专题13 二次函数解答压轴题- 2023年中考数学真题分类汇编（通用版含解析）

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专题13 二次函数解答压轴题（62题）

一、解答题
1．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）已知二次函数．
(1)当时，
①求该函数图象的顶点坐标．
②当时，求的取值范围．
(2)当时，的最大值为2；当时，的最大值为3，求二次函数的表达式．
【答案】(1)①；②当时，；(2)
【分析】（1）①将代入解析式，化为顶点式，即可求解；
②已知顶点，根据二次函数的增减性，得出当时，有最大值7，当时取得最小值，即可求解；
（2）根据题意时，的最大值为2；时，的最大值为3，得出抛物线的对称轴在轴的右侧，即，由抛物线开口向下，时，的最大值为2，可知，根据顶点坐标的纵坐标为3，求出，即可得解．
【详解】（1）解：①当时，，
∴顶点坐标为．
②∵顶点坐标为．抛物线开口向下，
当时，随增大而增大，
当时，随增大而减小，
∴当时，有最大值7．
又
∴当时取得最小值，最小值；
∴当时，．
（2）∵时，的最大值为2；时，的最大值为3，
∴抛物线的对称轴在轴的右侧，
∴，
∵抛物线开口向下，时，的最大值为2，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴二次函数的表达式为．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，顶点式，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
2．（2023·浙江·统考中考真题）已知点和在二次函数是常数，的图像上．
(1)当时，求和的值；
(2)若二次函数的图像经过点且点A不在坐标轴上，当时，求的取值范围；
(3)求证：．
【答案】(1)；(2)；(3)见解析
【分析】（1）由可得图像过点和，然后代入解析式解方程组即可解答；
（2）先确定函数图像的对称轴为直线，则抛物线过点，即，然后再结合即可解答；
（3）根据图像的对称性得，即，顶点坐标为；将点和分别代入表达式并进行运算可得；则，进而得到，然后化简变形即可证明结论．
【详解】（1）解：当时，图像过点和，
∴，解得，
∴，
∴．
（2）解：∵函数图像过点和，
∴函数图像的对称轴为直线．
∵图像过点，
∴根据图像的对称性得．
∵，
∴．
（3）解：∵图像过点和，
∴根据图像的对称性得．
∴，顶点坐标为．
将点和分别代人表达式可得
①②得，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的对称性、解不等式等知识点，掌握二次函数的对称性是解答本题的关键．
3．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）在二次函数中，
(1)若它的图象过点，则t的值为多少？
(2)当时，y的最小值为，求出t的值：
(3)如果都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围．
【答案】(1)；(2)；(3)或
【分析】（1）将坐标代入解析式，求解待定参数值；
（2）确定抛物线的对称轴，对待定参数分类讨论，分，当时，函数值最小，以及，当时，函数值最小，求得相应的t值即可 得；
（3）由关于对称轴对称得，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧；确定抛物线与y轴交点，此交点关于对称轴的对称点为，结合已知确定出；再分类讨论：A，B都在对称轴左边时，A，B分别在对称轴两侧时，分别列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）将代入中，
得，
解得，；
（2）抛物线对称轴为．
若，当时，函数值最小，
，
解得．
，

若，当时，函数值最小，
，
解得（不合题意，舍去）
综上所述．
（3）关于对称轴对称
，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧
抛物线与y轴交点为，抛物线对称轴为直线，
此交点关于对称轴的对称点为
且
，解得．
当A，B都在对称轴左边时，

，
解得，

当A，B分别在对称轴两侧时
到对称轴的距离大于A到对称轴的距离
，
解得

综上所述或．
【点睛】本题考查二次函数图象的性质、极值问题；存在待定参数的情况下，对可能情况作出分类讨论是解题的关键．
4．（2023·浙江杭州·统考中考真题）设二次函数，（，是实数）．已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：

…

0
1
2
3
…

…

1

1

…
(1)若，求二次函数的表达式；
(2)写出一个符合条件的的取值范围，使得随的增大而减小．
(3)若在m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，求的取值范围．
【答案】(1)；(2)当时，则时，随的增大而减小；当时，则时，随的增大而减小；(3)
【分析】（1）用待定系数法求解即可．
（2）利用抛物线的对称性质求得抛物线的对称轴为直线；再根据抛物线的增减性求解即可．
（3）先把代入，得，从而得，再求出，，，从而得，然后m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，得，求解即可．
【详解】（1）解：把，代入，得
，解得：，
∴．
（2）解：∵，在图象上，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴当时，则时，随的增大而减小，
当时，则时，随的增大而减小．
（3）解：把代入，得
，
∴
∴
把代入得，，
把代入得，，
把代入得，，
∴，
∵m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，
∴，解得：．
【点睛】本题考查用待定系数法求抛物线解析式，抛物线的图象性质，解不等式组，熟练掌握用待定系数法求抛物线解析式和抛物线的图象性质是解析的关键．
5．（2023·湖南常德·统考中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点，．
  
(1)求二次函数的表达式；
(2)求四边形的面积；
(3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若，求P点的坐标．
【答案】(1)；(2)30；(3)
【分析】（1）用两点式设出二次函数的解析式，然后求得C点的坐标，并将其代入二次函数的解析式，求得a的值，再将a代入解析式中即可．
（2）先将二次函数变形为顶点式，求得顶点坐标，然后利用矩形、三角形的面积公式即可求得答案．
（3）根据各点的坐标的关系及同角三角函数相等的结论可以求得相关联的函数解析式，最后联立一次函数与二次函数的解析式，求得点P的坐标．
【详解】（1）∵二次函数的图象与轴交于两点．

∴设二次函数的表达式为
∵，
∴，即的坐标为
则，得
∴二次函数的表达式为；
（2）
∴顶点的坐标为
过作于，作于，
四边形的面积
；
  
（3）如图，是抛物线上的一点，且在第一象限，当时，
连接，过作交于，过作于，
  
∵，则为等腰直角三角形，．
由勾股定理得：，
∵，
∴，
即，
∴
由，得，
∴．
∴是等腰直角三角形
∴
∴的坐标为
所以过的直线的解析式为
令
解得，或
所以直线与抛物线的两个交点为
即所求的坐标为
【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的性质以及与坐标系几何图形的综合证明计算问题，解题的关键是将所学的知识灵活运用．
6．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点．
  
(1)求直线及抛物线的表达式；
(2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值．
【答案】(1)直线的解析式为；抛物线解析式为；(2)存在，点M的坐标为或 或；(3)
【分析】（1）根据对称轴，，得到点A及B的坐标，再利用待定系数法求解析式即可；
（2）先求出点D的坐标，再分两种情况：①当时，求出直线的解析式为，解方程组，即可得到点M的坐标；②当时，求出直线的解析式为，解方程组，即可得到点M的坐标；
（3）在上取点，使，连接，证得，又，得到，推出，进而得到当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长，利用勾股定理求出即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴，，
∴，
将代入直线，得，
解得，
∴直线的解析式为；
将代入，得
，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）存在点，
∵直线的解析式为，抛物线对称轴与轴交于点．
∴当时，，
∴，
①当时，
设直线的解析式为，将点A坐标代入，
得，
解得，
∴直线的解析式为，
解方程组，
得或，
∴点M的坐标为；
②当时，
设直线的解析式为，将代入，
得，
解得，
∴直线的解析式为，
解方程组，
解得或，
∴点M的坐标为 或
综上，点M的坐标为或 或；
（3）如图，在上取点，使，连接，
∵，
∴，
∵，、
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长，
∵，
∴，
∴的最小值为．
  
【点睛】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各知识点是解题的关键．
7．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，二次函数的图像与轴分别交于点（点A在点的左侧），直线是对称轴．点在函数图像上，其横坐标大于4，连接，过点作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆，与相切，切点为．
    
(1)求点的坐标；
(2)若以的切线长为边长的正方形的面积与的面积相等，且不经过点，求长的取值范围．
【答案】(1)；(2)或或
【分析】（1）令求得点的横坐标即可解答；
（2）由题意可得抛物线的对称轴为，设，则；如图连接，则，进而可得切线长为边长的正方形的面积为；过点P作轴，垂足为H，可得；由题意可得，解得；然后再分当点M在点N的上方和下方两种情况解答即可．
【详解】（1）解：令，则有：，解得：或，
∴．
（2）解：∵抛物线过
∴抛物线的对称轴为，
设，
∵，
∴,
如图：连接，则，
∴，
∴切线为边长的正方形的面积为，
过点P作轴，垂足为H，则：，
∴
∵，
∴，
    
假设过点,则有以下两种情况：
①如图1：当点M在点N的上方，即
    
∴，解得：或，
∵
∴；
②如图2：当点M在点N的上方，即
  
∴，解得：，
∵
∴；
综上，或．
∴当不经过点时，或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、切线的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．

8．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设，当时，．
  
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？
(3)保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
【答案】(1)；(2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为；(3)4
【分析】（1）设抛物线的函数表达式为，求出点C的坐标，将点C的坐标代入即可求出该抛物线的函数表达式；
（2）由抛物线的对称性得，则，再得出，根据矩形的周长公式，列出矩形周长的表达式，并将其化为顶点式，即可求解；
（3）连接A，相交于点P，连接，取的中点Q，连接，根据矩形的性质和平移的性质推出四边形是平行四边形，则，．求出时，点A的坐标为，则，即可得出结论．
【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为．
∵当时，，
∴点C的坐标为．
将点C坐标代入表达式，得，
解得．
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：由抛物线的对称性得：，
∴．
当时，．
∴矩形的周长为


．
∵，
∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为．
（3）解：连接，相交于点P，连接，取的中点Q，连接．
  
∵直线平分矩形的面积，
∴直线过点P．．
由平移的性质可知，四边形是平行四边形，
∴．
∵四边形是矩形，
∴P是的中点．
∴．
当时，点A的坐标为，
∴．
∴抛物线平移的距离是4．
【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，矩形的性质，平移的性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解二次函数表达式的方法和步骤，二次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，以及平移的性质．
9．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点．
  
(1)求这条抛物线的函数解析式；
(2)P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作轴，垂足为D，连接．
①如图，若点P在第三象限，且，求点P的坐标；
②直线交直线于点E，当点E关于直线的对称点落在y轴上时，请直接写出四边形的周长．
【答案】(1)；(2)①②或
【分析】（1）将A，C两点坐标代入抛物线的解析式，从而求得a，c，进而求得结果；
（2）①设，过点作于点，求出，根据列出方程求出的值即可；②可推出四边形是菱形，从而得出，分别表示出和，从而列出方程，进一步求得结果．
【详解】（1）∵抛物线与x轴交于点，与y轴交于点，
∴把，代入得，
，
解得，，
∴抛物线的函数解析式为；
（2）①设，过点作于点，如图，
  
∴
∵
∴
∵轴，
∴
又
∴四边形是矩形，
∴
∴
∵
∴
∴（不合题意，舍去）
∴
∴；
②设，
对于，当时，
解得，
∴
∵
由勾股定理得，
当点在第三象限时，如图，过点作轴于点，
  
则四边形是矩形，

∵点与点关于对称，
∴
∵轴，
∴
∴
∴
∴
∴四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形，
∵
∴
∴
∴
∴
设直线的解析式为，
把代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
∴，
∴,
又且
∴
解得，（舍去）
∴
∴四边形的周长；
当点在第二象限时，如图，
  
同理可得：
解得，（舍去）
∴
∴四边形的周长；
综上，四边形的周长为或．
【点睛】本题考查了求一次函数和二次函数的解析式，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，轴对称性质等知识，解决问题的关键是正确分类，作辅助线，表示出线段的数量．
10．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．
  
(1)求抛物线解析式及，两点坐标；
(2)以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标；
(3)该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线解析式为，，；(2)或或；(3)
【分析】（1）将点代入抛物线解析式，待定系数法求解析式，进而分别令，即可求得两点的坐标；
（2）分三种情况讨论，当，为对角线时，根据中点坐标即可求解；
（3）根据题意，作出图形，作交于点，为的中点，连接，则在上，根据等弧所对的圆周角相等，得出在上，进而勾股定理，根据建立方程，求得点的坐标，进而得出的解析式，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，
∴
解得：，
∴抛物线解析式为，
当时，，
∴，
当时，
解得：，
∴
（2）∵，，，
设，
∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形
当为对角线时，
解得：，
∴；
当为对角线时，
解得：
∴
当为对角线时，
解得：
∴
综上所述，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，或或
（3）解：如图所示，作交于点，为的中点，连接，
  
