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专题06 平面向量及其应用（公式、定理、结论图表）-备战2024年新高考数学必背知识手册
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这是一份专题06 平面向量及其应用（公式、定理、结论图表）-备战2024年新高考数学必背知识手册，共20页。试卷主要包含了向量的有关概念，向量的线性运算，平面向量基本定理，平面向量的坐标运算，平面向量共线的坐标表示，向量的夹角，平面向量的数量积，基底需要的关注三点等内容，欢迎下载使用。
平面向量及其应用（公式、定理、结论图表）
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；
当λ<0时，λa与 a的方向相反；
当λ＝0时，λ a＝0
λ(μ a)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μ_a；
λ(a＋b)＝λa＋λb
3.两个向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa．
4．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
5．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝．
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，
||＝．
6．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．
7．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．
(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.
(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直．
8．平面向量的数量积
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则|a||b|·cos_θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cos_θ叫做向量a在b方向上的投影，
|b|cos_θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘积
9.向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
10．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝
|a|＝
夹角
cos θ＝
cos θ＝
a⊥b的充
要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
<常用结论>
1．五个特殊向量
(1)要注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0.
(2)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同．
(3)任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量．
(4)与向量a平行的单位向量有两个，即向量和－.
2．五个常用结论
(1)一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即＋＋＋…＋＝.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．
(2)若P为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则＝(＋)．
(3)若A，B，C是平面内不共线的三点，则＋＋＝0⇔P为△ABC的重心．
(4)在△ABC中，AD，BE，CF分别为三角形三边上的中线，它们交于点G(如图所示)，易知G为△ABC的重心，则有如下结论：
①＋＋＝0；
②＝(＋)；
③＝(＋)，＝(＋)．
(5)若＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
3．基底需要的关注三点
(1)基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．
(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一．
(3)如果对于一组基底e1，e2，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则可以得到
4．共线向量定理应关注的两点
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0.
(2)判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后按两向量共线进行判定．
5．两个结论
(1)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为.
(2)已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为.
6．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；
两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线．
7．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
<解题方法与技巧>
一、辨析向量有关概念的五个关键点
(1)向量定义的关键是方向和长度．
(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．
(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．
(4)单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度．
(5)零向量的关键是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线．
典例1：设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D.向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.
典例2：设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是( )
A．a＝－b B．a∥b
C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
解析：选C.因为向量的方向与向量a相同，向量的方向与向量b相同，且＝，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D.
当a＝2b时，＝＝，故“a＝2b”是“＝”成立的充分条件．
典例3：给出下列命题：
①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
③若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则ABCD为平行四边形；
④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；
⑤已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中真命题的序号是________．
解析：①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．
②是错误的，|a|＝|b|，但a，b方向不确定，所以a，b的方向不一定相等或相反．
③是正确的，因为＝，所以||＝||且∥；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形．
④是错误的，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．
⑤是错误的，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．
答案：③
二、平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略
(1)向量加法或减法的几何意义：向量加法和减法均适合三角形法则．
(2)求已知向量的和：一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．
典例4：（1）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝( )
A.－ B．－
C.＋ D．＋
(2)在四边形ABCD中，＝，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，则( )
A.＝＋ B．＝＋
C.＝＋ D．＝＋
【解析】 (1)
法一：如图所示，＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－，故选A.
法二：＝－＝－＝－×(＋)＝－，故选A.
(2)
在四边形ABCD中，如图所示，因为＝，所以四边形ABCD为平行四边形．由已知得＝，由题意知△DEF∽△BEA，则＝，所以＝＝(－)＝×＝，所以＝＋＝＋＝＋，故选B.
【答案】 (1)A (2)B
典例5：如图，在直角梯形ABCD中，＝，＝2，且＝r＋s，则2r＋3s＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 法一：由题图可得＝＋＝＋＝＋(＋＋)＝＋(＋)＝＋(＋)＝＋.
因为＝r＋s，所以r＝，s＝，则2r＋3s＝1＋2＝3.
法二：因为＝2，所以－＝2(－)，整理，得＝＋＝＋(＋)＝＋，以下同法一．
法三：如图，延长AD，BC交于点P，则由＝得DC∥AB，且AB＝4DC.
又＝2，所以E为PB的中点，且＝.
