中考数学真题汇编第2期07 二次函数

这是一份中考数学真题汇编第2期07 二次函数，共66页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。











数学

中考数学真题汇编第2期
专题07 二次函数
一、单选题
1．（2023·四川·统考中考真题）已知抛物线（，，是常数且）过和两点，且，下列四个结论：；；若抛物线过点，则；关于的方程有实数根，则其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2023·山东聊城·统考中考真题）已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确结论的个数为（    ）．
  
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2023·福建·统考中考真题）根据福建省统计局数据，福建省年的地区生产总值为亿元，年的地区生产总值为亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（　　）
A． B．
C． D．
4．（2023·湖南·统考中考真题）已知是抛物线（a是常数，上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线；②点在抛物线上；③若，则；④若，则其中，正确结论的个数为（    ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于的二次函数（为常数，）总有两个不同的倍值点，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
6．（2023·广西·统考中考真题）将抛物线向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（    ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2023·福建·统考中考真题）已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是___________．
三、解答题
8．（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知：关于的函数．
  
(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且，则的值是___________；
(2)如图，若函数的图象为抛物线，与轴有两个公共点，，并与动直线交于点，连接，，，，其中交轴于点，交于点．设的面积为，的面积为．
①当点为抛物线顶点时，求的面积；
②探究直线在运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
9．（2023·福建·统考中考真题）已知抛物线交轴于两点，为抛物线的顶点，为抛物线上不与重合的相异两点，记中点为，直线的交点为．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若，且，求证：三点共线；
(3)小明研究发现：无论在抛物线上如何运动，只要三点共线，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
10．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图①，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是x轴上任意一点．

(1)求抛物线的表达式；
(2)点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；
(3)如图②，当点从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作，交AC于点E，作，垂足为点D．当m为何值时，面积最大，并求出最大值．
11．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，且与直线交于两点（点在点的右侧），点为直线上的一动点，设点的横坐标为．
  
(1)求抛物线的解析式．
(2)过点作轴的垂线，与拋物线交于点．若，求面积的最大值．
(3)抛物线与轴交于点，点为平面直角坐标系上一点，若以为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点的坐标．
12．（2023·山西·统考中考真题）如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点，与轴交于点C．
  
(1)求直线的函数表达式及点C的坐标；
(2)点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，与直线交于点D，设点的横坐标为．
①当时，求的值；
②当点在直线上方时，连接，过点作轴于点，与交于点，连接．设四边形的面积为，求关于的函数表达式，并求出S的最大值．
13．（2023·湖南永州·统考中考真题）如图1，抛物线（，，为常数）经过点，顶点坐标为，点为抛物线上的动点，轴于H，且．
  
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，直线交于点，求的最大值；
(3)如图2，四边形为正方形，交轴于点，交的延长线于，且，求点的横坐标．
14．（2023·四川·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与轴交于点．
  
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标；
(3)如图，为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接并延长交轴于点，在点运动过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
15．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，点P为第一象限抛物线上的点，连接．
       
(1)直接写出结果；_____，_____，点A的坐标为_____，______；
(2)如图1，当时，求点P的坐标；
(3)如图2，点D在y轴负半轴上，，点Q为抛物线上一点，，点E，F分别为的边上的动点，，记的最小值为m．
①求m的值；
②设的面积为S，若，请直接写出k的取值范围．
16．（2023·湖南郴州·统考中考真题）已知抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点．

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点是抛物线的对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求的值；
(3)如图2，取线段的中点，在抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
17．（2023·浙江杭州·统考中考真题）设二次函数，（，是实数）．已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：

…

0
1
2
3
…

…

1

1

…
(1)若，求二次函数的表达式；
(2)写出一个符合条件的的取值范围，使得随的增大而减小．
(3)若在m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，求的取值范围．
18．（2023·湖南·统考中考真题）如图，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，连接，过B、C两点作直线．
  
