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2022-2023学年广东省深圳市高一（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年广东省深圳市高一（下）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省深圳市高一（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合A={−1,0,1,2}，B={x|0
2. 设复数z满足iz=1+i(i是虚数单位)，则|z|=( )
A. 12 B. 2 C. 22 D. 2
3. 已知tanα=2，则cos2α=( )
A. 45 B. 35 C. −45 D. −35
4. 某户居民今年上半年每月的用水量(单位：t)如下：
月份
1月
2月
3月
4月
5月
6月
用水量
9.0
9.6
14.9
5.9
4.0
7.7
小明在录入数据时，不小心把一个数据9.6录成96，则这组数据中没有发生变化的量是( )
A. 平均数 B. 中位数 C. 极差 D. 标准差
5. 已知m，n是空间两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题错误的是( )
A. m//α，m⊂β，α⋂β=n，则m//n
B. m//n，m//α，n⊄α，则n//α
C. α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n
D. α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n
6. 在梯形ABCD中，若AB=2DC，且AC=xAB+yAD，则x+y=( )
A. 32 B. 2 C. 52 D. 3
7. 已知正实数m，n满足m+n=2，则下列不等式恒成立的为( )
A. lnm+lnn≥0 B. m2+n2≤2 C. 1m+1n≥2 D. m+ n≤ 2
8. 已知函数f(x)=ex+e−x+lg|x|，则不等式f(x+1)>f(2x−1)的解集为( )
A. (0,2) B. (0,12)⋃(12,2) C. (0,3) D. (0,12)⋃(12,3)
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知函数f(x)=cos(2x+π6)，则( )
A. f(x)的最小正周期为π B. f(x)的图象关于(−π12,0)对称
C. f(x)的图象关于x=5π12对称 D. f(x)在(0,π2)上单调递减
10. 将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，记事件A=“第一次出现奇数点”，事件B=“两次点数之积为偶数”，事件C=“两次点数之和为5”，则( )
A. 事件A⋃B是必然事件 B. 事件A与事件B是互斥事件
C. 事件B包含事件C D. 事件A与事件C是相互独立事件
11. 用[x]表示不超过x的最大整数，例如，[−1.2]=−2，[1.5]=1.已知f(x)=x+[x]，则( )
A. f(12)=12 B. f(x)为奇函数
C. ∃x1>x2，使得f(x1)
A. AB1⊥A1M
B. 三棱锥C1−AMB1的体积不变
C. |A1M|+|C1M|的最小值为3+ 5
D. 当M是BC的中点时，过A1，M，C1三点的平面截三棱柱ABC−A1B1C1外接球所得的截面面积为269π
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. lg2+lg5+π0=______．
14. 母线长为3的圆锥，其侧面展开图是圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的体积为______ ．
15. 高中数学兴趣小组计划测量某大厦的高度，选取与底部B在同一水平面内的两个基测点C与D.现测得∠BCD=15°，∠BDC=120°，CD=100米，在点C测得大厦顶A的仰角∠ACB=60°，则该大厦高度AB= ______ 米(精确到1米)．
参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732．
16. 四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，AB=2，CD=2 2，EF=1，点P满足PA⋅PB=0，则PC⋅PD的最大值为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知函数f(x)=sin(2x+θ)，其中θ∈(0,π2)，且f(π6)=1．
(1)求θ；
(2)若x∈[0,π4]，求f(x)的值域．
18. (本小题12.0分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b=2c−2acosB．
(1)求A；
(2)若a=3 3，c=2b，求△ABC的面积S．
19. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1)在[1,8]上的最大值为3．
(1)求a的值；
(2)当x∈[1,8]时，2−f(x)−f(x)+t⩾0，求实数t的取值范围．
20. (本小题12.0分)
某工厂引进了一条生产线，为了解产品的质量情况，现从生产线上随机抽取100件产品，测量其技术参数，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)由频率分布直方图，估计样本技术参数的平均数和75%分位数(精确到0.1)；
(2)现从技术参数位于区间[40,50)，[50,60)，[60,70)的三组中，采用分层抽样的方法抽取6件产品，再从这6件产品中任选3件产品，记事件A=“这3件产品中技术参数位于区间[40,50)内的产品至多1件”，事件B=“这3件产品中技术参数位于区间[50,60)内的产品至少1件”，求事件A⋂B的概率．
21. (本小题12.0分)
如图，三棱锥P−ABC的三个顶点A，B，C在圆O上，AB为圆O的直径，且AB=6，PA=PC=2 2，BC=2 5，平面PAC⊥平面PCB，点E是PB的中点．
(1)证明：平面PAC⊥平面ABC；
(2)点F是圆O上的一点，且点F与点C位于直径AB的两侧.当EF//平面PAC时，作出二面角E−BF−A的平面角，并求出它的正切值．
22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=|14x2−x|，g(x)=kx，f(x)与g(x)的图象恰有三个交点．
(1)求实数k的取值范围；
(2)用max{α,β}表示α，β中的最大值，设函数φ(x)=max{f(x),g(x)}(1⩽x⩽6)，用M，m分别表示φ(x)的最大值与最小值，求M，m，并求出M−m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了交集的运算问题．
