还剩19页未读，
继续阅读
北师大版九年级下册第二章 二次函数1 二次函数单元测试同步达标检测题
展开
这是一份北师大版九年级下册第二章 二次函数1 二次函数单元测试同步达标检测题，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第二单元《二次函数》（含答案解析）
考试范围：第二单元； 考试时间：120分钟；总分：120分，
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若函数y=x2+2(x⩽2),2x(x>2),则当函数值y=8时，自变量x的值是．( )
A. ±6 B. 4 C. ±6或4 D. 4或−6
2. 下列函数关系中，是二次函数的是．( )
A. 在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系
B. 当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系
C. 等边三角形的周长C与边长a之间的关系
D. 圆心角为120°的扇形面积S与半径R之间的关系
3. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1.给出下列结论：
①ac<0；②b2−4ac>0；
③2a−b=0；④a−b+c=0．
其中，正确的结论有( )
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
4. 将抛物线y=12(x+1)2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，再关于顶点对称后得到的新抛物线的顶点坐标为 ( )
A. (2,2) B. (2,−2) C. (−2,2) D. (4,−2)
5. 若二次函数图象的顶点坐标为(2,−1)，且抛物线过点(0,3)，则二次函数的解析式是( )
A. y=(x−2)2−1 B. y=12(x−2)2−1
C. y=−(x−2)2−1 D. y=−12(x−2)2−1
6. 小明在研究某二次函数y=ax2+bx+c时列表如下：
x
…
−2
−1
0
2
3
…
y=ax2+bx+c
…
11
6
3
3
6
…
当自变量x满足−1≤x≤4时，下列说法正确的是( )
A. 有最大值11，有最小值3 B. 有最大值11，有最小值2
C. 有最大值6，有最小值3 D. 有最大值6，有最小值2
7. 如图，在Rt△ABO中，AB⊥OB，且AB=OB=3，设直线x=t截此三角形所得的阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系式为( )
A. S=t(0
A. y=10x B. y=x(20−x) C. y=12x(20−x) D. y=x(10−x)
9. 二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
−2
−1
0
1
2
…
y=ax2+bx+c
…
t
m
−2
−2
n
…
且当x=−12时，与其对应的函数值y>0.有下列结论：
①abc>0；②−2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根；③0
10. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)和正比例函数y=23x的图象如图所示，则方程ax2+b−23x+c=0(a≠0)的两根之和．( )
A. 大于0 B. 等于0 C. 小于0 D. 不能确定
11. 函数y=ax2+2ax+m(a<0)的图像过点(2,0)，则使函数值y<0成立的x的取值范围是( )
A. x<−4或x>2 B. −42 D. 0
A. 0
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 如果函数y=(k−3)xk2−3k+2+7x+2是关于x的二次函数，那么k的值是______．
14. 已知函数y=x2,0⩽x<1,2x−2,x⩾1,若y=2，则x= ．
15. 某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为 元时，才能使每天所获销售利润最大．
16. 抛物线y=2x2+2(k−1)x−k(k为常数)与x轴交点的个数是 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
若函数y=(k−1)xk2−3k+4+2x−1是二次函数．
(1)求k的值．
(2)当x=0.5时，求y的值．
18. (本小题8.0分)
如图，P是抛物线y=x2上第一象限内的点，A点坐标为(6,0)．
(1)若P点的坐标为(x,y)，△POA的面积为S，求出S与x的关系．
(2)当S=6时，求P点的坐标．
(3)在抛物线y=x2上求出一点P′，使P′O=P′A.求出P′的坐标．
19. (本小题8.0分)
如图，直线y=−12x+b与抛物线y=ax2交于A，B两点，与y轴于点C，其中点A的坐标为(−4,8)．
(1)求a，b的值；
(2)若CD⊥AB于点C，CD=CA.试说明点D在抛物线上．
20. (本小题8.0分)
如图，二次函数y=−12x2+bx+c的图象经过A(2,0)，B(0,−6)两点
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积．
21. (本小题8.0分)
如图，抛物线y=−x 2+bx+c与x轴分别交于点A(−1,0)，B(3,0)．
(1)求抛物线的函数表达式和对称轴．
(2)P为y轴上的一点．若点P向左平移n个单位，将与抛物线上的点P 1重合；若点P向右平移2n个单位，将与抛物线上的点P 2重合．已知n>0．
①求n的值．
②若点C在抛物线上，且在直线P 1P 2的上方(不与点P 1，P 2重合)，求点C纵坐标的取值范围．
22. (本小题8.0分)
某游乐场的圆形喷水池中心O处有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同.如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y= −16(x−5)2+6．
(1)求雕塑高OA．
(2)求落水点C，D之间的距离．
(3)若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE= 10m，EF=1.8m，EF⊥OD.问：顶部F是否会碰到水柱?请通过计算说明．
23. (本小题8.0分)
在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y(单位：件)与线下售价x(单位：元/件，12≤x<24)满足一次函数的关系，部分数据如下表：
x(元/件)
12
13
14
15
16
y(件)