∵
∴是等腰直角三角形，
∴在上，
∵，，
∴，，
∵，
∴在上，
设，则
解得：（舍去）
∴点
设直线的解析式为
∴
解得：.
∴直线的解析式
∵，，
∴抛物线对称轴为直线，
当时，，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求解析式，平行四边形的性质，圆周角角定理，勾股定理，求一次函数解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键．
11．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，抛物线过点．
  
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点的坐标；
(3)若点是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，是否存在以为边，点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)的最大面积为，；(3)存在，或或，，见解析
【分析】（1）利用待定系数法代入求解即可；
（2）利用待定系数法先确定直线的解析式为，设点，过点P作轴于点D，交于点E，得出，然后得出三角形面积的函数即可得出结果；
（3）分两种情况进行分析：若为菱形的边长，利用菱形的性质求解即可．
【详解】（1）解：将点代入解析式得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）设直线的解析式为，将点B、C代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵，
∴，
设点，过点P作轴于点D，交于点E，如图所示：
  
∴，
∴，
∴，
∴当时，的最大面积为，
，
∴
（3）存在，或或或，，证明如下：
∵，
∵抛物线的解析式为，
∴对称轴为：，
设点，
若为菱形的边长，菱形，
则，即，
解得：，，
∵，
∴，
∴，；
若为菱形的边长，菱形，
则，即，
解得：，，
∵，
∴，
∴，；
综上可得：
或或，．
【点睛】题目主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，三角形面积问题及特殊四边形问题，全等三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
12．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与坐标轴分别相交于点A，B，三点，其对称轴为．
  
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与轴，直线交于点，．
①当时，求的长；
②若，，的面积分别为，，，且满足，求点的坐标．
【答案】(1)；(2)①；②
【分析】（1）根据抛物线对称轴为，可得，求得，再将代入抛物线，根据待定系数法求得，即可解答；
（2）①求出点，点的坐标，即可得到直线的解析式为，设，则，求得的解析式，列方程求出点的坐标，最后根据列方程，即可求出的长；
②过分别作的垂线段，交于点，过点D作的垂线段，交于点I，根据，可得，即，证明，设，得到直线的解析式，求出点D的坐标，即可得到点的坐标，将点E的坐标代入解方程，即可解答．
【详解】（1）解：根据抛物线的对称轴为，
得，
解得，
将代入抛物线可得，
抛物线的解析式为；
（2）解：当时，得，
解得，，
，，
设的解析式为，将，代入，
得，
解得，
的解析式为，
设，则，
设的解析式为，将，代入，
得，
解得，
的解析式为，
联立方程，
解得，
根据，得，
解得，，
经检验，，是方程的解，
点是该抛物线上位于第一象限的一个动点，
在轴正半轴，
，

即的长为；
②解：如图，过分别作的垂线段，交于点，过点D作的垂线段，交于点I，
  
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，即点D的横坐标为，
，
设的解析式为，将，，
代入得，
解得，
的解析式为，
，即，
，
四边形是矩形，
，
，即，
将代入，
得，
解得，（舍去），
．
【点睛】本题为二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数和一次函数，二次函数与一元二次方程，两点之间的距离，相似三角形的判定与性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
13．（2023·全国·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点．点，在此抛物线上，其横坐标分别为，连接，．
  
(1)求此抛物线的解析式．
(2)当点与此抛物线的顶点重合时，求的值．
(3)当的边与轴平行时，求点与点的纵坐标的差．
(4)设此抛物线在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为．当时，直接写出的值．
【答案】(1)；(2)；(3)点与点的纵坐标的差为或；(4)或
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）化为顶点式，求得顶点坐标，进而根据点的横坐标为，即可求解；
（3）分轴时，轴时分别根据抛物线的对称性求得的横坐标与的横坐标，进而代入抛物线解析式，求得纵坐标，即可求解；
（4）分四种情况讨论，①如图所示，当都在对称轴的左侧时，当在对称轴两侧时，当点在的右侧时，当的纵坐标小于时，分别求得，根据建立方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点．
∴
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵，
顶点坐标为，
∵点与此抛物线的顶点重合，点的横坐标为
∴，
解得：；
（3）①轴时，点关于对称轴对称，
，
∴，则，，
∴，
∴点与点的纵坐标的差为；
②当轴时，则关于直线对称，
∴，
则
∴，；
∴点与点的纵坐标的差为；
综上所述，点与点的纵坐标的差为或；
（4）①如图所示，当都在对称轴的左侧时，
  
则
∴
∵，即
∴；

∵
∴
解得：或（舍去）；
②当在对称轴两侧或其中一点在对称轴上时，
  
则，即，
则，
∴，
解得：（舍去）或（舍去）；
③当点在的右侧且在直线上方时，即，
  
，
∴
解得：或（舍去）；
④当在直线上或下方时，即，
  ，
，
，

解得：（舍去）或（舍去）
综上所述，或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，顶点式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
14．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，其中，．
  
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．
【答案】(1)；(2)取得最大值为，；(3)点的坐标为或或
【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式即可求解；
（2）直线的解析式为，过点作轴于点，交于点，设，则，则，进而根据二次函数的性质即可求解；
（3）根据平移的性质得出，对称轴为直线，点向右平移5个单位得到，，勾股定理分别表示出，进而分类讨论即可求解．
【详解】（1）解：将点，．代入得，

解得：，
∴抛物线解析式为：，
（2）∵与轴交于点，，
当时，
解得：，
∴,
∵．
设直线的解析式为，
∴
解得：
∴直线的解析式为，
如图所示，过点作轴于点，交于点，
  
设，则，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，取得最大值为，，
∴；
（3）∵抛物线
将该抛物线向右平移个单位，得到，对称轴为直线，
点向右平移5个单位得到
∵平移后的抛物线与轴交于点，令，则，
∴,
∴
∵为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．
则点的横坐标为，
设，
∴，，
当时，，
解得：或，
当时，，
解得：
综上所述，点的坐标为或或．

【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，二次函数的平移，线段周长问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
15．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点．直线过抛物线的顶点．

(1)求抛物线的函数解析式；
(2)若直线与抛物线交于点，与直线交于点．
①当取得最大值时，求的值和的最大值；
②当是等腰三角形时，求点的坐标．
【答案】(1)；(2)①当时，有最大值，最大值为；②或或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①先求出，进而求出直线的解析式为，则，进一步求出，由此即可利用二次函数的性质求出答案；②设直线与x轴交于H，先证明是等腰直角三角形，得到；再分如图3-1所示，当时， 如图3-2所示，当时， 如图3-3所示，当时，三种情况利用等腰三角形的定义进行求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于和两点，
∴抛物线对称轴为直线，
在中，当时，，
∴抛物线顶点P的坐标为，
设抛物线解析式为，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为
（2）解：①∵抛物线解析式为，点C是抛物线与y轴的交点，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∵直线与抛物线交于点，与直线交于点
∴，
∴

，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为；

②设直线与x轴交于H，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
如图3-1所示，当时，
过点C作于G，则
∴点G为的中点，
由（2）得，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴；

如图3-2所示，当时，则是等腰直角三角形，
∴，即，
∴点E的纵坐标为5，
∴，
解得或（舍去），
∴

如图3-3所示，当时，过点C作于G，
同理可证是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，，
∴，
∴
综上所述，点E的坐标为或或

【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判断，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
16．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点，直线与抛物线交于B，C两点．
    
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若是以为腰的等腰三角形，求点B的坐标；
(3)过点作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E．试探究：是否存在常数m，使得始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)点B的坐标为或或；(3)存在，m的值为2或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设，分和两种情况，分别根据等腰三角形性质和两点坐标距离公式列方程求解即可；
（3）先根据题意画出图形，设抛物线与直线的交点坐标为，，联立抛物线和直线解析式，根据根与系数关系得到，，利用待定系数法分别求得直线、的表达式为得到， ，过E作轴于Q，过D作轴于N，证明得到，整理可得到，进而求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点，
∴，解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：设，
根据题意，是以为腰的等腰三角形，有两种情况：
当时，点B和点P关于y轴对称，
  
∵，∴；
当时，则，
∴，
整理，得，
解得，，
当时，，则，
当时，，则，
综上，满足题意的点B的坐标为或或；
（3）解：存在常数m，使得．
根据题意，画出图形如下图，
    
设抛物线与直线的交点坐标为，，
由得，
∴，；
设直线的表达式为，
则，解得，
∴直线的表达式为，
令，由得，
∴，
同理，可得直线的表达式为，则，
过E作轴于Q，过D作轴于N，
则，，，，
若，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
则，
整理，得，
即，
将，代入，得，
即，则或，
解得，，
综上，存在常数m，使得，m的值为2或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、等腰三角形的性质、一元二次方程根与系数关系、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、坐标与图形等知识，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线构造相似三角形，并利用数形结合和分类讨论思想解决问题是解答的关键．
17．（2023·安徽·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，对称轴为直线．
(1)求的值；
(2)已知点在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点．
（ⅰ）当时，求与的面积之和；
（ⅱ）在抛物线对称轴右侧，是否存在点，使得以为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点的横坐标的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）（ⅰ）根据题意画出图形，得出，，，继而得出，，当时，根据三角形的面积公式，即可求解．
（ⅱ）根据（ⅰ）的结论，分和分别求得梯形的面积，根据四边形的面积为建立方程，解方程进而即可求解．
【详解】（1）解：依题意，，
解得：，
∴；
（2）（ⅰ）设直线的解析式为，
∵，
∴
解得：，
∴直线，
如图所示，依题意，，，，
  
∴，
，
∴当时，与的面积之和为，
（ⅱ）当点在对称右侧时，则，
∴，
当时，，
∴，
∴，
解得：，
  
当时，，
∴，
∴，
解得：（舍去）或（舍去）
  
综上所述，．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，待定系数法求二次函数解析式，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
18．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，直线与轴，轴分别交于点，抛物线的顶点在直线上，与轴的交点为，其中点的坐标为．直线与直线相交于点．
  
(1)如图2，若抛物线经过原点．
①求该抛物线的函数表达式；②求的值．
(2)连接与能否相等？若能，求符合条件的点的横坐标；若不能，试说明理由．
【答案】(1)①；②；(2)能，或或或．
【分析】（1）①先求顶点的坐标，然后待定系数法求解析式即可求解；
②过点作于点．设直线为，把代入，得，解得，直线为．同理，直线为．联立两直线解析式得出，根据，由平行线分线段成比例即可求解；
（2）设点的坐标为，则点的坐标为．①如图2-1，当时，存在．记，则．过点作轴于点，则．在中，，进而得出点的横坐标为6．②如图2-2，当时，存在．记．过点作轴于点，则．在中，，得出点的横坐标为．③如图，当时，存在．记．过点作轴于点，则．在中，，得出点的横坐标为．④如图2-4，当时，存在．记．过点作轴于点，则．在中，，得出点的横坐标为．
【详解】（1）解：①∵，
∴顶点的横坐标为1．
∴当时，，
∴点的坐标是．
设抛物线的函数表达式为，把代入，
得，
解得．
∴该抛物线的函数表达式为，
即．
②如图1，过点作于点．
  
设直线为，把代入，得，
解得，
∴直线为．
同理，直线为．
由
解得
∴．
∴．
∵，
∴．
（2）设点的坐标为，则点的坐标为．
①如图，当时，存在．
记，则．
∵为的外角，
∴．
∵．
∴．
∴．
∴．
过点作轴于点，则．
在中，，
∴，解得．
∴点的横坐标为6．
  
②如图2-2，当时，存在．
记．
∵为的外角，
∴．
∴
∴．
∴．
过点作轴于点，则．
在中，，
∴，解得．
∴点的横坐标为．
    
③如图2-3，当时，存在．记．
   
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
过点作轴于点，则．
在中，，
∴，解得．
∴点的横坐标为．
④如图2-4，当时，存在．记．
∵，
∴．
    
∴．
∴．
过点作轴于点，则．
在中，，
∴，解得．
∴点的横坐标为．
综上，点的横坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，解直角三角形，平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识，分类讨论是解题的关键．
19．（2023·湖南·统考中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．
  
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)在二次函数图象上是否存在点，使得？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点是对称轴上一点，且点的纵坐标为，当是锐角三角形时，求的取值范围．
【答案】(1)；(2)或或；(3)或
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据，可得到的距离等于到的距离，进而作出两条的平行线，求得解析式，联立抛物线即可求解；
（3）根据题意，求得当是直角三角形时的的值，进而观察图象，即可求解，分和两种情况讨论，分别计算即可求解．
【详解】（1）解：将点，代入，得

