2022-2023学年广东省广州市越秀区高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省广州市越秀区高一（下）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 复数(2+i)2的实部是( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
2. 已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，|2a−b|=5，则a⋅b=( )
A. −2B. −4C. −5D. −10
3. 在△ABC中，A=π4，csB=35，则sinC=( )
A. 210B. − 210C. 7 210D. −7 210
4. 为了得到函数y=3sin(2x−π5)的图象，只要把y=3sin(2x+π5)图象上所有的点( )
A. 向右平行移动π5个单位长度B. 向左平行移动π5个单位长度
C. 向右平行移动2π5个单位长度D. 向左平行移动2π5个单位长度
5. 从3名男生和3名女生中任意抽取两人，设事件A=“抽到的两人都是男生”，事件B=“抽到1名男生与1名女生”，则( )
A. 在有放回简单随机抽样方式下，P(A)=12
B. 在不放回简单随机抽样方式下，P(B)=14
C. 在按性别等比例分层抽样方式下，P(A)=13
D. 在按性别等比例分层抽样方式下，P(B)=1
6. 四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学各自的统计结果的数字特征，可以判断出一定没有出现点数6的是( )
A. 中位数为3，众数为3B. 平均数为3，中位数为3
C. 中位数为2，极差为2D. 平均数为2，标准差为2
7. 三棱锥A−BCD中，AB⊥BD，AB⊥CD，BD⊥CD.若AB=3，AC=5，则该三棱锥体积的最大值为( )
A. 3B. 4C. 6D. 12
8. 在四棱锥P−ABCD中，AD//BC，AD=2BC，则下列结论中不成立的是( )
A. 平面PAB内任意一条直线都不与CD平行
B. 平面PCD内存在无数条直线与平面PAB平行
C. 平面PCD和平面PAB的交线不与底面ABCD平行
D. 平面PBC和平面PAD的交线不与底面ABCD平行
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个小球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件A=“第一次摸出球的标号为2”，事件B=“第二次摸出球的标号为3”，事件C=“两次摸出球的标号之和为4”，事件D=“两次摸出球的标号之和为5”，则( )
A. 事件A与B互斥B. 事件A与C相互独立
C. 事件C与D互斥D. 事件B与D相互独立
10. 已知函数f(x)=tan(12x−π4)，则下列结论正确的是( )
A. f(x)的最小正周期是π2B. f(x)的图象关于点(π2,0)对称
C. |f(x)|的图象关于直线x=π2对称D. f(x)在区间(−π2,π2)上单调递增
11. 已知i为虚数单位，则下列结论正确的是( )
A. 若z−z−=0，则z∈R
B. 若z(1+i)=2，则z= 2cs7π4+isin7π4
C. 若|z1|=|z2|=3，z1+z2=5+i，则|z1−z2|= 10
D. 若复数z满足1<|z|<2，则复数z在复平面内对应的点所构成的图形面积为π
12. 在△ABC中，AC⊥BC，将△ABC分别绕边BC，AC，AB所在直线旋转一周，形成的几何体的侧面积分别记为Sa，Sb，Sc，体积分别记为Va，Vb，Vc，则( )
A. Sa+Sb≥2ScB. Va+Vb≥2VcC. 1Sa2+1Sb2=1Sc2D. 1Va2+1Vb2=1Vc2
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知向量a=(1,−3)，b=(λ,5)，且(a+b)⊥a，则b在a方向上的投影向量的坐标为______ ．
14. 某校为了解高中学生的身高情况，根据男、女学生所占的比例，采用样本量按比例分配的分层随机抽样分别抽取了男生100名和女生60名，测量他们的身高所得数据(单位：cm)如下：
根据以上数据，可计算出该校高中学生身高的总样本方差s2= ______ ．
15. 如图，在扇形OPO中，半径OP=1，圆心角∠POQ=π3，矩形ABCD内接于扇形OPQ，其中点B，C都在弧PQ上，则矩形ABCD的面积的最大值为______ ．