(1)求a的值．
(2)将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点．在直线上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线的距离最大，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)抛物线上是否存在点P，使，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．
19．（2023·湖北武汉·统考中考真题）抛物线交轴于两点（在的左边），交轴于点．
  
(1)直接写出三点的坐标；
(2)如图（1），作直线，分别交轴，线段，抛物线于三点，连接．若与相似，求的值；
(3)如图（2），将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点．直线与抛物线交于两点，过的中点作直线（异于直线）交抛物线于两点，直线与直线交于点．问点是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．
20．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点，直线与抛物线交于B，C两点．
    
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若是以为腰的等腰三角形，求点B的坐标；
(3)过点作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E．试探究：是否存在常数m，使得始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
21．（2023·湖北十堰·统考中考真题）“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒，根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒，设每盒售价为x元，日销售量为p盒．
(1)当时，__________；
(2)当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？
(3)小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大，”小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价x的范围为．”你认为他们的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论．
22．（2023·湖北十堰·统考中考真题）已知抛物线过点和点，与轴交于点．
  
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接，点在线段上（与点不重合），点是的中点，连接，过点作交于点，连接，当面积是面积的3倍时，求点的坐标；
(3)如图2，点是抛物线上对称轴右侧的点，是轴正半轴上的动点，若线段上存在点（与点不重合），使得，求的取值范围．
23．（2023·湖南·统考中考真题）已知二次函数．
(1)若，且该二次函数的图像过点，求的值；
(2)如图所示，在平面直角坐标系中，该二次函数的图像与轴交于点，且，点D在上且在第二象限内，点在轴正半轴上，连接，且线段交轴正半轴于点，．
  
①求证：．
②当点在线段上，且．的半径长为线段的长度的倍，若，求的值．
24．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图1，平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，点为抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点．
  
(1)直接写出抛物线和直线的解析式；
(2)如图2，连接，当为等腰三角形时，求的值；
(3)当点在运动过程中，在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似（其中点与点相对应），若存在，直接写出点和点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点．
  
(1)求这个二次函数的解析式．
(2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标．
(3)若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（2023·湖南怀化·统考中考真题）如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．
  
(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；
(2)点为第三象限内抛物线上一点，作直线，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标；
(3)设直线交抛物线于点、，求证：无论为何值，平行于轴的直线上总存在一点，使得为直角．
27．（2023·浙江·统考中考真题）已知点和在二次函数是常数，的图像上．
(1)当时，求和的值；
(2)若二次函数的图像经过点且点A不在坐标轴上，当时，求的取值范围；
(3)求证：．
28．（2023·四川遂宁·统考中考真题）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，，对称轴过点，，直线过点，且垂直于轴．过点的直线交抛物线于点、，交直线于点，其中点、Q在抛物线对称轴的左侧．
  
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，当时，求点的坐标；
(3)如图2，当点恰好在轴上时，为直线下方的抛物线上一动点，连接、，其中交于点，设的面积为，的面积为．求的最大值．

参考答案
1．B
2．B
3．B
4．B
5．D
6．A
7．
8．（1）解：函数的图象与坐标轴有两个公共点，
，
，
，
当函数为一次函数时，，
．
当函数为二次函数时，
，
若函数的图象与坐标轴有两个公共点，即与轴，轴分别只有一个交点时，
，
．
当函数为二次函数时，函数的图象与坐标轴有两个公共点， 即其中一点经过原点，
，
，
．
综上所述，或0．
故答案为：0或2或．
（2）解：①如图所示，设直线与交于点，直线与交于点．
  
依题意得：，解得：
抛物线的解析式为：．
点为抛物线顶点时，，，
，，
由，得直线的解析式为，
在直线上，且在直线上，则的横坐标等于的横坐标，
，
，，
，
．
故答案为：6．
②存在最大值，理由如下：
如图，设直线交轴于．
由①得：，，，，，
，
，，
，
，
即，