于是，＝(＋)＝＝＋.以下同法一．
法四：如图，建立平面直角坐标系xAy，依题意可设点B(4m，0)，D(3m，3h)，E(4m，2h)，其中m＞0，h＞0.
由＝r＋s，得(4m，2h)＝r(4m，0)＋s(3m，3h)，
所以解得
所以2r＋3s＝1＋2＝3.
【答案】 C
三、共线向量定理的3个应用
(1)证明向量共线：对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb(b≠0)，则a与b共线．
(2)证明三点共线：若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点共线．
(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．
[注意] 证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．
典例6：设两个非零向量a与b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
【解】 (1)证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，所以＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5，
所以，共线，又它们有公共点B，
所以A，B，D三点共线．
(2)因为ka＋b与a＋kb共线，
所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即(k－λ)a＝(λk－1)b.
又a，b是两个不共线的非零向量，
所以k－λ＝λk－1＝0.所以k2－1＝0.
所以k＝±1.
四、平面向量基本定理应用的实质和一般思路
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
[提醒] 在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．
典例7:如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，＝3，F为AE的中点，则＝( )
A.－ B．－
C．－＋ D．－＋
(2)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________．
【解析】 (1)
法一：如图，取AB的中点G，连接DG，CG，则易知四边形DCBG为平行四边形，所以＝＝－＝－，所以＝＋＝＋＝＋＝＋，于是＝－＝－＝－＝－＋，故选C.
法二：＝＋＝＋
＝－＋
＝－＋
＝－＋＋＋(＋＋)
＝－＋.
(2)因为＝＋＝＋＝＋(＋)＝2＋＋＝2－－，所以＝－，所以λ＝－，μ＝，所以λ＋μ＝.
【答案】 (1)C (2)
五、平面向量的坐标运算
(1)向量坐标运算的策略
①向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行；
②若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标；
③解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．
(2)向量问题坐标化
当题目条件中所给的几何图形方便建立平面直角坐标系(如矩形、等腰三角形等)时，可建立平面直角坐标系，将向量坐标化，将向量问题转化为代数问题，更便于计算求解．
典例8：(1)已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝( )
A．(－23，－12) B．(23，12)
C．(7，0) D．(－7，0)
(2)平面直角坐标系xOy中，已知A(1，0)，B(0，1)，C(－1，c)(c>0)，且||＝2，若＝λ＋μ，则实数λ＋μ的值为________．
【解析】 (1)3a－2b＋c＝(23＋x，12＋y)＝0，故x＝－23，y＝－12，故选A.
(2)因为||＝2，所以||2＝1＋c2＝4，因为c>0，所以c＝.因为＝λ＋μ，所以(－1，)＝λ(1，0)＋μ(0，1)，所以λ＝－1，μ＝，
所以λ＋μ＝－1.
【答案】 (1)A (2)－1
典例9： (1)向量
a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________．
(2)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为________．
【解析】 (1)以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，
则A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)，所以a＝＝(－1，1)，b＝＝(6，2)，c＝＝(－1，－3)．因为c＝λa＋μb，所以(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，即解得λ＝－2，μ＝－，所以＝4.
(2)
以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1，0)，C(1，2)，D(0，2)，可得直线BD的方程为2x＋y－2＝0，点C到直线BD的距离为＝，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝，因为P在圆C上，所以P(1＋cos θ，2＋sin θ)，＝(1，0)，＝(0，2)，＝λ＋μ＝(λ，2μ)，所以λ＋μ＝2＋cos θ＋sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3，tan φ＝2.
【答案】 (1)4 (2)3
六、平面向量共线的坐标表示
(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②已知b≠0，则a∥b的充要条件是a＝λb(λ∈R)．
(2)利用向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均为非零实数时，也可以利用坐标对应成比例来求解．
典例10：(1)已知平面向量a，b，c，a＝(－1，1)，b＝(2，3)，c＝(－2，k)，若(a＋b)∥c，则实数k＝________．
(2)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为________．
【解析】 (1)由题意，得a＋b＝(1，4)，由(a＋b)∥c，得1×k＝4×(－2)，解得k＝－8.
