北师大版九年级数学下册期中检测2（含答案）

这是一份北师大版九年级数学下册期中检测2（含答案），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

北师大版九年级（下）期中数学试卷
一、选择题：（本题10个小题，每题3分，共30分
1．下列说法中，正确的是（　　）
A．3与﹣3互为倒数 B．3与互为相反数
C．0的相反数是0 D．5的绝对值是﹣5
2．贴窗花是我国春节喜庆活动的一个重要内容，它起源于西汉时期，历史悠久，风格独特，深受国内外人土的喜爱．下列窗花作品为轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．《百合绽放》是百合外国语学校在20年校庆之际，融入全校教职工和学生智慧于一体而编写的，该书凸显了百外建校以来的“和合而生”的教育理念和收括了许多的教育案例，该书第一次印刷就出版了5500册．将5500用科学记数法表示为（　　）

A．0.55×104 B．5.5×103 C．5.5×104 D．55×102
4．下列运算正确的是（　　）
A．a6÷a2＝a3 B．a2+a3＝a5
C．﹣2（a+b）＝﹣2a+b D．（﹣2a2）2＝4a4
5．费尔兹奖是国际上享有崇高声誉的一个数学奖项，每四年评选一次，主要授子年轻的数学家．下面数据是部分获奖者获奖时的年龄（单位：岁）：31，32，33，35，35，39，则这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．35，35 B．34，33 C．34，35 D．35，34
6．一个布袋中放着6个黑球和18个红球，除了颜色以外没有任何其他区别．则从布袋中任取1个球，取出黑球的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．如图所示，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，点B在直线b上AB⊥AC，若∠1＝140°，则∠2的度数是（　　）

A．30° B．40° C．50° D．70°
8．如图，在△ABC中，∠A＝70°，且AC＝BC，根据图中的尺规作图痕迹，计算∠α＝（　　）

A．3° B．5° C．8° D．10°
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣1，n），其部分图象如图所示，则以下结论错误的是 （　　）

A．abc＞0
B．a+b+c＞0
C．2a＝b
D．关于x的方程ax2+bx+c＝n+1无实数根
10．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点G，则下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝50°，则∠BEC＝130°；③若点G为BC的中点，则∠BGD＝90°；④BD＝DE．其中一定正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：（本题5个小题，每题3分，共15分）
11．分解因式：ax2﹣a＝　 　．
12．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF⊥AC，垂足为F．若AB＝4，AC＝6，DE＝3，则BF的长为 　 　．

13．若关于x的一元二次方程3x2+6x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 　 　．
14．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的斜边BC⊥x轴于点B，直角顶点A在y轴上，双曲线y＝（k≠0）经过AC边的中点D，若BC＝2，则k＝　 　．

15．如图，在矩形ABCD中，点O是AB的中点，点M是线段CD上动点，点P在线段AM上（不与点A重合），且OP＝AB，点Q在边AD上，AB＝5，AD＝4，DQ＝1.6，当∠CPQ＝90°时，则DM＝　 　．

三、解答题：（本题7个小题，共55分）
16．解不等式组：．
17．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中 x＝﹣1．
18．深圳百合外国语学校建校20多年来，形成了“优良的校园文化，厚重的人文底蕴”，为深入了解我校的校园文化，九年级1班某学习小组开展以“课间10分钟，您如何度过？”为主题的调查活动．在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生必选且只能选取一项活动类别），将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢打羽毛球的学生人数占所调查人数的25%．请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）若百合外国语学校共有2020名学生，请你估计我校最喜欢听课间音乐的学生共有多少名．

19．深圳市南山区不仅是一座美丽的海滨之城，更是一个充满了青春与活力的科技之城、创新之城，连续5年蝉联全国“百强区”第一名．该区的无人机制造商“大疆创新科技”更是享誉全球．该公司旗下无人机配件销售部现有A和B两种配件，它们的进价和售价如表．用15000元可购进A产品50件和B产品25件．（利润＝售价﹣进价）
（1）求A种配件进价a的值．
（2）若该配件销售部购进A种配件和B种配件共300件，据市场销售分析，B种配件进货件数不低于A种配件件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？
种类
A种配件
B种配件
进价（元/件）
a
80
售价（元/件）
300
100
20．已知，如图所示，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D是⊙O外一点，∠BCD＝∠BAC，连接OD交BC于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若CE＝OA，AB＝10，AC＝6，求tan∠CEO的值．