，，
，
，
，，
当时，有最大值，最大值为．
故答案为：．
9．（1）解：因为抛物线经过点，
所以
解得
所以抛物线的函数表达式为；
（2）解：
    
设直线对应的函数表达式为，
因为为中点，所以．
又因为，所以，解得，
所以直线对应的函数表达式为．
因为点在抛物线上，所以．
解得，或．
又因为，所以．
所以．
因为，即满足直线对应的函数表达式，所以点在直线上，即三点共线；
（3）解：的面积为定值，其面积为2．
理由如下：（考生不必写出下列理由）
如图1，当分别运动到点的位置时，与分别关于直线对称，此时仍有三点共线．设与的交点为，则关于直线对称，即轴．此时，与不平行，且不平分线段，故，到直线的距离不相等，即在此情形下与的面积不相等，所以的面积不为定值．
    
如图2，当分别运动到点的位置，且保持三点共线．此时与的交点到直线的距离小于到直线的距离，所以的面积小于的面积，故的面积不为定值．
又因为中存在面积为定值的三角形，故的面积为定值．
在（2）的条件下，直线对应的函数表达式为，直线对应的函数表达式为，求得，此时的面积为2．
10．（1）将，代入，得
，解得
∴抛物线解析式为：
（2）二次函数，当时，
∴点
设点，点，
当为边，为对角线时，
∵四边形为平行四边形，
∴，互相平分
∴解得，（舍去）或
点Q坐标；

当为边，为对角线时，

同理得，
解得，或，
∴
∴点Q坐标或
综上，点Q坐标，或或；
（3）如图，过点D作，过点E作，垂足为G，F，

∵，
∴
∴
∵
∴，同理可得
设直线的解析式为：
则，解得
∴直线：
同理由点，，可求得直线 ：
设点，，
则，，，
中，，

∴，
中，
∴，解得，
∴
∵
∴；
中，
∴，解得，
∴
∵
∴
∴，
即．
∵
∴时，，有最大值，最大值为．
11．（1）解：∵抛物线经过点和点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：；
（2）解：∵抛物线与直线交于两点，（点在点的右侧）
联立，
解得：或，
∴，
∴，
∵点为直线上的一动点，设点的横坐标为．
则，，
∴，当时，取得最大值为，
∵，
∴当取得最大值时，最大，
∴，
∴面积的最大值；
（3）∵抛物线与轴交于点，
∴，当时，，即，
∵，
∴,
，，
①当为对角线时，，
  
∴，
解得：，
∴，
∵的中点重合，
∴，
解得：，
∴，
②当为边时，
当四边形为菱形，
  
∴，
解得：或，
∴或，
∴或，
由的中点重合，
∴或，
解得：或，
∴或，
当时；
如图所示，即四边形是菱形，
  
点的坐标即为四边形为菱形时，的坐标，
∴点为或，
综上所述，点为或或或或．
12．（1）解：由得，当时，．
解得．
∵点A在轴正半轴上．
∴点A的坐标为．
设直线的函数表达式为．
将两点的坐标分别代入，
得，
解得，
∴直线的函数表达式为．
将代入，得．
∴点C的坐标为；
（2）①解：点在第一象限内二次函数的图象上，且轴于点，与直线交于点，其横坐标为．
∴点的坐标分别为．
∴．
∵点的坐标为，
∴．
∵，
∴．
如图，当点在直线上方时，．
  
∵，
∴．
解得．
如图2，当点在直线下方时，．
  
∵，
∴．
解得，
∵，
∴．
综上所述，的值为2或3或；
②解：如图3，由（1）得，．
  
∵轴于点，交于点，点B的坐标为，
∴．
∵点在直线上方，
∴．
∵轴于点，
∴．
∴，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴四边形为平行四边形．
∵轴，
∴四边形为矩形．
∴．
即．

∵，
∴当时，S的最大值为．
13．（1）解：抛物线（，，为常数）经过点，顶点坐标为，
，，，
，
，
抛物线的解析式为：．
故答案为：．
（2）解：过点作轴于点，如图所示，
    
