2022-2023学年江苏省南通市高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省南通市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若复数，则的实部为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  设全集，集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在边长为的正方形中，，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在中，角，，的对边分别为，，若：：：：，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  函数的零点所在的区间为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知，是两条不同的直线，且平面，则“”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

7.  一组样本数据，，，，的平均数为，标准差为另一组样本数据，，，，，的平均数为，标准差为，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  某船在海面上航行至处，测得山顶位于其正西方向且仰角为，该船继续沿南偏东的方向航行百米至处，测得山顶的仰角为，则该山顶高于海面(    )

A. 百米 B. 百米 C. 百米 D. 百米

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  在中，为边的中点，则(    )

A.  B.
C.  D.

10.  关于函数，下列说法正确的是(    )

A. 最小正周期为 B.
C. 图象关于点对称 D. 在上的最大值为

11.  同时抛掷两枚硬币，记“出现两个正面”为事件，“出现两个反面”为事件，则(    )

A. 为必然事件 B. 为不可能事件
C. 与为互斥事件 D. 与为独立事件

12.  如图，在底面为平行四边形的直四棱柱中，，，，分别为棱，的中点，则(    )

A.
B. 与平面所成角的余弦值为
C. 三棱柱的外接球的表面积为
D. 点到平面的距离为
 

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  某学生次素养测试的成绩统计如下：，，，，，，，，则该组数据的第百分位数为______ ．

14.  已知一圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则该圆锥的体积为          ．

15.  满足，的一个复数 ______ ．

16.  在中，角，，的对边分别为，，，，，为的中点，，则的周长为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
某种经济树木根据其底部周长的不同售价有所差异，底部周长在为三类树，底部周长在为二类树，底部周长大于或等于为一类树为了解一大片该经济林的生长情况，随机测量其中株树木的底部周长单位：，数据均落在之间，按照，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图．
估计该片经济林中二类树约占多少；
将同组中的每个数据都用该组区间中点的数值代替，试估计该经济林中树木的平均底部周长．
 

18.  本小题分
如图，在三棱锥中，平面，，，分别为，的中点．
证明：平面；
证明：平面平面．
 

19.  本小题分
已知向量，函数．
求的单调递增区间；
若，求．

20.  本小题分
某校知识竞赛分初赛、复赛两轮某班从甲、乙两名学生中选拔一人参加学校知识竞赛初赛，抽取了两人次模拟测试的成绩，统计结果如下表：

试根据以上数据比较两名同学的水平，并确定参加初赛的对象；
初赛要求如下：参赛者从道试题中随机抽取道作答，至少答对道方可进入复赛若某参赛者会道中的道，求该参赛者能进入复赛的概率．

21.  本小题分
在中，角，，的对边分别为．
求；
若，点在边上，连接并延长至点，且求面积的最大值及此时点的位置．

22.  本小题分
如图，在四棱台中，，侧面，，，为的中点，为棱上的点，平面．
证明：平面平面；
求；
求二面角的大小．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
的实部为，
故选：．
利用复数的代数形式的运算法则求出，由此能求出的实部．
本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，
则，，故AB错误；
，故C正确；
，故D错误．
故选：．
根据已知条件，结合交集、补集、并集的运算，即可求解．
本题主要考查交集、补集、并集的运算，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：如图，，，

，且，
又，，
．
故选：．
可画出图形，然后得出，根据及进行数量积的运算即可求出答案．
本题考查了向量减法和数乘的几何意义，向量数量积的运算，向量垂直的充要条件，考查了计算能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：：：：：，
则由正弦定理可设，，，，
故．
故选：．
根据已知条件，结合正弦定理、余弦定理，即可求解．
本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为，，
由函数零点的存在性定理，函数的零点所在的区间为
故选：．
由函数零点的存在性定理，结合答案直接代入计算取两端点函数值异号的即可．
本题考查函数零点的判定定理的应用，属基础知识、基本运算的考查．
 

6.【答案】 

【解析】解：平面，若””，显然可以得到“”，
若“”，也有可能在上，不能推出””，
所以””是“”的充分不必要条件．
故选：．
将两个命题分别作为条件和结果进行推理即可．
本题主要考查空间几何的简单逻辑推理，属基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
则，
因为，