(2)因为在梯形ABCD中，AB∥CD，DC＝2AB，所以＝2.设点D的坐标为(x，y)，则＝(4，2)－(x，y)＝(4－x，2－y)，＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，所以(4－x，2－y)＝2(1，－1)，即(4－x，2－y)＝(2，－2)，所以解得故点D的坐标为(2，4)．
【答案】 (1)－8 (2)(2，4)
典例11：已知向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k的值是( )
A．－ B． C. D．
【解析】 ＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(－2k，－2)．因为A，B，C三点共线，所以，共线，所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－.
【答案】 A
七、平面向量数量积的三种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用数量积的几何意义求解．
[提醒] 解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算．但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补．
典例12：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，则·＝________．
【解析】 法一：因为·＝2·，所以·－·＝·，所以·＝·.
因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，所以2||＝||·||cos，化简得||＝2.故·＝·(＋)＝||2＋·＝(2)2＋2×2cos＝12.
法二：如图，建立平面直角坐标系xAy.
依题意，可设点D(m，m)，C(m＋2，m)，B(n，0)，其中m＞0，n＞0，则由·＝2·，得(n，0)·(m＋2，m)＝2(n，0)·(m，m)，所以n(m＋2)＝2nm，化简得m＝2.故·＝(m，m)·(m＋2，m)＝2m2＋2m＝12.
【答案】 12
八、求向量的模的方法
(1)公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量模的运算转化为数量积的运算．
(2)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．
典例13：(1)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC的中点，则||等于( )
A．2 B．4
C．6 D．8
(2)已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为__________．
【解析】 (1)因为＝(＋)＝(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，
所以||2＝4(a－b)2＝4(a2－2b·a＋b2)＝4×＝4，则||＝2.
(2)
建立平面直角坐标系如图所示 ，则A(2，0)，设P(0，y)，C(0，b)，则B(1，b)，则＋3＝(2，－y)＋3(1，b－y)＝(5，3b－4y)．
所以|＋3|
＝(0≤y≤b)．
当y＝b时，|＋3|min＝5.
【答案】 (1)A (2)5
九、平面向量的夹角
(1)研究向量的夹角应注意“共起点”；两个非零共线向量的夹角可能是0°或180°；求角时，注意向量夹角的取值范围是[0°，180°]；若题目给出向量的坐标表示，可直接利用公式cos θ＝求解．
(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角．
典例14：(1)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝________．
(2)若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________．
【解析】 (1)设a＝(1，0)，b＝(0，1)，则c＝(2，－)，所以cos〈a，c〉＝＝.
(2)因为2a－3b与c的夹角为钝角，
所以(2a－3b)·c<0，
即(2k－3，－6)·(2，1)<0，
所以4k－6－6<0，所以k<3.
【答案】 (1) (2)(－∞，3)
十、两向量垂直问题
(1)当向量a与b是坐标形式时，若证明a⊥b，则只需证明a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(2)当向量a，b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线向量作为基底来表示，且不共线的向量要知道其模与夹角，进行运算证明a·b＝0.
(3)数量积的运算a·b＝0⇔a⊥b是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b.
典例15：(1)已知a＝(1，1)，b＝(2，m)，a⊥(a－b)，则|b|＝( )
A．0 B．1
C. D．2
(2)已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．
【解析】 (1)由题意知a－b＝(－1，1－m)．因为a⊥(a－b)，所以a·(a－b)＝－1＋1－m＝0，所以m＝0，所以b＝(2，0)，所以|b|＝2.故选D.
(2)因为⊥，所以·＝0.
又＝λ＋，＝－，
所以(λ＋)·(－)＝0，
即(λ－1)·－λ2＋2＝0，
所以(λ－1)||||cos 120°－9λ＋4＝0.
所以(λ－1)×3×2×(－)－9λ＋4＝0.解得λ＝.
【答案】 (1)D (2)
十一、平面向量与三角函数的综合问题
(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．
典例16：已知两个不共线的向量a，b满足a＝(1，)，b＝(cos θ，sin θ)，θ∈R.
(1)若2a－b与a－7b垂直，求|a＋b|的值；
(2)当θ∈时，若存在两个不同的θ，使得|a＋b|＝|ma|成立，求正数m的取值范围．
【解】 (1)由条件知|a|＝2，|b|＝1，又2a－b与a－7b垂直，所以(2a－b)·(a－7b)＝8－15a·b＋7＝0，所以a·b＝1.
所以|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝4＋2＋1＝7，故|a＋b|＝.