16. 已知四边形ABCD是正方形，将△DAC沿AC翻折到△D1AC的位置，点G为△D1AC的重心，点E在线段BC上，GE//平面D1AB，GE⊥D1A.若CE=λEB，则λ= ______ ，直线GB与平面D1AC所成角的正切值为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出.某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定一个合理的居民生活用水量标准a(单位：t)，使得用户月均用水量不超过a的部分按平价收费，超过a的部分按议价收费.通过随机抽样，获得了该市100户居民生活月均用水量(单位：t)的数据，整理得到如下的频率分布直方图．
(1)求这100户居民生活月均用水量在区间[1.5,2)内的频率；
(2)若该市政府希望85%的居民生活月均用水量不超过标准at，试估计a的值，并说明理由．
18. (本小题12.0分)
如图是函数f(x)=cs(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)在一个周期上的图象，点A是函数f(x)图象与x轴的交点，点B，C分别是函数f(x)图象的最低点与最高点，且AB⋅AC=2．
(1)求f(x)的最小正周期T；
(2)若f(2)−f(43)=1，求f(x)的解析式．
19. (本小题12.0分)
11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两人进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.6，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10：10平后，乙先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．
(1)求事件“X=2”的概率；
(2)求事件“X=4且乙获胜”的概率．
20. (本小题12.0分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC．
(1)证明：平面ABC1⊥平面BCC1；
(2)若直线AC与平面ABC1所成的角为θ，二面角C1−AB−C的大小为φ，试判断θ与φ的大小关系，并说明理由．
21. (本小题12.0分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 3sinB+csB=b+ca．
(1)求A；
(2)若点D在边BC上，且AD=BD=3，CD=2，求b．
22. (本小题12.0分)
如图，在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为CC1的中点，经过A，D1，E三点的平面记为平面α，点P是侧面BCC1B1内的动点，且A1P//α．
(1)设平面BCC1B1∩α=l，求证：AD1//l；
(2)平面α将正方体ABCD−A1B1C1D1分成两部分，求这两部分的体积之比V1V2(其中V1≤V2)；
(3)当A1P最小时，求三棱锥P−AA1D1的外接球的表面积．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：(2+i)2=3+2i，实部为3．
故选：B．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及实部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及实部的定义，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：∵|a|=2，|b|=1，|2a−b|=5，
∴|2a−b|2=4a2−4a⋅b+b2=4×4−4a⋅b+1=17−4a⋅b=25，
∴a⋅b=−2．
故选：A．
由|2a−b|=5两边同时平方即可求出．
本题考查平面向量的数量积和模，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：在△ABC中，csB=35，
则sinB= 1−cs2B=45，
又A=π4，
则sinC=sin(π−A−B)=sin(π4+B)
= 22(sinB+csB)
= 22×(45+35)=7 210．
故选：C．
先求出sinB的值，再根据sinC=sin(A+B)，即可得解．
本题考查三角函数的求值问题，考查运算求解能力，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：为了得到函数y=3sin(2x−π5)=3sin(2(x−π5)+π5)的图象，只要把y=3sin(2x+π5)图象上所有的点向右平行移动π5个单位长度，