根据交集的定义写出A∩B即可．
【解答】
解：集合A={−1,0,1,2}，B={x|0
2.【答案】D
【解析】解：∵iz=1+i，
∴z=1+ii=(1+i)(−i)i(−i)=−i−i2−i2=1−i，
∴|z|= 1+(−1)2= 2．
故选：D．
由复数的运算法则求出z，再直接求模即可．
本题考查复数的运算及复数的模，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：因tanα=2，则cos2α=cos2α−sin2α=cos2α−sin2αcos2α+sin2α=1−tan2α1+tan2α=−35．
故选：D．
利用二倍角的余弦公式，结合正余弦齐次式计算作答．
本题考查二倍角的三角函数，考查学生的运算能力，属于中档题．
4.【答案】B
【解析】解：只改变了其中一个数据，根据平均数及标准差的计算公式知，平均数及标准差均发生了变化，
实际数据由小到大排序为：4.0，5.9，7.7，9.0，9.6，14.9，中位数为7.7，9.0的平均数，极差为14.9−4.0，
错误数据由小到大排序为：4.0，5.9，7.7，9.0，14.9，96，中位数为7.7，9.0的平均数，极差为96−4.0，
所以中位数没有变化，极差变化了．
故选：B．
由平均数和标准差的计算公式可知，平均数与标准差均发生改变，由于最小值没变而最大值发生了变化，因而极差变化了，求中位数，可将数据按小到大顺序排列，由于只有6个数，所以取最中间的两个数并求其平均，即得中位数，因为最中间的两个数没有变化，因而中位数也没有变化．
本题主要考查了平均数、标准差、中位数和极差的计算公式，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，由平面与平面平行的性质，可得A正确；
对于B，由直线与平面平行的判定定理，可得B正确；
对于C，m与n的位置关系不确定，可以平面、相交，也可以异面，C错误；
对于D，由平面与平面垂直的性质，D正确．
故选：C．
根据题意，由直线与平面的位置关系，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
本题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系，涉及直线与平面平行、垂直的性质，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：∵AB=2DC，∴DC=12AB，
∴AC=AD+DC=AD+12AB，
∴x=12，y=1，
∴x+y=32．
故选：A．
利用平面向量的线性运算法则求解．
本题主要考查了平面向量的线性运算，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：对于A：∵m>0，n>0，m+n=2，∴由基本不等式可得m+n≥2 mn，
∴mn≤1，当且仅当m=n=1时，等号成立，lnm+lnn=lnmn≤ln1=0，故A错误；
∵2(m²+n²)=(m²+n²)+(m²+n²)≥m²+n²+2mn=(m+n)2=4，
可得m2+n2≥2，当且仅当m=n=1时，等号成立，B错误．
对于C：1m+1n=12(1m+1n)(m+n)=12(2+nm+mn)≥12(2+2 nm⋅mn)=2，
当且仅当nm=mn，即m=n=1时，等号成立，故C正确；
( m+ n)2=m+n+2 mn≤2(m+n)=4，因为 m+ n>0，
故 m+ n≤2，当且仅当m=n=1时，等号成立，D错误；
故选：C．
用基本不等式逐项进行验证即可求解．
本题考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：因为f(x)=ex+e−x+lg|x|，x≠0，
所以f(−x)=ex+e−x+lg|−x|=ex+e−x+lg|x|=f(x)，
即f(x)为偶函数，
当x>0时，f(x)=ex+e−x+lgx，f′(x)=ex−e−x+1x，
∵y=ex与y=−e−x在(0,+∞)上均为单调递增，
∴y=ex−e−x在(0,+∞)上单调递增，
∴ex−e−x>e0−1e0=0，
即当x>0时，f′(x)=ex−e−x+1x>0恒成立，
∴偶函数f(x)=ex+e−x+lg|x|在(0,+∞)上为增函数，
∴不等式f(x+1)>f(2x−1)⇔|x+1|>|2x−1|，且x+1≠0，2x−1≠0，
解得：0
故选：B．
依题意，可得偶函数f(x)=ex+e−x+lg|x|在(0,+∞)上为增函数，不等式f(x+1)>f(2x−1)⇔|x+1|>|2x−1|，且x+1≠0，2x−1≠0，解之即可．
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，考查等价转化思想及运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：函数的最小正周期T=2π2=π，故A正确，
f(−π12)=cos(−π12×2+π6)=cos0=1≠0，即函数f(x)的图象关于(−π12,0)不对称，故B错误，
f(5π12)=cos(2×5π12+π6)=cosπ=−1，即f(x)的图象关于x=5π12对称，故C正确，
当0
根据三角函数的周期公式，对称性以及单调性进行判断即可．
本题主要考查三角函数的图像和性质，利用三角函数的周期性，对称性和单调性进行判断是解决本题的关键，是中档题．
10.【答案】ACD
【解析】解：事件A的基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，
事件B的基本事件有：(1,2)，(1,4)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，
事件C的基本事件有：(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)，
事件AC的基本事件有：(1,4)，(3,2)，
A：事件A∪B是必然事件，故正确；
B：因为A∩B≠⌀，所以事件A与事件B不是互斥事件，故错误；
C.因为C⊆B，所以事件B包含事件C，故正确；
D.因为P(A)=186×6=12，P(C)=46×6=19，P(AC)=26×6=118，所以P(A)⋅P(C)=P(AC)，
所以事件A与事件C是相互独立事件，故正确；
故选：ACD．
列出事件A，B，C，AC的基本事件，再利用事件的基本关系判断．
本题考查事件的基本关系，属于基础题．
11.【答案】AD
【解析】解：对于A，由题意可得f(12)=12+[12]=12+0=12，故正确；
对于B，取x=1.2，则f(1.2)=1.2+[1.2]=1.2+1=2.2，
f(−1.2)=−1.2+[−1.2]=−1.2−2=−3.2≠f(1.2)，
所以f(x)不是奇函数，故错误；
对于C，由[x]的定义可知，∀x1>x2，有[x1]≥[x2]，