(2)由|a＋b|＝|ma|，得|a＋b|2＝|ma|2.
即|a|2＋2 a·b＋3|b|2＝m2|a|2，
即4＋2a·b＋3＝4m2，7＋2(cos θ＋sin θ)＝4m2.
所以4sin＝4m2－7.
由θ∈，得θ＋∈，
因为存在两个不同的θ满足题意，所以数形结合知4sin∈[6，4)，即6≤4m2－7＜4，即≤m2＜，又m＞0，所以≤m＜.
即实数m的取值范围为.
十二、向量与平面几何综合问题的解法
(1)坐标法
把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．
(2)基向量法
适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．
典例17：(1)已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．内心 B．外心
C．重心 D．垂心
(2)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB＝________．
【解析】 (1)由原等式，得－＝λ(＋)，即＝λ(＋)，根据平行四边形法则，知＋＝2(D为BC的中点)，所以点P的轨迹必过△ABC的重心．故选C.
(2)在平行四边形ABCD中，＝＋＝＋＝－，又因为＝＋，所以·＝(＋)·(－)＝2－·＋·－2＝||2＋||||cos 60°－||2＝1＋×1×||－||2＝1.所以||＝0，又||≠0，所以||＝.
【答案】 (1)C (2)
十三、平面向量与函数、不等式的综合应用
通过向量的数量积运算把向量运算转化为实数运算，再结合函数、不等式的知识解决，同时也要注意平面向量的坐标运算在这方面的应用．
典例18：(1)设θ是两个非零向量a，b的夹角，若对任意实数t，|a＋tb|的最小值为1，则下列判断正确的是( )
A．若|a|确定，则θ唯一确定
B．若|b|确定，则θ唯一确定
C．若θ确定，则|b|唯一确定
D．若θ确定，则|a|唯一确定
(2)已知向量a，b为单位向量，且a·b＝－，向量c与a＋b共线，则|a＋c|的最小值为________．
【解析】 (1)设g(t)＝(a＋tb)2＝b2t2＋2ta·b＋a2，当且仅当t＝－＝－时，g(t)取得最小值1，所以b2×－2a·b×＋a2＝1，化简得a2sin 2θ＝1，所以当θ确定时，|a|唯一确定．
(2)法一：因为向量c与a＋b共线，所以可设c＝t(a＋b)(t∈R)，所以a＋c＝(t＋1)a＋tb，所以(a＋c)2＝(t＋1)2a2＋2t(t＋1)a·b＋t2b2，因为向量a，b为单位向量，且a·b＝－，所以(a＋c)2＝(t＋1)2－t(t＋1)＋t2＝t2＋t＋1≥，所以|a＋c|≥，所以|a＋c|的最小值为.
法二：因为向量a，b为单位向量，且a·b＝－，所以向量a，b的夹角为120°，在平面直角坐标系中，不妨设向量a＝(1，0)，b＝，则a＋b＝，因为向量c与a＋b共线，所以可设c＝t(t∈R)，所以a＋c＝，所以|a＋c|＝＝≥，所以|a＋c|的最小值为.
【答案】 (1)D (2)
十四、平面向量与解三角形的综合应用
(1)解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决．
(2)还应熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、几何意义、向量模、夹角的坐标运算公式以及三角恒等变换、正、余弦定理等知识．
典例19：已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，m·n＝sin 2C.
(1)求角C的大小；
(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且·(－)＝18，求c.
【解】 (1)m·n＝sin A·cos B＋sin B·cos A＝sin(A＋B)，
对于△ABC，A＋B＝π－C，0
所以m·n＝sin C，又m·n＝sin 2C，
所以sin 2C＝sin C，cos C＝，又因为C∈(0，π)，
所以C＝.
(2)由sin A，sin C，sin B成等差数列，可得2sin C＝sin A＋sin B，由正弦定理得2c＝a＋b.
因为·(－)＝18，所以·＝18，
即abcos C＝18，ab＝36.
由余弦定理得
c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab，
所以c2＝4c2－3×36，c2＝36，所以c＝6.
十五、向量在解析几何中的2个作用
载体
作用
向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题
工具
作用
利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)，a∥b⇔a＝λb(b≠0)可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法
典例20：(1)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．
(2)已知F为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，定点A为双曲线虚轴的一个端点，过F，A两点的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B，若＝3，则此双曲线的离心率为________．
【解析】 (1)由椭圆＋＝1可得F(－1，0)，点O(0，0)，设P(x，y)(－2≤x≤2)，
则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3
＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，－2≤x≤2，
当且仅当x＝2时，·取得最大值6.