故选：A．
根据函数图象平移的性质即可求解．
本题考查函数的图象的平移变换，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：记3名男生为1，2，3，3名女生为a，b，c．
对于A，有放回简单随机抽样的样本空间Ω1为：
共36个样本点，事件A={(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)}，有9个样本点，
所以P(A)=936=14，故A错误；
对于B，不放回简单随机抽样的样本空间Ω2为：
共30个样本点，
事件B={(1,a)，(1,b)，(1,c)，(2,a)，(2,b)，(2,c)，(3,a)，(3,b)，(3,c)，(a,1)，(a,2)，(a,3)，(b,1)，(b,2)，(b,3)，(c,1)，(c,2)，(c,3)}，有18个样本点，
所以P(A)=1830=35，故B错误；
对于C，在按性别等比例分层抽样方式下，从男生中抽取一人，从女生中抽取一人，所以P(A)=0，故C错误；
对于D，在按性别等比例分层抽样方式下，先从男生中抽取一人，再从女生中抽取一人，
其样本空间Ω3={(1,a)，(1,b)，(1,c)，(2,a)，(2,b)，(2,c)，(3,a)，(3,b)，(3,c)}，共有9个样本点，
事件B=Ω3，所以P(B)=99=1，故D正确．
故选：D．
分别写出样本空间，利用古典概型的概率计算公式求解．
本题主要考查古典概型概率公式，考查运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，当掷骰子出现的结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，众数为3，不能判断出一定没有出现点数6；
对于B，当掷骰子出现的结果为1，1，3，4，6时，满足平均数为3，中位数为3，不能判断出一定没有出现点数6；
对于C，若数据的中位数为2，极差为2，则数据的最小值小于2，又由极差为2，则数据的最大值小于4，可以判断出一定没有出现点数6；
对于D，当掷骰子出现的结果为1，1，1，1，6时，满足平均数为2，标准差为2，不能判断出一定没有出现点数6；
故选：C．
根据题意，由平均数、中位数、众数的计算公式依次分析选项，综合可得答案．
本题考查平均数、中位数、众数，考查学生的推理能力，属基础题．
7.【答案】B
【解析】解：因为AB⊥BD，AB⊥CD，BD∩CD=D，BD，CD⊂平面BCD，
所以AB⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，所以AB⊥BC，
则AC2=AB2+BC2，所以BC=4，
又BD⊥CD，所以S△BCD=12BD⋅DC,BC2=BD2+DC2=16，
所以S△BCD=12BD⋅DC=14×2BD⋅DC≤14(BD2+DC2)=4，
当且仅当BD=DC=2 2时取等号，
所以VA−BCD=13AB⋅S△BCD=S△BCD≤4，
当且仅当BD=DC=2 2时取等号．
故选：B．
依题意可得AB⊥平面BCD，即可得到AB⊥BC，从而求出BC，再由BD⊥CD，利用勾股定理及基本不等式求出S△BCD面积最大值，最后根据锥体的体积公式计算可得．
本题考查了三棱锥体积的最值计算，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：如图，

在四棱锥P−ABCD中，∵AD//BC，AD=2BC，
∴AB与DC相交，设交点为F，则CD与平面PAB相交于F，
可知平面PAB内任意一条直线都不与CD平行，故A正确；
∵AB∩DC=F，∴平面PAB∩平面PDC=PF，
则平面PCD内与PF平行的直线都与平面PAB平行，故B正确；
平面PCD和平面PAB的交线为PF，与底面ABCD相交，不与底面ABCD平行，故C正确；
∵AD//BC，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，∴BC//平面PAD，
又BC⊂平面PBC，平面PAD∩平面PBC=l，可得BC//l，则l//平面ABCD，故D错误．
故选：D．
由题意画出图形，由已知可知CD与平面PAB相交，即可判断A；由两平面相交的性质判断B；由平面PCD和平面PAB的交线与平面ABCD相交判断C；由直线与平面平行的判定与性质判断D．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，考查逻辑推理能力，是中档题．
