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新高一预习：题型分类细讲精练21 三角函数性质综合应用（人教数学A版2019必修第一册）
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这是一份新高一预习：题型分类细讲精练21 三角函数性质综合应用（人教数学A版2019必修第一册），文件包含专题21三角函数性质综合应用人教A版2019必修第一册解析版docx、专题21三角函数性质综合应用人教A版2019必修第一册原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共47页， 欢迎下载使用。
专题21 三角函数性质综合应用
目录
【题型一】正余弦对偶式求值 1
【题型二】辅助角范围型 2
【题型三】零点型范围：利用对称轴等性质求范围 3
【题型四】 利用对称中心求范围 3
【题型五】三角函数与幂指对函数的交点 4
【题型六】三角函数比大小 5
【题型七】三角函数奇偶性应用 6
【题型八】正切函数与均值求最值 7
【题型九】三角函数单调性与最值 7
【题型十】三角函数有界消元型 8
【题型十一】三角函数应用：换元型 8
培优第一阶——基础过关练 9
培优第二阶——能力提升练 10
培优第三阶——培优拔尖练 12
【题型一】正余弦对偶式求值
【典例分析】
在△ABC中，如果，则∠C的大小为（ ）
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
【提分秘籍】
基本规律
正余弦对偶式：正弦对应余弦，余弦对应正弦，系数一致（不涉及正负号）
正余弦对偶式可以考虑整体话思想，两式平方后相加，结合同角的三角函数关系，以及两角差的正余弦公式。
【变式训练】
1.已知，，则__________.
2.已知，则_______________．
3.已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【题型二】辅助角范围型
【典例分析】
若，函数f(x)=3sinωx+4cosωx0≤x≤π3的值域为，则cosπ3ω的取值范围是________.
【提分秘籍】
基本规律
1.若角度是全体实数时。辅助角范围满足：
2.角度不是全体实数时，可以借助单位圆或者三角函数图像单调性求对应的值域。
【变式训练】
1.若存在正整数m使得关于x的方程在上有两个不等实根，则正整数n的最小值是______．
2.函数的值域为
A． B． C． D．
3.已知函数在上的值域为，则的取值范围为______.
【题型三】零点型范围：利用对称轴等性质求范围
【典例分析】
将函数的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再把所得的图象向左平移个单位长度，然后再把所得的图象向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】
基本规律
形如函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像
对称轴：最值处，令sin(ωx＋φ) ＝1，则ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，可求得对称轴方程。
对应函数的零点（或者水平交线，复合方程的根），可以借助对称轴等性质来转化求解
【变式训练】
1.把函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2.将函数的图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标保持不变，得到图象，若，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3..将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到的图象.若gx1gx2=9，且，则的最大值为_______________.
【题型四】 利用对称中心求范围
【典例分析】
.已知函数的最小正周期，且是函数的一条对称轴，是函数的一个对称中心，则函数在上的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】
基本规律
形如函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像：
1.对称中心：零点处，令sin(ωx＋φ) ＝0，ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标；
2.正弦“第一零点”：；正弦“第二零点”：
3.余弦“第一零点”：；余弦“第二零点”：
【变式训练】
1.设函数.若，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2.已知函数在上的最大值为M，最小值为m，则（ ）.
A．4 B．2 C．1 D．0
3.已知（）既不是奇函数也不是偶函数，若的图像关于原点对称，的图像关于轴对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【题型五】三角函数与幂指对函数的交点
【典例分析】
关于的方程在上解的个数是____________.
【提分秘籍】
基本规律
利用幂指对函数与三角函数的对称性与单调性，结合图像，借助数形结合思想求解交点
【变式训练】
1.设函数为定义域为的奇函数，且，当时，，则函数在区间上的所有零点的和为__________.
2.函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于2020，则满足条件的所有整数k的值是______.
3.定义在上的函数满足且.当时，.则函数在区间上所有的零点之和为__________.
【题型六】三角函数比大小
【典例分析】
设，，，，则a，b，c，d的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【提分秘籍】
基本规律
三角函数比大小，通常从以下几方面入手：
(1)变角：目的是把角变为一个单调区间内，便于比较大小，其手法通常是“配凑”.
(2)变名：函数名称变为一致，便于借助图像单调性比较大小。其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.
【变式训练】
1.若，，且，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知,则（ ）.