所以f(x1)−f(x2)=x1+[x1]−x2−[x2]=(x1+x2)+[x1]−[x2]>0，
即f(x1)>f(x2)，故错误；
对于D，f(x)=3x−1，即为x+[x]=3x−1，
整理得2x−[x]−1=0，
所以[x]=2x−1，
又因为x−1<[x]≤x，
所以x−1<2x−1≤x，解得0
即x=1是方程的根，
当0
故根的和为32，故正确．
故选：AD．
对于A，将x=12代入函数，求值即可；
对于B，举反例说明即可；
对于C，根据∀x1>x2，有[x1]≥[x2]，可得f(x1)−f(x2)>0，即可判断；
对于D，根据条件可得[x]=2x−1，再利用x−1<[x]≤x，解得0
12.【答案】ABD
【解析】解：连接A1B，如图所示，
直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=BC=CC1=2，
ABA1B1为正方形，AB1⊥A1B，
∠ABC=90°，BC⊥平面ABB1A1，AB1⊂平面ABB1A1，BC⊥AB1，
A1B，BC⊂平面A1BC，A1B∩BC=B，AB1⊥平面A1BC，
A1M⊂平面A1BC，AB1⊥A1M，A选项正确；
由直三棱柱的结构特征，VC1−AMB1=VA−B1C1M=13SΔB1C1M⋅AB=13×12×B1C1⋅CC1⋅AB=43，
故三棱锥C1−AMB1的体积为定值，B选项正确；
设BM=t，0≤t≤2，MC=2−t，
A1M2=A1A2+AM2=A1A2+AB2+BM2=8+t2，
C1M2=C1C2+MC2=22+(2−t)2，
|A1M|+|C1M|= (2 2)2+t2+ 22+(2−t)2，
其几何意义是点(2 2,0)和点(2,2)到点(0,t)的距离之和，
最小值为点(−2 2,0)到点(2,2)的距离，为 16+8 2，C选项错误；
当M是BC的中点时，A1M=3,A1C1=2 2,C1M= 5，
cos∠MA1C1=A1M2+A1C12−C1M22⋅A1M⋅A1C1=9+8−52×3×2 2= 22，
sin∠MA1C1= 22,S△MA1C1=12A1C1⋅A1M⋅sin∠MA1C1=12×2 2×3× 22=3，
S△CC1M=12×2×1=1，设点C到平面MA1C1的距离为hC，由VC−A1MC1=VA1−CC1M，
得3hc=2×1,hc=23，
直三棱柱ABC−A1B1C1是正方体的一半，外接球的球心为A1C的中点O，外接球的半径A1O=12A1C= 3，
点O到平面MA1C1的距离为hO=12hC=13，
则过A1，M，C1三点的平面截三棱柱ABC−A1B1C1外接球所得截面圆的半径为 ( 3)2−(13)2= 263，截面面积为269π,D选项正确．
故选：ABD．
由线面垂直证明线线垂直证明选项A；VC1−AMB1=VA−B1C1M，由底面积和高判断体积验证选项B；|A1M|+|C1M|转化为点(2 2,0)和点(2,2)到点(0,t)的距离之和，计算验证选项C；通过构造直角三角形求截面半径，计算体积验证选项D．
本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
13.【答案】2
【解析】解：lg2+lg5+π0
=lg10+1
=2．
故答案为：2．
利用对数、指数的性质及运算法则直接求解．
本题考查对数式、指数式化简求值，考查对数、指数的性质及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
14.【答案】2 23π
【解析】解：∵母线长为3的圆锥的侧面展开图的圆心角等于2π3，
∴侧面展开图的弧长为：3×2π3=2π，
侧面展开图的弧长=底面周长，即2π=2πr，∴r=1，
∴圆锥的高h= 9−1=2 2，
∴圆锥体积V=13×π×r2×h=2 23π.
故答案为：2 23π.
先求出侧面展开图的弧长，从而求出底面圆半径，进而求出圆锥的高，由此能求出圆锥体积．
本题考查圆锥的体积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
15.【答案】106
【解析】解：由∠BCD=15°，∠BDC=120°，可得∠CBD=45°，又CD=100米，
由正弦定理可得CDsin∠CBD=BCsin∠BDC，即100 22=BC 32，可得BC=50 6，
在Rt△ABC中，∠ACB=60°，所以AB=BC⋅tan∠ACB=50 6× 32=75 2≈75×1.414≈106米．
故答案为：106．
由题意可得∠CBD的大小，再由正弦定理可得BC的大小，在Rt△ABC中，由仰角的大小，可得AB的值．
本题考查正弦定理的应用，属于基础题．
16.【答案】2
【解析】解：以E为圆心，12AB为半径作圆，
∵EF=1=12AB，∴F在圆上，
∵PA⋅PB=0，∴P在圆上，
∴PC⋅PD=14[(PC+PD)2−(PC−PD)2]
=14[(2PF)2−DC2]=PF2−14×(2 2)2=PF2−2，
∵F，P都在以E为圆心，12AB为半径的圆上，
∴|PF|max=2r=AB=2，
∴(PC⋅PD)max=(PF)max2−2=22−2=2．
故答案为：2．
由题可得点F，P都在以E为圆心，半径r=12AB的圆上，由积化恒等式可得PC⋅PD=14[(PC+PD)2−(PC−PD)2]，再由平面向量的线性运算化简后求最值即可．
本题考查平面向量的线性运算和数量积运算，还考查了最值，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因为f(π6)=1，代入到f(x)=sin(2x+θ)，
得f(π6)=sin(π3+θ)=1，其中θ∈(0,π2)，
所以θ=π6；
(2)x∈[0,π4]，(2x+π6)∈[π6,23π]，
此时，f(x)∈[12,1]．
【解析】(1)代入f(π6)=1到函数f(x)=sin(2x+θ)中，即可求出θ的值．
(2)根据正弦函数的图象性质，即可求得其值域．
本题考查三角函数的最值，属于基础题．
18.【答案】解：(1)因为b=2c−2acosB，
由正弦定理可得2sinC−2sinAcosB=sinB，
而sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，
代入化简得2cosAsinB=sinB，
因为B∈(0,π)，所以sinB>0，
所以cosA=12，
因为A∈(0,π)，
故A=π3；
(2)由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，
由(1)可知A=π3，又a=3 3，c=2b，
代入上式可得，27=b2+4b2−2b×2b×12，
解得b=3，c=6，
所以△ABC的面积S=12bcsinA=12×3×6× 32=9 32．
【解析】(1)根据正弦定理和已知条件可得cosA的值，结合三角形的内角范围可得A；
(2)利用余弦定理和已知条件求出b，c的值，代入三角形的面积公式计算即可．
本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)当0
