北师大版九年级数学下册期末检测4（含答案）

这是一份北师大版九年级数学下册期末检测4（含答案），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

北师大版九下数学期末综合素质评价
一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．2cos 45°的值等于(　　)
A．1 B. C. D．2
2．把抛物线y＝－2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得抛物线对应的函数表达式为(　　)
A．y＝－2(x＋1)2＋2 B．y＝－2(x＋1)2－2
C．y＝－2(x－1)2＋2 D．y＝－2(x－1)2－2
3．如图，已知二次函数的图象(0≤x≤1＋2 )．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是(　　)
A．有最小值－2，无最大值 B．有最小值－2，有最大值－1.5
C．有最小值－2，有最大值2 D．有最小值－1.5，有最大值2
(第3题)　　(第4题)
　　(第5题)　　(第6题)
4．如图，AB是一条东西走向的海岸线，在码头A的北偏东60°且距离该码头50海里的C处有一艘轮船，该轮船正以20海里/时的速度向海岸AB驶来，那么该轮船到达海岸AB所需要的时间最少为(　　)
A．1小时 B.小时 C.小时 D.小时
5．如图，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E两两不相交，且半径都是1，则图中阴影部分的面积是(　　)
A.π B．π C.π D.π
6．如图，每个小正方形的边长均相等，则sin∠BAC的值为(　　)
A．1 B. C. D.
7．已知a，b，c满足a＋b＝－c，4a＋c＝2b，则二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴为(　　)
A．直线x＝1 B．直线x＝－1
C．直线x＝ D．直线x＝－
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，BD，且AC＝BC，∠ADC＝130°，则∠ADB的度数为(　　)
A．50° B．60° C．70° D．80°
(第8题)　　(第9题)　(第10题)
9．如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO，AO与⊙O交于点C，BD为⊙O的直径，连接CD.若∠A＝30°，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为(　　)
A.－ B.－2 C．π－ D.－
10．如图，将抛物线y＝x2－4x位于x轴下方的部分沿x轴翻折，直线l∥x轴，与图象交于A，B，C，D四点，若BC＝AD，则AD的长为 (　　)
A. B. C. D.
二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分)
11．写出一个满足“当x>2时，y随x的增大而减小”的二次函数表达式____________．
12．如图，直径为10的⊙A经过点C(0，6)和点O(0，0)，与x轴的正半轴交于点D，B是⊙A在y轴右侧部分上的一点，则cos∠OBC＝________．
(第12题)　(第13题)
　　(第14题)　(第15题)
13．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个交点坐标分别为A，B(1，1)，则关于x的方程ax2－bx－c＝0的解为______________．
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC边上一点，且AD＝BD＝5，tan∠CBD＝，则线段AB的长度是________．
15．如图，某公园入口处有三级台阶，每级台阶高为18 cm，深为30 cm，为了方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起点为C，现设计斜坡BC的坡度i＝15，则AC的长是________cm.
16．如图，在△ABC中，BC＝4 ，高AD，BE交于点M，若△ABC的外接圆的半径长为4，则DM的最大值为________．

三、解答题(本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(8分)计算：|－3|＋·tan 30°－(3.14－π)0＋sin260°.









18．(8分)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象的顶点为P(－1，2)，且图象经过点A(1，0)．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)请结合图象，直接写出当y＞0时，x的取值范围．











19．(8分)如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D在边BC上，连接AD，过点D作射线DE⊥AD.
(1)在射线DE上求作点M，使得△ADM∽△ABC(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
(2)在(1)的条件下，若cos∠BAD＝，BC＝6，求DM的长．











20．(8分)如图，在⊙O中，弦AC，BD相交于点E，连接AD，已知AC＝BD.
(1)求证：∠A＝∠D；
(2)若AC⊥BD，⊙O的半径为6，求的长．
















21．(8分)如图，已知二次函数y＝a(x－h)2＋的图象经过O(0，0)，A(2，0)两点．
(1)写出该函数图象的对称轴；
(2)若将线段OA绕点O逆时针旋转60°得到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点．并说明理由．