A． B． C． D．
3.已知函数，设，则（ ）
A． B． C． D．
【题型七】三角函数奇偶性应用
【典例分析】
已知函数，若（），则=________ ．
【提分秘籍】
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
奇
偶
奇
基本规律
【变式训练】
1.已知函数的图象上关于轴对称的点恰有9对,则实数的取值范围_________.
2.已知函数的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（ ）
①绕着轴上一点旋转;
②沿轴正方向平移;
③以轴为轴作轴对称;
④以轴的某一条垂线为轴作轴对称.
A．①③ B．③④ C．②③ D．②④
3..已知为正常数，f(x)=x2−ax+1,x⩾ax2−3ax+2a2+1,x
【题型八】正切函数与均值求最值
【典例分析】
设，均为锐角，且，则的最大值是（ ）
A． B． C．6 D．
【提分秘籍】
基本规律
切化弦，或者正切函数两角和与差公式，可以达到化“切”，以统一函数。求最值或者值域，可以适当的构建变量，用均值不等式求解
【变式训练】
1.已知，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
2.已知，为锐角，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3..在中，角、、所对的边分别为、、，若为锐角三角形，且满足B=2A，则1tanA−1tanB的取值范围是
A． B．1,2 C．233,2 D．1,+∞
【题型九】三角函数单调性与最值
【典例分析】
若函数在区间是减函数，则的取值范围是
【变式训练】
1.已知函数，则的最小值是_____________．
2.设函数，若，且，则的取值范围是_______．
3，已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的值域为 B．的值域为
C．的最小正周期为 D．在单调递增
【题型十】三角函数有界消元型
【典例分析】
若0<α<π2,−π2<β<0,sinα+2cosβ=1,则sinαcosβ的最大值为__________.
【提分秘籍】
基本规律
多个角及对应的角的三角函数时，可以通过“消元”消去，然后再构造单元函数求最值。无论是消去的三角函数，还是保留色三角函数，都要注意正余弦的“有界性”
【变式训练】
1.已知，则的最大值为________.
2.已知，则的最大值为____________
3.已知，则函数的值域是（ ）
A． B．
C． D．
【题型十一】三角函数应用：换元型
【典例分析】
若y=x−4+18−3x，则的取值范围是________
【提分秘籍】
基本规律
一般情况下，借助整体化思想，可以换元构造新函数求最值。常见的三角换元，有单根号换元，双根号换元，指对型换元等等，注意区别这些换元之间的不同选择
【变式训练】
1.已知实数满足,则的取值范围是_______．
2..已知非负实数，满足，则的最大值为__________.
3.函数y＝x＋的最小值为________．
培优第一阶——基础过关练
1．若“，使得”为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．已知实数，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．已知ω>0，函数在区间上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，则（ ）
A．在上单调递减
B．在上单调递增
C．在上单调递减
D．在上单调递增
6．记函数的最小正周期为T，若，且的最小值为1.则曲线的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
7．若函数在区间上的最大值是，则（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
8．函数的最小值是（ ）．
A． B． C． D．
9．已知函数，若在上的值域是，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．在上有两个零点，，则（）
A． B． C． D．
培优第二阶——能力提升练
1．函数，试判断函数的奇偶性及最大值（ ）
A．奇函数，最大值为2 B．偶函数，最大值为2
C．奇函数，最大值为1 D．偶函数，最大值为1
2．函数的图象在[0，2]上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为（ ）
A．[π，2π） B． C． D．
3．已知函数中，则（ ）
A．的最大值为2 B．直线是图象的一条对称轴
C．点是图象的一个对称中心 D．在上单调递减
4．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数在区间上单调，且对任意实数均有成立，则（ ）
A． B． C． D．
6．若函数，的图像与仅有两个不同交点，则的取值范围是___________.
7．函数在上单调递减，且，对于住意的，均有恒成立，则实数的最大值为__________.
8．函数在区间内的零点个数为__________.
9．若存在，使得不等式有解，则实数的取值范围为____________．
10．函数的最大值和最小值是、，则________.
培优第三阶——培优拔尖练
1．若在上是严格递增函数，的最大值是_____.
2．已知函数，若在上无零点，则的取值范围为______．
3．对任意闭区间，用，表示函数在上的最小值．若正数满足，则正数的取值范围为______．
4．若，，且，则的最大值为______．
5．定义函数在R上单调递减，且关于成中心对称，对于任意的，均有恒成立，则的最大值为______．
6．若函数的图象经过点和，且当时，恒成立，则实数a的取值范围是______.
