2023年山东省聊城市阳谷县中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2023年山东省聊城市阳谷县中考数学二模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年山东省聊城市阳谷县中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 9的算术平方根是(    )
A. −3 B. ±3 C. 3 D. 3
2. 下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是(    )
A. B. C. D.
3. 下列运算结果正确的是(    )
A. 3x3+2x3=5x6 B. (x+1)2=x2+1
C. x8÷x4=x2 D. −12022−(−1)2023−(−1)0=−1
4. 如图，将一个对边平行的纸条沿AB折叠一下，若∠1=130°，则∠2的大小为(    )

A. 65° B. 100° C. 115° D. 130°
5. 可燃冰，学名叫“天然气水合物”，是一种高效清洁、储量巨大的新能源．据报道，仅我国可燃冰预测远景资源量就超过了1000亿吨油当量．将1000亿用科学记数法可表示为(    )
A. 1×103 B. 1×1011 C. 1×1013 D. 1×1014
6. 下列说法正确的是(    )
A. 一元一次方程x2−1=x的解是x=2
B. 在连续5次数学测试中，两名同学的平均成绩相同，则方差较大的同学的成绩更稳定
C. 从5名男生，2名女生中抽取3人参加活动，至少会有1名男生被抽中
D. 将一次函数y=−2x+5的图象向上平移两个单位，则平移后的函数解析式为y=−2x+1
7. 用配方法解一元二次方程x2−4x=5时，此方程可变形为(x+a)2=b的形式，则a+b的值为(    )
A. 3 B. −1 C. 11 D. 7
8. 为了保护环境，加强环保教育，某中学组织学生参加义务收集废旧电池的活动，随机抽取班上30名学生进行调查，并将调查结果绘制成折线统计图，请根据学生收集到的废旧电池数，判断下列说法正确的是(    )


A. 样本为30名学生 B. 众数是11节 C. 中位数是5.5节 D. 平均数是6.5节
9. 已知PA、PB分别与⊙O相切于A、B，∠P=70°，C为⊙O上一点，则∠ACB的度数为(    )

A. 125° B. 120°或60° C. 125°或55° D. 130°
10. 如图，将线段AB先绕原点O按逆时针方向旋转90°，再向下平移4个单位，得到线段A′B′，则点A的对应点的坐标(    )

A. (−2,−1) B. (−1,−2) C. (−1,6) D. (1,−2)
11. 在Rt△ABC中，∠A=90°，以C为圆心，适当长为半径画弧交BC，AC于D，E两点，分别以D，E为圆心，大于12DE长为半径画弧交于M点，作射线CM交AB1于K点.以K为圆心，CK为半径画弧交射线CM于H点，分别以C，H为圆心，大于12CH为半径画弧交于N，L，作直线NL交BC于G，AC=4，CG=5，则GK=(    )

A. 5 B. 3 C. 3 D. 6
12. 如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠B=90°，AB=AD=5，BC=4，M、N、E分别是AB、AD、CB上的点，AM=CE=1，AN=3，点P从点M出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线MB−BE向点E运动，同时点Q从点N出发，以相同的速度沿折线ND−DC−CE向点E运动，当其中一个点到达后，另一个点也停止运动．设△APQ的面积为S，运动时间为t秒，则S与t函数关系的大致图象为(    )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
13. 分解因式：4x2−16y2=______．
14. 计算：( 8+ 12)× 32= ______ ．
15. 已知关于x，y的方程组x+y−b=03x+y−2=0的解是x=−1y=m，则直线y=−x+b与直线y=−3x+2的交点坐标是______ ．
16. 如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=45°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为______ ．

17. 如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切……按这样的规律进行下去，A10B10C10D10E10F10的边长为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共69.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题7.0分)
先化简，再求值：a2−4a÷(4a−4a−a)+2a−2，其中a=2sin45°+(12)−1．
19. (本小题8.0分)
为进一步提高全民“节约用水”意识，某学校组织学生进行家庭月用水量情况调查活动，小莹随机抽查了所住小区n户家庭的月用水量，绘制了下面不完整的统计图．