9.【答案】CD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，两次摸球中，第一次摸出球的标号为2.二次摸出球的标号为3，
即事件A、B可以同时发生，则事件A、B不是互斥事件，A错误；
对于B，若事件A发生，即第一次摸出球的标号为2，则事件C一定不会发生，则A、C不是相互独立事件，B错误；
对于C，事件C、D不会同时发生，是互斥事件，C正确；
对于D，P(B)=14，P(D)=2×2A42=13，P(BD)=14×3=112，
有P(B)P(D)=P(BD)，则B、D是相互独立事件，D正确．
故选：CD．
根据题意，由互斥事件和相互独立事件的定义依次分析选项，可得A错误，C正确，B错误，D正确，综合可得答案．
本题考查相互独立事件、互斥事件的判断，注意相互独立事件的判断方法，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：因为函数f(x)=tan(12x−π4)，所以f(x)的最小正周期是T=π12=2π，选项A错误；
x=π2时，12×π2−π4=0，所以f(x)=tan(12x−π4)的图象关于点(π2,0)对称，选项B正确；
因为|f(π2−x)|=|tan(−12x)|=|tan12x|，|f(π2+x)|=|tan12x|，所以|f(π2−x)|=|f(π2+x)|，
|f(x)|的图象关于直线x=π2对称，选项C正确；
x∈(−π2,π2)时，12x−π4∈(−π2,0)，所以f(x)=tan(12x−π4)在区间(−π2,π2)上单调递增，选项D正确．
故选：BCD．
根据函数f(x)=tan(12x−π4)的图象与性质，对选项中的命题判断真假性即可．
本题考查了函数f(x)=tan(12x−π4)的图象与性质的应用问题，是基础题．
11.【答案】AC
【解析】解：对于A，z−z−=0，
则z=z−，
故z∈R，故A正确；
对于B，z(1+i)=2，
则z=21+i2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i，
2cs7π4+isin7π4= 2csπ4−isinπ4=1− 22i，故B错误；
对于C，设z1，z2在复平面内对应的向量为a，b，
则|a|=|b|=3，a+b=(5,1)，
故|a+b|= 52+12= 26，
(a+b)2=a2+2a⋅b+b2=9+2a⋅b+9，解得a⋅b=4，
故|a−b|= a2−2a⋅b+b2= 10，即|z1−z2|= 10，故C正确；
对于D，设z=x+yi(x,y∈R)，
∵1<|z|<2，
∴1∴复数z在复平面内对应的点所构成的图形面积为π×22−π×12=3π，故D错误．
故选：AC．
对于A，结合共轭复数的定义，即可求解；
对于B，结合共轭复数的定义，即可求解；
对于C，结合复数的几何意义，以及向量的数量积运算，即可求解；
对于D，结合复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，考查转化能力，属于中档题．
12.【答案】AD
【解析】解：如图所示，过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD=h，则h=abc，c2=a2+b2．
侧面积Sa=πbc，Sb=πac，Sc=πab(a+b)c．
Sa+Sb−2Sc=π[bc+ac−2ab(a+b)c]=π(a+b)(a2+b2)−2ab(a+b) a2+b2≥0，因此A正确；
由题意可得：Va=13×πb2×a，Vb=13πa2b，Vc=13π(abc)2×c=13πa2b2 a2+b2，
∴Va+Vb−2Vc=π3ab(a+b−2ab a2+b2)≥π3ab(2 ab−2ab 2ab)=π3ab(2− 2) ab>0，因此B错误；
1Sa2+1Sb2=1π2c2(1a2+1b2)=1π2a2b2，1Sc2=1π2a2b2(a+b)2⋅(a2+b2)，
1Sa2+1Sb2−1Sc2=(a+b)2−(a2+b2)(πab)2>0，∴1Sa2+1Sb2>1Sc2，因此C错误；
1Va2+1Vb2=9π2a2b2(1b2+1a2)，1Vc2=9π2a2b2a2+b2a2b2=9π2a2b2(1b2+1a2)，
∴1Va2+1Vb2=1Vc2，因此D正确．
故选：AD．
过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD=h，则h=abc.分别计算出体积Va，Vb，Vc，侧面积Sa，Sb，Sc.通过作差即可比较出大小关系．