解得：
∴抛物线解析式为；
（2）∵，
顶点坐标为，
当时，
解得：
∴，则
∵，则
∴是等腰直角三角形，
∵
∴到的距离等于到的距离，
∵，，设直线的解析式为
∴
解得：
∴直线的解析式为，
如图所示，过点作的平行线，交抛物线于点，
  
设的解析式为，将点代入得，

解得：
∴直线的解析式为，

解得：或
∴，
∵
∴
∴是等腰直角三角形，且，
如图所示，延长至，使得，过点作的平行线，交轴于点，则，则符合题意的点在直线上，
∵是等腰直角三角形，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∴
设直线的解析式为
∴
解得：
∴直线的解析式为
联立
解得：或
∴或
综上所述，或或；
（3）①当时，如图所示，过点作交于点，
当点与点重合时，是直角三角形，
当时，是直角三角形，
  
设交于点，
∵直线的解析式为，
则，
∴,
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴，
设，则
∵
∴
解得：（舍去）或
∴
∵是锐角三角形
∴；
当时，如图所示，
同理可得
即∴
解得：或（舍去）
由（2）可得时，
  
∴
综上所述，当是锐角三角形时，或．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，面积问题，角度问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
20．（2023·四川遂宁·统考中考真题）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，，对称轴过点，，直线过点，且垂直于轴．过点的直线交抛物线于点、，交直线于点，其中点、Q在抛物线对称轴的左侧．
  
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，当时，求点的坐标；
(3)如图2，当点恰好在轴上时，为直线下方的抛物线上一动点，连接、，其中交于点，设的面积为，的面积为．求的最大值．
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）过点作，垂足为根据已知条件得出，进而列出方程，解方程，即可求解；
（3）先求得直线的解析式为，设，得出直线的解析式为，联立得出，根据等底两三角形的面积比等于高之比，得出，进而得出关于的二次函数关系，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，对称轴过点，，
∴
解得：
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图所示，过点作对称轴的垂线，垂足为，
  
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：或，
∵其中点在抛物线对称轴的左侧．
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或，
∴；
（3）解：依题意，点恰好在轴上，则，
设直线的解析式为，
将代入得，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，设直线的解析式为，
则，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：，
∴，
∴


，
∴当时，取得最大值为．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，平行线分线段比例，面积问题，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
21．（2023·四川眉山·统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的一个动点．
  
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点P在直线上方的抛物线上时，连接交于点D．如图1．当的值最大时，求点P的坐标及的最大值；
(3)过点P作x轴的垂线交直线于点M，连接，将沿直线翻折，当点M的对应点恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．
【答案】(1)；(2)点P的坐标为；的最大值为；(3)点M的坐标为：，
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）过点P作轴，交于点Q，求出直线的解析式为，设点P的坐标为，则点，得出，根据轴，得出，根据，求出点P的坐标和最大值即可；
（3）证明，得出，设，，得出，，根据，得出，求出或或，根据当时，点P、M、C、四点重合，不存在舍去，求出点M的坐标为，．
【详解】（1）解：把，代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：过点P作轴，交于点Q，如图所示：
    
设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
设点P的坐标为，则点，
∵点P在直线上方的抛物线上，
∴，
∵轴，
∴，
∴
∵，
∴

，
∴当时，有最大值，
此时点P的坐标为．
（3）解：根据折叠可知，，，，
∵轴，
∴，
∴，
∴，  
∴，
设，，
，
，
∵，
∴，
∴，
整理得：，
∴或，
解得：或或，
∵当时，点P、M、C、四点重合，不存在，
∴，
∴点M的坐标为，．
    
【点睛】本题主要考查了求抛物线的解析式，二次函数的综合应用，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定，平行线的性质，两点间距离公式，解题的关键是数形结合，作出辅助线或画出图形．
22．（2023·江西·统考中考真题）综合与实践
问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形设点P的运动时间为，正方形的而积为S，探究S与t的关系
  
(1)初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，
①当时，_______．
②S关于t的函数解析式为_______．
(2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长．
(3)延伸探究：若存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等．
①_______；
②当时，求正方形的面积．
【答案】(1)①3；②；(2)，；(3)①4；②
【分析】（1）①先求出，再利用勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求解即可；②仿照（1）①先求出，进而求出，则；
（2）先由函数图象可得当点P运动到B点时，，由此求出当时，，可设S关于t的函数解析式为，利用待定系数法求出，进而求出当时，求得t的值即可得答案；
（3）①根据题意可得可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设是函数上的两点，则，是函数上的两点，由此可得，则，根据题意可以看作，则；②由（3）①可得，再由，得到，继而得答案．
【详解】（1）解：∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，
∴当时，点P在上，且，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：3；
②∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在匀速运动，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：由图2可知当点P运动到B点时，，
∴，
解得，
∴当时，，
由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为，
∴可设S关于t的函数解析式为，
把代入中得：，
解得，
∴S关于t的函数解析式为，
在中，当时，解得或，
∴；
（3）解：①∵点P在上运动时， ，点P在上运动时，
∴可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，
设是函数上的两点，则，是函数上的两点，
∴，
∴，
∵存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等．
∴可以看作，
∴，
故答案为：4；
②由（3）①可得，
∵，
∴，
∴，
∴．
  .
【点睛】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键．
23．（2023·新疆·统考中考真题）【建立模型】(1)如图，点是线段上的一点，，，，垂足分别为，，，．求证：；
【类比迁移】(2)如图，一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转得到、直线交轴于点．
①求点的坐标；
②求直线的解析式；
【拓展延伸】(3)如图，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，已知点，，连接．抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的横坐标．    
    
【答案】（1）见解析； （2）①；②直线的解析式为；（3）或
【分析】[建立模型]（1）根据题意得出，，证明，即可得证；
[类比迁移] （2）①过点作轴于点，同（1）的方法，证明，根据一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点，求得，，进而可得点的坐标；
②由，设直线的解析式为，将点代入得直线的解析式为；
[拓展延伸]（3）根据解析式求得，；①当点在轴下方时，如图所示，连接，过点作于点，过点作轴于点，过点作，于点，证明，根据得出，设，则，求得点，进而求得直线的解析式，联立抛物线解析式即可求解；②当点在轴的上方时，如图所示，过点作，于点，过点作轴，交轴于点，过点作于点，同①的方法即可求解．
【详解】[建立模型]（1）证明：∵，，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴；
[类比迁移]（2）如图所示，过点作轴于点，
  
∵将线段绕点逆时针旋转得到，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∵一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点，
当时，，即，
当时，，即，
∴，
∴，
∴；
②∵，设直线的解析式为，
将代入得：
解得：
∴直线的解析式为，
（3）∵抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，
当时，，
解得：，
∴，；
①当点在轴下方时，如图所示，连接，过点作于点，过点作轴于点，过点作，于点，
  
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，
代入，得：，
解得：，
∴直线解析式为，
联立，
解得：（舍去），；
②当点在轴的上方时，如图所示，过点作于点，过点作轴，交轴于点，过点作于点，
  
同理可得，
∴，
设，则，
∵，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，
代入，得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：（舍去），，
综上所述，的横坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，旋转的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
24．（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，点在轴上．点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止．

(1)求抛物线的表达式；
(2)当时，请在图1中过点作交抛物线于点，连接，，判断四边形的形状，并说明理由．
(3)如图2，点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动．连接，，求的最小值．
【答案】(1)；(2)四边形是平行四边形，理由见解析；(3)
【分析】（1）用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）作交抛物线于点，垂足为，连接，，由点在上，可知，，连接，得出，则，当时，，进而得出，然后证明，即可得出结论；
（3）由题意得，，连接．在上方作，使得，，证明，根据得出的最小值为，利用勾股定理求得，即可得解．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，
∴，
∴，
∴；
（2）四边形是平行四边形．
理由：如图1，作交抛物线于点，垂足为，连接，．

∵点在上，
∴，，
连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（3）如图2，由题意得，，连接．

在上方作，使得，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴（当，，三点共线时最短），
∴的最小值为，
∵，
∴，
即的最小值为．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法，平行四边形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
25．（2023·四川乐山·统考中考真题）已知是抛物（b为常数）上的两点，当时，总有
(1)求b的值；
(2)将抛物线平移后得到抛物线．
探究下列问题：
①若抛物线与抛物线有一个交点，求m的取值范围；
②设抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E，外接圆的圆心为点F，如果对抛物线上的任意一点P，在抛物线上总存在一点Q，使得点P、Q的纵坐标相等．求长的取值范围．
【答案】(1)0；(2)①②
【分析】（1）根据，且时，总有，变形后即可得到结论；
（2）按照临界情形，画出图象分情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：由题可知：                    
时，总有，
．
则，
∴，
∴总成立，且，
；
（2）①注意到抛物线最大值和开口大小不变，m只影响图象左右平移下面考虑满足题意的两种临界情形：
（i）当抛物线过点时，如图所示，
  
此时，，解得或（舍）．                  
（ii）当抛物线过点时，如图所示，
  
此时，，
解得或（舍），
综上，，
②同①考虑满足题意的两种临界情形：
（i）当抛物线过点时，如图所示，
  
此时，，解得或（舍）．     
（ii）当抛物线过点时，如图所示，
  
此时，，解得或0（舍）．                         
综上，
如图，由圆的性质可知，点E、F在线段的垂直平分线上．
  
令，解得，
，
，
，
设，
，
，
，

，
，即，
．
，即，
，

【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、垂径定理、解一元二次方程等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键．
26．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，直线交抛物线于两点（点在点的左侧），交轴于点，交轴于点．
  
(1)求点的坐标；
(2)是线段上一点，连接，且．
①求证：是直角三角形；
②的平分线交线段于点是直线上方抛物线上一动点，当时，求点的坐标．
【答案】(1)，，；(2)①证明见解析，②点的坐标为或
【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点及一次函数与二次函数的交点求解即可；
（2）①设然后利用勾股定理求解，，过点作轴，垂足为．再由等腰三角形及各角之间的关系即可证明；②根据题意得出，设点的坐标为，根据题意得．分两种情况分析：（i）当点在直线的左侧抛物线上时，．（ii）当点在直线的右侧抛物线上时，．求解即可．
【详解】（1）解：∵直线交轴于点，交轴于点，
当时，
，
当时，
．
∵直线交抛物线于两点，
，
，解得．
∵点在点的左侧，
∴点的横坐标为3，
当时，．
；
（2）如图，
  
①抛物线交轴于点A，
当时，．

,
在中，，
由勾股定理得，
设

，
．

，


，


，
．

，
．
是等腰直角三角形，
．
过点作轴，垂足为．

，


是等腰直角三角形，


是直角三角形．
②平分


轴．
，
．
设点的坐标为，根据题意得．
（i）当点在直线的左侧抛物线上时，．
过点作轴，垂足为．
，
．

，
在中，

，
，


（舍去）．
当时，

（ii）当点在直线的右侧抛物线上时，．
过点作轴，垂足为．

，



在中，

，
，


（舍去）．
当时，

∴点的坐标为或．
【点睛】题目主要考查一次函数与二次函数综合问题，特殊三角形问题及解三角形，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
27．（2023·上海·统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段上，以点C为顶点的抛物线M：经过点B．

(1)求点A，B的坐标；
(2)求b，c的值；
(3)平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结，且轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式．
【答案】(1)，；(2)，；(3)或
【分析】（1）根据题意，分别将，代入直线即可求得；
（2）设，得到抛物线的顶点式为，将代入可求得，进而可得到抛物线解析式为，即可求得b，c；
（3）根据题意，设，，根据平移的性质可得点，点向下平移的距离相同，即列式求得，，然后得到抛物线N解析式为：，将代入可得，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，y轴交于点B，
当时，代入得：，故，
当时，代入得：，故，
（2）设，
则可设抛物线的解析式为：，
∵抛物线M经过点B，
将代入得：，
∵，
∴，
即，
∴将代入，
整理得：，
故，；
（3）如图：

∵轴，点P在x轴上，
∴设，，
∵点C，B分别平移至点P，D，
∴点，点向下平移的距离相同，
∴，
解得：，
由（2）知，
∴，
∴抛物线N的函数解析式为：，
将代入可得：，
∴抛物线N的函数解析式为：或．
【点睛】本题考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，求抛物线的解析式，平移的性质，二次函数的图象和性质等，解题的关键是根据的平移性质求出m和a的值．
28．（2023·江苏扬州·统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上．
  