当a>1时，f(x)=logax在[1,8]上单调递增，
此时f(x)max=f(8)=loga8=3，
解得a=2；
(2)令m=log2x，
因为x∈[1,8]，所以m∈[0,3]，
所以2−f(x)−f(x)+t≥0⇔2−m−m+t≥0⇔t≥m−2−m在m∈[0,3]上恒成立，
令g(m)=m−2−m，m∈[0,3]，
易知g(m)在[0,3]上为增函数，
所以g(m)max=3−2−3=238，
所以实数t的取值范围为[238,+∞)．
【解析】(1)分01结合对数函数的单调性，求解即可；
(2)令m=log2x，m∈[0,3]，原不等式等价于t≥m−2−m在m∈[0,3]上恒成立，令g(m)=m−2−m，m∈[0,3]，根据g(m)的单调性，求出最大值即可得答案．
本题考查了对数函数的性质、分类讨论思想、转化思想，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由频率分布直方图可知，平均数为：15×0.1+25×0.25+35×0.3+45×0.15+55×0.1+65×0.05+75×0.05=37.5，
因为0.1+0.25+0.3=0.65<0.75，0.1+0.25+0.3+0.15=0.8>0.75，
所以75%分位数落在[40,50)内，设其为x，
则0.65+(x−40)×0.015=0.75，
解得x≈46.7，
即75%分位数约为46.7；
(2)采用分层抽样，根据三个区间的比例关系3：2：1，依次抽取3个，2个，1个，
事件A∩B分位：
①从[40,50)抽0个，从[50,60)里面抽2个，从[60,70)里面抽1个，
P1=11C22CC63=120，
②从[40,50)抽1个，从[50,60)里面抽1个，从[60,70)里面抽1个，
P2=12C31CC11C63=310，
③从[40,50)抽1个，从[50,60)里面抽2个，从[60,70)里面抽0个，
P3=22C31CC63=320，
所以P(A∩B)=P1+P2+P3=120+310+320=12．
【解析】(1)根据平均数和百分位数的定义求解；
(2)由分层抽样可知，三个区间依次抽取3个，2个，1个，再结合古典概型的概率公式求解．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
21.【答案】解：(1)因为AB为圆O的直径，所以∠ACB=90°，
由AC2=AB2−BC2，可得AC=4.因为PA=PC=2 2，
满足PA2+PC2=AC2，所以PA⊥PC．
因为平面PAC⊥平面PCB，平面PAC∩平面PCB=PC，PA⊂平面PAC，
所以PA⊥平面PCB，又BC⊂平面PCB，所以PA⊥BC．
因为BC⊥AC，PA，AC⊂平面PAC，且PA∩AC=A，所以BC⊥平面PAC，
因为BC⊂平面ABC，所以平面PAC⊥平面ABC．
(2)取AC的中点O1，连接O1P和O1B，再取O1B的中点M，连接ME．
在平面ABC内过点M作BF的垂线，垂足为点N，连接EN，
则∠ENM即为二面角E−BF−A的平面角．
证明如下：因为PA=PC，且O1是AC的中点，所以PO1⊥AC．
由(1)知平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PO1⊂平面PAC，
所以PO1⊥平面ABC.因为EM是△PO1B的中位线，则EM//PO1，
所以EM⊥平面ABC.因为BF⊂平面ABC，所以BF⊥EM．
因为BF⊥MN，MN，ME⊂平面ENM，且MN∩ME=M，
所以BF⊥平面ENM.又EN⊂平面ENM，所以BF⊥EN，
由二面角的平面角的定义可知∠ENM即为二面角E−BF−A的平面角．
连接FM，并延长FM交BC于点T.由EM是△BPQ的中位线，得EM//PO1，
PO1⊂平面PAC，EM⊄平面PAC，所以EM//平面PAC．
当EF//平面PAC时，EM，EF⊂平面EFM，且EM∩EF=E，所以平面EFM//平面PAC．
由平面与平面平行的性质定理可知TF//AC.因为点M是O1B的中点，
所以FT过点O，由此可知FT=5．
因为AC⊥BC，所以FT⊥BC，且BT=CT.由FT2+BT2=BF2，
可知BF= 30，由△FTB∽△FNM得MNFM=BTBF，
所以MN=23 6，EM=12PO1=1，因此tan∠EMM=EMMN= 64，
所以二面角E−BF−A的平面角的正切值为 64．
【解析】(1)利用线线垂直证明BC⊥平面PAC，进而可证平面PAC⊥平面ABC．
(2)取AC的中点O1，连接O1P和O1B，再取O1B的中点M，连接ME.可证∠ENM即为二面角E−BF−A的平面角．连接FM，并延长FM交BC于点T.由EM是△BPQ的中位线，得EM//PO1，进而计算可求二面角E−BF−A的平面角的正切值．
本题考查面面垂直的证明，考查求二面角的正切值的求法，属中档题．
22.【答案】解：(1)由题意得f(x)=14x2−x,x<0−14x2+x,0≤x≤414x2−x,x>4，
显然f(x)≥0，且(0,0)是函数f(x)与g(x)图象的一个交点，
当k<0时，g(x)<0在区间(0,+∞)上恒成立，与f(x)图象无交点；
在区间(−∞,0)，g(x)与f(x)图象至多有一个交点，不合题意．
当k=0时，函数f(x)与g(x)图象有且仅有两个交点(0,0)，(4,0)，不合题意．
当k>0时，若函数f(x)与g(x)图象有三个交点，
则方程−14x2+x=kx，14x2−x=kx均有正根，分别为x1=4(1−k)，x2=4(k+1)，
由k>04(1−k)>04(k+1)>0，可得0
(2)由(1)可知，当k∈(0,1)时，f(x)与g(x)的图象有3个交点，两个非零交点的横坐标分别为x1=4(1−k)，x2=4(k+1)，
当x∈(0,x1)时，f(x)>g(x)，max{f(x),g(x)}=f(x)，
当x∈(x1,x2)时，f(x)≤g(x)，max{f(x),g(x)}=g(x)，
当x∈(x2,+∞)时，f(x)>g(x)，max{f(x),g(x)}=f(x)，
当34≤k<1时，x1<1，x2>6，φ(x)=g(x)(1≤x≤6)，M=φ(6)=6k，m=φ(1)=k，M−m=5k∈[154,5)；
当12≤k<34时，1
故φ(x)在[1,6]上为增函数，M=φ(6)=6k，
m=f(1)=34，M−m=6k−34∈[94,154)，
当14
φ(1)=f(1)=34，φ(x1)=f(x1)>f(1)，φ(2)=f(2)=1，φ(6)=f(6)=3>φ(2)，
故M=φ(6)=3，m=f(1)=34，M−m=94；
当0
φ(1)=f(1)=34，φ(x1)=f(x1)≤f(1)，φ(2)=f(2)=1，φ(6)=f(6)=3>φ(2)，
故M=φ(6)=3，m=f(x1)=f(4−4k)=−4k2+4k，M−m=4k2−4k+3∈[94,3)；
综上，当34≤k<1时，M=6k，m=k；
当12≤k<34时，M=6k，m=34；
当14
【解析】(1)将f(x)写成分段函数的性质，并得到(0,0)是两函数的一个交点，考虑k≤0时，不满足要求，再考虑k>0时，结合两函数的交点横坐标，列出不等式组，求出需要满足的条件；