本题考查了圆锥的体积与侧面积计算公式、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13.【答案】(−1,3)
【解析】解：∵向量a=(1,−3)，b=(λ,5)，∴a+b=(1+λ,2)，
又∵(a+b)⊥a，
∴1+λ−6=0，
解得λ=5．
∴b=(5,5)，
∴a⋅b=1×5−3×5=−10，|a|= 12+(−3)2= 10，
∴b在a方向上的投影向量的坐标为b⋅a|a|⋅a|a|=−a=(−1,3)．
故答案为：(−1,3)．
由(a+b)⊥a可求出λ=5，再利用投影向量的定义求解．
本题主要考查了投影向量的定义，考查了向量的数量积运算，属于基础题．
14.【答案】37.5
【解析】解：已知在样本中，男生有100人，女生有60人，
所以该校高中学生身高的平均数x−=100160×172+60160×164=169，
则该校高中学生身高的总样本方差s2=100160×[18+(172−169)2]+60160×[30+(164−169)2]=37.5．
故答案为：37.5．
由题意，根据平均数和方差公式进行求解即可．
本题考查平均数、方差，考查了逻辑推理和运算能力．
15.【答案】2− 3
【解析】解：连接OB，OC，过BN⊥OP于N，
可得OB=OC，可得∠OCB=∠OBC，
因为四边形ABCD为矩形，所以∠OCD=∠OBA，
由题意可得DC=AB，
可得△ODC≌△OAB，
可得OD=OA，
而∠AOD=π3，
所以△OAD为等边三角形，所以AD=OA，
设∠BON=α，则∠BAN=π2−π3=π6，在Rt△ABN中，则ON=OBcsα=csα，BN=OBsinα=sinα，
AB=BNsinπ6=2⋅sinα，AN=ABcsπ6= 3sinα，AD=OA=ON−AN=csα− 3sinα，
所以S矩形ABCD=AB⋅AD=2sinα(csα− 3sinα)=2sinαcsα−2 3sin2α=sin2α− 3(1−cs2α)=2sin(2α+π3)− 3≤2− 3，
当且仅当2α+π3=π2，即α=π12时取等号，
所以矩形ABCD的面积的最大值为2− 3．
故答案案为：2− 3．
连接OB，OC，过BN⊥OP于N，可证得△ODC≌△OAB，可得OD=OA，可得△AOD为等边三角形，设∠BON=α，由题意可得AD，AB用α的代数式，进而可得矩形的面积，由α的范围，可得矩形的面积的最大值．
本题考查三角函数的性质的应用，属于中档题．
16.【答案】2 3
【解析】解：如图所示：

空1：延长CG交AD1于点F，连接BF，则F为AD1中点，如下图所示，

因为GE//平面D1AB，GE⊂平面CBF，平面CBF∩平面D1AB=BF，
所以GE//BF，因为点G为△D1AC的重心，所以CG=2GF，
所以CE=2EB，即λ=2；
空2：取CA中点O，连接OB，GB，GO，OD1，则OB⊥AC，

设正方形ABCD边长为2，因为GE//BF，GE⊥D1A，
所以BF⊥D1A，又F为AD1中点，所以AB=D1B=2，
Rt△ABC中，AC=2 2，OB=12AC= 2，同理可得D1O= 2，
因为D1O2+OB2=D1B2，所以OB⊥D1O，又AC∩D1O=O，
所以OB⊥平面D1AC，则GO为GB在平面D1AC内的投影，
所以∠OGB或其补角为直线GB与平面D1AC所成角，
Rt△OGB中，GO=13D1O= 23，tan∠OGB=OBOG=3．
故答案为：2；3．
空1：延长CG交AD1于点F，由线面平行的性质，可得到GE//BF，从而得到CG=2GF，进而得解；
空2：取CA中点O，找到OB⊥平面D1AC，所以∠OGB或其补角为直线GB与平面D1AC所成角，进而得解．
本题考查空间直线与平面所成的角，属中档题．
17.【答案】解：(1)由频率分布直方图可知[1.5,2)内的频率为1−(0.08+0.16+0.3+0.5+0.3+0.12+0.08+0.04)×0.5=0.21．
(2)因为0.21÷0.5=0.42，又(0.08+0.16+0.3+0.42+0.5)×0.5=0.73，
(0.08+0.16+0.3+0.42+0.5+0.3)×0.5=0.88>0.85，
则a∈[2.5,3)，依题意可得0.73+(a−2.5)×0.3=0.85，解得a=2.9．
所以要使85%的居民生活月均用水量不超过标准，则居民生活用水量标准为2.9t．
【解析】(1)根据频率分布直方图计算可得；(2)根据第85百分位数计算规则计算可．
本题考查频率分布直方图，属于基础题．
18.【答案】解：(1)设f(x)的最小正周期为T，依题意设A(a,0)，则B(a+T4,−1)，C(a+3T4,1)，
所以AB=(T4,−1)，AC=(3T4,1)，所以AB⋅AC=3T216−1=2，
