4初中数学.一元二次方程整数根问题及应用.第04讲

板块一：一元二次方程的整数根问题

☞有理数根问题

方程（，、、均为有理数）的根为有理数的条件是：为有理数

【例1】         已知关于的一元二次方程有有理根，求的值。

【解析】略

【答案】∵原方程的根为有理根

所以为完全平方式，因此，整理得

解得或

【巩固】设是不为零的整数，关于的二次方程有有理根，求的值．

【解析】一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数．令

，

其中是非负整数，于是，所以，

由于，并且是偶数，

所以与同奇偶，所以

，或．

所以，或(舍去)．　

所以，这时方程的两个根为，．

点评：一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是完全平方数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决．

【答案】

☞整数根问题

【例2】         已知方程的根都是整数，求正整数的值；

【解析】略

【答案】根据题意得，

∵原方程的根均为整数，且为正整数

∴或或

【巩固】已知，且关于的二次方程有两个整数根，求整数．

【解析】由原方程由整数解可知，必然是一个完全平方数．

又可知，，又为奇数，故．

此时原方程的两个实数根为：，不妨设，则，

故．满足为完全平方数只是条件之一，另外一个条件也必须同时满足，要引起注意．

【答案】

【例3】         已知方程(是非负整数)至少有一个整数根，那么        ．

【解析】∵，∴由公式法可得，．

即．

【答案】、、

【例4】         当是什么整数时，关于的一元二次方程与的根都是整数．

【解析】由题意可知，方程的判别式

        方程的判别式为

        故，又为整数，，故或

        当时，题干中的两个方程分别为、，满足题意；

        当时，题干中的两个方程分别为、，不合题意．

        故．也可通过方程是否有整数根的条件来判断出，此时两个判别式都要是完全平方数．

【答案】

【巩固】为何值时，方程 和有相同的整数根？并且求出它们的整数根？

【解析】两式相减，整理得，

        当时，，代入第一个方程，得

        解得，

当时，两方程无整数根．

        ∴，相同的整数根是2

【答案】，相同的整数根是2

【例5】         若为正整数，且关于的方程有两个相异正整数根，求的值．

【解析】原方程变形、因式分解为，

．

即，．

由为正整数得；由为正整数得．

所以使得，同时为正整数，但当时，，与题目不符，所以，只有 为所求．

【答案】

【例6】         已知关于的方程的两根都是整数，求的值．

【解析】本题的难点在于并不是整数，如果在采用求根公式，然后讨论是否为完全平方数，难度不小，因此本题采用韦达定理来求解

【答案】设方程的两个根为、

根据题意得，将②代入①，整理得

∴

∵、均为整数  ∴的值为或

当时，，，

当时，，，

当时，，，

当时，，，

综上所述，或

【例7】         求方程的所有正整数解．

【解析】原方程可化为关于的一元二次方程．

由于为实数，则判别式不小于，即．

化简得，解得．

由于是正整数，则只能取．分别将代入原方程，

得原方程的两组正整数解为，．

【答案】，

板块二：一元二次方程的应用

☞增长率问题

【例8】         某校去年对实验器材的投资为万元，预计今明两年的投资总额为万元，求该校这两年在实验器材投资上的平均增长率是多少？

【解析】注意“累计”等名词

【答案】设平均增长率为，根据题意得

整理得，解这个方程得：，（舍）

答：该校这两年在实验器材投资上的平均增长率是

【巩固】某个体户以元资金经商，在第一年中获得一定的利润，已知这元资金加上第一年的利润在第二年共获利润元，而且第二年的利润率比第一年多，则第一年的利润是多少元？

【解析】略

【答案】设第一年的利润为元，根据题意得

解得，（舍）

答：第一年的利润为元

【巩固】某公司成立年以来，积极向国家上交利税，由第一年的万元增加到万元，则平均每年增长的百分数是         

【解析】略

【答案】设平均每年增长的百分数是

根据题意得：

解得或（舍）

∴平均每年的增长的百分数是

【巩固】某商场年的营业额比年上升，年比年又上升，而年和年连续两年比上一年降低，那么年的营业额比年的营业额（   ）

A.降低了          B. 没有变化         C.上升了    D.降低了

【解析】注意题目要求，还有注意是比较“年的营业额与年的营业额”

【答案】设年的营业额为元，则年的营业额为元，年的营业额元，所以年的营业额为

因此年的营业额比年的营业额降低了

所以选择

【巩固】北京市政府为了迎接年奥运会，决定改善城市面貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加，则这两年平均每年绿地面积的增长率是（    ）

A.          B.           C.          D.

【解析】略

【答案】设绿地面积的增长率是，原有绿地面积为，根据题意得

解得或（舍）

则平均增长率为

∴选

☞商品利润问题

【例9】         某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以销售出件，每件盈利元，为扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价元，商场平均每天多售出件，若商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降低多少元？