21．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．
（1）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）

公式①：（a+b+c）d＝ad+bd+cd
公式②：（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd
公式③：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
公式④：（a+b）2＝a2+2ab+b2
图1对应公式 　 　，图2对应公式 　 　，图3对应公式 　 　，图4对应公式 　 　．
（2）《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的方法，如图5，请写出证明过程；（已知图中各四边形均为矩形）
（3）如图6，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D为BC的中点，E为边AC上任意一点（不与端点重合），过点E作EG⊥BC于点G，作EH⊥AD于点H，过点B作BF∥AC交EG的延长线于点F．记△BFG与△CEG的面积之和为S1，△ABD与△AEH的面积之和为S2．
①若E为边AC的中点，则的值为 　 　；
②若E不为边AC的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．

22．阅读材料：小百合特别喜欢探究数学问题，一天万老师给她这样一个几何问题：
如图1，△ABC和△BDE都是等边三角形，将△BDE绕着点B旋转α°，求证：AE＝CD．
【探究发现】（1）小百合很快就通过△ABE≌△CBD，论证了AE＝CD，于是她想，把等边△ABC和等边△BDE都换成等腰直角三角形，如图2，将△BDE绕着点B旋转α°，其中∠ACB＝∠EDB＝90°那么AE和CD有什么数量关系呢？请写出你的结论，并给出证明．
【拓展迁移】（2）如果把等腰直角三角形换成正方形，如图3，将正方形AFEG绕点A旋转α°，若AB＝6，AG＝4，在旋转过程中，当C，G，E三点共线时，请直接写出DG的长度．
【拓展延伸】（3）小百合继续探究，做了如下变式：如图4，矩形ABCD≌矩形FECG，且具有公共顶点C，将矩形ABCD固定，另一个矩形FECG绕着点C顺时针旋转α°（0＜α＜90），连接AF、DG，直线GD交AF于点H，在旋转的过程中，试证明H为AF的中点．



参考答案
一、选择题：（本题10个小题，每题3分，共30分
1．下列说法中，正确的是（　　）
A．3与﹣3互为倒数 B．3与互为相反数
C．0的相反数是0 D．5的绝对值是﹣5
【分析】根据倒数、相反数以及绝对值的计算法则解答．
解：A、3与互为倒数，不符合题意；
B、3与﹣3互为相反数，不符合题意；
C、0的相反数是0，符合题意；
D、5的绝对值是5，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了相反数，倒数的定义以及绝对值，属于基础题，熟记概念即可进行判断．
2．贴窗花是我国春节喜庆活动的一个重要内容，它起源于西汉时期，历史悠久，风格独特，深受国内外人土的喜爱．下列窗花作品为轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：选项B、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．《百合绽放》是百合外国语学校在20年校庆之际，融入全校教职工和学生智慧于一体而编写的，该书凸显了百外建校以来的“和合而生”的教育理念和收括了许多的教育案例，该书第一次印刷就出版了5500册．将5500用科学记数法表示为（　　）