1200
1100
1000
900
800
(1)求y与x的函数关系式；
(2)若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．
24. (本小题8.0分)
在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点A(2,0)，B(4,0)，交y轴于点C．
(1)求抛物线解析式，并根据该函数图象写出x<0时y的取值范围；
(2)将线段OB向右平移m个单位，向上平移n个单位至O′B′(m,n均为正数)，若点O′，B′均落在此二次函数图象上，求m，n的值．
25. (本小题8.0分)
设二次函数y=ax2+bx−(a+b)(a,b是常数，a≠0)．
(1)判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由．
(2)若该二次函数图象经过A(−1,4)，B(0,−1)，C(1,1)三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式．
(3)若a+b<0，点P(2,m)(m>0)在该二次函数图象上，求证：a>0．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：把y=8代入函数y=x2+2(x⩽2),2x(x>2),，
先代入上边的方程得x=±6，
∵x≤2，x=6，不合题意舍去，故x=−6；
再代入下边的方程x=4，
∵x>2，故x=4，
综上，x的值为4或−6．
故选：D．
本题考查求函数值及二次函数的性质：
(1)当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；
(2)函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查二次函数的定义，根据各选项的意思，列出各选项的函数表达式，再根据二次函数定义的条件判定即可．
【解答】
解：A.y=mx+b，当m≠0时(m是常数)，是一次函数，错误；
B.t=sv ，当s≠0时，是反比例函数，错误；
C.C=3a，是正比例函数，错误；
D.S=13 πR2，是二次函数，正确．
故选D．
3.【答案】C
【解析】解：∵抛物线开口向下，则a<0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c>0，
∴ac<0，故①正确；
∵抛物线与x轴有两个不同交点，
∴Δ=b2−4ac>0，故②正确，
∵对称轴为直线x=−b2a=1，
∴b=−2a>0，
则2a+b=0，故③错误；
∵该抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的一个交点为(3,0)，
∴由对称性可知抛物线与x轴的另一个交点为(−1,0)，
∴a−b+c=0，故④正确，
综上所述，正确的结论有①②④．
故选C．
根据抛物线的开口方向、对称轴、抛物线与x轴、y轴的交点，逐一进行判断即可．
本题考查二次函数的图象和性质，以及二次函数图象与系数的关系．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
先求将抛物线y=12(x+1)²向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到新抛物线解析式为y=12(x+1−3)²−2，再求关于顶点对称后得到的新抛物线的顶点坐标．
【解答】
解：抛物线y=12(x+1)²，向右平移3个单位，再向下平移2个单位，
得到新抛物线解析式为y=12(x+1−3)²−2=12(x−2)²−2，
顶点坐标是(2,−2)，
再关于顶点对称后得到的新抛物线的顶点坐标为是(2,−2)．
故选：B．
5.【答案】A
【解析】解：设这个二次函数的解析式为y=a(x−ℎ)2+k
∵二次函数的图象的顶点坐标为(2,−1)，
∴二次函数的解析式为y=a(x−2)2−1，
把(0,3)代入得a=1，
∴二次函数的解析式为y=(x−2)2−1．
故选A．
本题主要考查待定系数法求二次函数解析式．
根据二次函数的顶点式求解析式．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值有关知识，由二次函数图象经过点(0,3)，(2,3)，(3,6)，利用待定系数法求函数解析式，根据二次函数的性质即可得出答案．
【解答】
解：将点(0,3)，(2,3)，(3,6)代入到二次函数y=ax2+bx+c中，
得：c=34a+2b+c=3,解得:9a+3b+c=6．a=1b=−2c=3
∴二次函数的解析式为y=x2−2x+3=(x−1)2+2．
∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1,2)，
∴自变量x满足−1≤x≤4时，有最小值2，
∴x=4时，y=x2−2x+3=(x−1)2+2=11，
∴自变量x满足−1≤x≤4时，有最大值11，有最小值2，
7.【答案】B
【解析】解：如图所示，
∵Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，
∴∠AOB=∠A=45∘．
∵CD⊥OB，
∴CD//AB．
∴∠OCD=∠A.
∴∠AOD=∠OCD=45∘．
∴OD=CD=t．
∴S△OCD=12×OD×CD=12t2(0
8.【答案】C
【解析】解：(1)∵直角三角形的两条直角边的和等于20cm，且它的一条直角边为x cm，
∴另一条直角边为(20−x)cm，
∴直角三角形的面积y=12x(20−x)，
∴y与x之间的函数关系式y=12x(20−x)(0
9.【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，能够从表格中获取信息确定出对称轴是解题的关键．依据二次函数图象及其性质，逐项判断即可．
【解答】
解：当x=0时，c=−2，
当x=1时，a+b−2=−2，
∴a+b=0，
∴y=ax2−ax−2，
∴abc>0，
①正确；
x=12是对称轴，
x=−2时y=t，则x=3时，y=t，
∴−2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根；
②正确；
m=a+a−2，n=4a−2a−2，
∴m=n=2a−2，
∴m+n=4a−4，
∵当x=−12时，y>0，
∴a>83，
∴m+n>203，
③错误；
故选：C．
10.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数的图象及性质，及二次函数与方程的解，掌握好二次函数与正比例函数方面的有关知识是解题的关键．
根据题图可知，a>0，b<0，b2−4ac>0，再根据△>0以及一元二次方程根与系数的关系，便可得出结果．
【解答】
解：根据题图可知，a>0，b<0，b2−4ac>0，