7．函数在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为______.
8．若，则的取值范围是_________________.
9．已知函数，若关于的方程在上有三个不同的实根，则实数的取值范围是______．
10．已知非零实数满足， 则的最小值为_____．
专题21 三角函数性质综合应用
目录
【题型一】正余弦对偶式求值 1
【题型二】辅助角范围型 2
【题型三】零点型范围：利用对称轴等性质求范围 3
【题型四】 利用对称中心求范围 3
【题型五】三角函数与幂指对函数的交点 4
【题型六】三角函数比大小 5
【题型七】三角函数奇偶性应用 6
【题型八】正切函数与均值求最值 7
【题型九】三角函数单调性与最值 7
【题型十】三角函数有界消元型 8
【题型十一】三角函数应用：换元型 8
培优第一阶——基础过关练 9
培优第二阶——能力提升练 10
培优第三阶——培优拔尖练 12
【题型一】正余弦对偶式求值
【典例分析】
在△ABC中，如果，则∠C的大小为（ ）
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
【提分秘籍】
基本规律
正余弦对偶式：正弦对应余弦，余弦对应正弦，系数一致（不涉及正负号）
正余弦对偶式可以考虑整体话思想，两式平方后相加，结合同角的三角函数关系，以及两角差的正余弦公式。
【变式训练】
1.已知，，则__________.
2.已知，则_______________．
3.已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【题型二】辅助角范围型
【典例分析】
若，函数f(x)=3sinωx+4cosωx0≤x≤π3的值域为，则cosπ3ω的取值范围是________.
【提分秘籍】
基本规律
1.若角度是全体实数时。辅助角范围满足：
2.角度不是全体实数时，可以借助单位圆或者三角函数图像单调性求对应的值域。
【变式训练】
1.若存在正整数m使得关于x的方程在上有两个不等实根，则正整数n的最小值是______．
2.函数的值域为
A． B． C． D．
3.已知函数在上的值域为，则的取值范围为______.
【题型三】零点型范围：利用对称轴等性质求范围
【典例分析】
将函数的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再把所得的图象向左平移个单位长度，然后再把所得的图象向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】
基本规律
形如函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像
对称轴：最值处，令sin(ωx＋φ) ＝1，则ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，可求得对称轴方程。
对应函数的零点（或者水平交线，复合方程的根），可以借助对称轴等性质来转化求解
【变式训练】
1.把函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2.将函数的图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标保持不变，得到图象，若，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3..将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到的图象.若gx1gx2=9，且，则的最大值为_______________.
【题型四】 利用对称中心求范围
【典例分析】
.已知函数的最小正周期，且是函数的一条对称轴，是函数的一个对称中心，则函数在上的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】
基本规律
形如函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像：
1.对称中心：零点处，令sin(ωx＋φ) ＝0，ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标；
2.正弦“第一零点”：；正弦“第二零点”：
3.余弦“第一零点”：；余弦“第二零点”：
【变式训练】
1.设函数.若，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2.已知函数在上的最大值为M，最小值为m，则（ ）.
A．4 B．2 C．1 D．0
3.已知（）既不是奇函数也不是偶函数，若的图像关于原点对称，的图像关于轴对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【题型五】三角函数与幂指对函数的交点
【典例分析】
关于的方程在上解的个数是____________.
【提分秘籍】
基本规律
利用幂指对函数与三角函数的对称性与单调性，结合图像，借助数形结合思想求解交点
【变式训练】
1.设函数为定义域为的奇函数，且，当时，，则函数在区间上的所有零点的和为__________.
2.函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于2020，则满足条件的所有整数k的值是______.
3.定义在上的函数满足且.当时，.则函数在区间上所有的零点之和为__________.
【题型六】三角函数比大小
【典例分析】
设，，，，则a，b，c，d的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【提分秘籍】
基本规律
三角函数比大小，通常从以下几方面入手：
(1)变角：目的是把角变为一个单调区间内，便于比较大小，其手法通常是“配凑”.
(2)变名：函数名称变为一致，便于借助图像单调性比较大小。其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.
【变式训练】
1.若，，且，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知,则（ ）.
A． B． C． D．
3.已知函数，设，则（ ）
A． B． C． D．
【题型七】三角函数奇偶性应用
【典例分析】
已知函数，若（），则=________ ．
【提分秘籍】
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
奇
偶
奇
基本规律
【变式训练】
1.已知函数的图象上关于轴对称的点恰有9对,则实数的取值范围_________.