【解析】略

【答案】解：设每件衬衫降价元，则每件所获得的利润为元，但每天可多售件，每天可卖件，根据题意得，

方程化简整理得

解得，

∵要尽快减少库存，∴

答：若商场每天要盈利元，每件应降价元

【巩固】吉安国光商场在销售中发现：某品牌衬衫平均每天可售出件，每件赢利元．为了迎接“十•一”黄金周，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加赢利，减少库存．经市场调查发现：如果每件衬衫降价元，那么平均每天就可多售出件．要想平均每天销售这种衬衫赢利元，那么每件衬衫应降价多少元？

【解析】本题可设每件衬衫应降价元，则每件赢利元，平均每天可售出件，根据每件的盈利×销售的件数=衬衫的盈利，据此即可可列出方程，求出答案．

【答案】设每件衬衫应降价元，

根据题意得

整理得

解得，

∵要尽快减少库存

∴

答：每件衬衫应降价元

【巩固】某商店以元购进某种盒装茶叶，第一个月按进价增加作为售价，售出盒；第二个月每盒以低于进价元作为售价，售完余下的茶叶，在整个买卖过程中盈利元，求每盒茶叶的进价

【解析】略

【答案】设每盒进价元，依题意可列下列方程：

整理得，解得、

经检验、都是原方程的解，但进价不能为负数，所以只取

答：每盒茶叶进价为元

【例10】     商场将每件进价为元的某种商品原来按每件元出售，一天可售出件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低元，其销量可增加件．

⑴问商场经营该商品原来一天可获利润多少元？

⑵若商场经营该商品一天要获利润元，则每件商品售价应为多少元？

【解析】略

【答案】⑴若商店经营该商品不降价，则一天可获利润（元）．

⑵设后来该商品每件降价元，依题意，得

整理得

解得，

当时，售价为元

当时，售价为元

答：商店经营该商品一天要获利润元时，每件商品应售价为元或元

【巩固】西瓜经营户以元/千克的价格购进一批小型西瓜，以元/千克的价格出售，每天可售出千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价元/千克，每天可多售出千克．另外，每天的房租等固定成本共元．该经营户要想每天盈利元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？

【解析】设应将每千克小型西瓜的售价降低元．那么每千克的利润为：，由于这种小型西瓜每降价元/千克，每天可多售出千克．所以降价元，则每天售出数量为：千克．

本题的等量关系为：每千克的利润×每天售出数量固定成本=．

【答案】设应将每千克小型西瓜的售价降低元．

根据题意，得

原式可化为：

解这个方程，得，

答：应将每千克小型西瓜的售价降低或元．

【巩固】宏达汽车出租公司共有出租车辆，每辆汽车的日租金为元，出租业务天天供不应求，为适应市场需求，经有关部门批准，公司准备适当提高日租金，经市场调查发现，一辆汽车日租金每增加元，每天出租的汽车相应地减少辆。若不考虑其他因素，公司将每辆汽车的日租金提高几个元

⑴能使公司的日租金总收入达到元？

⑵使公司的日租金总收入最高？最高是多少？

【解析】略

【答案】⑴设公司将每辆车日租金提高个元，才能使公司的日租金总收入达到元，

根据题意得

，整理得

解得，，检验知，均符合题意

故公司将每辆汽车租金提高元或元，公司的日租金总收入达到元

⑵设公司将每辆汽车日租金提高个元，则公司每天出租的汽车为辆，

则每天的租金总收入为

∴当时，公司的日租金收入最高，最高租金为元

☞图形面积问题

【例11】     如图，一块长方形铁皮的长是宽的倍，四个角各截去一个正方形，制成高是，容积是的无盖长方体容器，求这块铁皮的长和宽．

【解析】因为本题中容器的高是，长方形铁皮的长是宽的倍，所以可设这块铁皮的宽式，则长是，容器的底面面积是，利用其容积是，可列出方程，进而求出答案．

【答案】设这块铁皮的宽是，根据题意得

解得，（舍去）

所以，

答：这块铁皮的长是，宽是．

【巩固】在宽为，长为的矩形地面上，修同样宽的两条互相垂直的道路余下的部分作为耕地，要使耕地的面积为，道路的宽应为多少？

【解析】略

【答案】设小路的宽为，根据题意得

解得，

不符合题意，舍去，

答：道路的宽应为

【巩固】长、宽的会议室，中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的一半，若四周未铺地毯的留空空间宽度相同，则留空的宽度为         

【解析】略

【答案】设留空的宽度为，根据题意得

整理得，解得，

不符合题意，舍，∴

答：留空的宽度为

【巩固】如图所示，在一个长为米，宽为米的矩形广场上，修建三条同样宽的道路，若使每块草坪的面积都是平方米，则道路宽为多少？

【解析】注意：是“每块草坪的面积是平方米”

【答案】设道路的宽为米，根据题意得米

整理得，解得或

不符合题意，舍

∴

答：道路宽为米

☞传播问题

【例12】     ⑴有一人得了流感，他把流感传染给了个人，共有        人得流感；第一轮传染后，所有得流感的人每人又把流感传染给了个人，经过两轮传染后，共有       人得流感．