(1)求n并补全条形统计图；
(2)求这n户家庭的月平均用水量；并估计小莹所住小区420户家庭中月用水量低于月平均用水量的家庭户数；
(3)从月用水量为5m3和和9m3的家庭中任选两户进行用水情况问卷调查，求选出的两户中月用水量为5m3和9m3恰好各有一户家庭的概率．
20. (本小题8.0分)
菱形ABCD中，∠B=60°，点E在边BC上，点F在边CD上．
(1)如图1，若E是BC的中点，∠AEF=60°，求证：BE=DF；
(2)如图2，若∠EAF=60°，求证：△AEF是等边三角形．


21. (本小题8.0分)
某学校打算购买甲乙两种不同类型的计算器.已知甲种类型的计算器的单价比乙种类型的要便宜10元，且用550元购买的甲种类型的数量与用600元购买的乙种类型的数量一样．
(1)求甲乙两种类型计算器的单价；
(2)该学校打算购买甲乙两种类型计算器共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是多少？
22. (本小题8.0分)
如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向.为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行多长时间即可到达.(结果保留根号)

23. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=12x+5和y=−2x的图象相交于点A，反比例函数y=kx的图象经过点A．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)设一次函数y=12x+5的图象与反比例函数y=kx的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积．

24. (本小题10.0分)
如图，在半径为10cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，点E是BC的中点，OE=6cm．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)求AD的长．


25. (本小题12.0分)
如图，直线y=12x+c与x轴交于点B(4,0)，与y轴交于点C，抛物线y=12x2+bx+c经过点B，C，与x轴的另一个交点为A．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线BC下方抛物线上一动点，求四边形ACPB面积最大时点P的坐标；
(3)在抛物线上是否存在点M，使∠MCB=∠ABC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析

1.【答案】C 
【解析】
【分析】
此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．
算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根 a.依此即可求解．
【解答】
解：9的算术平方根是3．
故选C．  
2.【答案】C 
【解析】解：圆锥的主视图是等腰三角形，俯视图是中心有一点的圆，因此A不符合题意；
圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，因此B不符合题意；
正方体的主视图、俯视图都是正方形，因此选项C符合题意；
三棱柱的主视图是矩形，俯视图是三角形，因此D不符合题意；
故选：C．
根据圆锥、圆柱、正方体、三棱柱的主视图、俯视图判断即可．
本题考查简单几何体的三视图，理解三视图的意义，明确各种几何体的三视图的形状是正确判断的前提．

3.【答案】D 
【解析】解：A、3x3+2x3=5x3，故A不符合题意；
B、(x+1)2=x2+2x+1，故B不符合题意；
C、x8÷x4=x4，故C不符合题意；
D、−12022−(−1)2023−(−1)0=−1−(−1)−1=−1，故D符合题意；
故选：D．
利用完全平方公式，合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，零指数幂的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查完全平方公式，合并同类项，零指数幂，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

4.【答案】C 
【解析】解：如图：

∵宽度相等的纸条沿AB折叠一下，
∴纸条两边互相平行，
∴2∠3=∠1，∠2+∠3=180°，
∵∠1=130°，
∴∠3=12∠1=65°，
∴∠2=180°−∠3=180°−65°=115°．
故选：C．
根据平行线的性质和折叠性质求解即可．
本题考查平行线的性质和折叠性质，熟知各性质并准确识图是解答的关键．

5.【答案】B 
【解析】解：1000亿=100000000000=1×1011．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

6.【答案】C 
【解析】解：一元一次方程x2−1=x的解是x=−2，故A错误，不符合题意；
在连续5次数学测试中，两名同学的平均成绩相同，则方差较小的同学的成绩更稳定，故B错误，不符合题意；
从5名男生，2名女生中抽取3人参加活动，至少会有1名男生被抽中，故C正确，符合题意；
将一次函数y=−2x+5的图象向上平移两个单位，则平移后的函数解析式为y=−2x+7，故D错误，不符合题意；
故选：C．
根据一元一次方程的解的概念，方差的意义，抽屉原理，一次函数图象平移的规律逐项判断．
本题考查一元一次方程的解，方差的应用，抽屉原理的应用，一次函数图象的平移等知识，解题的关键是掌握教材上相关的概念和定理．

7.【答案】D 
【解析】解：∵x2−4x=5，
∴x2−4x+4=5+4，即(x−2)2=9，
则a=−2，b=9，
∴a+b=−2+9=7，
故选：D．
两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后得出a、b的值，继而可得答案．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解．