在方程ax2+b−23x+c=0(a≠0)中，
Δ=b−232−4ac=b2−43b+49−4ac=b2−4ac−43b+49>0，
设方程的两根分别为x1,x2，
则x1+x2=−ba=−b−23a=−ba+23a>0，
故选A．
11.【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图像和性质，二次函数的图像与x轴的交点，二次函数与不等式，数形结合的思想方法，关键是掌握不等式ax2+bx+c>0(或ax2+bx+c<0)(a≠0)的解集就是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像在x轴上(下)方的点所对应的x的取值范围.根据题意求出抛物线与x轴的两个交点坐标，利用数形结合即可解答．
【解答】
解：抛物线y=ax2+2ax+m的对称轴为直线x=−2a2a=−1．
又∵抛物线与x轴的一个交点坐标为(2,0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−4,0)．
∵a<0，∴抛物线开口向下，
∴当x<−4或x>2时，y<0．
故选A．
12.【答案】C
【解析】解：∵y=−x2+4x+5=−(x−2)2+9，
∴顶点坐标为(2,9)，
令x=0，则y=5，
∴B(0,5)，
令y=0，则−x2+4x+5=0，
解得：x1=−1，x2=5，
∴A(5,0)，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
则5k+b=0b=5，
解得k=−1b=5，
∴直线AB的解析式为y=−x+5，
设平行于x轴且在x轴上方的直线为y=n(n>0)，
则P(x3,y3)满足y3=−x3+5=n，
∴x3=5−n，y3=n，
联立y=−x2+4x+5与y=n，
得x2−4x−5+n=0，
∵抛物线与y=n有两个不同交点，
∴Δ=(−4)2−4(n−5)>0，
解得：n<9，
∵x1+x2=−(−4)=4，m(x1+x2)=x3，
∴4m=5−n，
n=5−4m，
∵0
∴−1
根据抛物线解析式求出A，B坐标，在用待定系数法求出直线AB的解析式，设平行于x轴且在x轴上方的直线为y=n(n>0)，得出P点坐标与n的关系，再联立y=−x2+4x+5与y=n，得出x2−4x−5+n=0，由Δ>0得出n的取值范围，再由根与系数的关系得出m的取值范围．
本题考查抛物线与x轴的交点，待定系数法求函数解析式、根与系数的关系等知识，关键是一元二次方程与二次函数之间关系的应用．
13.【答案】0
【解析】解：由题意得：k2−3k+2=2，
解得k=0或k=3；
又∵k−3≠0，
∴k≠3．
∴k的值是0时．
故答案为：0．
根据二次函数的定义，列出方程与不等式求解即可．
本题考查二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．
14.【答案】2
【解析】解：当x2=2时，x=±2．
∵0≤x<1，∴x=±2舍去．
当2x−2=2时，x=2，符合题意．
15.【答案】11
【解析】
【分析】
根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质即可得到结论．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答．
【解答】
解：设销售单价定为x元(x≥9)，每天所获利润为y元，
则y=[20−4(x−9)]⋅(x−8)
=−4x2+88x−448
=−4(x−11)2+36，
所以将销售定价定为11元时，才能使每天所获销售利润最大，
故答案为11．
16.【答案】2
【解析】
【分析】
根据抛物线与一元二次方程的关系及根的判别式可以求得抛物线y=2x2+2(k−1)x−k(k为常数)与x轴交点的个数，本题得以解决．
本题考查二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用根的判别式解答．
【解答】
解：∵抛物线y=2x2+2(k−1)x−k(k为常数)，
∴当y=0时，0=2x2+2(k−1)x−k，
∴△=[2(k−1)]2−4×2×(−k)=4k2+4>0，
∴0=2x2+2(k−1)x−k有两个不相等的实数根，
∴抛物线y=2x2+2(k−1)x−k(k为常数)与x轴有两个交点，
故答案为：2．
17.【答案】解：(1)由题意，得k2−3k+4=2，且k−1≠0. 解得k=2．
(2)把k=2代入y=(k−1)xk2−3k+4+2x−1， 得y=x2+2x−1. 当x=0.5时，y=14．
【解析】见答案
18.【答案】解：(1)连接OP，AP，过点P作PH⊥x轴于H，
则OA=6，PH=y=x2，
∴S=12OA⋅PH=12×6⋅x2=3x2；
(2)当S=6时，3x2=6，∴x=±2．
又P点在第一象限，∴x=2．
当x=2时，y=(2)2=2，
∴P点的坐标为(2,2)；
(3)∵P′O=P′A，∴P′在线段OA的垂直平分线上，
∴P′的横坐标为3，当x=3时，y=x2=9，
∴P′的坐标为(3,9)．
【解析】考查了二次函数，本题是二次函数的解析式的求解，与线段的垂直平分线的判定方法，相结合的问题．
(1)已知A点坐标为(6,0)，可以得到OA=6，△POA中OA边上的高就是P点的纵坐标．根据三角形的面积公式就可以求出．(2)把S=6代入(1)中求得的函数解析式，求出x的值，就可以得到P点的坐标．
(3)使P′O=P′A，则P′一定在线段OA的垂直平分线上，OA的垂直平分线的解析式是x=3，因而把x=3代入函数y=x 2的解析式，就可以求出点的纵坐标．
19.【答案】解：(1)将(−4,8)代入y=ax2得8=16a，
解得a=12，
把(−4,8)代入y=−12x+b得8=2+b，
解得b=6．
(2)作AE⊥OC于E，DF⊥OC于F，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD=90°，
∴∠ACE+∠DCF=90°，
∵∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠DCF=∠CAE，
又∵CD=CA，
∴△AEC≌△CFD(AAS)，
∴CE=DF，CF=AE=4，
将x=0代入y=−12x+6得y=6，
∴点C坐标为(0,6)，
∴CE=DF=8−6=2，
∵OF=OC−CF=OC−OE=2，
∴点D坐标为(−2,2)，
把x=−2代入y=12x2得y=2，
∴点D在抛物线上．
【解析】(1)将点A坐标分别代入直线与抛物线解析式求解．
(2)作AE⊥OC于E，DF⊥OC于F，证明△AEC≌△CFD，从而可得点D坐标，即可证明点D在抛物线上．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握全等三角形的判定与性质．
20.【答案】解：(1)把A(2,0)、B(0,−6)代入y=−12x2+bx+c，