(1)如果四个点中恰有三个点在二次函数（a为常数，且）的图象上．
①________；
②如图1，已知菱形的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长；
③如图2，已知正方形的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．
(2)已知正方形的顶点B、D在二次函数（a为常数，且）的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式．
【答案】(1)①1；②；③是，值为1；(2)或
【分析】（1）①当，，可知不在二次函数图象上，将代入，求解值即可；②由①知，二次函数解析式为，设菱形的边长为，则，，由菱形的性质得，，，则轴，，根据，即，计算求出满足要求的解即可；③如图2，连接、交点为，过作轴于，过作于，由正方形的性质可知，为、的中点，，，则，证明，则，，由题意知，，，，则，，设，则，，，，，，则，，即，计算求解即可1；
（2）由题意知，分①当在轴右侧时，②当在轴左侧时，③当在轴左侧，在轴右侧时，三种情况求解；①当在轴右侧时，，同理（1）③，，，由题意知，，，，则，，设，则，，，，，，则，，即，解得；②当在轴左侧时，求解过程同（2）①；③当在轴左侧，在轴右侧时，且不垂直于轴时，同理可求，当在轴左侧，在轴右侧时，且垂直于轴时，由正方形、二次函数的性质可得，．
【详解】（1）①解：当，，
∴不在二次函数图象上，
将代入，解得，
故答案为：1；
②解：由①知，二次函数解析式为，
设菱形的边长为，则，，
由菱形的性质得，，，
∴轴，
∴，
∵，
∴，
解得（舍去），（舍去），，
∴菱形的边长为；
③解：如图2，连接、交点为，过作轴于，过作于，
  
由正方形的性质可知，为、的中点，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
由题意知，，，，则，，
设，则，，
∴，，，，
∴，，
∴，
∵点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，
∴，
∴，
∴是定值，值为1；
（2）解：由题意知，分①当在轴右侧时，②当在轴左侧时，③当在轴左侧，在轴右侧时，三种情况求解；
①当在轴右侧时，
∵，
同理（1）③，，，
由题意知，，，，则，，
设，则，，
∴，，，，
∴，，
∴，
化简得，
∵
∴；
②当在轴左侧时，
同理可求；
③当在轴左侧，在轴右侧时，且不垂直于轴时，
同理可求，
当在轴左侧，在轴右侧时，且垂直于轴时，
由正方形、二次函数的性质可得，；
综上所述，或．
【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，正方形、菱形的性质，全等三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
29．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）已知抛物线与轴交于两点，交轴于点．
  
(1)请求出抛物线的表达式．
(2)如图1，在轴上有一点，点在抛物线上，点为坐标平面内一点，是否存在点使得四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，抛物线的顶点为，与轴正半轴交于点，抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)；；(3)点的坐标为或
【分析】（1）把代入，求出即可；
（2）假设存在这样的正方形，过点E作于点R，过点F作轴于点I，证明可得故可得，；
（3）先求得抛物线的解析式为，得出，，运用待定系数法可得直线的解析式为，过点作轴于点，连接，设交直线于或，如图2，过点作轴交于点，交抛物线于点，连接，利用等腰直角三角形性质和三角函数定义可得，进而可求得点的坐标．
【详解】（1）∵抛物线与轴交于两点，交轴于点，
∴把代入，得，

解得，
∴解析式为：；
（2）假设存在这样的正方形，如图，过点E作于点R，过点F作轴于点I，
  
∴
∵四边形是正方形，
∴
∴
∴
又
∴
∴
∵
∴

∴
∴；
同理可证明：
∴
∴
∴；
（3）解：抛物线上存在点，使得．
，
抛物线的顶点坐标为，
将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，
抛物线的解析式为，
抛物线的顶点为，与轴正半轴交于点，
，，
设直线的解析式为，把，代入得，
解得：，
直线的解析式为，
过点作轴于点，连接，设交直线于或，如图2，过点作轴交于点，交抛物线于点，连接，
则，，，
  
，，
是等腰直角三角形，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
∵，
，
，
即点与点重合时，，
；
，，
，
，
点与点关于直线对称，
；
综上所述，抛物线上存在点，使得，点的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质等知识，运用数形结合思想解决问题是解题的关键．
30．（2023·湖南永州·统考中考真题）如图1，抛物线（，，为常数）经过点，顶点坐标为，点为抛物线上的动点，轴于H，且．
  
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，直线交于点，求的最大值；
(3)如图2，四边形为正方形，交轴于点，交的延长线于，且，求点的横坐标．
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】（1）根据顶点式坐标公式和待定系数法分别求出，，值，即可求出抛物线解析式．
（2）利用抛物线的解析式可知道点坐标，从而求出直线的解析式，从而设，根据直线的解析式可推出，从而可以用表达长度，在观察图形可知，将其和长度代入，即可将面积比转化成二次函数的形式，根据横坐标取值范围以及此二次函数的图像性质即可求出的最大值．
（3）根据正方形的性质和可求出，再利用相似和可推出，设，即可求出直线的解析式，用表达点的横纵坐标，最后代入抛物线解析式，求出的值即可求出点横坐标．
【详解】（1）解：抛物线（，，为常数）经过点，顶点坐标为，
，，，
，
，
抛物线的解析式为：．
故答案为：．
（2）解：过点作轴于点，如图所示，
    
抛物线的解析式为：，且与轴交于，两点，
，
，
设直线的解析式为：，则，
，
直线的解析式为：．
在直线上，，
在直线上，的解析式为：，
，
．  

，
．


，
．
，，
当时， 有最大值，且最大值为： ．
故答案为：．
（3）解:∵＋，
，
，
，
，

，
，
设，，
，
抛物线的解析式为：，且与轴交于，两点，
．
设直线的解析式为：，则，
，
直线的解析式为：．  
，在直线上，
，
，
，
，
（十字相乘法），
由，得：，
，

，
，即，
解得：，，
，

，
点横坐标为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次函数的综合应用题，属于压轴题，解题的关键在于能否将面积问题和二次函数有效结合．
31．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．
    
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值；
(3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)；(3)存在，或或
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，进而得到的最小值为的长，利用两点间距离公式进行求解即可；
（3）分，，分别为对角线，三种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过两点，
∴，解得：，
∴；
（2）∵，
∴，
设直线，
则：，解得：，
∴，
当时，，
∴；
作点关于轴的对称点，连接，
则：，，
∴当三点共线时，有最小值为的长，
    
∵，，
∴，
即：的最小值为：；
（3）解：存在；
∵，
∴对称轴为直线，
设，，
当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时：
①为对角线时：，
    
∴，
当时，，
∴，
∴；
②当为对角线时：，
    
∴，
当时，，
∴，
∴；
③当为对角线时：，
    
∴，
当时，，
∴，
∴；
综上：当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，是中考常见的压轴题．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
32．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图1，平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，点为抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点．
  
(1)直接写出抛物线和直线的解析式；
(2)如图2，连接，当为等腰三角形时，求的值；
(3)当点在运动过程中，在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似（其中点与点相对应），若存在，直接写出点和点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线：；直线：；(2)或或；(3)，或，或，
【分析】（1）由题得抛物线的解析式为，将点代入求，进而得抛物线的解析式；设直线的解析式为，将点，的坐标代入求，，进而得直线的解析式．
（2）由题得，分别求出，，，对等腰中相等的边进行分类讨论，进而列方程求解；
（3）对点在点左侧或右侧进行分类讨论，设法表示出各线段的长度，利用相似三角形的相似比求解，进而可得，的坐标．
【详解】（1）解：抛物线过点，，
抛物线的表达式为，
将点代入上式，得，
．
抛物线的表达式为，即．
设直线的表达式为，
将点，代入上式，
得，
解得．
直线的表达式为．
（2）解：点在直线上，且，
点的坐标为．
，，．
当为等腰三角形时，
①若，则，
即，
解得．
②若，则，
即，
解得或（舍去）．
③若，则，
即，
解得（舍去）或．
综上，或或．
（3）解：点与点相对应，
或．
①若点在点左侧，
则，，．
当，即时，
直线的表达式为，
，解得或（舍去）．
，即．
，即，
解得．
，．
当，即时，
，，
，即，
解得（舍去）或（舍去）．
②若点在点右侧，
则，．
当，即时，
直线的表达式为，
，解得或（舍去），
，
，即，
解得．
，．
当，即时，
，．
，即，
解得或（舍去）．
，．
综上，，或，或，．
【点睛】本题是二次函数的综合应用，考查了待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质与判定，平面直角坐标系中两点距离的算法，相似三角形的性质与判定等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
33．（2023·四川内江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与的最大值及此时点P的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得是以为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)存在，的最大值为，；(3)或
【分析】（1）将、、代入抛物线解析式求解即可；
（2）可求直线的解析式为，设（），可求，从而可求，即可求解；
（3）过作交抛物线的对称轴于，过作交抛物线的对称轴于，连接，设， 可求，，由，可求，进而求出直线的解析式，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得
，
解得：，
抛物线的解析式为．
（2）解：设直线的解析式为，则有
，
解得：，
直线的解析式为；
设（），
，
解得：，
，

，
，

，


，
，
当时，的最大值为，
，
．
故的最大值为，．
（3）解：存在，
如图，过作交抛物线的对称轴于，过作交抛物线的对称轴于，连接，

∵抛物线的对称轴为直线，
设，

，
，

，
，
，
解得：，
；
设直线的解析式为，则有
，
解得，
直线解析式为，
，且经过，
直线解析式为，
当时，，  
；
综上所述：存在，的坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数中动点最值问题，直角三角形的判定，勾股定理等，掌握解法及找出动点坐标满足的函数解析式是解题的关键．
34．（2023·湖南·统考中考真题）已知二次函数．
(1)若，且该二次函数的图像过点，求的值；
(2)如图所示，在平面直角坐标系中，该二次函数的图像与轴交于点，且，点D在上且在第二象限内，点在轴正半轴上，连接，且线段交轴正半轴于点，．
  
①求证：．
②当点在线段上，且．的半径长为线段的长度的倍，若，求的值．
【答案】(1)；(2)①见解析；②
【分析】（1）依题意得出二次函数解析式为，该二次函数的图像过点，代入即可求解；
（2）①证明，根据相似三角形的性质即可求解；
②根据题意可得，，由①可得，进而得出，由已知可得，根据一元二次方程根与系数的关系，可得，将代入，解关于的方程，进而得出，可得对称轴为直线，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴二次函数解析式为，
∵该二次函数的图像过点，
∴
解得：；
（2）①∵，，
∴
∴
∴
∵
∴；
②∵该二次函数的图像与轴交于点，且，
∴，，
∵．
∴，
∵的半径长为线段的长度的倍
∴，
∵，
∴，
∴，
即①，
∵该二次函数的图像与轴交于点，
∴是方程的两个根，
∴，
∵，，
∴，
即②，
①代入②，即，
即，
整理得，
∴，解得：（正值舍去）
∴，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，一元二次方程根与系数的关系，相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
35．（2023·山西·统考中考真题）如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点，与轴交于点C．
  
(1)求直线的函数表达式及点C的坐标；
(2)点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，与直线交于点D，设点的横坐标为．
①当时，求的值；
②当点在直线上方时，连接，过点作轴于点，与交于点，连接．设四边形的面积为，求关于的函数表达式，并求出S的最大值．
【答案】(1)，点的坐标为；(2)①2或3或；②，S的最大值为
【分析】（1）利用待定系数法可求得直线的函数表达式，再求得点C的坐标即可；
（2）①分当点在直线上方和点在直线下方时，两种情况讨论，根据列一元二次方程求解即可；
②证明，推出，再证明四边形为矩形，利用矩形面积公式得到二次函数的表达式，再利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：由得，当时，．
解得．
∵点A在轴正半轴上．
∴点A的坐标为．
设直线的函数表达式为．
将两点的坐标分别代入，
得，
解得，
∴直线的函数表达式为．
将代入，得．
∴点C的坐标为；
（2）①解：点在第一象限内二次函数的图象上，且轴于点，与直线交于点，其横坐标为．
∴点的坐标分别为．
∴．
∵点的坐标为，
∴．
∵，
∴．
如图，当点在直线上方时，．
  
∵，
∴．
解得．
如图2，当点在直线下方时，．
  
∵，
∴．
解得，
∵，
∴．
综上所述，的值为2或3或；
②解：如图3，由（1）得，．
  
∵轴于点，交于点，点B的坐标为，
∴．
∵点在直线上方，
∴．
∵轴于点，
∴．
∴，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴四边形为平行四边形．
∵轴，
∴四边形为矩形．
∴．
即．