A．0.55×104 B．5.5×103 C．5.5×104 D．55×102
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
解：5500＝5.5×103．
故选：B．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
4．下列运算正确的是（　　）
A．a6÷a2＝a3 B．a2+a3＝a5
C．﹣2（a+b）＝﹣2a+b D．（﹣2a2）2＝4a4
【分析】A、根据同底数幂的除法公式计算，即可判断；B、非同类项，不能合并；C、根据去括号法则计算，即可判断；D、根据积的乘方进行计算，即可判断．
解：A、a6÷a2＝a4，故A选项不符合题意；
B、a2+a3≠a5，故B选项不符合题意；
C、﹣2（a+b）＝﹣2a﹣2b，故C选项不符合题意；
D、（﹣2a2）2＝4a4，故D选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查整式化简，掌握相关运算法则是解题关键．
5．费尔兹奖是国际上享有崇高声誉的一个数学奖项，每四年评选一次，主要授子年轻的数学家．下面数据是部分获奖者获奖时的年龄（单位：岁）：31，32，33，35，35，39，则这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．35，35 B．34，33 C．34，35 D．35，34
【分析】根据中位数和众数的定义求解可得．
解：∵35出现了2次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是35；
把这些数从小到大排列为31，32，33，35，35，39，
中位数是＝34；
故选：D．
【点评】本题主要考查众数和中位数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
6．一个布袋中放着6个黑球和18个红球，除了颜色以外没有任何其他区别．则从布袋中任取1个球，取出黑球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，可知存在6+18＝24种可能性，其中抽到黑球的有6种可能性，从而可以求出从布袋中任取1个球，取出黑球的概率．
解：∵一个布袋中放着6个黑球和18个红球，
∴从布袋中任取1个球，取出黑球的概率是＝＝，
故选：A．
【点评】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
7．如图所示，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，点B在直线b上AB⊥AC，若∠1＝140°，则∠2的度数是（　　）

A．30° B．40° C．50° D．70°
【分析】首先利用平行线的性质得到∠1＝∠DAC，然后利用AB⊥AC得到∠BAC＝90°，最后利用角的和差关系求解．
解：如图所示，
∵直线a∥b，
∴∠1＝∠DAC，
∵∠1＝140°，
∴∠DAC＝140°，
又∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴∠2＝∠DAC﹣∠BAC＝140°﹣90°＝50°．
故选：C．

【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确平行线的性质，求出∠DAC的度数．
8．如图，在△ABC中，∠A＝70°，且AC＝BC，根据图中的尺规作图痕迹，计算∠α＝（　　）

A．3° B．5° C．8° D．10°
【分析】由作图得：DE垂直平分BC，BD平分∠ABC，根据角平分线和线段垂直平分线的性质求解．
解：
由作图得：DE垂直平分BC，BD平分∠ABC，
∴BD＝CD，
∴∠DBC＝∠DCB，
∵AC＝BC，
∴∠ABC＝∠ABC＝70°，
∴∠ACB＝40°，∠DBC＝35°＝∠DCB，
∴∠a＝∠ACB﹣∠DCB＝5°，
故选：B．
【点评】本题考查了基本作图，掌握角平分线和线段垂直平分线的性质是解题的关键．
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣1，n），其部分图象如图所示，则以下结论错误的是 （　　）

A．abc＞0
B．a+b+c＞0
C．2a＝b
D．关于x的方程ax2+bx+c＝n+1无实数根
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对A、C进行判断；根据x＝1时，y＜0，可对B进行判断；根据抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n+1无交点，可对D进行判断．
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，
故A、C正确，不合题意；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（0，0）和（1，0）之间，
∴x＝1时，y＜0，
即a+b+c＜0，
故B错误，符合题意；
∵抛物线开口向下，顶点为（﹣1，n），
∴函数有最大值n，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n+1无交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝n+1无实数根，
故D正确，不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次是图象上点的坐标特征，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，能够把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题的关键．
10．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点G，则下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝50°，则∠BEC＝130°；③若点G为BC的中点，则∠BGD＝90°；④BD＝DE．其中一定正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用三角形内心的性质得到∠BAD＝∠CAD，则可对①进行判断；直接利用三角形内心的性质对②进行判断；根据垂径定理则可对③进行判断；通过证明∠DEB＝∠DBE得到DB＝DE，则可对④进行判断．
解：∵E是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
故①正确；
如图，连接BE，CE，

∵E是△ABC的内心，
∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝ACB，
∵∠BAC＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝130°，
∴∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠ECB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝130°，
故②正确；