得−2+2b+c=0c=−6,
解得b=4c=−6,
∴这个二次函数的解析式为y=−12x2+4x−6；
(2)∵该抛物线对称轴为直线x=−42×(−12)=4，
∴点C的坐标为(4,0)，
∴AC=OC−OA=4−2=2，
∴S△ABC=12×AC×OB=12×2×6=6．
【解析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积，以及二次函数与一元二次方程．
(1)二次函数图象经过A(2,0)、B(0,−6)两点，两点代入y=−12x2+bx+c，算出b和c，即可得解析式．
(2)先求出对称轴方程，写出C点的坐标，计算出AC，然后由面积公式计算值．
21.【答案】解：(1)将A(−1,0)，B(3,0)代入y=−x2+bx+c得，
0=−1−b+c0=−9+3b+c，解得b=2c=3，
∴y=−x2+2x+3，
∴抛物线对称轴为直线x=22=1．
(2)①设点P坐标为(0,p)，
由题意可得P1(−n,p)，P2(2n,p)，P1与P2关于抛物线对称轴对称，
∵抛物线对称轴为直线x=1，
∴−n+2n2=1，解得n=2；
②将x=4代入y=−x2+2x+3得y=−16+8+3=−5，
∴直线P1P2为y=−5，
∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
∴抛物线顶点坐标为(1,4)，
∴点C纵坐标取值范围是−5
(1)通过待定系数法求函数解析式，由x=−b2a求抛物线对称轴．
(2)①由抛物线的对称性求解；②求出点P1或P2的纵坐标与抛物线顶点坐标，进而求解．
22.【答案】解：(1)当x=0时，y=−16(0−5)2+6=116，
∴点A的坐标为(0,116)
∴雕塑高OA为116m.
(2)当y=0时，−16(x−5)2+6=0，
解得x1=−1(舍去)，x2=11．
∴点D的坐标为(11,0)．
∴OD=11m．
∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，
∴OC=OD=11m．
∴CD=OC+OD=22m．
(3)当x=10时，y=−16(10−5)2+6=116，
∴点(10,116)在抛物线y=−16(x−5)2+6上．
又∵116≈1.83>1.8，
∵顶部F不会碰到水柱．
【解析】见答案
23.【答案】解：(1)∵y与x满足一次函数的关系，
∴设y=kx+b，k≠0
将x=12，y=1200；x=13，y=1100代入得：
1200=12k+b1100=13k+b，
解得：k=−100b=2400，
∴y与x的函数关系式为：y=−100x+2400；
(2)设线上和线下月利润总和为m元，
则m=400(x−2−10)+y(x−10)
=400x−4800+(−100x+2400)(x−10)
=−100(x−19)2+7300，
∴当x为19元/件时，线上和线下月利润总和达到最大，此时的最大利润为7300元．
【解析】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求一次函数的解析式等知识；熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
(1)由待定系数法求出y与x的函数关系式即可；
(2)设线上和线下月利润总和为m元，则m=400(x−2−10)+y(x−10)=400x−4800+(−100x+2400)(x−10)=−100(x−19)2+7300，由二次函数的性质即可得出答案．
24.【答案】解：(1)抛物线解析式为y=(x−2)(x−4)，
即y=x2−6x+8，
当x=0时，y=x2−6x+8=8，即C(0,8)，
所以当x<0时，y>8；
(2)∵线段OB向右平移m个单位，向上平移n个单位至O′B′，
∴O′(m,n)，B′(4+m,n)，
∵点O′，B′均落在此二次函数图象上，
∴m2−6m+8=n(4+m)2−6(4+m)+8=n，解得m=1n=3，
即m的值为1，n的值为3．
【解析】(1)利用交点式写出抛物线解析式，再求出C点坐标，然后写出在y轴左侧的二次函数值的范围即可；
(2)利用点平移的坐标变换规律写出O′(m,n)，B′(4+m,n)，把它们代入抛物线解析式得到m2−6m+8=n(4+m)2−6(4+m)+8=n，然后解方程组即可．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
25.【答案】解：(1)设y=0，
∴0=ax2+bx−(a+b)，
∵△=b2−4⋅a[−(a+b)]=b2+4ab+4a2=(2a+b)2≥0，
∴方程有两个不相等实数根或两个相等实根．
∴二次函数图象与x轴的交点的个数有两个或一个；
(2)当x=1时，y=a+b−(a+b)=0，
∴抛物线不经过点C，
把点A(−1,4)，B(0,−1)分别代入得，
4=a−b−(a+b)−1=−(a+b)，解得a=3b=−2，
∴抛物线解析式为y=3x2−2x−1；
(3)当x=2时，m=4a+2b−(a+b)=3a+b>0①，
∵a+b<0，
∴−a−b>0②，
①②相加得：2a>0，
∴a>0．
【解析】本题考查了二次函数图象和性质及数形结合思想．解答时，注意将相关的点坐标代入解析式．
(1)利用一元二次方程根的判别式进行判断即可；
(2)当x=1时，y=0，所以抛物线过A、B两点，然后根据待定系数法求解析式即可；
(3)把x=2代入y=ax2+bx−(a+b)，用a、b表示m，由m的范围结合a+b>0可解．
第二单元《二次函数》（含答案解析）
考试范围：第二单元； 考试时间：120分钟；总分：120分，
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若函数y=x2+2(x⩽2),2x(x>2),则当函数值y=8时，自变量x的值是．( )
A. ±6 B. 4 C. ±6或4 D. 4或−6
2. 下列函数关系中，是二次函数的是．( )
A. 在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系
B. 当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系
C. 等边三角形的周长C与边长a之间的关系
D. 圆心角为120°的扇形面积S与半径R之间的关系
3. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1.给出下列结论：
①ac<0；②b2−4ac>0；
③2a−b=0；④a−b+c=0．
其中，正确的结论有( )
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
4. 将抛物线y=12(x+1)2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，再关于顶点对称后得到的新抛物线的顶点坐标为 ( )