22．(10分)超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到永丰路的距离为100米的点P处．一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为4秒，∠APO＝60°，∠BPO＝45°.
(1)求A，B之间的路程；
(2)请判断此车是否超过了永丰路54千米/时的限制速度(参考数据：≈1.73)．






23．(10分)如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是上不与B，D重合的点，sin A＝.
(1)求∠BED的大小；
(2)若⊙O的半径为3，点F在AB的延长线上，且BF＝3 ，求证：DF与⊙O相切．








24. (12分)在校园嘉年华中，九年级同学将对一块长20 m，宽10 m的场地进行布置，设计方案如图所示．阴影区域为绿化区(四个全等的矩形)，空白区域为活动区，且4个出口宽度相同，其宽度不小于4 m，不大于8 m．设出口宽度均为x(m)，活动区面积为y(m2)．
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)当出口宽度为多少时，活动区面积最大？最大面积是多少？
(3)若活动区布置成本为10元/m2，绿化区布置成本为8元/m2，布置场地的预算不超过1 850元，当x为整数时，请求出符合预算且使活动区面积最大的x值及此时的布置成本．















25．(14分)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴只有一个公共点．
(1)若抛物线过点P(0，1)，求a＋b的最小值；
(2)已知点P1(－2，1)，P2(2，－1)，P3(2，1)中恰有两点在抛物线上．
①求抛物线的表达式；
②设直线l：y＝kx＋1与抛物线交于M，N两点，点A在直线y＝－1上，且∠MAN＝90°，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和直线l于点B，C.求证：△MAB与△MBC的面积相等．

答案
一、1.B　2.C　3.C　4.B　5.A　6.D　7.D　8.D　9.A
10．D　
二、11.y＝－(x－2)2(答案不唯一)　12.　
13．x1＝－，x2＝1　14.4 　15.210　16.2
三、17.解：原式＝3＋×－1＋＝3＋1－1＋＝3.
18．解：(1)∵该二次函数的图象的顶点为P(－1，2)，
∴该二次函数的表达式可化为y＝a(x＋1)2＋2，
∵图象经过点A(1，0)，∴0＝a(1＋1)2＋2，
解得a＝－.∴该二次函数的表达式为y＝－(x＋1)2＋2，即y＝－x2－x＋.
(2)－3＜x＜1.
19．解：(1)如图，点M即为所求作．

(2)∵△ADM∽△ABC，∴＝.∵在Rt△ABD中，
cos∠BAD＝＝，∴＝.∵BC＝6，∴DM＝9.
20．(1)证明：∵AC＝BD，∴＝，
∴－＝－，即＝，∴∠A＝∠D.
(2)解：如图，连接OC、OD.∵AC⊥BD，∠A＝∠D，
∴∠A＝45°，由圆周角定理得：∠COD＝2∠A＝90°，
∴的长＝＝3π.

21．解：(1)∵二次函数y＝a(x－h)2＋的图象经过O(0，0)，A(2，0)两点，
∴该函数图象的对称轴为直线x＝1.
(2)点A′是该函数图象的顶点．
理由：如图，过A′作A′B⊥x轴于点B，则∠OBA′＝90°.

∵线段OA绕点O逆时针旋转60°得到OA′，
O(0，0)，A(2，0)，∴OA′＝OA＝2，∠AOA′＝60°.
∴OB＝OA′·cos∠AOA′＝1，A′B＝OA′·sin∠AOA′＝.
∴点A′的坐标为(1，)．由(1)易知h＝1，该函数图象的顶点坐标为(1，)，∴点A′是该函数图象的顶点．
22．解：(1)在Rt△BOP中，∠BPO＝45°，
∴OB＝OP＝100米．在Rt△AOP中，∠APO＝60°，
∴AO＝OP·tan∠APO＝100 米，
∴AB＝AO－BO＝100(－1)米．
(2)∵此车的速度＝＝25(－1)≈25×0.73＝18.25(米/秒)，
54千米/时＝15米/秒，15米/秒＜18.25米/秒，
∴此车超过了永丰路54千米/时的限制速度．
23．(1)解：连接OB，如图．∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠ABO＝90°，∵sin A＝，∴∠A＝30°，
∴∠BOD＝∠ABO＋∠A＝120°，
∴∠BED＝∠BOD＝60°.