8.【答案】C 
【解析】解：A.样本为30名学生收集到的废旧电池数，故选项A错误；
B.众数是6节，故选项B错误；
C.中位数是从小到大排序后第15和16名学生收集电池数的平均数，即5+62=5.5，故选项C正确；
D.平均数为4×6+5×9+6×11+7×3+8×130=8315，故选项D错误．
故选：C．
根据众数、中位数、平均数及样本的定义列式计算即可．
本题主要考查众数、中位数、加权平均数以及样本，解题的关键是掌握众数、中位数及加权平均数的定义．

9.【答案】A 
【解析】解：如图所示，连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD，

∵AP、BP是⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB=360°−90°−90°−70°=110°，
∴∠ADB=12∠AOB=55°，
又∵圆内接四边形的对角互补，
∴∠ACB=180°−∠ADB=180°−55°=125°．
故选：A．
由切线的性质得出∠OAP=∠OBP=90°，利用四边形内角和可求∠AOB=110°，再利用圆周角定理可求∠ADB=55°，再根据圆内接四边形对角互补可求∠ACB．
本题考查了切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质．解题的关键是连接OA、OB，求出∠AOB．

10.【答案】B 
【解析】解：如图，A′(−1,−2)．

故选：B．
画出图形，可得结论．
本题考查坐标与图形变化−旋转，平移变换等知识，解题的关键是正确作出图形，属于中考常考题型．

11.【答案】A 
【解析】解：由作法得CK平分∠ACB，NL⊥CH，
∴∠ACK=∠BCK，∠CKG=90°，
∵∠A=∠CKG，∠ACK=∠GCK，
∴△ACK∽△KCG，
∴AC：CK=CK：CG，即4：CK=CK：5，
解得CK=2 5，
在Rt△CKG中，KG= CG2−CK2= 52−(2 5)2= 5．
故选：A．
利用基本作图得到CK平分∠ACB，NL⊥CH，则∠ACK=∠BCK，∠CKG=90°，再证明△ACK∽△KCG，利用相似比可求出CK，然后利用勾股定理可计算KG的长．
本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．也考查了基本作图和相似三角形的判定与性质．

12.【答案】D 
【解析】解：∵AD=5，AN=3，
∴DN=2，
如图1，过点D作DF⊥AB，
∴DF=BC=4，
在RT△ADF中，AD=5，DF=4，根据勾股定理得，AF= AD2−DF2=3，
∴BF=CD=2，当点Q到点D时用了2s，
∴点P也运动2s，
∴AP=3，即QP⊥AB，
∴只分三种情况：
①当0
过Q作QG⊥AB，过点D作DF⊥AB，QG//DF，
∴AQAD=QGDF，
由题意得，NQ=t，MP=t，
∵AM=1，AN=3，
∴AQ=t+3，
∴t+35=QG4，
∴QG=45(t+3)，
∵AP=t+1，
∴S=S△APQ=12AP×QG=12×(t+1)×45(t+3)=25(t+2)2−25，
当t=2时，S=6，
②当2
∵AP=AM+t=1+t，
∴S=S△APQ=12AP×BC=12(1+t)×4=2(t+1)=2t+2，
当t=4时，S=10，
③当4
由题意得CQ=t−4，PB=t+AM−AB=t+1−5=t−4，
∴PQ=BC−CQ−PB=4−(t−4)−(t−4)=12−2t，
∴S=S△APQ=12PQ×AB=12×(12−2t)×5=−5t+30，
当t=5时，S=5，
∴S与t的函数关系式分别是①S=S△APQ=25(t+2)2−25，当t=2时，S=6，②S=S△APQ=2t+2，当t=4时，S=10，③∴S=S△APQ=−5t+30，当t=5时，S=5，
综合以上三种情况，D正确
故选：D．
先求出DN，判断点Q到D点时，DP⊥AB，然后分三种情况分别用三角形的面积公式计算即可．
此题是动点问题的函数图象，考查了三角形的面积公式，矩形的性质，解本题的关键是分段画出图象，判断出点Q在线段CD时，PQ⊥AB是易错的地方．