(2)由F(－c，0)，A(0，b)，得直线AF的方程为y＝x＋b.
根据题意知，直线AF与渐近线y＝x相交，
联立得消去x得，yB＝.
由＝3，得yB＝4b，所以＝4b，化简得3c＝4a，
所以离心率e＝.
【答案】 (1)6 (2)
平面向量及其应用（公式、定理、结论图表）
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；
当λ<0时，λa与 a的方向相反；
当λ＝0时，λ a＝0
λ(μ a)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μ_a；
λ(a＋b)＝λa＋λb
3.两个向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa．
4．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
5．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝．
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，
||＝．
6．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．
7．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．
(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.
(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直．
8．平面向量的数量积
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则|a||b|·cos_θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cos_θ叫做向量a在b方向上的投影，
|b|cos_θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘积
9.向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
10．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝
|a|＝
夹角
cos θ＝
cos θ＝
a⊥b的充
要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
<常用结论>
1．五个特殊向量
(1)要注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0.
(2)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同．
(3)任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量．
(4)与向量a平行的单位向量有两个，即向量和－.
2．五个常用结论
(1)一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即＋＋＋…＋＝.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．
(2)若P为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则＝(＋)．
(3)若A，B，C是平面内不共线的三点，则＋＋＝0⇔P为△ABC的重心．
(4)在△ABC中，AD，BE，CF分别为三角形三边上的中线，它们交于点G(如图所示)，易知G为△ABC的重心，则有如下结论：
①＋＋＝0；
②＝(＋)；
③＝(＋)，＝(＋)．
(5)若＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
3．基底需要的关注三点
(1)基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．
(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一．
(3)如果对于一组基底e1，e2，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则可以得到
4．共线向量定理应关注的两点
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0.
(2)判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后按两向量共线进行判定．
5．两个结论
(1)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为.
(2)已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为.
6．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；
两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线．
7．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
<解题方法与技巧>
一、辨析向量有关概念的五个关键点
(1)向量定义的关键是方向和长度．
(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．
(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．
(4)单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度．
(5)零向量的关键是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线．
典例1：设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D.向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.
典例2：设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是( )
A．a＝－b B．a∥b
C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
解析：选C.因为向量的方向与向量a相同，向量的方向与向量b相同，且＝，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D.
当a＝2b时，＝＝，故“a＝2b”是“＝”成立的充分条件．
典例3：给出下列命题：
①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
③若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则ABCD为平行四边形；
④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；
⑤已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中真命题的序号是________．
解析：①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．
②是错误的，|a|＝|b|，但a，b方向不确定，所以a，b的方向不一定相等或相反．
③是正确的，因为＝，所以||＝||且∥；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形．
④是错误的，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．
⑤是错误的，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．
答案：③
二、平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略
(1)向量加法或减法的几何意义：向量加法和减法均适合三角形法则．
(2)求已知向量的和：一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．
典例4：（1）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝( )
A.－ B．－
C.＋ D．＋
(2)在四边形ABCD中，＝，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，则( )
A.＝＋ B．＝＋
C.＝＋ D．＝＋
【解析】 (1)
法一：如图所示，＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－，故选A.
法二：＝－＝－＝－×(＋)＝－，故选A.
(2)
在四边形ABCD中，如图所示，因为＝，所以四边形ABCD为平行四边形．由已知得＝，由题意知△DEF∽△BEA，则＝，所以＝＝(－)＝×＝，所以＝＋＝＋＝＋，故选B.
【答案】 (1)A (2)B
典例5：如图，在直角梯形ABCD中，＝，＝2，且＝r＋s，则2r＋3s＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 法一：由题图可得＝＋＝＋＝＋(＋＋)＝＋(＋)＝＋(＋)＝＋.
因为＝r＋s，所以r＝，s＝，则2r＋3s＝1＋2＝3.
法二：因为＝2，所以－＝2(－)，整理，得＝＋＝＋(＋)＝＋，以下同法一．
法三：如图，延长AD，BC交于点P，则由＝得DC∥AB，且AB＝4DC.