(2)在(1)的基础上，分34≤k<1，12≤k<34，14
2022-2023学年广东省深圳市高一（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合A={−1,0,1,2}，B={x|0
2. 设复数z满足iz=1+i(i是虚数单位)，则|z|=( )
A. 12 B. 2 C. 22 D. 2
3. 已知tanα=2，则cos2α=( )
A. 45 B. 35 C. −45 D. −35
4. 某户居民今年上半年每月的用水量(单位：t)如下：
月份
1月
2月
3月
4月
5月
6月
用水量
9.0
9.6
14.9
5.9
4.0
7.7
小明在录入数据时，不小心把一个数据9.6录成96，则这组数据中没有发生变化的量是( )
A. 平均数 B. 中位数 C. 极差 D. 标准差
5. 已知m，n是空间两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题错误的是( )
A. m//α，m⊂β，α⋂β=n，则m//n
B. m//n，m//α，n⊄α，则n//α
C. α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n
D. α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n
6. 在梯形ABCD中，若AB=2DC，且AC=xAB+yAD，则x+y=( )
A. 32 B. 2 C. 52 D. 3
7. 已知正实数m，n满足m+n=2，则下列不等式恒成立的为( )
A. lnm+lnn≥0 B. m2+n2≤2 C. 1m+1n≥2 D. m+ n≤ 2
8. 已知函数f(x)=ex+e−x+lg|x|，则不等式f(x+1)>f(2x−1)的解集为( )
A. (0,2) B. (0,12)⋃(12,2) C. (0,3) D. (0,12)⋃(12,3)
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知函数f(x)=cos(2x+π6)，则( )
A. f(x)的最小正周期为π B. f(x)的图象关于(−π12,0)对称
C. f(x)的图象关于x=5π12对称 D. f(x)在(0,π2)上单调递减
10. 将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，记事件A=“第一次出现奇数点”，事件B=“两次点数之积为偶数”，事件C=“两次点数之和为5”，则( )
A. 事件A⋃B是必然事件 B. 事件A与事件B是互斥事件
C. 事件B包含事件C D. 事件A与事件C是相互独立事件
11. 用[x]表示不超过x的最大整数，例如，[−1.2]=−2，[1.5]=1.已知f(x)=x+[x]，则( )
A. f(12)=12 B. f(x)为奇函数
C. ∃x1>x2，使得f(x1)
A. AB1⊥A1M
B. 三棱锥C1−AMB1的体积不变
C. |A1M|+|C1M|的最小值为3+ 5
D. 当M是BC的中点时，过A1，M，C1三点的平面截三棱柱ABC−A1B1C1外接球所得的截面面积为269π
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. lg2+lg5+π0=______．
14. 母线长为3的圆锥，其侧面展开图是圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的体积为______ ．
15. 高中数学兴趣小组计划测量某大厦的高度，选取与底部B在同一水平面内的两个基测点C与D.现测得∠BCD=15°，∠BDC=120°，CD=100米，在点C测得大厦顶A的仰角∠ACB=60°，则该大厦高度AB= ______ 米(精确到1米)．
参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732．
16. 四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，AB=2，CD=2 2，EF=1，点P满足PA⋅PB=0，则PC⋅PD的最大值为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知函数f(x)=sin(2x+θ)，其中θ∈(0,π2)，且f(π6)=1．
(1)求θ；
(2)若x∈[0,π4]，求f(x)的值域．
18. (本小题12.0分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b=2c−2acosB．
(1)求A；
(2)若a=3 3，c=2b，求△ABC的面积S．
19. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1)在[1,8]上的最大值为3．
(1)求a的值；
(2)当x∈[1,8]时，2−f(x)−f(x)+t⩾0，求实数t的取值范围．
20. (本小题12.0分)
某工厂引进了一条生产线，为了解产品的质量情况，现从生产线上随机抽取100件产品，测量其技术参数，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)由频率分布直方图，估计样本技术参数的平均数和75%分位数(精确到0.1)；
(2)现从技术参数位于区间[40,50)，[50,60)，[60,70)的三组中，采用分层抽样的方法抽取6件产品，再从这6件产品中任选3件产品，记事件A=“这3件产品中技术参数位于区间[40,50)内的产品至多1件”，事件B=“这3件产品中技术参数位于区间[50,60)内的产品至少1件”，求事件A⋂B的概率．
21. (本小题12.0分)
如图，三棱锥P−ABC的三个顶点A，B，C在圆O上，AB为圆O的直径，且AB=6，PA=PC=2 2，BC=2 5，平面PAC⊥平面PCB，点E是PB的中点．
(1)证明：平面PAC⊥平面ABC；
(2)点F是圆O上的一点，且点F与点C位于直径AB的两侧.当EF//平面PAC时，作出二面角E−BF−A的平面角，并求出它的正切值．
22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=|14x2−x|，g(x)=kx，f(x)与g(x)的图象恰有三个交点．
(1)求实数k的取值范围；
(2)用max{α,β}表示α，β中的最大值，设函数φ(x)=max{f(x),g(x)}(1⩽x⩽6)，用M，m分别表示φ(x)的最大值与最小值，求M，m，并求出M−m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了交集的运算问题．
根据交集的定义写出A∩B即可．
【解答】
解：集合A={−1,0,1,2}，B={x|0
2.【答案】D
【解析】解：∵iz=1+i，