即T2=16，解得T=4或T=−4(舍去)；
(2)由(1)可得T=2πω=4，解得ω=π2，所以f(x)=cs(π2x+φ)，
又f(2)−f(43)=cs(π+φ)−cs(2π3+φ)=1，
即−csφ−cs2π3csφ+sin2π3sinφ=1，
即−12csφ+ 32sinφ=1，所以sin(φ−π6)=1，
所以φ−π6=π2+2kπ,k∈Z，解得φ=2π3+2kπ,k∈Z，
又0<φ<π，所以φ=2π3，所以f(x)=cs(π2x+2π3)．
【解析】(1)依题意设A(a,0)，则B(a+T4,−1)，C(a+3T4,1)，即可表示AB，AC，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可；(2)由(1)求出ω，再由f(2)−f(43)=1，代入利用诱导公式及和(差)角公式整理得到sin(φ−π6)=1，即可求出φ，从而得解．
本题考查三角函数的图象和性质，考查数量积公式，属于中档题．
19.【答案】解：(1)又打了2个球该局比赛结束，有两种情况，甲连赢2个球或乙连赢2个球，
所以P(X=2)=0.4×0.6+(1−0.4)×(1−0.6)=0.48；
(2)设事件A为“X=4且乙获胜”，
则事件A发生表示前2个球甲乙各赢1个球，第3个球和第4个球都是乙赢，
所以P(A)=[0.4×(1−0.6)+(1−0.4)×0.6]×(1−0.4)×(1−0.6)=0.1248．
【解析】(1)根据独立事件的概率乘法公式求解；
(2)根据独立事件的概率乘法公式求解；
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
20.【答案】 (1)证明：在直三棱柱ABC−A1B1C1中，易知AB⊥BB1，
又AB⊥BC，BB1∩BC=B，且两直线在平面内，
所以AB⊥平面BCC1，又AB⊂平面ABC1，
所以平面ABC1⊥平面BCC1．
(2)过C作CD垂直BC于D点，连接AD，
由(1)可知平面ABC1⊥平面BCC1，
又平面ABC1∩平面BCC1=BC1，所以CD⊥平面ABC1，垂足为D，
则∠CAD是直线AC与平面ABC1所成的角，即∠CAD=θ，
由(1)可知AB⊥平面BCC1，所以AB⊥BC1，
又AB⊥BC，所以∠CBC1是二面角C1−AB−C的平面角，即∠CBC1=φ，
在Rt△ADC中，sinθ=CDAC，在Rt△CDB中，sinφ=CDBC，
又BC又θ∈(0,π2)，φ∈(0,π2)，
所以θ<φ．
【解析】(1)根据直棱柱的性质以及题意，由面面垂直的判定定理即可证明结果；
(2)过C作CD垂直BC于D点，根据(1)的结论，以及线面角的概念，可得∠CAD是直线AC与平面A1BC所成的角；再根据二面角的概念易知∠CBC1是二面角C1−AB−C的平面角，再在直角三角形中利用正弦公式，通过比值比较即可得到结果．
本题主要考查面面垂直的证明，二面角的求法，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由题意及正弦定理可得 3sinB+csB=sinB+sinCsinA，
即 3sinBsinA+csBsinA=sinB+sinC=sinB+sin(B+A)，
即 3sinBsinA+csBsinA=sinB+sinBcsA+csBsinA，
整理可得 3sinBsinA=sinB+sinBcsA，在△ABC中，sinB≠0，
所以 3sinA−csA=1，即sin(A−π6)=12，
因为A∈(0,π)，可得A−π6=π6，
解得A=π3；
(2)在△ABC，A=π3，AD=BD=3，CD=2，BC=BD+CD=3+2=5，
由余弦定理可得BC2=AB2+AC2−2AB⋅ACcs∠BAC，
即25=AB2+AC2−AB⋅AC，①
因为cs∠ADC=−cs∠ADB，
在△ABD中，AB2=BD2+AD2−2AD⋅BDcs∠ADB=9+9−2×3×3cs∠ADB=18−18cs∠ADB，②
在△ACD中，AC2=CD2+AD2−2AD⋅CDcs∠ADC=4+9+2×3×2cs∠ADB=13+12cs∠ADB，③
②×2+③×3可得2AB2+3AC2=75，④
由①④可得AC=5 24．
即b=5 24．
【解析】(1)由正弦定理及△的角的关系，可得sin(A−π6)=12，由A的范围，可得A角的大小；
(2)分别在△ABD，△ACD中由余弦定理可得AB，AC的关系，再由在△ABC中，由余弦定理可得AB，AC的关系，两式联立，可得AC的值．
本题考查正弦定理，余弦定理的应用，属于中档题．
22.【答案】证明：(1)连接BC1，因为AB=D1C1且AB//D1C1，
所以ABC1D1为平行四边形，