13.【答案】4(x+2y)(x−2y) 
【解析】解：4x2−16y2=4(x2−4y2)=4(x+2y)(x−2y)．
故答案为：4(x+2y)(x−2y)．
首先提取公因式4，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练掌握乘法公式是解题关键．

14.【答案】20 
【解析】解：( 8+ 12)× 32
= 8× 32+ 12× 32
= 256+ 16
=16+4
=20，
故答案为：20．
利用二次根式的乘法法则进行计算，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．

15.【答案】(−1,5) 
【解析】解：由题意，由由两个一次函数图象的交点坐标与二元一次方程组的解的意义：两个一次函数图象的交点的横坐标与纵坐标对应二元一次方程组的解，
∵关于x，y的方程组x+y−b=03x+y−2=0的解是x=−1y=m，
∴3×(−1)+m−2=0．
∴m=5．
∴方程组x+y−b=03x+y−2=0的解是x=−1y=5．
∴直线y=−x+b与直线y=−3x+2的交点坐标是(−1,5)．
故答案为：(−1,5)．
依据题意，由两个一次函数图象的交点坐标与二元一次方程组的解的意义：两个一次函数图象的交点的横坐标与纵坐标对应二元一次方程组的解，从而可以得解．
本题主要考查了一次函数与二元一次方程的意义，解题时要能熟练掌握并理解．

16.【答案】16cm 
【解析】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN，
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP=8cm，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=90°，
∴△COD是等腰直角三角形，
∴CD=16cm．
∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=16cm．
故答案为：16cm．
设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点M、N在CD上时，△PMN的周长最小．
此题主要考查轴对称，最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．

17.【答案】81 328 
【解析】解：连接OE1，OD1，OD2，如图，
∵六边形A1B1C1D1E1F1为正六边形，
∴∠E1OD1=60°，
∴△E1OD1为等边三角形，
∵正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，
∴OD2⊥E1D1，
∴OD2= 32E1D1= 32×2，
∴正六边形A2B2C2D2E2F2的边长= 32×2，
同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=( 32)2×2，
则正六边形A10B10C10D10E10F10的边长=( 32)9×2=81 328．
故答案为：81 328．
分别求得正六边形A2B2C2D2E2F2的边长= 32×2、正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=( 32)2×2，然后找到规律写出A10B10C10D10E10F10的边长即可．
本题考查了正多边形与圆的关系：把一个圆分成n(n是大于2的自然数)等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．记住正六边形的边长等于它的半径．

18.【答案】解：a2−4a÷(4a−4a−a)+2a−2
=(a+2)(a−2)a÷4a−4−a2a+2a−2
=(a+2)(a−2)a⋅a−(a−2)2+2a−2
=−a+2a−2+2a−2
=−aa−2，
当a=2sin45°+(12)−1=2× 22+2= 2+2时，原式=− 2+2 2+2−2=−1− 2． 
【解析】先算括号内的式子，再算括号外的除法，最后算加法，然后将a的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

19.【答案】解：(1)n=(3+2)÷25%=20，
月用水量为8m3的户数为20×55%−7=4户，
月用水量为5m3的户数为20−(2+7+4+3+2)=2户，
补全图形如下：


(2)这20户家庭的月平均用水量为4×2+5×2+6×7+8×4+9×3+10×220=6.95(m3)，
因为月用水量低于6.95m3的有11户，
所以估计小莹所住小区420户家庭中月用水量低于6.95m3的家庭户数为420×1120=231户；

(3)月用水量为5m3的两户家庭记为a、b，月用水量为9m3的3户家庭记为c、d、e，
列表如下：

a
b
c
d
e
a

(b,a)
(c,a)
(d,a)
(e,a)
b
(a,b)

(c,b)
(d,b)
(e,b)
c
(a,c)
(b,c)

(d,c)
(e,c)
d
(a,d)
(b,d)
(c,d)

(e,d)
e
(a,e)
(b,e)
(c,e)
(d,e)

由表可知，共有20种等可能结果，其中满足条件的共有12种情况，
所以选出的两户中月用水量为5m3和9m3恰好各有一户家庭的概率为1220=35． 
【解析】(1)根据月用水量为9m3和10m3的户数及其所占百分比可得总户数，再求出5m3和8m3的户数即可补全图形；
(2)根据加权平均数的定义计算可得月平均用水量，再用总户数乘以样本中低于月平均用水量的家庭户数所占比例可得；
(3)列表得出所有等可能结果，从中找到满足条件的结果数，根据概率公式计算可得．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了统计图和用样本估计总体．