∴z=1+ii=(1+i)(−i)i(−i)=−i−i2−i2=1−i，
∴|z|= 1+(−1)2= 2．
故选：D．
由复数的运算法则求出z，再直接求模即可．
本题考查复数的运算及复数的模，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：因tanα=2，则cos2α=cos2α−sin2α=cos2α−sin2αcos2α+sin2α=1−tan2α1+tan2α=−35．
故选：D．
利用二倍角的余弦公式，结合正余弦齐次式计算作答．
本题考查二倍角的三角函数，考查学生的运算能力，属于中档题．
4.【答案】B
【解析】解：只改变了其中一个数据，根据平均数及标准差的计算公式知，平均数及标准差均发生了变化，
实际数据由小到大排序为：4.0，5.9，7.7，9.0，9.6，14.9，中位数为7.7，9.0的平均数，极差为14.9−4.0，
错误数据由小到大排序为：4.0，5.9，7.7，9.0，14.9，96，中位数为7.7，9.0的平均数，极差为96−4.0，
所以中位数没有变化，极差变化了．
故选：B．
由平均数和标准差的计算公式可知，平均数与标准差均发生改变，由于最小值没变而最大值发生了变化，因而极差变化了，求中位数，可将数据按小到大顺序排列，由于只有6个数，所以取最中间的两个数并求其平均，即得中位数，因为最中间的两个数没有变化，因而中位数也没有变化．
本题主要考查了平均数、标准差、中位数和极差的计算公式，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，由平面与平面平行的性质，可得A正确；
对于B，由直线与平面平行的判定定理，可得B正确；
对于C，m与n的位置关系不确定，可以平面、相交，也可以异面，C错误；
对于D，由平面与平面垂直的性质，D正确．
故选：C．
根据题意，由直线与平面的位置关系，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
本题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系，涉及直线与平面平行、垂直的性质，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：∵AB=2DC，∴DC=12AB，
∴AC=AD+DC=AD+12AB，
∴x=12，y=1，
∴x+y=32．
故选：A．
利用平面向量的线性运算法则求解．
本题主要考查了平面向量的线性运算，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：对于A：∵m>0，n>0，m+n=2，∴由基本不等式可得m+n≥2 mn，
∴mn≤1，当且仅当m=n=1时，等号成立，lnm+lnn=lnmn≤ln1=0，故A错误；
∵2(m²+n²)=(m²+n²)+(m²+n²)≥m²+n²+2mn=(m+n)2=4，
可得m2+n2≥2，当且仅当m=n=1时，等号成立，B错误．
对于C：1m+1n=12(1m+1n)(m+n)=12(2+nm+mn)≥12(2+2 nm⋅mn)=2，
当且仅当nm=mn，即m=n=1时，等号成立，故C正确；
( m+ n)2=m+n+2 mn≤2(m+n)=4，因为 m+ n>0，
故 m+ n≤2，当且仅当m=n=1时，等号成立，D错误；
故选：C．
用基本不等式逐项进行验证即可求解．
本题考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：因为f(x)=ex+e−x+lg|x|，x≠0，
所以f(−x)=ex+e−x+lg|−x|=ex+e−x+lg|x|=f(x)，
即f(x)为偶函数，
当x>0时，f(x)=ex+e−x+lgx，f′(x)=ex−e−x+1x，
∵y=ex与y=−e−x在(0,+∞)上均为单调递增，
∴y=ex−e−x在(0,+∞)上单调递增，
∴ex−e−x>e0−1e0=0，
即当x>0时，f′(x)=ex−e−x+1x>0恒成立，
∴偶函数f(x)=ex+e−x+lg|x|在(0,+∞)上为增函数，
∴不等式f(x+1)>f(2x−1)⇔|x+1|>|2x−1|，且x+1≠0，2x−1≠0，
解得：0
故选：B．
依题意，可得偶函数f(x)=ex+e−x+lg|x|在(0,+∞)上为增函数，不等式f(x+1)>f(2x−1)⇔|x+1|>|2x−1|，且x+1≠0，2x−1≠0，解之即可．
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，考查等价转化思想及运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：函数的最小正周期T=2π2=π，故A正确，
f(−π12)=cos(−π12×2+π6)=cos0=1≠0，即函数f(x)的图象关于(−π12,0)不对称，故B错误，
f(5π12)=cos(2×5π12+π6)=cosπ=−1，即f(x)的图象关于x=5π12对称，故C正确，
当0
根据三角函数的周期公式，对称性以及单调性进行判断即可．
本题主要考查三角函数的图像和性质，利用三角函数的周期性，对称性和单调性进行判断是解决本题的关键，是中档题．
10.【答案】ACD
【解析】解：事件A的基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，
事件B的基本事件有：(1,2)，(1,4)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，
事件C的基本事件有：(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)，
事件AC的基本事件有：(1,4)，(3,2)，
A：事件A∪B是必然事件，故正确；
B：因为A∩B≠⌀，所以事件A与事件B不是互斥事件，故错误；
C.因为C⊆B，所以事件B包含事件C，故正确；
D.因为P(A)=186×6=12，P(C)=46×6=19，P(AC)=26×6=118，所以P(A)⋅P(C)=P(AC)，
所以事件A与事件C是相互独立事件，故正确；
故选：ACD．
列出事件A，B，C，AC的基本事件，再利用事件的基本关系判断．
本题考查事件的基本关系，属于基础题．
11.【答案】AD
【解析】解：对于A，由题意可得f(12)=12+[12]=12+0=12，故正确；
对于B，取x=1.2，则f(1.2)=1.2+[1.2]=1.2+1=2.2，
f(−1.2)=−1.2+[−1.2]=−1.2−2=−3.2≠f(1.2)，
所以f(x)不是奇函数，故错误；
对于C，由[x]的定义可知，∀x1>x2，有[x1]≥[x2]，
所以f(x1)−f(x2)=x1+[x1]−x2−[x2]=(x1+x2)+[x1]−[x2]>0，
即f(x1)>f(x2)，故错误；
对于D，f(x)=3x−1，即为x+[x]=3x−1，
整理得2x−[x]−1=0，
所以[x]=2x−1，
