16.初中数学.与圆有关的计算.第16讲

模块一  与圆有关的计算

与圆有关的面积和长度计算：

设的半径为，圆心角所对弧长为，

弧长公式：

扇形面积公式：

圆柱体表面积公式：

圆锥体表面积公式：(为母线)

常见组合图形的周长．面积的几种常见方法：

① 公式法；② 割补法；③ 拼凑法；④ 等积变换法

☞求弧长

【例1】         圆心角为60°，且半径为3的扇形的弧长为（　　）

A．   B．π   C．   D．3π

【巩固】如图，．是的切线，切点是，已知，，那么所对弧的长度为（   ）

A．6π   B．5π   C．3π   D．2π

【巩固】如图，⊙半径是，是圆周上的三点，，则劣弧的长是（  ）

A．   B．   C．   D．

【拓展】如图，六边形是正六边形，曲线……叫做“正六边形的渐开线”，其中，，，，，，……的圆心依次按点循环，其弧长分别记为，…．当时，等于（   ）

A．   B．   C．   D．

【例2】         75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在圆的半径是          cm．

【难度】1星

【解析】由弧长公式：计算．

【答案】由题意得：圆的半径cm．

故本题答案为：6．

【点评】本题考查了弧长公式．

【巩固】的圆心角所对的弧长是12πcm，则此弧所在的圆的半径是         cm．

【例3】         如图，已知中，，cm，将绕顶点顺时针旋转至的位置，且三点在同一条直线上，则点过的最短路线的长度是（   ）cm．

A．8   B．   C．   D．

【巩固】在中，，，．把绕点顺时针旋转后，得到，如图所示，则点所走过的路径长为（   ）

A．    B．cm   C．cm   D．cm

【例4】         如图，把的斜边放在定直线上，按顺时针方向在上转动两次，使它转到的位置．若，则顶点运动到点的位置时，点两次运动所经过的路程．（计算结果不取近似值）

【巩固】矩形ABCD的边，现将矩形放在直线上且沿着向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置时(如图所示)，则顶点A所经过的路线长是_________．

【拓展】（2011•桂林）如图，将边长为a的正六边形A1A2A3A4A5A6在直线l上由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径的长为（   ）

A．   B．   C．  D．

☞求面积

【例5】         如图，点在直径为的上，，则图中阴影部分的面积等于         ．（结果中保留π）．

【巩固】如图，在等腰直角三角形中，，点为的中点，已知扇形和扇形的圆心分别为点、点，且，则图中阴影部分的面积为           （结果不取近似值）．

【巩固】如图，等腰的直角边长为4，以为圆心，直角边为半径作弧1，交斜边于点，于点，设弧，，围成的阴影部分的面积为，然后以为圆心，为半径作弧，交斜边于点，于点，设弧围成的阴影部分的面积为，按此规律继续作下去，得到的阴影部分的面积=          ．

【例6】         如图，在半径为，圆心角等于的扇形内部作一个正方形，使点在上，点在上，点在上，则阴影部分的面积为____________．

【巩固】将绕点逆时针旋转到使在同一直线上，若，，则图中阴影部分面积为           cm2．

☞与圆锥有关的计算

【例7】         如图是一个圆锥形型的纸杯的侧面展开图，已知圆锥底面半径为5cm，母线长为15cm，那么纸杯的侧面积为          cm2．（结果保留π）

【巩固】一个圆锥的底面半径为4cm，将侧面展开后所得扇形的半径为5cm，那么这个圆锥的侧面积等于       cm2（结果保留π）．

【巩固】某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高=8米，底面半径=6米，则圆锥的侧面积是          平方米（结果保留π）．

【巩固】一个圆锥形零件的母线长为4，底面半径为1．则这个圆锥形零件的全面积是    ．  

【例8】         将一块含30°角的三角尺绕较长直角边旋转一周得一圆锥，这个圆锥的高是，则圆锥的侧面积是        ．

【巩固】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，将△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是        ．

【例9】         如图，把一个半径为12cm的圆形硬纸片等分成三个扇形，用其中一个扇形制作成一个圆锥形纸筒的侧面（衔接处无缝隙且不重叠），则圆锥底面半径是         cm．

【巩固】若圆锥的侧面展开时一个弧长为l6π的扇形，则这个圆锥的底面半经是       ．

【巩固】若用半径为12，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥底面圆的半径的长       ．

【例10】     将一个半径为6cm，母线长为15cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的圆心角是        度．

【巩固】一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数

是         度．

【巩固】已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的侧面展开图的圆心角为       度．

【巩固】将一个底面半径为5cm，母线长为12cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的圆心角是      度．

【例11】     用半径为9cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥，则该圆锥的高为    cm．

【巩固】已知圆锥的底面半径为3，侧面积为15π，则这个圆锥的高为         ．

【巩固】如果圆锥的底面周长是20π，侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°．则圆锥的母线是           ．

1. 如图，有一长为4cm，宽为3cm的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚(顺时针方向)，木板上的顶点A的位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板边沿A2C与桌面成30°角，则点A翻滚到A2位置时，共走过的路径长为(     )

A．10cm           B．35cm

C．45cm        D．25cm

2. 如图，在中，，，点为中点，将绕点按逆时针方向旋转得到，则点在旋转过程中所经过的路程为          ．(结果保留)

3. 一个扇形所在圆的半径为3cm，扇形的圆心角为120°，则扇形的面积是     cm2．

1．通过本堂课你学会了                                                   ．

2．掌握的不太好的部分                                                   ．

3．老师点评：①                                                         ．

     ②                                                         ．

             ③                                                         ．

1. 如图7，在中，分别以为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为        ．(结果保留)

2. 如图，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数的图象上，则图中阴影部分的面积于           。

3. 正边形内接于半径为的圆，这个边形的面积为，则等于____________．

4. 的内接多边形周长为，的外切多边形周长为，则下列各数中与此圆的周长最接近的是(    )

A．          B．         C．        D．

5. 如图，已知：边长为1的圆内接正方形中，为边的中点，直线交圆于点．

⑴求弦的长．

⑵若是线段上一动点，当长为何值时，三角形与以为顶点的三角形相似．