20.【答案】证明：(1)连接AC，
∵在菱形ABCD中，∠B=60°，
∴AB=BC=CD，∠C=180°−∠B=120°，
∴△ABC是等边三角形，
∵E是BC的中点，
∴AE⊥BC，
∵∠AEF=60°，
∴∠FEC=90°−∠AEF=30°，
∴∠CFE=180°−∠FEC−∠ECF=180°−30°−120°=30°，
∴∠FEC=∠CFE，
∴EC=CF，
∴BE=DF；

(2)∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ACB=60°，
∴∠B=∠ACF=60°，
∵AD//BC，
∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD，
∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD，
∴∠AEB=∠AFC，
在△ABE和△ACF中，
∠B=∠ACF∠AEB=∠AFCAB=AC
∴△ABE≌△ACF(AAS)，
∴AE=AF，
∵∠EAF=60°，
∴△AEF是等边三角形． 
【解析】(1)首先连接AC，由菱形ABCD中，∠B=60°，根据菱形的性质，易得△ABC是等边三角形，又由三线合一，可证得AE⊥BC，继而求得∠FEC=∠CFE，即可得EC=CF，继而证得BE=DF；
(2)首先由△ABC是等边三角形，即可得AB=AC，以求得∠ACF=∠B=60°，然后利用平行线与三角形外角的性质，可求得∠AEB=∠AFC，证得△AEB≌△AFC，即可得AE=AF，证得：△AEF是等边三角形．
此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．

21.【答案】解：(1)设甲类型的计算器单价为x元，则乙类型的计算器单价为(x+1)元，
由题意得，550x=600x+10，
解得x=110，
经检验x=110是原方程的解，且符合题意，
∴乙类型的计算器单价为x+10=110+10=120(元)，
答：甲类型的计算器单价为110元，乙类型的计算器单价为120元；
(2)设甲类型计算器购买了a件，费用为w元，则乙类型的计算器购买了(100−a)件，
∵购买的乙的数量不超过甲的3倍，
∴100−a≤3a，且100−a≥0，
解得25≤a≤100，
根据题意得w=110a+120(100−a)=110a+12000−120a=−10a+12000，
∵−10<0，
∴w随a的增大而减小，
∴a=100时，w最小值为−1000+12000=11000(元)，
答：最低费用为11000元． 
【解析】(1)设甲类型的计算器单价为x元，则乙类型的计算器单价为(x+10)元，根据用550元购买的甲种类型的数量与用600元购买的乙种类型的数量一样列方程，从而可解决问题；
(2)设甲类型计算器购买了a件，费用为w元，则乙类型的计算器购买了(100−a)件，列出w关于a的函数解析式，由一次函数的性质可得答案．
本题主要考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的运用，解题的关键是根据题意，列出方程和函数解析式．

22.【答案】解：如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，∠PAQ=45°，AB=60×1.5=90，∠PBN=60°，∠MBN=30°，
在Rt△PBQ中，设BQ=x，
∵∠PBQ=60°，
∴PQ= 3x，
在Rt△PAQ中，
∵∠PAQ=45°，
∴PQ=AQ，即 3x=90+x，解得x=45( 3+1)，
∴PQ=45(3+ 3)海里，
在Rt△MBN中，
∵∠MBN=30°，MN=PQ=45(3+ 3)海里，
∴BM=2MN=90(3+ 3)海里，
∴从B处到避风港M的时间=90(3+ 3)75=18+6 35(小时)．
答：继续航行18+6 35小时即可到达． 
【解析】如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，利用方向角的定义得到∠PAQ=45°，AB=60×1.5=90，∠PBN=60°，∠MBN=30°，在Rt△PBQ中，设BQ=x，利用含30度的直角三角形三边的关系得到PQ= 3x，再利用∠PAQ=45°得到 3x=90+x，解得x=45( 3+1)，则PQ=45(3+ 3)海里，然后在Rt△MBN中计算出BM=2MN=90(3+ 3)海里，最后利用速度公式计算出从B处到避风港M的时间即可．
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题：在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．合理构建直角三角形是解决此题的关键．