抛物线的解析式为：，且与轴交于，两点，
，
，
设直线的解析式为：，则，
，
直线的解析式为：．
在直线上，，
在直线上，的解析式为：，
，
．  

，
．


，
．
，，
当时， 有最大值，且最大值为： ．
故答案为：．
（3）解:∵＋，
，
，
，
，
，
，
设，，
，
抛物线的解析式为：，且与轴交于，两点，
．
设直线的解析式为：，则，
，
直线的解析式为：．  
，在直线上，
，
，
，
，
（十字相乘法），
由，得：，
，

，
，即，
解得：，，
，
，
点横坐标为：．
故答案为：．
14．（1）解：将点，，代入
得
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）∵点，，
∴抛物线的对称轴为直线：，
如图所示，设与交于点，过点作于点
  
∵以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵点在抛物线上
∴
解得：（舍去）或,
∴，
当点与点重合时，如图所示，
  
∵，是等腰直角三角形，且，
∴
此时，
综上所述，或；
（3）设，直线的解析式为，的解析式为，
∵点，，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，的解析式为，
对于，当时，，即，
对于，当时，，即，
∵在抛物线上，则
∴

∴为定值．
15．（1）解：∵抛物线经过点，，
∴，解得：，
∴抛物线解析式为：，
∵抛物线与x轴交于A、两点，
∴时，，解得：，，
∴，
∴，，
在中，，
故答案为：，2，，；
（2）解：过点C作轴，交于点D，过点P作轴，交y轴于点E，
∵，，，
∴，
由（1）可得，，即，
∴，
∵，
∴，
∵轴，轴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设点P坐标为，则，，
∴，解得：（舍），，
∴点P坐标为．
  
（3）解：①如图2，作，且使，连接．
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴Q，F，H共线时，的值最小．作于点G，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
设，则，
∴，解得或（舍去），
∴，
∴，
∴，，
∴；
  
②如图3，作轴，交于点T，待定系数法可求解析式为，
设，，
则，
∴，
∴，
∴，
∴．
  
16．（1）解：∵抛物线与轴相交于点，，
∴，解得：，
∴；
（2）∵，当时，，
∴，抛物线的对称轴为直线
∵的周长等于，为定长，
∴当的值最小时，的周长最小，
∵关于对称轴对称，
∴，当三点共线时，的值最小，为的长，此时点为直线与对称轴的交点，

设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
当时，，
∴，
∵，
∴，，
∴；
（3）解：存在，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
①当点在点上方时：
过点作，交抛物线与点，则：，此时点纵坐标为2，

设点横坐标为，
则：，
解得：，
∴或；
②当点在点下方时：设与轴交于点，

则：，
设，
则：，，
∴，解得：，
∴，
设的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
联立，解得：或，
∴或；
综上：或或或．
17．（1）解：把，代入，得
，解得：，
∴．
（2）解：∵，在图象上，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴当时，则时，随的增大而减小，
当时，则时，随的增大而减小．
（3）解：把代入，得
，
∴
∴
把代入得，，
把代入得，，
把代入得，，
∴，
∵m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，
∴，解得：．
18．（1）解：抛物线与x轴交于点，
得，
解得：；
（2）解：存在，理由如下：
设与轴交于点，由（1）中结论，得抛物线的解析式为，
当时，，即，
，，即是等腰直角三角形，
，
，
，
设，过点作轴交于点，作于点，
  
，即是等腰直角三角形，
设直线的解析式为，代入，
得，解得，
故直线的解析式为，
将直线向下平移个单位长度，得直线的解析式为，
，
，
当时，有最大值，
此时也有最大值，；
（3）解：存在点P，理由如下：
当点在直线下方时，
在轴上取点，作直线交抛物线于（异于点）点，
  