A. (2,2) B. (2,−2) C. (−2,2) D. (4,−2)
5. 若二次函数图象的顶点坐标为(2,−1)，且抛物线过点(0,3)，则二次函数的解析式是( )
A. y=(x−2)2−1 B. y=12(x−2)2−1
C. y=−(x−2)2−1 D. y=−12(x−2)2−1
6. 小明在研究某二次函数y=ax2+bx+c时列表如下：
x
…
−2
−1
0
2
3
…
y=ax2+bx+c
…
11
6
3
3
6
…
当自变量x满足−1≤x≤4时，下列说法正确的是( )
A. 有最大值11，有最小值3 B. 有最大值11，有最小值2
C. 有最大值6，有最小值3 D. 有最大值6，有最小值2
7. 如图，在Rt△ABO中，AB⊥OB，且AB=OB=3，设直线x=t截此三角形所得的阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系式为( )
A. S=t(0
A. y=10x B. y=x(20−x) C. y=12x(20−x) D. y=x(10−x)
9. 二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
−2
−1
0
1
2
…
y=ax2+bx+c
…
t
m
−2
−2
n
…
且当x=−12时，与其对应的函数值y>0.有下列结论：
①abc>0；②−2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根；③0
10. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)和正比例函数y=23x的图象如图所示，则方程ax2+b−23x+c=0(a≠0)的两根之和．( )
A. 大于0 B. 等于0 C. 小于0 D. 不能确定
11. 函数y=ax2+2ax+m(a<0)的图像过点(2,0)，则使函数值y<0成立的x的取值范围是( )
A. x<−4或x>2 B. −4
A. 0
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 如果函数y=(k−3)xk2−3k+2+7x+2是关于x的二次函数，那么k的值是______．
14. 已知函数y=x2,0⩽x<1,2x−2,x⩾1,若y=2，则x= ．
15. 某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为 元时，才能使每天所获销售利润最大．
16. 抛物线y=2x2+2(k−1)x−k(k为常数)与x轴交点的个数是 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
若函数y=(k−1)xk2−3k+4+2x−1是二次函数．
(1)求k的值．
(2)当x=0.5时，求y的值．
18. (本小题8.0分)
如图，P是抛物线y=x2上第一象限内的点，A点坐标为(6,0)．
(1)若P点的坐标为(x,y)，△POA的面积为S，求出S与x的关系．
(2)当S=6时，求P点的坐标．
(3)在抛物线y=x2上求出一点P′，使P′O=P′A.求出P′的坐标．
19. (本小题8.0分)
如图，直线y=−12x+b与抛物线y=ax2交于A，B两点，与y轴于点C，其中点A的坐标为(−4,8)．
(1)求a，b的值；
(2)若CD⊥AB于点C，CD=CA.试说明点D在抛物线上．
20. (本小题8.0分)
如图，二次函数y=−12x2+bx+c的图象经过A(2,0)，B(0,−6)两点
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积．
21. (本小题8.0分)
如图，抛物线y=−x 2+bx+c与x轴分别交于点A(−1,0)，B(3,0)．
(1)求抛物线的函数表达式和对称轴．
(2)P为y轴上的一点．若点P向左平移n个单位，将与抛物线上的点P 1重合；若点P向右平移2n个单位，将与抛物线上的点P 2重合．已知n>0．
①求n的值．
②若点C在抛物线上，且在直线P 1P 2的上方(不与点P 1，P 2重合)，求点C纵坐标的取值范围．
22. (本小题8.0分)
某游乐场的圆形喷水池中心O处有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同.如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y= −16(x−5)2+6．
(1)求雕塑高OA．
(2)求落水点C，D之间的距离．
(3)若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE= 10m，EF=1.8m，EF⊥OD.问：顶部F是否会碰到水柱?请通过计算说明．
23. (本小题8.0分)
在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y(单位：件)与线下售价x(单位：元/件，12≤x<24)满足一次函数的关系，部分数据如下表：
x(元/件)
12
13
14
15
16
y(件)
1200
1100
1000
900
800
(1)求y与x的函数关系式；
(2)若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．
24. (本小题8.0分)
在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点A(2,0)，B(4,0)，交y轴于点C．
(1)求抛物线解析式，并根据该函数图象写出x<0时y的取值范围；
(2)将线段OB向右平移m个单位，向上平移n个单位至O′B′(m,n均为正数)，若点O′，B′均落在此二次函数图象上，求m，n的值．
25. (本小题8.0分)
设二次函数y=ax2+bx−(a+b)(a,b是常数，a≠0)．
(1)判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由．
(2)若该二次函数图象经过A(−1,4)，B(0,−1)，C(1,1)三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式．
(3)若a+b<0，点P(2,m)(m>0)在该二次函数图象上，求证：a>0．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：把y=8代入函数y=x2+2(x⩽2),2x(x>2),，
先代入上边的方程得x=±6，
∵x≤2，x=6，不合题意舍去，故x=−6；
再代入下边的方程x=4，
∵x>2，故x=4，
综上，x的值为4或−6．
故选：D．
本题考查求函数值及二次函数的性质：
(1)当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；