又＝2，所以E为PB的中点，且＝.
于是，＝(＋)＝＝＋.以下同法一．
法四：如图，建立平面直角坐标系xAy，依题意可设点B(4m，0)，D(3m，3h)，E(4m，2h)，其中m＞0，h＞0.
由＝r＋s，得(4m，2h)＝r(4m，0)＋s(3m，3h)，
所以解得
所以2r＋3s＝1＋2＝3.
【答案】 C
三、共线向量定理的3个应用
(1)证明向量共线：对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb(b≠0)，则a与b共线．
(2)证明三点共线：若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点共线．
(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．
[注意] 证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．
典例6：设两个非零向量a与b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
【解】 (1)证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，所以＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5，
所以，共线，又它们有公共点B，
所以A，B，D三点共线．
(2)因为ka＋b与a＋kb共线，
所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即(k－λ)a＝(λk－1)b.
又a，b是两个不共线的非零向量，
所以k－λ＝λk－1＝0.所以k2－1＝0.
所以k＝±1.
四、平面向量基本定理应用的实质和一般思路
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
[提醒] 在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．
典例7:如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，＝3，F为AE的中点，则＝( )
A.－ B．－
C．－＋ D．－＋
(2)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________．
【解析】 (1)
法一：如图，取AB的中点G，连接DG，CG，则易知四边形DCBG为平行四边形，所以＝＝－＝－，所以＝＋＝＋＝＋＝＋，于是＝－＝－＝－＝－＋，故选C.
法二：＝＋＝＋
＝－＋
＝－＋
＝－＋＋＋(＋＋)
＝－＋.
(2)因为＝＋＝＋＝＋(＋)＝2＋＋＝2－－，所以＝－，所以λ＝－，μ＝，所以λ＋μ＝.
【答案】 (1)C (2)
五、平面向量的坐标运算
(1)向量坐标运算的策略
①向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行；
②若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标；
③解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．
(2)向量问题坐标化
当题目条件中所给的几何图形方便建立平面直角坐标系(如矩形、等腰三角形等)时，可建立平面直角坐标系，将向量坐标化，将向量问题转化为代数问题，更便于计算求解．
典例8：(1)已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝( )
A．(－23，－12) B．(23，12)
C．(7，0) D．(－7，0)
(2)平面直角坐标系xOy中，已知A(1，0)，B(0，1)，C(－1，c)(c>0)，且||＝2，若＝λ＋μ，则实数λ＋μ的值为________．
【解析】 (1)3a－2b＋c＝(23＋x，12＋y)＝0，故x＝－23，y＝－12，故选A.
(2)因为||＝2，所以||2＝1＋c2＝4，因为c>0，所以c＝.因为＝λ＋μ，所以(－1，)＝λ(1，0)＋μ(0，1)，所以λ＝－1，μ＝，
所以λ＋μ＝－1.
【答案】 (1)A (2)－1
典例9： (1)向量
a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________．
(2)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为________．
【解析】 (1)以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，
则A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)，所以a＝＝(－1，1)，b＝＝(6，2)，c＝＝(－1，－3)．因为c＝λa＋μb，所以(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，即解得λ＝－2，μ＝－，所以＝4.
(2)
以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1，0)，C(1，2)，D(0，2)，可得直线BD的方程为2x＋y－2＝0，点C到直线BD的距离为＝，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝，因为P在圆C上，所以P(1＋cos θ，2＋sin θ)，＝(1，0)，＝(0，2)，＝λ＋μ＝(λ，2μ)，所以λ＋μ＝2＋cos θ＋sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3，tan φ＝2.
【答案】 (1)4 (2)3
六、平面向量共线的坐标表示
(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②已知b≠0，则a∥b的充要条件是a＝λb(λ∈R)．
(2)利用向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均为非零实数时，也可以利用坐标对应成比例来求解．
典例10：(1)已知平面向量a，b，c，a＝(－1，1)，b＝(2，3)，c＝(－2，k)，若(a＋b)∥c，则实数k＝________．
(2)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为________．
【解析】 (1)由题意，得a＋b＝(1，4)，由(a＋b)∥c，得1×k＝4×(－2)，解得k＝－8.