∵∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∴OD⊥BC，
∵点G为BC的中点，
∴G一定在OD上，
∴∠BGD＝90°，
故③正确；
如图，连接BE，
∴BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠DBC＝∠DAC＝∠BAD，
∴∠DBC+∠EBC＝∠EBA+∠EAB，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DB＝DE，
故④正确，
∴一定正确的①②③④，共4个，
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，掌握三角形的内心与外心是解决本题的关键．
二、填空题：（本题5个小题，每题3分，共15分）
11．分解因式：ax2﹣a＝　a（x+1）（x﹣1）　．
【分析】应先提取公因式a，再利用平方差公式进行二次分解．
解：ax2﹣a，
＝a（x2﹣1），
＝a（x+1）（x﹣1）．
【点评】主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，分解因式要彻底，直到不能再分解为止．
12．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF⊥AC，垂足为F．若AB＝4，AC＝6，DE＝3，则BF的长为 　2　．

【分析】利用平行四边形的面积公式 S平行四边形ABCD＝AB•DE＝AC•BF 即可求解．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，且DE⊥AB，BF⊥AC，
∴S平行四边形ABCD＝AB•DE＝2××AC•BF，
∴4×3＝2××6×BF，
∴BF＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，利用平行四边形的面积公式求垂线段的长是解题关键．
13．若关于x的一元二次方程3x2+6x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 　3　．
【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义，方程3x2+6x+m＝0有两个相等的实数根，则有Δ＝0，得到关于m的方程，解方程即可．
解：∵关于x的一元二次方程3x2+6x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即62﹣4×3×m＝0，
解得m＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
14．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的斜边BC⊥x轴于点B，直角顶点A在y轴上，双曲线y＝（k≠0）经过AC边的中点D，若BC＝2，则k＝　﹣　．

【分析】如图，过点A作AE⊥BC于E，根据直角三角形斜边中线的性质可得AE＝，得点A和C的坐标，根据中点坐标公式可得点D的坐标，从而得结论．
解：如图，过点A作AE⊥BC于E，

∵等腰直角三角形ABC的斜边BC⊥x轴于点B，
∴CE＝BE，
∴AE＝BC＝，
∴A（0，），C（﹣，2），
∵D是AC的中点，
∴D（﹣，），
∴k＝﹣×＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
15．如图，在矩形ABCD中，点O是AB的中点，点M是线段CD上动点，点P在线段AM上（不与点A重合），且OP＝AB，点Q在边AD上，AB＝5，AD＝4，DQ＝1.6，当∠CPQ＝90°时，则DM＝　　．

【分析】过点P作GH∥CD，交AD于G，交BC于H，设DM＝x，QG＝a，则CH＝a+1.6，BH＝AG＝4﹣1.6﹣a＝2.4﹣a，根据相似三角形的性质得到PG＝0.6x﹣0.25ax，根据三角函数的定义得到PH•PG＝QG•CH，同理得到∠APG＝∠PBH，推出PG•PH＝AG•BH＝AG2，解方程即可得到结论．
解：过点P作GH∥CD，交AD于G，交BC于H，

设DM＝x，QG＝a，则CH＝a+1.6，BH＝AG＝4﹣1.6﹣a＝2.4﹣a，
∵PG∥DM，
∴△AGP∽△ADM，
∴，即，
∴PG＝0.6x﹣0.25ax，
∵∠CPQ＝90°，
∴∠CPH+∠QPG＝90°，
∵∠CPH+∠PCH＝90°，
∴∠QPG＝∠PCH，
∴tan∠QPG＝tan∠PCH，即，
∴PH•PG＝QG•CH，
同理得：∠APG＝∠PBH，
∴tan∠APG＝tan∠PBH，即，
∴PG•PH＝AG•BH＝AG2，
∴AG2＝QG•CH，即（2.4﹣a）2＝a（1.6+a），
∴a＝0.9，
∵PG•PH＝AG2，
∴（0.6x﹣x）•（5﹣0.6x+x）＝（﹣）2，
解得：x1＝12（舍），x2＝，
∴DM＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题：（本题7个小题，共55分）
16．解不等式组：．
【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集即可．
解：解不等式5x+1＞3（x﹣1），得x＞﹣2，
解不等式，得x＜6，
故原不等式组的解集为﹣2＜x＜6．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键．
17．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中 x＝﹣1．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
解：原式＝（﹣）•
＝•
＝x+1，
当x＝﹣1时，
原式＝﹣1+1
＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
18．深圳百合外国语学校建校20多年来，形成了“优良的校园文化，厚重的人文底蕴”，为深入了解我校的校园文化，九年级1班某学习小组开展以“课间10分钟，您如何度过？”为主题的调查活动．在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生必选且只能选取一项活动类别），将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢打羽毛球的学生人数占所调查人数的25%．请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）若百合外国语学校共有2020名学生，请你估计我校最喜欢听课间音乐的学生共有多少名．