(2)函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查二次函数的定义，根据各选项的意思，列出各选项的函数表达式，再根据二次函数定义的条件判定即可．
【解答】
解：A.y=mx+b，当m≠0时(m是常数)，是一次函数，错误；
B.t=sv ，当s≠0时，是反比例函数，错误；
C.C=3a，是正比例函数，错误；
D.S=13 πR2，是二次函数，正确．
故选D．
3.【答案】C
【解析】解：∵抛物线开口向下，则a<0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c>0，
∴ac<0，故①正确；
∵抛物线与x轴有两个不同交点，
∴Δ=b2−4ac>0，故②正确，
∵对称轴为直线x=−b2a=1，
∴b=−2a>0，
则2a+b=0，故③错误；
∵该抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的一个交点为(3,0)，
∴由对称性可知抛物线与x轴的另一个交点为(−1,0)，
∴a−b+c=0，故④正确，
综上所述，正确的结论有①②④．
故选C．
根据抛物线的开口方向、对称轴、抛物线与x轴、y轴的交点，逐一进行判断即可．
本题考查二次函数的图象和性质，以及二次函数图象与系数的关系．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
先求将抛物线y=12(x+1)²向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到新抛物线解析式为y=12(x+1−3)²−2，再求关于顶点对称后得到的新抛物线的顶点坐标．
【解答】
解：抛物线y=12(x+1)²，向右平移3个单位，再向下平移2个单位，
得到新抛物线解析式为y=12(x+1−3)²−2=12(x−2)²−2，
顶点坐标是(2,−2)，
再关于顶点对称后得到的新抛物线的顶点坐标为是(2,−2)．
故选：B．
5.【答案】A
【解析】解：设这个二次函数的解析式为y=a(x−ℎ)2+k
∵二次函数的图象的顶点坐标为(2,−1)，
∴二次函数的解析式为y=a(x−2)2−1，
把(0,3)代入得a=1，
∴二次函数的解析式为y=(x−2)2−1．
故选A．
本题主要考查待定系数法求二次函数解析式．
根据二次函数的顶点式求解析式．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值有关知识，由二次函数图象经过点(0,3)，(2,3)，(3,6)，利用待定系数法求函数解析式，根据二次函数的性质即可得出答案．
【解答】
解：将点(0,3)，(2,3)，(3,6)代入到二次函数y=ax2+bx+c中，
得：c=34a+2b+c=3,解得:9a+3b+c=6．a=1b=−2c=3
∴二次函数的解析式为y=x2−2x+3=(x−1)2+2．
∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1,2)，
∴自变量x满足−1≤x≤4时，有最小值2，
∴x=4时，y=x2−2x+3=(x−1)2+2=11，
∴自变量x满足−1≤x≤4时，有最大值11，有最小值2，
7.【答案】B
【解析】解：如图所示，
∵Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，
∴∠AOB=∠A=45∘．
∵CD⊥OB，
∴CD//AB．
∴∠OCD=∠A.
∴∠AOD=∠OCD=45∘．
∴OD=CD=t．
∴S△OCD=12×OD×CD=12t2(0
8.【答案】C
【解析】解：(1)∵直角三角形的两条直角边的和等于20cm，且它的一条直角边为x cm，
∴另一条直角边为(20−x)cm，
∴直角三角形的面积y=12x(20−x)，
∴y与x之间的函数关系式y=12x(20−x)(0
9.【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，能够从表格中获取信息确定出对称轴是解题的关键．依据二次函数图象及其性质，逐项判断即可．
【解答】
解：当x=0时，c=−2，
当x=1时，a+b−2=−2，
∴a+b=0，
∴y=ax2−ax−2，
∴abc>0，
①正确；
x=12是对称轴，
x=−2时y=t，则x=3时，y=t，
∴−2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根；
②正确；
m=a+a−2，n=4a−2a−2，
∴m=n=2a−2，
∴m+n=4a−4，
∵当x=−12时，y>0，
∴a>83，
∴m+n>203，
③错误；
故选：C．
10.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数的图象及性质，及二次函数与方程的解，掌握好二次函数与正比例函数方面的有关知识是解题的关键．
根据题图可知，a>0，b<0，b2−4ac>0，再根据△>0以及一元二次方程根与系数的关系，便可得出结果．
【解答】
解：根据题图可知，a>0，b<0，b2−4ac>0，
在方程ax2+b−23x+c=0(a≠0)中，
Δ=b−232−4ac=b2−43b+49−4ac=b2−4ac−43b+49>0，
设方程的两根分别为x1,x2，
则x1+x2=−ba=−b−23a=−ba+23a>0，
故选A．
11.【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图像和性质，二次函数的图像与x轴的交点，二次函数与不等式，数形结合的思想方法，关键是掌握不等式ax2+bx+c>0(或ax2+bx+c<0)(a≠0)的解集就是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像在x轴上(下)方的点所对应的x的取值范围.根据题意求出抛物线与x轴的两个交点坐标，利用数形结合即可解答．
【解答】
解：抛物线y=ax2+2ax+m的对称轴为直线x=−2a2a=−1．
又∵抛物线与x轴的一个交点坐标为(2,0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−4,0)．
∵a<0，∴抛物线开口向下，
∴当x<−4或x>2时，y<0．
故选A．
12.【答案】C
【解析】解：∵y=−x2+4x+5=−(x−2)2+9，
∴顶点坐标为(2,9)，
令x=0，则y=5，
∴B(0,5)，
令y=0，则−x2+4x+5=0，
解得：x1=−1，x2=5，
∴A(5,0)，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
则5k+b=0b=5，
解得k=−1b=5，
∴直线AB的解析式为y=−x+5，
设平行于x轴且在x轴上方的直线为y=n(n>0)，
则P(x3,y3)满足y3=−x3+5=n，