，
又，
所以，
解得，
则，．
故选：．
由题意，根据平均数、方差公式判断数据添加平均数后新的平均数、标准差变化情况即可．
本题考查方差以及平均数，考查了运算能力．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图所示：

设山顶高于海面的距离为，由题意，，，
所以，，
在中，，，
由余弦定理得，
即，即，
解得或舍去，
所以该山顶高于海面百米．
故选：．
设山顶高于海面的距离为，利用余弦定理求解即可．
本题考查余弦定理在解三角形中的应用，属中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：选项A，由向量加法的平行四边形法则可知，，选项A错误；
选项B，由向量减法，，选项B正确；
选项C，由为中点，可得，
即，选项C正确；
选项D，由为中点，可得，选项D正确．
故选：．
由是中点，可得到选项中相关向量关系，根据向量的线性运算规则，即可判定．
本题考查向量的线性运算，属基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：选项A，，故A正确；
选项B，，故B错误；
选项C，，是的对称中心，故C正确；
选项D，当时，，
的最大值为故D正确．
故选：．
根据函数的图象和性质，对选项进行判定即可．
本题考查正弦型函数的图象和性质，属基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：同时抛掷两枚硬币的所有结果：正正，反反，正反，反正，共个基本事件；
不是必然事件，所以不正确；
事件与事件不能同时发生，所以为不可能事件，所以B正确；
显然与是互斥事件，所以C正确；
与是同一个事件中不同的情况，所以不是独立事件，所以不正确；
故选：．
先写出所有的基本事件，再对所给的命题进行逐一判断它们的真假．
本题考查两个事件的关系的判断，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于选项，连接，，

因为四边形为平行四边形，且，则为菱形，
因为，则，且，故为等边三角形，
因为为的中点，则，因为且，
则四边形为平行四边形，所以，，故D，故A正确；
对于选项，过点在平面内作，垂足为点，连接，
 
因为平面，平面，，
因为，，、平面，
则平面，所以与平面所成角为．
因为四边形是边长为的菱形，且，，
故，由余弦定理可得
，
因为，则，因为平面，平面，
则，所以，，
因为平面，平面，则，
所以，
所以，，即与平面所成角的余弦值为，故B错误；
对于选项，如下图所示：

圆柱的底面圆直径为，母线长为，
则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等，
则为圆柱的外接球球心．且有，
可将直三棱柱置于圆柱内，
使得、的外接圆分别为圆，圆，
如图所示：

因为，，则为等边三角形，
故圆的直径为，
所以，三棱柱的外接球的直径为，
所以，三棱柱的外接球的表面积为，故C正确；
对于选项，连接，，如下图所示：

因为平面，平面，
则，又因为且，则四边形为矩形，
所以，，
因为，平面，平面，
则平面，所以，点到平面的距离等于，
因为点为的中点，则点到平面的距离为，
所以，，
因为四边形为矩形，则，因为，，
则，同理，
在，，，，
由余弦定理可得，
因为平面，平面，
则，所以，，
所以，，
则，
所以，，
设点到平面的距离为，由
，得，所以，，
即到平面的距离为，故D正确．
故选：．
证明出，再结合可判断选项；利用线面角的定义可判断选项；求出的外接圆直径，可求得三棱柱的外接球的直径为，结合球体的表面积公式可判断选项；利用等体积法可判断选项．
本题考查空间几何体的性质，考查空间几何体的外接球的表面积，考查线面角的求法，属中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
故该组数据的第百分位数为．
故答案为：．
根据已知条件，结合百分位数的定义，即可求解．
本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】