23.【答案】解：(1)联立y=12x+5①和y=−2x，解得：x=−2y=4，故点A(−2,4)，
将点A的坐标代入反比例函数表达式得：4=k−2，解得：k=−8，
故反比例函数表达式为：y=−8x②；
(2)一次函数y=12x+5①与反比例函数表达式y=−8x②
联立①②并解得：x=−2或−8，
当x=−8时，y=12x+5=1，故点B(−8,1)，
设y=12x+5交x轴于点C(−10,0)，过点A、B分别作x轴的垂线交于点M、N，

则S△AOB=S△AOC−S△BOC=12×OC⋅AM−12OC⋅BN=12×4×10−12×10×1=15． 
【解析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
(1)联立y=12x+5和y=−2x，解得：x=−2y=4，故点A(−2,4)，进而求解；
(2)先得到点B的坐标，设y=12x+5交x轴于点C(−10,0)，过点A、B分别作x轴的垂线交于点M、N，S△AOB=S△AOC−S△BOC=12×OC⋅AM−12OC⋅BN，即可求解．

24.【答案】(1)证明：连接OC，如图：

∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠CAO，
∵OA=OC，
∴∠CAO=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AD//OC，
∵AD⊥DC，
∴CO⊥DC，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
(2)解：∵E是BC的中点，且OA=OB，
∴OE是△ABC的中位线，AC=2OE，
∵OE=6cm，
∴AC=12cm，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°=∠ADC，
又∠DAC=∠CAB，
∴△DAC∽△CAB，
∴ADAC=ACAB，即AD12=1220，
∴AD=365cm． 
【解析】(1)连接OC，由AC平分∠BAD，OA=OC，可得∠DAC=∠OCA，AD//OC，根据AD⊥DC，即可证明CD是⊙O的切线；
(2)由OE是△ABC的中位线，得AC=12，再证明△DAC∽△CAB，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查圆的切线及圆中的计算，涉及圆周角定理、相似三角形的判定及性质等知识，解题的关键是熟练应用圆的相关性质，转化圆中的角和线段．

25.【答案】解：(1)直线y=12x+c与x轴交于点B(4,0)，
∴0=12×4+c，
∴c=−2，
∴点C(0,−2)，
∵抛物线y=12x2+bx+c经过点B，C，
∴c=−20=8+4b+c，
∴b=−32c=−2，
∴抛物线的解析式为：y=12x2−32x−2；

(2)如图1，过点P作PE⊥AB交BC于点E，

∵抛物线y=12x2−32x−2与x轴的交点为A、B，
∴0=12x2−32x−2，
∴x1=4，x2=−1，
∴点A(−1,0)，
设点P(a,12a2−32a−2)，则点E(a,12a−2)，
∴PE=12a−2−(12a2−32a−2)=−12a2+2a，
∵四边形ACPB面积=12(4+1)×2+12×(−12a2+2a)×4=−(a−2)2+9，
∴当a=2时，四边形ACPB面积有最大值，
此时点P(2,−3)；

(3)如图2，当点M在BC上方时，设CM交AB于点H，

∵∠MCB=∠ABC，
∴CH=BH，
∵CH2=OC2+OH2，
∴BH2=4+(4−BH)2，
∴BH=52，
∴OH=32，
∴点H(32,0)，
∵点C(0,−2)，点H(32,0)，
∴直线CH解析式为：y=43x−2，
联立方程组可得y=43x−2y=12x2−32x−2，
解得：x1=0y1=−2或x2=173y2=509，
∴点M(173,509)，
当点M′在BC下方时，
∵∠M′CB=∠ABC，
∴M′C//AB，
∴点M′的纵坐标为−2，
∴点M′的坐标为(3,−2)；
综上所述：点M(173,509)或(3,−2)． 
【解析】(1)先求出点C(0,−2)，利用待定系数法可求解；
(2)过点P作PE⊥AB交BC于点E，先求出点A坐标，设点P(a,12a2−32a−2)，则点E(a,12a−2)，利用面积和差关系可求解；
(3)分两种情况讨论，先求出直线BM或BM′的解析式，联立方程组可求解．
本题考查的二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等相关知识，利用勾股定理求出点H的坐标是本题的关键．