∴x3=5−n，y3=n，
联立y=−x2+4x+5与y=n，
得x2−4x−5+n=0，
∵抛物线与y=n有两个不同交点，
∴Δ=(−4)2−4(n−5)>0，
解得：n<9，
∵x1+x2=−(−4)=4，m(x1+x2)=x3，
∴4m=5−n，
n=5−4m，
∵0
∴−1
根据抛物线解析式求出A，B坐标，在用待定系数法求出直线AB的解析式，设平行于x轴且在x轴上方的直线为y=n(n>0)，得出P点坐标与n的关系，再联立y=−x2+4x+5与y=n，得出x2−4x−5+n=0，由Δ>0得出n的取值范围，再由根与系数的关系得出m的取值范围．
本题考查抛物线与x轴的交点，待定系数法求函数解析式、根与系数的关系等知识，关键是一元二次方程与二次函数之间关系的应用．
13.【答案】0
【解析】解：由题意得：k2−3k+2=2，
解得k=0或k=3；
又∵k−3≠0，
∴k≠3．
∴k的值是0时．
故答案为：0．
根据二次函数的定义，列出方程与不等式求解即可．
本题考查二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．
14.【答案】2
【解析】解：当x2=2时，x=±2．
∵0≤x<1，∴x=±2舍去．
当2x−2=2时，x=2，符合题意．
15.【答案】11
【解析】
【分析】
根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质即可得到结论．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答．
【解答】
解：设销售单价定为x元(x≥9)，每天所获利润为y元，
则y=[20−4(x−9)]⋅(x−8)
=−4x2+88x−448
=−4(x−11)2+36，
所以将销售定价定为11元时，才能使每天所获销售利润最大，
故答案为11．
16.【答案】2
【解析】
【分析】
根据抛物线与一元二次方程的关系及根的判别式可以求得抛物线y=2x2+2(k−1)x−k(k为常数)与x轴交点的个数，本题得以解决．
本题考查二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用根的判别式解答．
【解答】
解：∵抛物线y=2x2+2(k−1)x−k(k为常数)，
∴当y=0时，0=2x2+2(k−1)x−k，
∴△=[2(k−1)]2−4×2×(−k)=4k2+4>0，
∴0=2x2+2(k−1)x−k有两个不相等的实数根，
∴抛物线y=2x2+2(k−1)x−k(k为常数)与x轴有两个交点，
故答案为：2．
17.【答案】解：(1)由题意，得k2−3k+4=2，且k−1≠0. 解得k=2．
(2)把k=2代入y=(k−1)xk2−3k+4+2x−1， 得y=x2+2x−1. 当x=0.5时，y=14．
【解析】见答案
18.【答案】解：(1)连接OP，AP，过点P作PH⊥x轴于H，
则OA=6，PH=y=x2，
∴S=12OA⋅PH=12×6⋅x2=3x2；
(2)当S=6时，3x2=6，∴x=±2．
又P点在第一象限，∴x=2．
当x=2时，y=(2)2=2，
∴P点的坐标为(2,2)；
(3)∵P′O=P′A，∴P′在线段OA的垂直平分线上，
∴P′的横坐标为3，当x=3时，y=x2=9，
∴P′的坐标为(3,9)．
【解析】考查了二次函数，本题是二次函数的解析式的求解，与线段的垂直平分线的判定方法，相结合的问题．
(1)已知A点坐标为(6,0)，可以得到OA=6，△POA中OA边上的高就是P点的纵坐标．根据三角形的面积公式就可以求出．(2)把S=6代入(1)中求得的函数解析式，求出x的值，就可以得到P点的坐标．
(3)使P′O=P′A，则P′一定在线段OA的垂直平分线上，OA的垂直平分线的解析式是x=3，因而把x=3代入函数y=x 2的解析式，就可以求出点的纵坐标．
19.【答案】解：(1)将(−4,8)代入y=ax2得8=16a，
解得a=12，
把(−4,8)代入y=−12x+b得8=2+b，
解得b=6．
(2)作AE⊥OC于E，DF⊥OC于F，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD=90°，
∴∠ACE+∠DCF=90°，
∵∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠DCF=∠CAE，
又∵CD=CA，
∴△AEC≌△CFD(AAS)，
∴CE=DF，CF=AE=4，
将x=0代入y=−12x+6得y=6，
∴点C坐标为(0,6)，
∴CE=DF=8−6=2，
∵OF=OC−CF=OC−OE=2，
∴点D坐标为(−2,2)，
把x=−2代入y=12x2得y=2，
∴点D在抛物线上．
【解析】(1)将点A坐标分别代入直线与抛物线解析式求解．
(2)作AE⊥OC于E，DF⊥OC于F，证明△AEC≌△CFD，从而可得点D坐标，即可证明点D在抛物线上．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握全等三角形的判定与性质．
20.【答案】解：(1)把A(2,0)、B(0,−6)代入y=−12x2+bx+c，
得−2+2b+c=0c=−6,
解得b=4c=−6,
∴这个二次函数的解析式为y=−12x2+4x−6；
(2)∵该抛物线对称轴为直线x=−42×(−12)=4，
∴点C的坐标为(4,0)，
∴AC=OC−OA=4−2=2，
∴S△ABC=12×AC×OB=12×2×6=6．
【解析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积，以及二次函数与一元二次方程．
(1)二次函数图象经过A(2,0)、B(0,−6)两点，两点代入y=−12x2+bx+c，算出b和c，即可得解析式．
(2)先求出对称轴方程，写出C点的坐标，计算出AC，然后由面积公式计算值．
21.【答案】解：(1)将A(−1,0)，B(3,0)代入y=−x2+bx+c得，
0=−1−b+c0=−9+3b+c，解得b=2c=3，
∴y=−x2+2x+3，
∴抛物线对称轴为直线x=22=1．
(2)①设点P坐标为(0,p)，
由题意可得P1(−n,p)，P2(2n,p)，P1与P2关于抛物线对称轴对称，
∵抛物线对称轴为直线x=1，
∴−n+2n2=1，解得n=2；
②将x=4代入y=−x2+2x+3得y=−16+8+3=−5，
∴直线P1P2为y=−5，
∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
∴抛物线顶点坐标为(1,4)，
∴点C纵坐标取值范围是−5
(1)通过待定系数法求函数解析式，由x=−b2a求抛物线对称轴．
(2)①由抛物线的对称性求解；②求出点P1或P2的纵坐标与抛物线顶点坐标，进而求解．
22.【答案】解：(1)当x=0时，y=−16(0−5)2+6=116，
∴点A的坐标为(0,116)
∴雕塑高OA为116m.