(2)证明：连接OF，如图．由(1)得，∠OBF＝∠ABO＝90°.∵BF＝3 ，OB＝3，∴tan∠BOF＝＝，
∴∠BOF＝60°，∵∠BOD＝120°，∴∠BOF＝∠DOF＝60°，
在△BOF和△DOF中，
∴△BOF≌△DOF，∴∠OBF＝∠ODF＝90°，
∴DF与⊙O相切．
24．解：(1)根据题意得：
y＝20×10－4××
＝200－(20－x)(10－x)
＝200－200＋30x－x2＝－x2＋30x，
∴y与x之间的函数表达式为y＝－x2＋30x(4≤x≤8)．
(2)由(1)知：y＝－x2＋30x＝－(x－15)2＋225，
∵－1＜0，∴当x＜15时，y随x的增大而增大，
∵4≤x≤8，∴当x＝8时，y有最大值，最大值为176，
∴当出口宽度为8 m时，活动区面积最大，最大面积是176 m2.
(3)设布置成本为w元，
则w＝10(－x2＋30x)＋8[200－(－x2＋30x)]
＝－10x2＋300x＋1 600＋8x2－240x
＝－2x2＋60x＋1 600，令w＝1 850，
则－2x2＋60x＋1 600＝1850，解得：x1＝25，x2＝5，
∵4≤x≤8，∴x＝25不符合题意，舍去．
∴x取值范围为4≤x≤5.
由(2)可知：当x<15时，y随x的增大而增大．
∴当x＝5时，活动区面积最大，此时的布置成本为1 850元．
25．(1)解：把P(0，1)代入y＝ax2＋bx＋c得：c＝1，
∴y＝ax2＋bx＋1，又∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴Δ＝b2－4a＝0，即a＝，∴a＋b＝b2＋b＝(b＋2)2－1，∴当b＝－2时，a＋b有最小值为－1.
(2)解：①∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴抛物线的顶点在x轴上，其余点在x轴的同一侧．
∴P1(－2，1)，P3(2，1)在抛物线上，
又∵P1，P3关于y轴对称，∴抛物线顶点为原点(0，0)．
设抛物线表达式为y＝ax2，
将P1(－2，1)代入得：y＝x2，
∴抛物线的表达式为y＝x2.
②证明：根据题意画图，如图所示．联立直线l和抛物线得：x2－4kx－4＝0，
设M(x1，kx1＋1)，N(x2，kx2＋1)，
由韦达定理得：x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，
设线段MN的中点为T，A的坐标为(m，－1)，则T的坐标为(2k，2k2＋1)，∴AT2＝(2k－m)2＋(2k2＋2)2，
由题意得：MN2＝(x1－x2)2＋(kx1－kx2)2＝16(k4＋2k2＋1)，
∵∠MAN＝90°，∴△MAN是直角三角形，且MN是斜边，
∴MN＝AT，即MN2＝AT2，
∴×16(k4＋2k2＋1)＝(2k－m)2＋(2k2＋2)2，解得m＝2k，∴A(2k，－1)，∴B(2k，k2)，∴C(2k，2k2＋1)，
∵＝k2，∴B是AC的中点，∴AB＝BC，
又∵△MAB与△MBC的高都是点M到直线AC的距离，∴△MAB与△MBC的高相等，∴△MAB与△MBC的面积相等．