又因为x−1<[x]≤x，
所以x−1<2x−1≤x，解得0
即x=1是方程的根，
当0
故根的和为32，故正确．
故选：AD．
对于A，将x=12代入函数，求值即可；
对于B，举反例说明即可；
对于C，根据∀x1>x2，有[x1]≥[x2]，可得f(x1)−f(x2)>0，即可判断；
对于D，根据条件可得[x]=2x−1，再利用x−1<[x]≤x，解得0
12.【答案】ABD
【解析】解：连接A1B，如图所示，
直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=BC=CC1=2，
ABA1B1为正方形，AB1⊥A1B，
∠ABC=90°，BC⊥平面ABB1A1，AB1⊂平面ABB1A1，BC⊥AB1，
A1B，BC⊂平面A1BC，A1B∩BC=B，AB1⊥平面A1BC，
A1M⊂平面A1BC，AB1⊥A1M，A选项正确；
由直三棱柱的结构特征，VC1−AMB1=VA−B1C1M=13SΔB1C1M⋅AB=13×12×B1C1⋅CC1⋅AB=43，
故三棱锥C1−AMB1的体积为定值，B选项正确；
设BM=t，0≤t≤2，MC=2−t，
A1M2=A1A2+AM2=A1A2+AB2+BM2=8+t2，
C1M2=C1C2+MC2=22+(2−t)2，
|A1M|+|C1M|= (2 2)2+t2+ 22+(2−t)2，
其几何意义是点(2 2,0)和点(2,2)到点(0,t)的距离之和，
最小值为点(−2 2,0)到点(2,2)的距离，为 16+8 2，C选项错误；
当M是BC的中点时，A1M=3,A1C1=2 2,C1M= 5，
cos∠MA1C1=A1M2+A1C12−C1M22⋅A1M⋅A1C1=9+8−52×3×2 2= 22，
sin∠MA1C1= 22,S△MA1C1=12A1C1⋅A1M⋅sin∠MA1C1=12×2 2×3× 22=3，
S△CC1M=12×2×1=1，设点C到平面MA1C1的距离为hC，由VC−A1MC1=VA1−CC1M，
得3hc=2×1,hc=23，
直三棱柱ABC−A1B1C1是正方体的一半，外接球的球心为A1C的中点O，外接球的半径A1O=12A1C= 3，
点O到平面MA1C1的距离为hO=12hC=13，
则过A1，M，C1三点的平面截三棱柱ABC−A1B1C1外接球所得截面圆的半径为 ( 3)2−(13)2= 263，截面面积为269π,D选项正确．
故选：ABD．
由线面垂直证明线线垂直证明选项A；VC1−AMB1=VA−B1C1M，由底面积和高判断体积验证选项B；|A1M|+|C1M|转化为点(2 2,0)和点(2,2)到点(0,t)的距离之和，计算验证选项C；通过构造直角三角形求截面半径，计算体积验证选项D．
本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
13.【答案】2
【解析】解：lg2+lg5+π0
=lg10+1
=2．
故答案为：2．
利用对数、指数的性质及运算法则直接求解．
本题考查对数式、指数式化简求值，考查对数、指数的性质及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
14.【答案】2 23π
【解析】解：∵母线长为3的圆锥的侧面展开图的圆心角等于2π3，
∴侧面展开图的弧长为：3×2π3=2π，
侧面展开图的弧长=底面周长，即2π=2πr，∴r=1，
∴圆锥的高h= 9−1=2 2，
∴圆锥体积V=13×π×r2×h=2 23π.
故答案为：2 23π.
先求出侧面展开图的弧长，从而求出底面圆半径，进而求出圆锥的高，由此能求出圆锥体积．
本题考查圆锥的体积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
15.【答案】106
【解析】解：由∠BCD=15°，∠BDC=120°，可得∠CBD=45°，又CD=100米，
由正弦定理可得CDsin∠CBD=BCsin∠BDC，即100 22=BC 32，可得BC=50 6，
在Rt△ABC中，∠ACB=60°，所以AB=BC⋅tan∠ACB=50 6× 32=75 2≈75×1.414≈106米．
故答案为：106．
由题意可得∠CBD的大小，再由正弦定理可得BC的大小，在Rt△ABC中，由仰角的大小，可得AB的值．
本题考查正弦定理的应用，属于基础题．
16.【答案】2
【解析】解：以E为圆心，12AB为半径作圆，
∵EF=1=12AB，∴F在圆上，
∵PA⋅PB=0，∴P在圆上，
∴PC⋅PD=14[(PC+PD)2−(PC−PD)2]
=14[(2PF)2−DC2]=PF2−14×(2 2)2=PF2−2，
∵F，P都在以E为圆心，12AB为半径的圆上，
∴|PF|max=2r=AB=2，
∴(PC⋅PD)max=(PF)max2−2=22−2=2．
故答案为：2．
由题可得点F，P都在以E为圆心，半径r=12AB的圆上，由积化恒等式可得PC⋅PD=14[(PC+PD)2−(PC−PD)2]，再由平面向量的线性运算化简后求最值即可．
本题考查平面向量的线性运算和数量积运算，还考查了最值，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因为f(π6)=1，代入到f(x)=sin(2x+θ)，
得f(π6)=sin(π3+θ)=1，其中θ∈(0,π2)，
所以θ=π6；
(2)x∈[0,π4]，(2x+π6)∈[π6,23π]，
此时，f(x)∈[12,1]．
【解析】(1)代入f(π6)=1到函数f(x)=sin(2x+θ)中，即可求出θ的值．
(2)根据正弦函数的图象性质，即可求得其值域．
本题考查三角函数的最值，属于基础题．
18.【答案】解：(1)因为b=2c−2acosB，
由正弦定理可得2sinC−2sinAcosB=sinB，
而sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，
代入化简得2cosAsinB=sinB，
因为B∈(0,π)，所以sinB>0，
所以cosA=12，
因为A∈(0,π)，
故A=π3；
(2)由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，
由(1)可知A=π3，又a=3 3，c=2b，
代入上式可得，27=b2+4b2−2b×2b×12，
解得b=3，c=6，
所以△ABC的面积S=12bcsinA=12×3×6× 32=9 32．
【解析】(1)根据正弦定理和已知条件可得cosA的值，结合三角形的内角范围可得A；
(2)利用余弦定理和已知条件求出b，c的值，代入三角形的面积公式计算即可．
本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)当0
当a>1时，f(x)=logax在[1,8]上单调递增，
此时f(x)max=f(8)=loga8=3，
解得a=2；
(2)令m=log2x，
因为x∈[1,8]，所以m∈[0,3]，