由（2）中结论，得，
，
，
，
，
设直线的解析式为，代入点，
得，解得，
故直线的解析式为；
当点在直线上方时，如图，在轴上取点，连接，过点作交抛物线于点，
    
∴，
∴，
，
，
，
设直线的解析式为，代入点，
得，解得，
故设直线的解析式为，
，且过点,
故设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为．
综上所述：直线的解析式为或．
19．（1）∵抛物线解析式为，
∴当时，，当时，，
解得：，，
∴，，．
（2）解：是直线与抛物线的交点，
，
①如图，若时，
，
∴
，
∴，
解得，（舍去）或．
②如图，若时．过作轴于点．
，
∴，
∴，
，
，
∴
，
∴，，
，
∴，
解得，（舍去）或．
  
综上，符合题意的的值为2或．
（3）解：∵将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点，
∴，
∵直线的解析式为，
∴联立直线与解析式得：，
解得：（舍去），，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
设，直线的解析式为，
则，
解得，，
∴直线的解析式为，
∵直线经过点，
∴
同理，直线的解析式为；直线的解析式为．
联立，得，
解得：．
∵直线与相交于点，
．
设点在直线上，则，①
整理得，，
比较系数得：，
解得：，
∴当时，无论为何值时，等式①恒成立．
∴点在定直线上．
20．（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点，
∴，解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：设，
根据题意，是以为腰的等腰三角形，有两种情况：
当时，点B和点P关于y轴对称，
  
∵，∴；
当时，则，
∴，
整理，得，
解得，，
当时，，则，
当时，，则，
综上，满足题意的点B的坐标为或或；
（3）解：存在常数m，使得．
根据题意，画出图形如下图，
    
设抛物线与直线的交点坐标为，，
由得，
∴，；
设直线的表达式为，
则，解得，
∴直线的表达式为，
令，由得，
∴，
同理，可得直线的表达式为，则，
过E作轴于Q，过D作轴于N，
则，，，，
若，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
则，
整理，得，
即，
将，代入，得，
即，则或，
解得，，
综上，存在常数m，使得，m的值为2或．
21．（1）解：当时，（盒），
故答案为：
（2）由题意得，
，
又∵，即，
解得，
∵，
∴当时，W最大，最大值为，
∴当每盒售价定为65元时，日销售利润W（元）最大，最大利润是元．
（3）他们的说法正确，理由如下：
设日销售额为元，则
，
∵，
∴当时，最大，最大值为，
∴当日销售利润最大时，日销售额不是最大，
即小强的说法正确；
当时，，解得，
∵抛物线开口向下，
∴当时，，
∴当日销售利润不低于元时，每盒售价x的范围为．
故小红的说法正确．
22．（1）解：∵抛物线过点和点，
∴
解得：
∴抛物线解析式为；
（2）∵抛物线与轴交于点，
当时，，
∴，则，
∵，
∴，，
∵点是的中点，则，
∴，
设直线的解析式为，
∵点和点，
∴
解得：
∴直线的解析式为，
设，
如图所示，过点作交的延长线于点，则，则的坐标为，
  
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴
∴
即
∵
∴
即，
∴，
∴
∴，
又，
∴是等腰直角三角形，
∴的面积为，
∵的面积为
当面积是面积的3倍时
即
即
在中，
∴
∴
解得：或（舍去）
∴；
（3）∵，
又，
∴，
∴，
∴，
设交轴于点，过点作轴于点，
  
