6； B．；       C．；           D．.

5. 设，. 用含有的代数式表示.

【答案】

6. 已知的三边长分别是，且满足，. 判断的形状，并说明理由.

【答案】直角三角形

【提示】，

7. 已知，求下列各式的值：

（1）；    （2）；    （3）.

【答案】（1）8；     （2）3；          （3）

【解析】（1）原式

（2），，

（3）

，，