所以2−f(x)−f(x)+t≥0⇔2−m−m+t≥0⇔t≥m−2−m在m∈[0,3]上恒成立，
令g(m)=m−2−m，m∈[0,3]，
易知g(m)在[0,3]上为增函数，
所以g(m)max=3−2−3=238，
所以实数t的取值范围为[238,+∞)．
【解析】(1)分0
(2)令m=log2x，m∈[0,3]，原不等式等价于t≥m−2−m在m∈[0,3]上恒成立，令g(m)=m−2−m，m∈[0,3]，根据g(m)的单调性，求出最大值即可得答案．
本题考查了对数函数的性质、分类讨论思想、转化思想，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由频率分布直方图可知，平均数为：15×0.1+25×0.25+35×0.3+45×0.15+55×0.1+65×0.05+75×0.05=37.5，
因为0.1+0.25+0.3=0.65<0.75，0.1+0.25+0.3+0.15=0.8>0.75，
所以75%分位数落在[40,50)内，设其为x，
则0.65+(x−40)×0.015=0.75，
解得x≈46.7，
即75%分位数约为46.7；
(2)采用分层抽样，根据三个区间的比例关系3：2：1，依次抽取3个，2个，1个，
事件A∩B分位：
①从[40,50)抽0个，从[50,60)里面抽2个，从[60,70)里面抽1个，
P1=11C22CC63=120，
②从[40,50)抽1个，从[50,60)里面抽1个，从[60,70)里面抽1个，
P2=12C31CC11C63=310，
③从[40,50)抽1个，从[50,60)里面抽2个，从[60,70)里面抽0个，
P3=22C31CC63=320，
所以P(A∩B)=P1+P2+P3=120+310+320=12．
【解析】(1)根据平均数和百分位数的定义求解；
(2)由分层抽样可知，三个区间依次抽取3个，2个，1个，再结合古典概型的概率公式求解．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
21.【答案】解：(1)因为AB为圆O的直径，所以∠ACB=90°，
由AC2=AB2−BC2，可得AC=4.因为PA=PC=2 2，
满足PA2+PC2=AC2，所以PA⊥PC．
因为平面PAC⊥平面PCB，平面PAC∩平面PCB=PC，PA⊂平面PAC，
所以PA⊥平面PCB，又BC⊂平面PCB，所以PA⊥BC．
因为BC⊥AC，PA，AC⊂平面PAC，且PA∩AC=A，所以BC⊥平面PAC，
因为BC⊂平面ABC，所以平面PAC⊥平面ABC．
(2)取AC的中点O1，连接O1P和O1B，再取O1B的中点M，连接ME．
在平面ABC内过点M作BF的垂线，垂足为点N，连接EN，
则∠ENM即为二面角E−BF−A的平面角．
证明如下：因为PA=PC，且O1是AC的中点，所以PO1⊥AC．
由(1)知平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PO1⊂平面PAC，
所以PO1⊥平面ABC.因为EM是△PO1B的中位线，则EM//PO1，
所以EM⊥平面ABC.因为BF⊂平面ABC，所以BF⊥EM．
因为BF⊥MN，MN，ME⊂平面ENM，且MN∩ME=M，
所以BF⊥平面ENM.又EN⊂平面ENM，所以BF⊥EN，
由二面角的平面角的定义可知∠ENM即为二面角E−BF−A的平面角．
连接FM，并延长FM交BC于点T.由EM是△BPQ的中位线，得EM//PO1，
PO1⊂平面PAC，EM⊄平面PAC，所以EM//平面PAC．
当EF//平面PAC时，EM，EF⊂平面EFM，且EM∩EF=E，所以平面EFM//平面PAC．
由平面与平面平行的性质定理可知TF//AC.因为点M是O1B的中点，
所以FT过点O，由此可知FT=5．
因为AC⊥BC，所以FT⊥BC，且BT=CT.由FT2+BT2=BF2，
可知BF= 30，由△FTB∽△FNM得MNFM=BTBF，
所以MN=23 6，EM=12PO1=1，因此tan∠EMM=EMMN= 64，
所以二面角E−BF−A的平面角的正切值为 64．
【解析】(1)利用线线垂直证明BC⊥平面PAC，进而可证平面PAC⊥平面ABC．
(2)取AC的中点O1，连接O1P和O1B，再取O1B的中点M，连接ME.可证∠ENM即为二面角E−BF−A的平面角．连接FM，并延长FM交BC于点T.由EM是△BPQ的中位线，得EM//PO1，进而计算可求二面角E−BF−A的平面角的正切值．
本题考查面面垂直的证明，考查求二面角的正切值的求法，属中档题．
22.【答案】解：(1)由题意得f(x)=14x2−x,x<0−14x2+x,0≤x≤414x2−x,x>4，
显然f(x)≥0，且(0,0)是函数f(x)与g(x)图象的一个交点，
当k<0时，g(x)<0在区间(0,+∞)上恒成立，与f(x)图象无交点；
在区间(−∞,0)，g(x)与f(x)图象至多有一个交点，不合题意．
当k=0时，函数f(x)与g(x)图象有且仅有两个交点(0,0)，(4,0)，不合题意．
当k>0时，若函数f(x)与g(x)图象有三个交点，
则方程−14x2+x=kx，14x2−x=kx均有正根，分别为x1=4(1−k)，x2=4(k+1)，
由k>04(1−k)>04(k+1)>0，可得0
(2)由(1)可知，当k∈(0,1)时，f(x)与g(x)的图象有3个交点，两个非零交点的横坐标分别为x1=4(1−k)，x2=4(k+1)，
当x∈(0,x1)时，f(x)>g(x)，max{f(x),g(x)}=f(x)，
当x∈(x1,x2)时，f(x)≤g(x)，max{f(x),g(x)}=g(x)，
当x∈(x2,+∞)时，f(x)>g(x)，max{f(x),g(x)}=f(x)，
当34≤k<1时，x1<1，x2>6，φ(x)=g(x)(1≤x≤6)，M=φ(6)=6k，m=φ(1)=k，M−m=5k∈[154,5)；
当12≤k<34时，1
故φ(x)在[1,6]上为增函数，M=φ(6)=6k，
m=f(1)=34，M−m=6k−34∈[94,154)，
当14
φ(1)=f(1)=34，φ(x1)=f(x1)>f(1)，φ(2)=f(2)=1，φ(6)=f(6)=3>φ(2)，
故M=φ(6)=3，m=f(1)=34，M−m=94；
当0
φ(1)=f(1)=34，φ(x1)=f(x1)≤f(1)，φ(2)=f(2)=1，φ(6)=f(6)=3>φ(2)，
故M=φ(6)=3，m=f(x1)=f(4−4k)=−4k2+4k，M−m=4k2−4k+3∈[94,3)；
综上，当34≤k<1时，M=6k，m=k；
当12≤k<34时，M=6k，m=34；
当14
【解析】(1)将f(x)写成分段函数的性质，并得到(0,0)是两函数的一个交点，考虑k≤0时，不满足要求，再考虑k>0时，结合两函数的交点横坐标，列出不等式组，求出需要满足的条件；
(2)在(1)的基础上，分34≤k<1，12≤k<34，14
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