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或，
∴，
∴，
∵，
设，则，
∴，
整理得：，
∵在线段上（与点不重合），
∴,
∴，
∴当时，取得的最大值为，
∴．
23．（1）解：∵，
∴二次函数解析式为，
∵该二次函数的图像过点，
∴
解得：；
（2）①∵，，
∴
∴
∴
∵
∴；
②∵该二次函数的图像与轴交于点，且，
∴，，
∵．
∴，
∵的半径长为线段的长度的倍
∴，
∵，
∴，
∴，
即①，
∵该二次函数的图像与轴交于点，
∴是方程的两个根，
∴，
∵，，
∴，
即②，
①代入②，即，
即，
整理得，
∴，
解得：（正值舍去）
∴，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴．
24．（1）解：抛物线过点，，
抛物线的表达式为，
将点代入上式，得，
．
抛物线的表达式为，即．
设直线的表达式为，
将点，代入上式，
得，
解得．
直线的表达式为．
（2）解：点在直线上，且，
点的坐标为．
，，．
当为等腰三角形时，
①若，则，
即，
解得．
②若，则，
即，
解得或（舍去）．
③若，则，
即，
解得（舍去）或．
综上，或或．
（3）解：点与点相对应，
或．
①若点在点左侧，
则，，．
当，即时，
直线的表达式为，
，解得或（舍去）．
，即．
，即，
解得．
，．
当，即时，
，，
，即，
解得（舍去）或（舍去）．
②若点在点右侧，
则，．
当，即时，
直线的表达式为，
，解得或（舍去），
，
，即，
解得．
，．
当，即时，
，．
，即，
解得或（舍去）．
，．
综上，，或，或，．
25．（1）解：∵二次函数的对称轴为直线，
∴，
∴，
∵二次函数经过点，
∴，即，
∴，
∴二次函数解析式为；
（2）解：∵二次函数经过点，且对称轴为直线，
∴，
∴，
∵二次函数与y轴交于点C，
∴，
∴；
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
设，则，，
∴；
∵，
∴



，
∵，
∴当时，最大，最大值为，
∴此时点P的坐标为；
（3）解：设，则，，
∵轴，
∴轴，即，
∴是以、为顶点的菱形的边；
如图3-1所示，当为对角线时，
    
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴轴，
∴轴，即轴，
∴点C与点N关于抛物线对称轴对称，
∴点N的坐标为，
∴，
∴；
如图3-2所示，当为边时，则，
    
∵，，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴；
如图3-3所示，当为边时，则，
    
同理可得，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴；
如图3-4所示，当为边时，则，
    
同理可得，
解得（舍去）或（舍去）；
如图3-5所示，当为对角线时，
    
∴，
∵，
∴，
∴，
∴轴，
∴轴，这与题意相矛盾，
∴此种情形不存在
如图3-6所示，当为对角线时，设交于S，
    
∵轴，
∴，
∵，
∴，这与三角形内角和为180度矛盾，
∴此种情况不存在；
综上所述，或或．
26．（1）解：将代入，得
，
解得：，
∴抛物线解析式为：；
（2）解：如图所示，过点作轴于点，交于点，
  
由，令，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，将点代入得，，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴

，
当时，的最大值为
∵
∴当取得最大值时，面积取得最大值
∴面积的最大值为，
此时，
∴
（3）解：设、，的中点坐标为，
联立，消去，整理得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
设点到的距离为，则，
∵、，
∴，
∴






∴，
∴
  
∴，
∴点总在上，为直径，且与相切，
∴为直角．
∴无论为何值，平行于轴的直线上总存在一点，使得为直角．
27．（1）解：当时，图像过点和，
∴，解得，
∴，
∴．
（2）解：∵函数图像过点和，
∴函数图像的对称轴为直线．
∵图像过点，
∴根据图像的对称性得．
∵，
∴．
（3）解：∵图像过点和，
∴根据图像的对称性得．
∴，顶点坐标为．
将点和分别代人表达式可得
①②得，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
28．（1）解：∵抛物线经过点，，对称轴过点，，
∴
解得：
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图所示，过点作对称轴的垂线，垂足为，
  
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：或，
∵其中点在抛物线对称轴的左侧．
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或，
∴；
（3）解：依题意，点恰好在轴上，则，
设直线的解析式为，
将代入得，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，设直线的解析式为，
则，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：，
∴，
∴


，
∴当时，取得最大值为．