∵，
∴当时，S的最大值为．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数、一次函数、等腰三角形、矩形、勾股定理、相似三角形等知识点，第二问难度较大，需要分情况讨论，画出大致图形，用含m的代数式表示出是解题的关键．
36．（2023·湖北武汉·统考中考真题）抛物线交轴于两点（在的左边），交轴于点．
  
(1)直接写出三点的坐标；
(2)如图（1），作直线，分别交轴，线段，抛物线于三点，连接．若与相似，求的值；
(3)如图（2），将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点．直线与抛物线交于两点，过的中点作直线（异于直线）交抛物线于两点，直线与直线交于点．问点是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．
【答案】(1)；(2)的值为2或；(3)点在定直线上
【分析】（1）令，解一元二次方程求出值可得、两点的坐标，令求出值可得点坐标，即可得答案；
（2）分和两种情况，利用相似三角形的性质分别列方程求出值即可得答案；
（3）根据平移的性质可得解析式，联立直线与解析式可得点坐标，即可得出中点的坐标，设，利用待定系数法可得直线的解析式为，同理得出直线的解析式为，联立两直线解析式可得，设点在直线上，把点代入，整理比较系数即可得出、的值即可得答案，也可根据点的纵坐标变形得出横坐标与纵坐标的关系，得出答案．
【详解】（1）∵抛物线解析式为，
∴当时，，当时，，
解得：，，
∴，，．
（2）解：是直线与抛物线的交点，
，
①如图，若时，
，
∴
，
∴，
解得，（舍去）或．
②如图，若时．过作轴于点．
，
∴，
∴，
，
，
∴
，
∴，，
，
∴，
解得，（舍去）或．
  
综上，符合题意的的值为2或．
（3）解：∵将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点，
∴，
∵直线的解析式为，
∴联立直线与解析式得：，
解得：（舍去），，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
设，直线的解析式为，
则，
解得，，
∴直线的解析式为，
∵直线经过点，
∴
同理，直线的解析式为；直线的解析式为．
联立，得，
解得：．
∵直线与相交于点，
．
设点在直线上，则，①
整理得，，
比较系数得：，
解得：，
∴当时，无论为何值时，等式①恒成立．
∴点在定直线上．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合、二次函数图象的平移及相似三角形的性质，正确作出辅助线，熟练掌握待定系数法求函数解析式及相似三角形的性质是解题关键．
37．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图，已知．点E位于第二象限且在直线上，，，连接．
  
(1)直接判断的形状：是_________三角形；
(2)求证：；
(3)直线EA交x轴于点．将经过B，C两点的抛物线向左平移2个单位，得到抛物线．
①若直线与抛物线有唯一交点，求t的值；
②若抛物线的顶点P在直线上，求t的值；
③将抛物线再向下平移，个单位，得到抛物线．若点D在抛物线上，求点D的坐标．
【答案】(1)等腰直角三角形；(2)详见解析；(3)①；②；③
【分析】（1）由得到，又由，即可得到结论；
（2）由，得到，又有，，利用即可证明；
（3）①求出直线的解析式和抛物线的解析式，联立得，由即可得到t的值；
②抛物线向左平移2个单位得到抛物线，则抛物线的顶点，将顶点代入得到，解得,根据即可得到t的值；
③过点E作轴，垂足为M，过点D作轴，垂足为N，先证明，则，设,由得到,则,求得,得到，由抛物线再向下平移个单位，得到抛物线,把代入抛物线,得到,解得,由，得,即可得到点D的坐标．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形
（2）如图，
  
∵，，
，
，
∵，
；
（3）①设直线的解析式为，
，
∴，
，
将代入抛物线得，
，
解得，
，
直线与抛物线有唯一交点
∴联立解析式组成方程组解得


②∵抛物线向左平移2个单位得到，
∴抛物线，
抛物线的顶点，
将顶点代入，
，解得,
∵，
；
③过点E作轴，垂足为M，过点D作轴，垂足为N,
  
∴，

∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵的解析式为，
∴设,
∴，
轴,
∴,
∴，
,
,
,
∴，，
,
抛物线再向下平移个单位，得到抛物线，
∴抛物线,
代入抛物线,
,
解得,
由，得,
∴，
．
【点睛】此题是二次函数和几何综合题，考查了二次函数的平移、二次函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、解一元二次方程、全等三角形的判定和性质及相似三角形的判定与性质等知识点，综合性较强，熟练掌握二次函数的平移和数形结合是解题的关键．
38．（2023·湖南郴州·统考中考真题）已知抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点．

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点是抛物线的对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求的值；
(3)如图2，取线段的中点，在抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)；(3)或或或
【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据的周长等于，以及为定长，得到当的值最小时，的周长最小，根据抛物线的对称性，得到关于对称轴对称，则：，得到当三点共线时，，进而求出点坐标，即可得解；
（3）求出点坐标为，进而得到，得到，分点在点上方和下方，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，，
∴，解得：，
∴；
（2）∵，当时，，
∴，抛物线的对称轴为直线
∵的周长等于，为定长，
∴当的值最小时，的周长最小，
∵关于对称轴对称，
∴，当三点共线时，的值最小，为的长，此时点为直线与对称轴的交点，

设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
当时，，
∴，
∵，
∴，，
∴；
（3）解：存在，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
①当点在点上方时：
过点作，交抛物线与点，则：，此时点纵坐标为2，

设点横坐标为，
则：，
解得：，
∴或；
②当点在点下方时：设与轴交于点，

则：，
设，
则：，，
∴，解得：，
∴，
设的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
联立，解得：或，
∴或；
综上：或或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性强，难度较大，属于中考压轴题．
39．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，点P为第一象限抛物线上的点，连接．
       
(1)直接写出结果；_____，_____，点A的坐标为_____，______；
(2)如图1，当时，求点P的坐标；
(3)如图2，点D在y轴负半轴上，，点Q为抛物线上一点，，点E，F分别为的边上的动点，，记的最小值为m．
①求m的值；
②设的面积为S，若，请直接写出k的取值范围．
【答案】(1)，2，，；(2)；(3)，
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可求得、，从而可得，，由，可得，求得，在中，根据正切的定义求值即可；
（2）过点C作轴，交于点D，过点P作轴，交y轴于点E， 由，即，再由，可得，证明，可得，设点P坐标为，可得，再进行求解即可；
（3）①作，且使，连接．根据证明，可得，即Q，F，H共线时，的值最小．作于点G，设，则，根据求出点Q的坐标，燃然后利用勾股定理求解即可；
②作轴，交于点T，求出解析式，设，，利用三角形面积公式表示出S，利用二次函数的性质求出S的取值范围，结合①中结论即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，
∴，解得：，
∴抛物线解析式为：，
∵抛物线与x轴交于A、两点，
∴时，，解得：，，
∴，
∴，，
在中，，
故答案为：，2，，；
（2）解：过点C作轴，交于点D，过点P作轴，交y轴于点E，
∵，，，
∴，
由（1）可得，，即，
∴，
∵，
∴，
∵轴，轴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设点P坐标为，则，，
∴，解得：（舍），，
∴点P坐标为．
  
（3）解：①如图2，作，且使，连接．
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴Q，F，H共线时，的值最小．作于点G，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
设，则，
∴，解得或（舍去），
∴，
∴，
∴，，
∴；
  
②如图3，作轴，交于点T，待定系数法可求解析式为，
设，，
则，
∴，
∴，
∴，
∴．
  
【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何综合、二次函数与x轴的交点、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、锐角三角函数、最值问题、二次函数最值、用分割法求三角形面积，熟练掌握相关知识是解题的关键．
40．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，且与直线交于两点（点在点的右侧），点为直线上的一动点，设点的横坐标为．
  
(1)求抛物线的解析式．
(2)过点作轴的垂线，与拋物线交于点．若，求面积的最大值．
(3)抛物线与轴交于点，点为平面直角坐标系上一点，若以为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点的坐标．
【答案】(1)；(2)；(3)点为或或或或
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意，联立抛物线与直线，求得点的横坐标，表示出的长，根据二次函数的性质求得的最大值，根据即可求解；
（3）根据题意，分别求得，①当为对角线时，，②当为边时，分，，根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：；
（2）解：∵抛物线与直线交于两点，（点在点的右侧）
联立，
解得：或，
∴，
∴，
∵点为直线上的一动点，设点的横坐标为．
则，，
∴，当时，取得最大值为，
∵，
∴当取得最大值时，最大，
∴，
∴面积的最大值；
（3）∵抛物线与轴交于点，
∴，当时，，即，
∵，
∴,
，，
①当为对角线时，，
  
∴，
解得：，
∴，
∵的中点重合，
∴，
解得：，
∴，
②当为边时，
当四边形为菱形，
  
∴，
解得：或，
∴或，
∴或，
由的中点重合，
∴或，
解得：或，
∴或，
当时；
如图所示，即四边形是菱形，
  
点的坐标即为四边形为菱形时，的坐标，
∴点为或，
综上所述，点为或或或或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，面积问题，菱形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握二次函数的性质，细心的计算是解题的关键．
41．（2023·四川·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与轴交于点．
  
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标；
(3)如图，为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接并延长交轴于点，在点运动过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)；(2)或或；(3)，理由见解析
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）先求得抛物线的对称轴为直线，设与交于点，过点作于点，证明，设，则，，进而得出点的坐标，代入抛物线解析式，求得的值，同理可求得当点F在x轴下方时的坐标；当点与点重合时，求得另一个解，进而即可求解；
（3）设，直线的解析式为，的解析式为，求得解析式，然后求得，即可求解．
【详解】（1）解：将点，，代入
得
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）∵点，，
∴抛物线的对称轴为直线：，
如图所示，设与交于点，过点作于点
   
∵以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵点在抛物线上
∴
解得：（舍去）或,
∴，
如图所示，设与交于点，过点作于点
  
∵以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵点在抛物线上
∴
解得：（舍去）或，
∴，
当点与点重合时，如图所示，
   
∵，是等腰直角三角形，且，
∴
此时，
综上所述，或或；
（3）设，直线的解析式为，的解析式为，
∵点，，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，的解析式为，
对于，当时，，即，
对于，当时，，即，
∵在抛物线上，则
∴

∴为定值．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质，一次函数与坐标轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
42．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图①，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是x轴上任意一点．

(1)求抛物线的表达式；
(2)点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；
(3)如图②，当点从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作，交AC于点E，作，垂足为点D．当m为何值时，面积最大，并求出最大值．
【答案】(1)；(2)点Q坐标，或或；(3)时，有最大值，最大值为
【分析】（1）将，代入，待定系数法确定函数解析式；
（2）由二次函数，求得点，设点，点，分类讨论：当为边，为对角线时，当为边，为对角线时，运用平行四边形对角线互相平分性质，构建方程求解；
（3）如图，过点D作，过点E作，垂足为G，F，
可证，；运用待定系数法求直线解析式，直线 解析式；设点，，则，，，，运用解直角三角形，中，，，中，，可得，，；中，，可得，，，，于是，从而确定时，最大值为．
【详解】（1）将，代入，得
，解得
∴抛物线解析式为：
（2）二次函数，当时，
∴点
设点，点，
当为边，为对角线时，
∵四边形为平行四边形，
∴，互相平分
∴解得，（舍去）或
点Q坐标；

当为边，为对角线时，

同理得，
解得，或，
∴
∴点Q坐标或
综上，点Q坐标，或或；
（3）如图，过点D作，过点E作，垂足为G，F，

∵，
∴
∴
∵
∴，同理可得
设直线的解析式为：
则，解得
∴直线：
同理由点，，可求得直线 ：
设点，，
则，，，
中，，

∴，
中，
∴，解得，
∴
∵
∴；
中，
∴，解得，
∴
∵
∴
∴，
即．
∵
∴时，，有最大值，最大值为．
【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，平行四边形的性质，一元二次方程求解，解直角三角形，结合动点运动情况，分类讨论是解题的关键．
43．（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知：关于的函数．
  