2.已知函数的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（ ）
①绕着轴上一点旋转;
②沿轴正方向平移;
③以轴为轴作轴对称;
④以轴的某一条垂线为轴作轴对称.
A．①③ B．③④ C．②③ D．②④
3..已知为正常数，f(x)=x2−ax+1,x⩾ax2−3ax+2a2+1,x
【题型八】正切函数与均值求最值
【典例分析】
设，均为锐角，且，则的最大值是（ ）
A． B． C．6 D．
【提分秘籍】
基本规律
切化弦，或者正切函数两角和与差公式，可以达到化“切”，以统一函数。求最值或者值域，可以适当的构建变量，用均值不等式求解
【变式训练】
1.已知，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
2.已知，为锐角，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3..在中，角、、所对的边分别为、、，若为锐角三角形，且满足B=2A，则1tanA−1tanB的取值范围是
A． B．1,2 C．233,2 D．1,+∞
【题型九】三角函数单调性与最值
【典例分析】
若函数在区间是减函数，则的取值范围是
【变式训练】
1.已知函数，则的最小值是_____________．
2.设函数，若，且，则的取值范围是_______．
3，已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的值域为 B．的值域为
C．的最小正周期为 D．在单调递增
【题型十】三角函数有界消元型
【典例分析】
若0<α<π2,−π2<β<0,sinα+2cosβ=1,则sinαcosβ的最大值为__________.
【提分秘籍】
基本规律
多个角及对应的角的三角函数时，可以通过“消元”消去，然后再构造单元函数求最值。无论是消去的三角函数，还是保留色三角函数，都要注意正余弦的“有界性”
【变式训练】
1.已知，则的最大值为________.
2.已知，则的最大值为____________
3.已知，则函数的值域是（ ）
A． B．
C． D．
【题型十一】三角函数应用：换元型
【典例分析】
若y=x−4+18−3x，则的取值范围是________
【提分秘籍】
基本规律
一般情况下，借助整体化思想，可以换元构造新函数求最值。常见的三角换元，有单根号换元，双根号换元，指对型换元等等，注意区别这些换元之间的不同选择
【变式训练】
1.已知实数满足,则的取值范围是_______．
2..已知非负实数，满足，则的最大值为__________.
3.函数y＝x＋的最小值为________．
培优第一阶——基础过关练
1．若“，使得”为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．已知实数，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．已知ω>0，函数在区间上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，则（ ）
A．在上单调递减
B．在上单调递增
C．在上单调递减
D．在上单调递增
6．记函数的最小正周期为T，若，且的最小值为1.则曲线的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
7．若函数在区间上的最大值是，则（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
8．函数的最小值是（ ）．
A． B． C． D．
9．已知函数，若在上的值域是，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．在上有两个零点，，则（）
A． B． C． D．
培优第二阶——能力提升练
1．函数，试判断函数的奇偶性及最大值（ ）
A．奇函数，最大值为2 B．偶函数，最大值为2
C．奇函数，最大值为1 D．偶函数，最大值为1
2．函数的图象在[0，2]上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为（ ）
A．[π，2π） B． C． D．
3．已知函数中，则（ ）
A．的最大值为2 B．直线是图象的一条对称轴
C．点是图象的一个对称中心 D．在上单调递减
4．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数在区间上单调，且对任意实数均有成立，则（ ）
A． B． C． D．
6．若函数，的图像与仅有两个不同交点，则的取值范围是___________.
7．函数在上单调递减，且，对于住意的，均有恒成立，则实数的最大值为__________.
8．函数在区间内的零点个数为__________.
9．若存在，使得不等式有解，则实数的取值范围为____________．
10．函数的最大值和最小值是、，则________.
培优第三阶——培优拔尖练
1．若在上是严格递增函数，的最大值是_____.
2．已知函数，若在上无零点，则的取值范围为______．
3．对任意闭区间，用，表示函数在上的最小值．若正数满足，则正数的取值范围为______．
4．若，，且，则的最大值为______．
5．定义函数在R上单调递减，且关于成中心对称，对于任意的，均有恒成立，则的最大值为______．
6．若函数的图象经过点和，且当时，恒成立，则实数a的取值范围是______.
7．函数在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为______.
8．若，则的取值范围是_________________.
9．已知函数，若关于的方程在上有三个不同的实根，则实数的取值范围是______．
10．已知非零实数满足， 则的最小值为_____．
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