⑵有一人得了流感，他把流感传染给了个人，共有       人得流感；第一轮传染后，所有得流感的人每人又把流感传染给了个人，经过两轮传染后，共有       人得流感．

【解析】以此加就可以，一人传染给人就有人感冒了，然后人每人又传染了人感冒的人数就达到人；一人感冒传染给人，感冒人数就达到人，以此再推下下去就得到答案．

【答案】⑴、

⑵、

【巩固】一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有台电脑被感染，每轮感染中平均一台电脑感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，轮感染后，被感染电脑会不会超过台？

【解析】略

【答案】设每轮感染中平均一台电脑感染台，根据题意得

，解得或（舍）

所以每轮感染中，平均一台电脑感染台

经过三轮感染，一共有台电脑，超过了台电脑

【巩固】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，每个支干长出多少小分支？

【解析】设每个支干长出个小分支，则主干有个，支干有个，小分支有个

【答案】设每个支干长出个小分支

根据题意得

解得、（舍）

答：每个支干长出个小分支

☞动点问题

【例13】     如图，中，，，，点从点开始，沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动（点到达点运动停止）．如果点，分别从点，同时出发秒（）

⑴为何值时，？

⑵为何值时，可使得的面积等于？

【解析】略

【答案】根据题意，知、

⑴根据勾股定理，得

，即

整理得

解得（舍）或

⑵根据三角形的面积公式，得

，则，解得或

当或秒时，的面积等于

【巩固】如图所示，某海军基地位于处，在其正南方向海里处有一重要目标,在的正东方向海里处有一重要目标小岛。小岛位于的中点，岛上有一补给码头，一艘军舰从出发，经到匀速巡航，一艘补给船同时从出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。已知军舰的速度是补给船的倍，军舰在到的途中与补给船相遇，那么相遇时补给船航行了多少海里（结果保留根号）

【解析】略

【答案】解：∵，海里，∴海里，

过点作，垂足为，则，，即海里

设相遇时补给船航行了海里，那么海里，海里，海里

在中，根据勾股定理可得方程

，整理得，

解得，（不符合题意，舍去）

所以相遇时补给船大约航行了海里

1．     设为整数，且，方程有两个整数根，求的值及方程的根．

【解析】为完全平方数，又为的整数，则或．当时，，；当时，，．

点评：测及一元二次方程的整数根问题，一般用公式法把根表示出来，再让其为整数即可；或先让为完全平方数，再检验．当然测及二次项系数的讨论更容易错．

【答案】当时，，；当时，，．

2．     小明要在一幅长厘米、宽厘米的水彩画得外围镶上一条宽度相等的金色彩条，要求使水彩画的面积是整幅画面积的，设金色彩条的宽为厘米，根据题意列方程为（   ）

A.       B.

C.      D.

【解析】略

【答案】

3．     有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？

【解析】略

【答案】设每轮传染中平均一个人传染了人，根据题意得

解得或（舍）

答每轮传染中平均一个人传染了人

4．     编一道可化为一元二次方程的应用题，并解答，编题要求：

⑴要联系实际生活，其解符合实际；

⑵方程不含常数项，其有一解为

⑶题目完整，题意清楚

【解析】根据条件⑵，其中有一解为4，可不含常数项，则方程（）或，这样就可以编一道题

【答案】（答案不唯一）、、三家商场，在节假期间采取不同的促销活动销售电视，结果同一天商场比商场多销售台，商场比商场少销售台，恰好、两商场销售彩电的数量积为，求商场销售数量

1．     为了绿化校园，某中学在年植树棵，计划到年底使这三年的植树总数达到棵，求该校植树平均每年增长的百分数。

【解析】注意是“三年的植树总数达到”

【答案】设该校植树平均每年增长的百分数为

根据题意得，整理得

解得（舍）或

答：该校植树平均每年的增长百分数为

2．     如图，有长为米的篱笆，一面用墙（墙的最大可用长度为10米）围成中间有一道篱笆的长方形花圃

⑴如果花圃的面积为平方米，求花圃的宽的长

⑵花圃的面积能围成平方米吗？如果能，请求出这时花圃的宽的长，若不能，请说明理由

⑶花圃的面积能围成平方米吗？若能，请求出这时花圃的宽的长，若不能，请说明理由

【解析】注意

【答案】设花圃的宽米，则

⑴当，解得，当时，，不符合题意舍

∴的长为

⑵假设能围成，则有，整理得

解得，，当时，；当时，，符合题意

故可以围成，这时宽米

⑶假设能围成，则有，整理得，解得，当时，，不符合题意，故不能围成

3．     已知：关于的一元二次方程．

⑴若原方程有实数根，求的取值范围；

⑵设原方程的两个实数根分别为，，当取哪些整数时，，均为整数；

【解析】略

【答案】⑴∵原方程有实数根 ∴，整理得，对任意的都成立

但又因为，∴的取值范围是

⑵由求根公式得，

∵、均为整数  ∴的值为、