依据展开图与圆锥的对应关系列方程解出圆锥的底面半径和母线长，求出圆锥的高，得出体积．
本题考查圆锥的侧面展开图，圆锥的结构特征，圆锥的体积计算，属于基础题．

【解答】

解：设圆锥的底面半径为，母线长为，则，解得，．
圆锥的高圆锥的体积．
故答案为：．

15.【答案】或 

【解析】解：设，，，
根据题意，有，，
若，则或，若，则，
所以或．
故答案为：或．
设，根据题意建立等式进行计算即可．
本题主要考查复数相关性质，属基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：在中，由余弦定理有：，即，
为的中点，，
，
，
由解得：，
，
，，
的周长为．
故答案为：．
在中由余弦定理得，由为的中点得，进而得到，解出，即可求出，从而求出周长．
本题考查运用余弦定理和向量解三角形，属于中档题．
 

17.【答案】解：因为，
解得，
因为底部周长在为二类树，
由图知，
则该片经济林中二类树木约占；
若将同组中的每个数据都用该组区间中点的数值代替，
则
．
故该经济林中树木的平均底部周长为． 

【解析】由题意，根据频率之和为，列出等式，即可求出的值，进而可得二类树的频率；
根据频率分布直方图中的信息，利用平均数的计算公式进行求解即可．
本题考查频率分布直方图，考查了数据分析和运算能力．
 

18.【答案】证明：因为，分别为，的中点，所以，
而不在面，面，
所以可证得：面；
因为平面，所以，而，，
所以面，
由可得，所以面，
而面，
所以可证得：平面平面． 

【解析】由，为中点，可得，再由线面平行的判定定理可证得面；
由线面垂直可证得面面的垂直．
本题考查线面平行的证法及面面垂直的证法，属于中档题．
 

19.【答案】解：，
，
解，，得，，
的单调递增区间为；
，
，，
，
． 

【解析】根据二倍角的正余弦公式和两角和的正弦公式可求出，进而得出，然后解，，即可得出的单调递增区间；
根据条件得出，进而得出，然后根据即可求出答案．
本题考查了二倍角的正余弦公式，两角和差的正弦公式，正弦函数的增区间，复合函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．
 

20.【答案】解：甲的平均分：，
乙的平均分：，
甲的方差：，
乙的方差：，
可见二人平均分一样，但甲更稳定，所以选甲；
记该参赛者能进入复赛的事件为，则事件的数量为，事件总数为，
所以． 

【解析】比较平均分和方差；用进入参赛的事件数比上事件总数．
本题主要考查概率与统计基本性质，属中档题．
 

21.【答案】解：在中，由正弦定理，得，
因为，所以，
因为，所以，
所以，
，．
因为，，所以，
所以；
在中，，，由知，
在中，由正弦定理，得，
因为，所以，
所以，，
在中，因为，所以，
设，，
在中，由余弦定理得，
得，因为，
所以，所以，
当且仅当时等号成立．所以面积的最大值为，
在中，因为，，，所以，
在中，因为，，所以，
在中，，
所以点在边上靠近的三等分点． 

【解析】由正弦定理可得，计算可得，可求；
由正弦定理可求，进而可求，设，，进而可得，可求面积的最大值，进而计算可得的位置．
本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查运算求解能力，属中档题．
 

22.【答案】解：证明：在四棱柱中，
因为，，
所以，
所以，
又因为为的中点，
所以，
四棱台中，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又面，面，
所以面，
又因为面，面，面，，
所以面面．
由知面面，
又因为面面，面面，
所以，
又因为，
所以四边形是平行四边形，
所以，
由知，
所以．
在梯形中，过点作的垂线，垂足为，连接，，
因为，，
所以，，
在梯形中，因为，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
所以，
又因为面，面，
所以，
所以，
又因为，面，面，，
所以面，
又因为面，
所以，
所以二面角的平面角为，
因为，，
所以，
因为面，面，
所以，
因为，
所以，，
在中，，，
所以，
所以，
所以二面角的大小是． 

【解析】根据题意可得，推出，又，推出四边形是平行四边形，则，由线面平行的判定定理可得面，又面，由面面平行的判定定理可得答案．
由知面面，推出，又，进而可得四边形是平行四边形，则，即可得出答案．
在梯形中，过点作的垂线，垂足为，连接，，先根据线面垂直的性质定理，得出二面角的平面角为，再计算，即可得出答案．
本题考查直线与平面的位置关系，解题中需要理清思路，属于中档题．