(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且，则的值是___________；
(2)如图，若函数的图象为抛物线，与轴有两个公共点，，并与动直线交于点，连接，，，，其中交轴于点，交于点．设的面积为，的面积为．
①当点为抛物线顶点时，求的面积；
②探究直线在运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)0或2或；(2)①6，②存在，
【分析】（1）根据函数与坐标轴交点情况，分情况讨论函数为一次函数和二次函数的时候，按照图像的性质以及与坐标轴交点的情况即可求出值．
（2）①根据和的坐标点即可求出抛物线的解析式，即可求出顶点坐标，从而求出长度，再利用和的坐标点即可求出的直线解析式，结合即可求出点坐标，从而求出长度，最后利用面积法即可求出的面积．
②观察图形，用值表示出点坐标，再根据平行线分线段成比例求出长度，利用割补法表示出和，将二者相减转化成关于的二次函数的顶点式，利用取值范围即可求出的最小值．
【详解】（1）解：函数的图象与坐标轴有两个公共点，
，
，
，
当函数为一次函数时，，
．
当函数为二次函数时，
，
若函数的图象与坐标轴有两个公共点，即与轴，轴分别只有一个交点时，
，
．
当函数为二次函数时，函数的图象与坐标轴有两个公共点， 即其中一点经过原点，
，
，
．
综上所述，或0．
故答案为：0或2或．
（2）解：①如图所示，设直线与交于点，直线与交于点．
  
依题意得：，解得：
抛物线的解析式为：．
点为抛物线顶点时，，，
，，
由，得直线的解析式为，
在直线上，且在直线上，则的横坐标等于的横坐标，
，
，，
，
．
故答案为：6．
②存在最大值，理由如下：如图，设直线交轴于．
由①得：，，，，，
，
，，
，
，即，

，，
，
，
，，
当时，有最大值，最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及到函数与坐标轴交点问题，二次函数与面积问题，平行线分线段成比例，解题的关键在于分情况讨论函数与坐标轴交点问题，以及二次函数最值问题．
44．（2023·福建·统考中考真题）已知抛物线交轴于两点，为抛物线的顶点，为抛物线上不与重合的相异两点，记中点为，直线的交点为．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若，且，求证：三点共线；
(3)小明研究发现：无论在抛物线上如何运动，只要三点共线，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
【答案】(1)；(2)见解析；(3)的面积为定值，其面积为2
【分析】（1）将代入，即可解得；
（2），中点为，且，可求出过两点所在直线的一次函数表达式，为抛物线上的一点，所以，此点在，可证得三点共线；
（3）设与分别关于直线对称，则关于直线对称，且与的面积不相等，所以的面积不为定值；如图，当分别运动到点的位置，且保持三点共线．此时与的交点到直线的距离小于到直线的距离，所以的面积小于的面积，故的面积不为定值；故的面积为定值，由（2）求出，此时的面积为2．
【详解】（1）解：因为抛物线经过点，
所以解得
所以抛物线的函数表达式为；
（2）解：
    
设直线对应的函数表达式为，
因为为中点，所以．
又因为，所以，解得，
所以直线对应的函数表达式为．
因为点在抛物线上，所以．
解得，或．
又因为，所以．
所以．
因为，即满足直线对应的函数表达式，所以点在直线上，即三点共线；
（3）解：的面积为定值，其面积为2．
理由如下：（考生不必写出下列理由）
如图1，当分别运动到点的位置时，与分别关于直线对称，此时仍有三点共线．设与的交点为，则关于直线对称，即轴．此时，与不平行，且不平分线段，故，到直线的距离不相等，即在此情形下与的面积不相等，所以的面积不为定值．
    
如图2，当分别运动到点的位置，且保持三点共线．此时与的交点到直线的距离小于到直线的距离，所以的面积小于的面积，故的面积不为定值．
又因为中存在面积为定值的三角形，故的面积为定值．
在（2）的条件下，直线对应的函数表达式为，直线对应的函数表达式为，求得，此时的面积为2．
【点睛】本题考查一次函数和二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基础知识，如何利用数形结合求得点的坐标、函数的表达式等是解题的关键．
45．（2023·山东·统考中考真题）如图，直线交轴于点，交轴于点，对称轴为的抛物线经过两点，交轴负半轴于点．为抛物线上一动点，点的横坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点．
  
(1)求抛物线的解析式；
(2)若，当为何值时，四边形是平行四边形？
(3)若，设直线交直线于点，是否存在这样的值，使？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)；(3)存在，
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式；
（2）结合平行四边形的性质，通过求直线的函数解析式，列方程求解；
（3）根据，确定点坐标，从而利用一次函数图象上点的特征计算求解．
【详解】（1）解：在直线中，当时，，当时，，
∴点，点，
设抛物线的解析式为，
把点，点代入可得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由题意，，
∴，
当四边形是平行四边形时，，
∴，
∴，，
设直线的解析式为，
把代入可得，
解得，
∴直线的解析式为，
又∵过点作轴的平行线交抛物线于另一点，且抛物线对称轴为，
∴
∴，
解得（不合题意，舍去），；
（3）解：存在，理由如下：
∵，
∴点E为线段的中点，
∴点E的横坐标为，
∵点E在直线上，
∴，
把代入中，可得，
解得（不合题意，舍去），．
【点睛】本题考查一次函数和二次函数的综合应用，掌握待定系数法求函数解析式，利用数形结合思想和方程思想解题是关键．
46．（2023·山东·统考中考真题）已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，其对称轴为．
  
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点D是线段上的一动点，连接，将沿直线翻折，得到，当点恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标；
(3)如图2，动点P在直线上方的抛物线上，过点P作直线的垂线，分别交直线，线段于点E，F，过点F作轴，垂足为G，求的最大值．
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】（1）由题易得c的值，再根据对称轴求出b的值，即可解答；
（2）过作x轴的垂线，垂足为H求出A和B的坐标，得到，，由，推出，解直角三角形得到的长，即可解答；
（3）求得所在直线的解析式为，设，设所在直线的解析式为：，得，令，解得，分别表示出和，再对进行化简计算，配方成顶点式即可求解．
【详解】（1）解：抛物线与y轴交于点，
∴，
∵对称轴为，
∴，，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图，过作x轴的垂线，垂足为H，
  
令，
解得：，
∴，，
∴，
由翻折可得，
∵对称轴为，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴；
（3）设所在直线的解析式为，
把B、C坐标代入得：，
解得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴直线与x轴所成夹角为，
设，
设所在直线的解析式为：，
把点P代入得，
∴，
令，则，
解得，
∴

∴
∵点P在直线上方，
∴，
∴当时，的最大值为．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，利用数形结合的思想是解题的关键．
47．（2023·辽宁大连·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线上有两点，其中点的横坐标为，点的横坐标为，抛物线过点．过作轴交抛物线另一点为点．以长为边向上构造矩形．
  
(1)求抛物线的解析式；
(2)将矩形向左平移个单位，向下平移个单位得到矩形，点的对应点落在抛物线上．
①求关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
②直线交抛物线于点，交抛物线于点．当点为线段的中点时，求的值；
③抛物线与边分别相交于点，点在抛物线的对称轴同侧，当时，求点的坐标．
【答案】(1)；(2)①；②；③或
【分析】（1）根据题意得出点，,待定系数法求解析式即可求解；
（2）①根据平移的性质得出，根据点的对应点落在抛物线上，可得，进而即可求解；
②根据题意得出，求得中点坐标，根据题意即可求解；
③连接，过点作于点，勾股定理求得，设点的坐标为，则，将代入，求得，求得，进而根据落在抛物线上，将代入，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，点的横坐标为，点的横坐标为，代入抛物线
∴当时，，则，
当时，，则,
将点，,代入抛物线，
∴
解得：
∴抛物线的解析式为；
（2）①解：∵轴交抛物线另一点为点，
当时，，
∴，
∵矩形向左平移个单位，向下平移个单位得到矩形，点的对应点落在抛物线上
∴，
整理得
∵
∴
∴；
②如图所示，
  
∵,
∴,
∵
∴，
由①可得，
∴,的横坐标为，分别代入 ，
∴，
∴
∴的中点坐标为
∵点为线段的中点，
∴
解得：或（大于4，舍去）
③如图所示，连接，过点作于点，
  
则，∵
∴，
设点的坐标为，则，
将代入，
，
解得：，
当，
∴，
将代入
解得：，
∴或．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，矩形的性质，平移的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

48．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．
  
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图1，求周长的最小值；
(3)如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．
【答案】(1)；(2)；(3)，
【分析】（1）根据题意设抛物线的表达式为，将代入求解即可；
（2）作点O关于直线的对称点E，连接，根据点坐特点及正方形的判定得出四边形为正方形，，连接AE，交于点D，由对称性，此时有最小值为AE的长，再由勾股定理求解即可；
（3）由待定系数法确定直线的表达式为，直线的表达式为，设，然后结合图形及面积之间的关系求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知，设抛物线的表达式为，
将代入上式得：，

所以抛物线的表达式为；
（2）作点O关于直线的对称点E，连接，
∵，，，
∴，
∵O、E关于直线对称，
∴四边形为正方形，
∴，
连接，交于点D，由对称性，
此时有最小值为的长，

∵的周长为，
，的最小值为10，
∴的周长的最小值为；
  
（3）由已知点，，，
设直线的表达式为，
将，代入中，，解得，
∴直线的表达式为，
同理可得：直线的表达式为，
∵，
∴设直线表达式为，
由（1）设，代入直线的表达式
得：，
∴直线的表达式为：，
由，得，
∴，
∵P，D都在第一象限，
∴



，
∴当时，此时P点为.
．
  
【点睛】题目主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，周长最短问题及面积问题，理解题意，熟练掌握运用二次函数的综合性质是解题关键．
49．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，抛物线的图象经过，，三点，且一次函数的图象经过点．
  
(1)求抛物线和一次函数的解析式．
(2)点，为平面内两点，若以、、、为顶点的四边形是正方形，且点在点的左侧．这样的，两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标：如果不存在，请说明理由．
(3)将抛物线的图象向右平移个单位长度得到抛物线，此抛物线的图象与轴交于，两点（点在点左侧）．点是抛物线上的一个动点且在直线下方．已知点的横坐标为．过点作于点．求为何值时，有最大值，最大值是多少？
【答案】(1)，；(2)满足条件的E、F两点存在，，，；(3)当时，的最大值为
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）①当为正方形的边长时，分别过点点作，，使，，连接、，证明，得出，，则同理可得，；②以为正方形的对角线时，过的中点作，使与互相平分且相等，则四边形为正方形，过点作轴于点，过点作于点，证明，得出，在中，，解得或4，进而即可求解；
（3）得出是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，则，点在抛物线上，且横坐标为得出，进而可得，则，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：把，，代入
得    
解得    
∴    
把代入得
∴
（2）满足条件的、两点存在，，，    
解：①当为正方形的边长时，分别过点点作，，使，，连接、.
  
过点作轴于.
∵，
又，
∴，
∴，
∴
同理可得，
②以为正方形的对角线时，过的中点作，使与互相平分且相等，则四边形为正方形，
过点作轴于点，过点作于点
  
∵，
又
∴
∴，
∵
∴
∴
在中，
∴
解得或4
当时，，此时点在点右侧故舍去；
当时，.
综上所述：，，
（3）∵向右平移8个单位长度得到抛物线

当，即
解得：
∴，
∵过，，三点
∴    
在直线下方的抛物线上任取一点，作轴交于点，过点作轴于点
  
∵，
∴
∴是等腰直角三角形
∵，
∴
又
∴是等腰直角三角形
∴
∵点在抛物线上，且横坐标为
∴
∴    
∵
∴
∴
∴    
∴

∴当时，的最大值为．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，正方形的性质，二次函数的性质，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
50．（2023·四川南充·统考中考真题）如图1，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；
(3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点的直线（直线除外）与抛物线交于G，H两点，直线，分别交x轴于点M，N．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【答案】(1)；(2)或或；(3)定值，理由见详解
【分析】（1）将两点代入抛物线的解析式即可求解；
（2）根据P，Q的不确定性，进行分类讨论：①过作轴，交抛物线于，过作，交轴于，可得，由，可求解；②在轴的负半轴上取点，过作，交抛物线于，同时使，连接、，过作轴，交轴于，，即可求解；③当为平行四边形的对角线时，在①中，只要点Q在点B的左边，且满足，也满足条件，只是点P的坐标仍是①中的坐标；
（3）可设直线的解析式为，，，可求，再求直线的解析式为，从而可求，同理可求，即可求解．
【详解】（1）解：抛物线与x轴交于两点，
，解得，
故抛物线的解析式为．
（2）解：①如图，过作轴，交抛物线于，过作，交轴于，