所以AD1//BC1，AD1⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，所以AD1//平面BCC1B1，
又平面BCC1B1∩α=l，AD1⊂平面α，
所以AD1//l；
解：(2)在正方形DCC1D1中，直线D1E与直线DC相交，
设D1E∩DC=F，连接AF，设BC∩AF=G，连接GE，
由E为CC1的中点，得G为BC的中点，∴EG//AD1，
所以平面AGED1即为平面α，
因为E为CC1的中点，所以C为DF的中点，
所以平面α将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台CGE−DAD1，
因为正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，
所以V1=V棱台CGE−DAD1=VF−DAD1−VF−CGE
=78VF−DAD1=78×13S△DAD1×FD=78×13×12×4×4×8=563，
∴另一部分几何体的体积V2=43−563=1363，
∴两部分的体积V1V2=717；
(3)取B1C1的中点N，BB1的中点M，连接MN、ME、A1M、A1N，

显然MN//BC1，EG//BC1，所以MN//EG，MN⊄平面AGED1，EG⊂平面AGED1，
所以MN//平面AGED1，
又E为CC1的中点，所以ME//B1C1且ME=B1C1，又A1D1//B1C1且A1D1=B1C1，
所以A1D1//ME且A1D1=ME，
所以A1D1EM为平行四边形，所以A1M//D1E，
A1M⊄平面AGED1，D1E⊂平面AGED1，
所以A1M//平面AGED1，
又A1M∩ME=M，A1M，ME⊂平面A1MN，所以平面A1MN//平面AGED1，
又点P是侧面BCC1B1内的动点，且A1P//α，
所以P在线段MN上，又A1N=A1M= 42+22=2 5，
即△A1MN为等腰三角形，所以当P为MN的中点时A1P最小，
因为△AA1D1为等腰直角三角形，所以其外接圆的圆心为斜边AD1的中点，设为Q，
令ME∩BC1=H，则H为BC1的中点，连接QH，则QH//AB，
所以QH⊥平面AA1D1，所以球心在QH上，设球心为O，连接OD1、OP、PH，
设外接球的半径为R，OQ=h，则OD1=OP=R，
又D1Q=12AD1=2 2,PH= 2，
所以R2=h2+(2 2)2,R2=(4−h)2+( 2)2，解得h=54，则R2=15316，
所以外接球的表面积S=4πR2=1534π．
【解析】(1)连接BC1，即可证明AD1//平面BCC1B1，根据线面平行的性质证明即可；
(2)设D1E∩DC=F，连接AF，设BC∩AF=G，连接GE，即可得到截面即为平面AGED1，再根据锥体、柱体的体积公式计算可得；
(3)取B1C1的中点N，BB1的中点M，连接MN、ME、A1M、A1N，即可证明平面A1MN//平面AGED1，则P在线段MN上，从而得到当P为MN的中点时A1P最小，令ME∩BC1=H，连接GH，则球心在GH上，设球心为O，连接OD1、OP、PH，利用勾股定理求出外接球的半径R2，最后根据球的表面积公式计算可得．
本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
性别
人数
平均数
方差
男生
100
172
18
女生
60
164
30
1
2
3
a
b
c
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,a)
(1,b)
(1,c)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,a)
(2,b)
(2,c)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,a)
(3,b)
(3,c)
a
(a,1)
(a,2)
(a,3)
(a,a)
(a,b)
(a,c)
b
(b,1)
(b,2)
(b,3)
(b,a)
(b,b)
(b,c)
c
(c,1)
(c,2)
(c,3)
(c,a)
(c,b)
(c,c)
1
2
3
a
b
c
1
×
(1,2)
(1,3)
(1,a)
(1,b)
(1,c)
2
(2,1)
×
(2,3)
(2,a)
(2,b)
(2,c)
3
(3,1)
(3,2)
×
(3,a)
(3,b)
(3,c)
a
(a,1)
(a,2)
(a,3)
×
(a,b)
(a,c)
b
(b,1)
(b,2)
(b,3)
(b,a)
×
(b,c)
c
(c,1)
(c,2)
(c,3)
(c,a)
(c,b)
×