(2)当y=0时，−16(x−5)2+6=0，
解得x1=−1(舍去)，x2=11．
∴点D的坐标为(11,0)．
∴OD=11m．
∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，
∴OC=OD=11m．
∴CD=OC+OD=22m．
(3)当x=10时，y=−16(10−5)2+6=116，
∴点(10,116)在抛物线y=−16(x−5)2+6上．
又∵116≈1.83>1.8，
∵顶部F不会碰到水柱．
【解析】见答案
23.【答案】解：(1)∵y与x满足一次函数的关系，
∴设y=kx+b，k≠0
将x=12，y=1200；x=13，y=1100代入得：
1200=12k+b1100=13k+b，
解得：k=−100b=2400，
∴y与x的函数关系式为：y=−100x+2400；
(2)设线上和线下月利润总和为m元，
则m=400(x−2−10)+y(x−10)
=400x−4800+(−100x+2400)(x−10)
=−100(x−19)2+7300，
∴当x为19元/件时，线上和线下月利润总和达到最大，此时的最大利润为7300元．
【解析】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求一次函数的解析式等知识；熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
(1)由待定系数法求出y与x的函数关系式即可；
(2)设线上和线下月利润总和为m元，则m=400(x−2−10)+y(x−10)=400x−4800+(−100x+2400)(x−10)=−100(x−19)2+7300，由二次函数的性质即可得出答案．
24.【答案】解：(1)抛物线解析式为y=(x−2)(x−4)，
即y=x2−6x+8，
当x=0时，y=x2−6x+8=8，即C(0,8)，
所以当x<0时，y>8；
(2)∵线段OB向右平移m个单位，向上平移n个单位至O′B′，
∴O′(m,n)，B′(4+m,n)，
∵点O′，B′均落在此二次函数图象上，
∴m2−6m+8=n(4+m)2−6(4+m)+8=n，解得m=1n=3，
即m的值为1，n的值为3．
【解析】(1)利用交点式写出抛物线解析式，再求出C点坐标，然后写出在y轴左侧的二次函数值的范围即可；
(2)利用点平移的坐标变换规律写出O′(m,n)，B′(4+m,n)，把它们代入抛物线解析式得到m2−6m+8=n(4+m)2−6(4+m)+8=n，然后解方程组即可．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
25.【答案】解：(1)设y=0，
∴0=ax2+bx−(a+b)，
∵△=b2−4⋅a[−(a+b)]=b2+4ab+4a2=(2a+b)2≥0，
∴方程有两个不相等实数根或两个相等实根．
∴二次函数图象与x轴的交点的个数有两个或一个；
(2)当x=1时，y=a+b−(a+b)=0，
∴抛物线不经过点C，
把点A(−1,4)，B(0,−1)分别代入得，
4=a−b−(a+b)−1=−(a+b)，解得a=3b=−2，
∴抛物线解析式为y=3x2−2x−1；
(3)当x=2时，m=4a+2b−(a+b)=3a+b>0①，
∵a+b<0，
∴−a−b>0②，
①②相加得：2a>0，
∴a>0．
【解析】本题考查了二次函数图象和性质及数形结合思想．解答时，注意将相关的点坐标代入解析式．
(1)利用一元二次方程根的判别式进行判断即可；
(2)当x=1时，y=0，所以抛物线过A、B两点，然后根据待定系数法求解析式即可；
(3)把x=2代入y=ax2+bx−(a+b)，用a、b表示m，由m的范围结合a+b>0可解．
相关试卷
初中数学北师大版九年级下册1 圆单元测试综合训练题： 这是一份初中数学北师大版九年级下册1 圆单元测试综合训练题，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
初中数学北师大版九年级下册第二章 二次函数1 二次函数单元测试课时作业： 这是一份初中数学北师大版九年级下册第二章 二次函数1 二次函数单元测试课时作业，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
浙教版九年级上册第2章 简单事件的概率2.2 简单事件的概率优秀单元测试课后复习题： 这是一份浙教版九年级上册第2章 简单事件的概率2.2 简单事件的概率优秀单元测试课后复习题，共18页。试卷主要包含了选择题，四象限的概率是，解答题等内容，欢迎下载使用。