四边形是平行四边形，
，
，
解得：，，
；
②如图，在轴的负半轴上取点，过作，交抛物线于，同时使，连接、，过作轴，交轴于，

四边形是平行四边形，
，
在和中，
，
()，
，
，
，
解得：，，
；

如上图，根据对称性：，
③当为平行四边形的对角线时，由①知，点Q在点B的左边，且时，也满足条件，此时点P的坐标仍为；
综上所述：的坐标为或或．
（3）解：是定值，

理由：如图，直线经过，
可设直线的解析式为，
、在抛物线上，
可设，，
，
整理得：，
，，
，
当时，，
，
设直线的解析式为，则有
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
解得：，
，

，
同理可求：，




；
当与对调位置后，同理可求；
故的定值为．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，待定系数法求函数解析式，求函数图象与坐标轴交点坐标，动点产生的平行四边形判定，一元二次方程根与系数的关系，理解一次函数与二次函数图象的交点，与对应一元二次方程根的关系，掌握具体的解法，并会根据题意设合适的辅助未知数是解题的关键．
51．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，抛物线与x轴交于点、，且经过点．
  
(1)求抛物线的表达式；
(2)在x轴上方的抛物线上任取一点N，射线、分别与抛物线的对称轴交于点P、Q，点Q关于x轴的对称点为，求的面积；
(3)点M是y轴上一动点，当最大时，求M的坐标．
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】（1）设抛物线的解析式为，代入点C的坐标，确定a值即可．
（2）设，直线的解析式为，直线的解析式为，表示出P，Q，的坐标，进而计算即可．
（3）当M是y轴与经过A，C，M三点的圆的切点是最大计算即可.
【详解】（1）∵抛物线与x轴交于点、，
∴设抛物线的解析式为，
∵经过点，
∴，
解得，
∴，
∴．
（2）如图，当点N在对称轴的右侧时，
∵，
∴对称轴为直线，
  
设，直线的解析式为，直线的解析式为，
∴
解得，
∴直线的解析式为，直线的解析式为，
当时，，
，
∴，，，
∴，
∴．
如图，当点N在对称轴的左侧时，
∵，
∴对称轴为直线，
  
设，，，，
∴，
∴．
综上所述，．
（3）当的外接圆与相切，切点为M时， 最大，
设外接圆的圆心为E，Q是异于点M的一点，连接，，交圆于点T，
则，根据三角形外角性质，得，故，
∴最大，  
设与圆交于点H，连接，，根据切线性质，
∴，
作直径，连接，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，  
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
过点E作，垂足为F，过点C作，垂足为G，交于点P，
根据垂径定理，得，四边形是矩形，
∴，
  
根据，得，
∴，
∴，
在直角三角形中，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴，
故，
∴当最大时，．
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰三角形的性质，垂径定理，勾股定理，矩形的判定和性质，三角形的外接圆，相似三角形的判定和性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
52．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点．
  
(1)求这个二次函数的解析式．
(2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标．
(3)若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)最大值为，此时；(3)或或
【分析】（1）先根据二次函数对称轴公式求出，再把代入二次函数解析式中进行求解即可；
（2）先求出，，则，，求出直线的解析式为，设，则，，则；再由得到，故当时，最大，最大值为，此时点P的坐标为；
（3）分如图3-1，图3-2，图3-3，图3-4，图3-5，图3-6所示，为对角线和边，利用菱形的性质进行列式求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的对称轴为直线，
∴，
∴，
∵二次函数经过点，
∴，即，
∴，
∴二次函数解析式为；
（2）解：∵二次函数经过点，且对称轴为直线，
∴，
∴，
∵二次函数与y轴交于点C，
∴，∴；
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
设，则，，
∴；
∵，
∴



，
∵，
∴当时，最大，最大值为，
∴此时点P的坐标为；
（3）解：设，则，，
∵轴，
∴轴，即，
∴是以、为顶点的菱形的边；
如图3-1所示，当为对角线时，
    
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴轴，
∴轴，即轴，
∴点C与点N关于抛物线对称轴对称，
∴点N的坐标为，
∴，
∴；
如图3-2所示，当为边时，则，
    
∵，，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴；
如图3-3所示，当为边时，则，
    
同理可得，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴；
如图3-4所示，当为边时，则，
    
同理可得，
解得（舍去）或（舍去）；
如图3-5所示，当为对角线时，
    
∴，
∵，
∴，
∴，
∴轴，
∴轴，这与题意相矛盾，
∴此种情形不存在
如图3-6所示，当为对角线时，设交于S，
    
∵轴，
∴，
∵，
∴，这与三角形内角和为180度矛盾，
∴此种情况不存在；
综上所述，或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理，求二次函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
53．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为．直线过点，且平行于轴，与抛物线交于两点（在的右侧）．将抛物线沿直线翻折得到抛物线，抛物线交轴于点，顶点为．
    　　  
(1)当时，求点的坐标；
(2)连接，若为直角三角形，求此时所对应的函数表达式；
(3)在（2）的条件下，若的面积为两点分别在边上运动，且，以为一边作正方形，连接，写出长度的最小值，并简要说明理由．
【答案】(1)；(2)或；(3)，见解析
【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式，进而得出顶点坐标，根据对称性，即可求解．
（2）由题意得，的顶点与的顶点关于直线对称，，则抛物线．进而得出可得，①当时，如图1，过作轴，垂足为．求得，代入解析式得出，求得．②当时，如图2，过作，交的延长线于点．同理可得，得出，代入解析式得出代入，得；③当时，此情况不存在．
（3）由（2）知，当时，，此时的面积为1，不合题意舍去．当时，，此时的面积为3，符合题意．由题意可求得．取的中点，在中可求得．在中可求得．易知当三点共线时，取最小值，最小值为．
【详解】（1）∵，
∴抛物线的顶点坐标．
∵，点和点关于直线对称．
∴．
（2）由题意得，的顶点与的顶点关于直线对称，
∴，抛物线．
∴当时，可得．
①当时，如图1，过作轴，垂足为．
∵，
∴．
∵
∴．
∴．
∵，
∴．
∵直线轴，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
又∵点在图像上，
∴．
解得或．
∵当时，可得，此时重合，舍去．当时，符合题意．
将代入，
得．
　　   　　  
②当时，如图2，过作，交的延长线于点．
同理可得．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
又∵点在图像上，
∴．解得或．
∵，
∴．此时符合题意．
将代入，得．
③当时，此情况不存在．
综上，所对应的函数表达式为或．
（3）如图3，由（2）知，当时，，
此时
则，，则的面积为1，不合题意舍去．
当时，，
则，
∴，此时的面积为3，符合题意
∴．
依题意，四边形是正方形，
∴．
取的中点，在中可求得．
在中可求得．
∴当三点共线时，取最小值，最小值为．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，特殊三角形问题，正方形的性质，勾股定理，面积问题，分类讨论是解题的关键．
54．（2023·云南·统考中考真题）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．
同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．
在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数（实数为常数）的图象为图象．
(1)求证：无论取什么实数，图象与轴总有公共点；
(2)是否存在整数，使图象与轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析；(2)或或或
【分析】（1）分与两种情况讨论论证即可；
（2）当时，不符合题意，当时，对于函数，令，得，从而有或，根据整数，使图象与轴的公共点中有整点，即为整数，从而有或或或或或或或，解之即可．
【详解】（1）解：当时，，函数为一次函数，此时，令，则，解得，
∴一次函数与轴的交点为；
当时，，函数为二次函数，
∵，
∴


，
∴当时，与轴总有交点，
∴无论取什么实数，图象与轴总有公共点；
（2）解：当时，不符合题意，
当时，对于函数，
令，则，
∴，
∴或
∴或，
∵，整数，使图象与轴的公共点中有整点，即为整数，
∴或或或或或或或，
解得或或（舍去）或（舍去）或或或（舍去）或（舍去），
∴或或或．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系以及二次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的性质以及数形相结合的思想是解题的关键．
55．（2023·湖南怀化·统考中考真题）如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．
  
(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；
(2)点为第三象限内抛物线上一点，作直线，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标；
(3)设直线交抛物线于点、，求证：无论为何值，平行于轴的直线上总存在一点，使得为直角．
【答案】(1)；(2)面积的最大值为，此时点的坐标为；(3)见解析
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）如图所示，过点作轴于点，交于点，得出直线的解析式为，设，则，得出，当取得最大值时，面积取得最大值，进而根据二次函数的性质即可求解；
（3）设、，的中点坐标为，联立，消去，整理得：，得出，则，设点到的距离为，则，依题意，，，得出，则，，点总在上，为直径，且与相切，即可得证．
【详解】（1）解：将代入，得
，
解得：，
∴抛物线解析式为：；
（2）解：如图所示，过点作轴于点，交于点，
  
由，令，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，将点代入得，，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴

，
当时，的最大值为
∵
∴当取得最大值时，面积取得最大值
∴面积的最大值为，
此时，
∴
（3）解：设、，的中点坐标为，
联立，消去，整理得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
设点到的距离为，则，
∵、，
∴，
∴






∴，
∴
  
∴，
∴点总在上，为直径，且与相切，
∴为直角．
∴无论为何值，平行于轴的直线上总存在一点，使得为直角．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程根与系数的关系，切线的性质与判定，直角所对的弦是直径，熟练掌握以上知识是解题的关键．
56．（2023·湖南·统考中考真题）如图，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，连接，过B、C两点作直线．
  
(1)求a的值．
(2)将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点．在直线上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线的距离最大，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)抛物线上是否存在点P，使，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)存在，理由见详解；(3)存在点P，直线的解析式为或．
【分析】（1）根据待定系数法即可得出结果；
（2）设与轴交于点，设，过点作轴交于点，作于点，先证明是等腰直角三角形，再表示出的长度，根据二次函数的性质即可得出结果；
（3）分两种情况讨论，当点在直线下方时，与当点在直线上方时．
【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点，
得，
解得：；
（2）解：存在，理由如下：
设与轴交于点，由（1）中结论，得抛物线的解析式为，
当时，，即，
，，即是等腰直角三角形，
，
，
，
设，过点作轴交于点，作于点，
  
，即是等腰直角三角形，
设直线的解析式为，代入，
得，解得，
故直线的解析式为，
将直线向下平移个单位长度，得直线的解析式为，
，
，
当时，有最大值，
此时也有最大值，；
（3）解：存在点P，理由如下：
当点在直线下方时，
在轴上取点，作直线交抛物线于（异于点）点，
  
由（2）中结论，得，
，
，
，
，
设直线的解析式为，代入点，
得，解得，
故直线的解析式为；
当点在直线上方时，如图，在轴上取点，连接，过点作交抛物线于点，
    
∴，
∴，
，
，
，
设直线的解析式为，代入点，
得，解得，
故设直线的解析式为，
，且过点,
故设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为．
综上所述：直线的解析式为或．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
57．（2023·天津·统考中考真题）已知抛物线，为常数，的顶点为，与轴相交于，两点点在点的左侧，与轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为，且，过点作，垂足为．
(1)若．
①求点和点的坐标；
②当时，求点的坐标；
(2)若点的坐标为，且，当时，求点的坐标．
【答案】(1)①点的坐标为；点的坐标为；②点的坐标为；(2)
【分析】（1）①待定系数法求解析式，然后化为顶点式，即可求得的坐标，令，解方程，即可求得的坐标；
②过点作轴于点，与直线相交于点．得出．可得中，．中，．设点，点．根据，解方程即可求解；
（2）根据题意得出抛物线的解析式为．得点，其中．则顶点的坐标为，对称轴为直线．过点作于点，则，点．由，得．于是．得出(舍)．，同(Ⅰ)，过点作轴于点，与直线相交于点，则点，点，点．根据已知条件式，建立方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：①由，得抛物线的解析式为．
∵，
∴点的坐标为．
当时，．解得．又点在点的左侧，
∴点的坐标为．
②过点作轴于点，与直线相交于点．
    
∵点，点，
∴．可得中，．
∴中，．
∵抛物线上的点的横坐标为，其中，
∴设点，点．
得．即点．
∴．
中，可得．
∴．又，
得．即．解得(舍)．
∴点的坐标为．
（2）∵点在抛物线上，其中，
∴．得．
∴抛物线的解析式为．
得点，其中．
∵，
∴顶点的坐标为，对称轴为直线．
过点作于点，则，点．
由，得．于是．
∴．
即．解得(舍)．
同(Ⅰ)，过点作轴于点，与直线相交于点，
则点，点，点．
∵，
∴．
即．解得(舍)．
∴点的坐标为．
    
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，角度问题，线段问题，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
58．（2023·湖北十堰·统考中考真题）已知抛物线过点和点，与轴交于点．
  