【分析】（1）先从条形图中确定喜欢打羽毛球的学生数，利用“调查人数＝喜欢打羽毛球人数÷喜欢打羽毛球人数占调查人数的百分比”得结论；
（2）先算出喜欢散步的学生人数，再补全条形图；
（3）利用“该校喜欢某项人数＝该校人数×调查中喜欢某项人数的比”得结论．
解：（1）从条形图知：喜欢打羽毛球的学生有20人．
∵喜欢打羽毛球的学生人数占所调查人数的25%，
∴在这次调查中一共学生：20÷25%＝80（名）．
（2）喜欢校园散步的学生人数为：80﹣16﹣24﹣20＝20（名）.
（3）2020×＝606（名）．
答：喜欢听课间音乐的学生有606名．
【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
19．深圳市南山区不仅是一座美丽的海滨之城，更是一个充满了青春与活力的科技之城、创新之城，连续5年蝉联全国“百强区”第一名．该区的无人机制造商“大疆创新科技”更是享誉全球．该公司旗下无人机配件销售部现有A和B两种配件，它们的进价和售价如表．用15000元可购进A产品50件和B产品25件．（利润＝售价﹣进价）
（1）求A种配件进价a的值．
（2）若该配件销售部购进A种配件和B种配件共300件，据市场销售分析，B种配件进货件数不低于A种配件件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？
种类
A种配件
B种配件
进价（元/件）
a
80
售价（元/件）
300
100
【分析】（1）利用总价＝单价×数量，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值；
（2）设购进A种配件x件，则购进B种配件（300﹣x）件，根据B种配件进货件数不低于A种配件件数的2倍，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，设两种商品全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润＝每件的销售利润×销售数量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
解：（1）依题意得：50a+80×25＝15000，
解得：a＝260．
答：a的值为260；
（2）设购进A种配件x件，则购进B种配件（300﹣x）件，
依题意得：300﹣x≥2x，
解得：x≤100．
设两种配件全部售出后获得的总利润为w元，
则w＝（300﹣260）x+（100﹣80）（300﹣x）＝20x+6000．
∵20＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝100时，w取得最大值，最大值＝20×100+6000＝8000，
此时300﹣x＝300﹣100＝200．
答：当购进A种配件100件，B种配件200件时，才能使本次销售获得的利润最大，最大利润是8000元．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于x的函数关系式．
20．已知，如图所示，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D是⊙O外一点，∠BCD＝∠BAC，连接OD交BC于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若CE＝OA，AB＝10，AC＝6，求tan∠CEO的值．

【分析】（1）连接OC，证明OC⊥CD即可；
（2）过点O作OH⊥BC于点H，解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵∠BCD＝∠BAC，
∴∠OCB+∠DCB＝90°，
∴OC⊥CD，
∵OC为⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：过点O作OH⊥BC于点H．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝6，
∵OH⊥BC，OC＝OB
∴CH＝BH＝4，
∵OA＝OB＝AB＝5，
∴CE＝OA＝5，
∴OH＝AC＝3，
∴EH＝CE﹣CH＝5﹣4＝1，
∴tan∠CEO＝＝3．

【点评】本题考查切线的判定，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
21．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．
（1）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）