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接，点在线段上（与点不重合），点是的中点，连接，过点作交于点，连接，当面积是面积的3倍时，求点的坐标；
(3)如图2，点是抛物线上对称轴右侧的点，是轴正半轴上的动点，若线段上存在点（与点不重合），使得，求的取值范围．
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）待定系数法求得直线的解析式为，设，过点作交的延长线于点，则，则的坐标为，得出是等腰直角三角形，设，则，证明，相似三角形的性质得出，则，可得，当面积是面积的3倍时，即，即，在中，，解方程即可求解；
（3）根据三角形外角的性质，结合已知条件得出，证明，则，设交轴于点，过点作轴于点，求得直线的解析式为，联立，得出，勾股定理求得的长，根据相似三角形的性质得出关于的二次函数关系式，进而根据二次函数的性质求得最值，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线过点和点，
∴
解得：
∴抛物线解析式为；
（2）∵抛物线与轴交于点，
当时，，
∴，则，
∵，
∴，，
∵点是的中点，则，
∴，
设直线的解析式为，
∵点和点，
∴
解得：
∴直线的解析式为，
设，
如图所示，过点作交的延长线于点，则，则的坐标为，
  
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴
∴
即
∵
∴
即，
∴，
∴
∴，
又，
∴是等腰直角三角形，
∴的面积为，
∵的面积为
当面积是面积的3倍时
即
即
在中，
∴
∴
解得：或（舍去）
∴；
（3）∵，
又，
∴，
∴，
∴，
设交轴于点，过点作轴于点，
  
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或，
∴，
∴，
∵，
设，则，
∴，
整理得：，
∵在线段上（与点不重合），
∴,
∴，
∴当时，取得的最大值为，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，面积问题，相似三角形的性质与判定，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
59．（2023·吉林长春·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点的坐标为，点在该抛物线上，横坐标为．其中．
  
(1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；
(2)当点在轴上时，求点的坐标；
(3)该抛物线与轴的左交点为，当抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值．
(4)当点在轴上方时，过点作轴于点，连结、．若四边形的边和抛物线有两个交点（不包括四边形的顶点），设这两个交点分别为点、点，线段的中点为．当以点、、、（或以点、、、）为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半时，直接写出所有满足条件的的值．
【答案】(1)；顶点坐标为；(2)；(3)或或或；(4)或或
【分析】（1）将点代入抛物线解析式，待定系数法即可求解；
（2）当时，，求得抛物线与轴的交点坐标，根据抛物线上的点在轴上时，横坐标为．其中，得出，即可求解；
（3）①如图所示，当，即时，②当，即时，③当，即时，④当，即，分别画出图形，根据最高点与最低点的纵坐标之差为，建立方程，解方程即可求解；
（4）根据在轴的上方，得出，根据题意分三种情况讨论①当是的中点，②同理当为的中点时，③，根据题意分别得出方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：将点代入抛物线，得，

解得：
∴抛物线解析式为；
∵，
∴顶点坐标为，
（2）解：由，
当时，，
解得：，
∵抛物线上的点在轴上时，横坐标为．其中．
∴
∴
解得：，
∵点的坐标为，
∴；
（3）①如图所示，当，即时，
  
抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点为顶点，最低点为点，
∵顶点坐标为，
则纵坐标之差为
依题意，
解得：；
②当，即时，
  
∵，即，
依题意，，
解得：或（舍去），
③当，即时，
  
则，
解得：或（舍去），
④当，即，
  
则，
解得：（舍去）或，
综上所述，或或或；
（4）解：如图所示，
  
∵在轴的上方，
∴
∴
∵以点、、、为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半，线段的中点为
∴
∵,
①当是的中点，如图所示
  
则，
∴代入，
即，
解得：（舍去）或；
②同理当为的中点时，如图所示，，，则点、、、为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半，
  
∴，
解得：，
③如图所示，
  
设，则，
∵以点、、、为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半，线段的中点为
∴
即
∴，
∴，
∴，
∵关于对称，
∴，
解得：，
综上所述，或或．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，二次函数的性质，面积问题，根据题意画出图形，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
60．（2023·湖北·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点为，连接．
  
(1)抛物线的解析式为__________________；（直接写出结果）
(2)在图1中，连接并延长交的延长线于点，求的度数；
(3)如图2，若动直线与抛物线交于两点（直线与不重合），连接，直线与交于点．当时，点的横坐标是否为定值，请说明理由．
【答案】(1)(2)；(3)，理由见解析
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）待定系数法求得直线直线的解析式为：，直线的解析式为：．联立两直线解析式，得出点的坐标为．方法1：由题意可得：．过点E作轴于点F．计算得出，又，可得，根据相似三角形的性质得出；方法2：如图2，延长与轴交于点，过点作于点，过点作轴于点．等面积法求得，解即可求解．方法3：如图2，过点作于点．根据，得出，进而得出；
（3）设点的坐标为，点的坐标为．由点，点，可得到直线的解析式为：．得出点的坐标可以表示为．由点，点，得直线的解析式为：．同理可得可得到直线的解析式为：．联立可得，则点的横坐标为定值3．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）∵点，点，
设直线的解析式为：．
∴，
∴，
直线的解析式为：．
同上，由点，可得直线的解析式为：．
令，得．
∴点的坐标为．
方法1：由题意可得：．
∴．
如图1，过点E作轴于点F．
∴．
∴．
∴．
又，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
即．
  
方法2：如图2，延长与轴交于点，过点作于点，过点作轴于点．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
，
∴．
∴
∴，即．
  
方法3：如图2，过点作于点．
∵．
∴．
∵，
∴．
∴．
（3）设点的坐标为，点的坐标为．
∵直线与不重合，
∴且且．
如图3，由点，点，
  
可得到直线的解析式为：．
∵，
∴可设直线的解析式为：．
将代入，
得．
∴．
∴点的坐标可以表示为．
设直线的解析式为：，
由点，点，得
，
解得．
∴直线的解析式为：．
同上，由点，点，
可得到直线的解析式为：．
∴．
∴．
∴．
∴点的横坐标为定值3．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，一次函数的平移，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
61．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）综合与探究
如图，抛物线上的点A，C坐标分别为，，抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且，连接，．
  
(1)求点M的坐标及抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接，，当时，求点P的坐标；
(3)点D是线段(包含点B，C)上的动点，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点Q，交直线于点N，若以点Q，N，C为顶点的三角形与相似，请直接写出点Q的坐标；
(4)将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点，点C的对应点为点，在抛物线平移过程中，当的值最小时，新抛物线的顶点坐标为______，的最小值为______．
【答案】(1)，；(2)；(3)，；(4)，
【分析】（1）根据点M在y轴负半轴且可得点M的坐标为，利用待定系数法可得抛物线的解析式为；
（2）过点P作轴于点F，交线段AC于点E，用待定系数法求得直线AC的解析式为，设点P的横坐标为，则，，故，先求得，从而得到，解出p的值，从而得出点P的坐标；
（3）由可知，要使点Q，N，C为顶点的三角形与相似，则以点Q，N，C为顶点的三角形也是直角三角形，从而分和两种情况讨论，①当，可推导B与点Q重合，，即此时符合题意，利用求抛物线与x轴交点的方法可求出点Q的坐标；②当时，可推导，即此时符合题意，再证明，从而得到，再设点的横坐标为q，则，，从而得到，解得q的值，从而得到点Q的坐标，最后综合①②即可；
（4）设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线，将点M右平移m个单位长度得到点，由平移的性质可知，，的值最小就是最小值，作出点C关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接则此时取得最小值，即为的长度，利用两点间的距离公式求这个长度，用待定系数法求出直线的解析式，从而确定的坐标，继而确定平移距离，将原抛物线的解析式化为顶点式，从而得到其顶点，继而确定新抛物线的顶点．
【详解】（1）解：∵点M在y轴负半轴且，
∴
将，代入，得

解得
∴抛物线的解析式为
（2）解：过点P作轴于点F，交线段AC于点E，
  
设直线的解析式为，
将，代入，得
，解得，
∴直线AC的解析式为
设点P的横坐标为
则，，
∴
∵，∴，解得，
∴
（3），，
补充求解过程如下：
∵在中，，以点Q，N，C为顶点的三角形与相似，
∴以点Q，N，C为顶点的三角形也是直角三角形，
又∵轴，直线交直线于点N，
∴，即点N不与点O是对应点．
故分为和两种情况讨论：
①当时，由于轴，
∴轴，即在x轴上，
又∵点Q在抛物线上，
∴此时点B与点Q重合，
作出图形如下：
    
此时，
又∵
∴，即此时符合题意，
令，
解得：(舍去)
∴点Q的坐标，也即点B的坐标是．
②当时，作图如下：
  
∵轴，
∴，
∴，
∵ ，，
∴，即此时符合题意，
∵，
∴，即
∵，，
∴
∴，
设点的横坐标为q，则，，
∴，
∴，
解得：(舍去)，
∴，
∴点Q的坐标是
综上所述：点Q的坐标是，；
（4），，
补充求解过程如下：
设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线，
将点M向右平移m个单位长度得到点，作出图形如下：
    
由平移的性质可知，，
∴的值最小就是最小值，
显然点在直线上运用，
作出点C关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接则此时取得最小值，即为的长度，
  
∵点C关于直线对称的对称的点是点，
∴，
∴，
设直线的解析式是：
将点，代入得：
解得：
直线的解析式是：
令，解得：，
∴，
∴平移的距离是
又∵，
∴平移前的抛物线的坐标是
∴新抛物线的顶点坐标为即
故答案是：，．
【点睛】本题考查求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何变换综合，二次函数与相似三角形综合，最短路径问题，三角形面积公式等知识，难度较大，综合性大，作出辅助线和掌握转换思想是解题的关键，第二问的解题技巧是使用铅锤公式计算面积，第三问的技巧是转化成直角三角形的讨论问题，如果直接按相似讨论，则有四种情况，可以降低分类讨论的种类，第四问的技巧，是将点M向反方向移动，从而将两个动点转化成一个动点来解决．
62．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点的距离，始终等于它到定直线l：的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为l：，其中，．
  
【基础训练】
(1)请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的方程：___________，___________；
【技能训练】
(2)如图2，已知抛物线上一点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；
【能力提升】
(3)如图3，已知抛物线的焦点为F，准线方程为l．直线m：交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为，到直线m的距离为，请直接写出的最小值；
【拓展延伸】
该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线平移至．抛物线内有一定点，直线l过点且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线上的动点P到点的距离等于点P到直线l：的距离．
请阅读上面的材料，探究下题：
(4)如图4，点是第二象限内一定点，点P是抛物线上一动点，当取最小值时，请求出的面积．
【答案】(1)，；(2)；(3)；(4)
【分析】（1）根据题中所给抛物线的焦点坐标和准线方程的定义求解即可；
（2）利用两点间距离公式结合已知条件列式整理得，然后根据，求出，进而可得，问题得解；
（3）过点作直线交于点，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，，根据两点之间线段最短可得当，，三点共线时，的值最小；待定系数法求直线的解析式，求得点的坐标为，根据点是直线和直线m的交点，求得点的坐标为，即可求得和的值，即可求得；
（4）根据题意求得抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，则，根据两点之间线段最短可得当，，三点共线时，的值最小；求得，即可求得的面积．
【详解】（1）解：∵抛物线中，
∴，，
∴抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为，
故答案为：，；
（2）解：由（1）知抛物线的焦点F的坐标为，
∵点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，
∴，整理得：，
又∵，
∴
解得：或（舍去），
∴，
∴点P的坐标为；
（3）解：过点作直线交于点，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，，如图：
  
若使得取最小值，即的值最小，故当，，三点共线时，，即此刻的值最小；
∵直线与直线垂直，故设直线的解析式为，
将代入解得：，
∴直线的解析式为，
∵点是直线和抛物线的交点，
令，解得：，（舍去），
故点的坐标为，
∴，
∵点是直线和直线m的交点，
令，解得：，
故点的坐标为，
∴，
．
即的最小值为．
（4）解：∵抛物线中，
∴，，
∴抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为，
过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，则，如图：
  
若使得取最小值，即的值最小，故当，，三点共线时，，即此刻的值最小；如图：
  
∵点的坐标为，准线，
∴点的横坐标为，代入解得，
即，，
则的面积为．
【点睛】本题考查了两点间距离公式结合，两点之间线段最短，三角形的面积，一次函数的交点坐标，一次函数与抛物线的交点坐标等，解决问题的关键是充分利用新知识的结论．