公式①：（a+b+c）d＝ad+bd+cd
公式②：（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd
公式③：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
公式④：（a+b）2＝a2+2ab+b2
图1对应公式 　①　，图2对应公式 　②　，图3对应公式 　④　，图4对应公式 　③　．
（2）《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的方法，如图5，请写出证明过程；（已知图中各四边形均为矩形）
（3）如图6，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D为BC的中点，E为边AC上任意一点（不与端点重合），过点E作EG⊥BC于点G，作EH⊥AD于点H，过点B作BF∥AC交EG的延长线于点F．记△BFG与△CEG的面积之和为S1，△ABD与△AEH的面积之和为S2．
①若E为边AC的中点，则的值为 　2　；
②若E不为边AC的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．

【分析】（1）观察图象可得图1对应公式①，图2对应公式②，图3对应公式④，图4对应公式③；
（2）由图可得S矩形AKLC＝AK•AC＝a（a﹣b）＝BF•BD＝S矩形DBFG，即可得S正方形BCEF＝a2＝S矩形AKHD+b2，从而有a2＝（a﹣b）（a+b）+b2，故（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（3）①设BD＝m，可得AD＝BD＝CD＝m，由E是AC中点，即得HE＝DG＝m＝AH，S1＝S△BFG+S△CEG＝m2，S2＝S△ABD+S△AEH＝m2，即得＝2；
②设BD＝a，DG＝b，可得AD＝BD＝CD＝a，AH＝HE＝DG＝b，EG＝CG＝a﹣b，FG＝BG＝a+b，S1＝S△BFG+S△CEG＝×（a+b）2+×（a﹣b）2＝a2+b2，S2＝S△ABD+S△AEH＝a2+×b2＝（a2+b2），从而＝2．
【解答】（1）解：观察图象可得：
图1对应公式①，图2对应公式②，图3对应公式④，图4对应公式③；
故答案为：①，②，④，③；
（2）证明：
如图：

由图可知，矩形BCEF和矩形EGHL都是正方形，
∵AK＝BM＝BF﹣MF＝a﹣b，BD＝BC﹣CD＝a﹣b，
∴S矩形AKLC＝AK•AC＝a（a﹣b）＝BF•BD＝S矩形DBFG，
∴S正方形BCEF＝a2＝S矩形CDHL+S矩形DBFG+S正方形EGHL＝S矩形CDHL+S矩形AKLC+b2，
∴a2＝S矩形AKHD+b2，
∵S矩形AKHD＝AK•AD＝（a﹣b）（a+b），
∴a2＝（a﹣b）（a+b）+b2，
∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（3）解：①设BD＝m，
由已知可得△ABD、△AEH、△CEG、△BFG是等腰直角三角形，四边形DGEH是矩形，
∴AD＝BD＝CD＝m，
∵E是AC中点，
∴HE＝DG＝m＝AH，
∴CG＝CD﹣DG＝m，BG＝FG＝BD+DG＝m，
∴S1＝S△BFG+S△CEG＝×m×m+×m×m＝m2，
S2＝S△ABD+S△AEH＝m2+×m×m＝m2，
∴＝2；
故答案为：2；
②E不为边AC的中点时①中的结论仍成立，证明如下：
设BD＝a，DG＝b，
由已知可得△ABD、△AEH、△CEG、△BFG是等腰直角三角形，四边形DGEH是矩形，
∴AD＝BD＝CD＝a，AH＝HE＝DG＝b，EG＝CG＝a﹣b，FG＝BG＝a+b，
∴S1＝S△BFG+S△CEG＝×（a+b）2+×（a﹣b）2＝a2+b2，
S2＝S△ABD+S△AEH＝a2+×b2＝（a2+b2），
∴＝2．
【点评】本题考查四边形综合应用，涉及平方差、完全平方公式的推导及应用，解题的关键是数形结合思想的应用．
22．阅读材料：小百合特别喜欢探究数学问题，一天万老师给她这样一个几何问题：
如图1，△ABC和△BDE都是等边三角形，将△BDE绕着点B旋转α°，求证：AE＝CD．
【探究发现】（1）小百合很快就通过△ABE≌△CBD，论证了AE＝CD，于是她想，把等边△ABC和等边△BDE都换成等腰直角三角形，如图2，将△BDE绕着点B旋转α°，其中∠ACB＝∠EDB＝90°那么AE和CD有什么数量关系呢？请写出你的结论，并给出证明．
【拓展迁移】（2）如果把等腰直角三角形换成正方形，如图3，将正方形AFEG绕点A旋转α°，若AB＝6，AG＝4，在旋转过程中，当C，G，E三点共线时，请直接写出DG的长度．
【拓展延伸】（3）小百合继续探究，做了如下变式：如图4，矩形ABCD≌矩形FECG，且具有公共顶点C，将矩形ABCD固定，另一个矩形FECG绕着点C顺时针旋转α°（0＜α＜90），连接AF、DG，直线GD交AF于点H，在旋转的过程中，试证明H为AF的中点．

【分析】阅读材料：证明△ABE≌△CBD（SAS），由全等三角形的性质得出AE＝CD；
（1）证明△ABE∽△CBD，由相似三角形的性质得出，则可得出结论；
（2）分两种情况画出图形，证明△ADG∽△ACE，根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得出答案；
（3）延长BA，GH交于点N，EF与DG交于点M，过点A作AK∥EF，则AK∥EF∥CG，设∠DGF＝α，证明△ADN≌△FGM（ASA），由全等三角形的性质得出AN＝FM，∠N＝∠FMG＝90°﹣α，证明△AKH≌△FMH（AAS），由全等三角形的性质得出AH＝HF．
【解答】阅读材料：
证明：∵△ABC和△BDE分别是等边三角形，
∴AB＝CB，BE＝BD，
∴∠ABC＝∠DBE＝60°，
∴∠ABC+∠CBE＝∠DBE+∠CBE，
即∠ABE＝∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD．
（1）解：∵△ABC，△DEB都是等腰直角三角形，
∴BA＝BC，BE＝BD，
∴，
∵∠ABC＝∠DBE＝45°，
∴∠ABE＝∠CBD，
∴△ABE∽△CBD，
∴，
∴AE＝CD；
（2）解：①如图：

由（1）知△ADG∽△ACE，
∴，
∴DG＝CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC＝6，
∴AC＝＝12，
∵四边形AFEG是正方形，
∴∠AGE＝90°，GE＝AG＝4，
∵C，G，E三点共线．
∴CG＝＝8，
∴CE＝CG﹣EG＝8﹣4，
∴DG＝CE＝8﹣2；
②如图：

由（1）知△ADG∽△ACE，
∴，
∴DG＝CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC＝6，AC＝12，
∵四边形AFEG是正方形，
∴∠AGE＝90°，GE＝AG＝4，
∵C，G，E三点共线．
∴∠AGC＝90°，
∴CG＝＝8，
∴CE＝CG+EG＝8+4，
∴DG＝CE＝8+2．
综上，当C，G，E三点共线时，DG的长度为8﹣2或8+2；
（3）证明：延长BA，GH交于点N，EF与DG交于点M，过点A作AK∥EF，则AK∥EF∥CG，

设∠DGF＝α，
∵四边形ECGF为矩形，
∴∠CGF＝90°，EF∥CG，
∴∠DCG＝90°﹣α，
∵矩形ABCD≌矩形FECG，
∴CD＝CG，
∴∠CDG＝∠CGD＝90°﹣α，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ADN＝90°﹣（90°﹣α）＝α，
∴∠ADN＝∠DGF，
又∵AD＝FG，∠NAD＝∠MFG，
∴△ADN≌△FGM（ASA），
∴AN＝FM，∠N＝∠FMG＝90°﹣α，
又∵AK∥CG，
∴∠AKN＝∠CGM＝90°﹣α，
∴∠N＝∠AKN，
∴AN＝AK，
∴AK＝FM，
∵AK∥FM，
∴∠KAH＝∠HFM，
∵∠AHK＝∠FHM，
∴△AKH≌△FMH（AAS），
∴AH＝HF，
即H为AF的中点．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．