(2)因为在梯形ABCD中，AB∥CD，DC＝2AB，所以＝2.设点D的坐标为(x，y)，则＝(4，2)－(x，y)＝(4－x，2－y)，＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，所以(4－x，2－y)＝2(1，－1)，即(4－x，2－y)＝(2，－2)，所以解得故点D的坐标为(2，4)．
【答案】 (1)－8 (2)(2，4)
典例11：已知向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k的值是( )
A．－ B． C. D．
【解析】 ＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(－2k，－2)．因为A，B，C三点共线，所以，共线，所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－.
【答案】 A
七、平面向量数量积的三种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用数量积的几何意义求解．
[提醒] 解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算．但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补．
典例12：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，则·＝________．
【解析】 法一：因为·＝2·，所以·－·＝·，所以·＝·.
因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，所以2||＝||·||cos，化简得||＝2.故·＝·(＋)＝||2＋·＝(2)2＋2×2cos＝12.
法二：如图，建立平面直角坐标系xAy.
依题意，可设点D(m，m)，C(m＋2，m)，B(n，0)，其中m＞0，n＞0，则由·＝2·，得(n，0)·(m＋2，m)＝2(n，0)·(m，m)，所以n(m＋2)＝2nm，化简得m＝2.故·＝(m，m)·(m＋2，m)＝2m2＋2m＝12.
【答案】 12
八、求向量的模的方法
(1)公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量模的运算转化为数量积的运算．
(2)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．
典例13：(1)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC的中点，则||等于( )
A．2 B．4
C．6 D．8
(2)已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为__________．
【解析】 (1)因为＝(＋)＝(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，
所以||2＝4(a－b)2＝4(a2－2b·a＋b2)＝4×＝4，则||＝2.
(2)
建立平面直角坐标系如图所示 ，则A(2，0)，设P(0，y)，C(0，b)，则B(1，b)，则＋3＝(2，－y)＋3(1，b－y)＝(5，3b－4y)．
所以|＋3|
＝(0≤y≤b)．
当y＝b时，|＋3|min＝5.
【答案】 (1)A (2)5
九、平面向量的夹角
(1)研究向量的夹角应注意“共起点”；两个非零共线向量的夹角可能是0°或180°；求角时，注意向量夹角的取值范围是[0°，180°]；若题目给出向量的坐标表示，可直接利用公式cos θ＝求解．
(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角．
典例14：(1)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝________．
(2)若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________．
【解析】 (1)设a＝(1，0)，b＝(0，1)，则c＝(2，－)，所以cos〈a，c〉＝＝.
(2)因为2a－3b与c的夹角为钝角，
所以(2a－3b)·c<0，
即(2k－3，－6)·(2，1)<0，
所以4k－6－6<0，所以k<3.
【答案】 (1) (2)(－∞，3)
十、两向量垂直问题
(1)当向量a与b是坐标形式时，若证明a⊥b，则只需证明a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(2)当向量a，b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线向量作为基底来表示，且不共线的向量要知道其模与夹角，进行运算证明a·b＝0.
(3)数量积的运算a·b＝0⇔a⊥b是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b.
典例15：(1)已知a＝(1，1)，b＝(2，m)，a⊥(a－b)，则|b|＝( )
A．0 B．1
C. D．2
(2)已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．
【解析】 (1)由题意知a－b＝(－1，1－m)．因为a⊥(a－b)，所以a·(a－b)＝－1＋1－m＝0，所以m＝0，所以b＝(2，0)，所以|b|＝2.故选D.
(2)因为⊥，所以·＝0.
又＝λ＋，＝－，
所以(λ＋)·(－)＝0，
即(λ－1)·－λ2＋2＝0，
所以(λ－1)||||cos 120°－9λ＋4＝0.
所以(λ－1)×3×2×(－)－9λ＋4＝0.解得λ＝.
【答案】 (1)D (2)
十一、平面向量与三角函数的综合问题
(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．
典例16：已知两个不共线的向量a，b满足a＝(1，)，b＝(cos θ，sin θ)，θ∈R.
(1)若2a－b与a－7b垂直，求|a＋b|的值；
(2)当θ∈时，若存在两个不同的θ，使得|a＋b|＝|ma|成立，求正数m的取值范围．
【解】 (1)由条件知|a|＝2，|b|＝1，又2a－b与a－7b垂直，所以(2a－b)·(a－7b)＝8－15a·b＋7＝0，所以a·b＝1.
所以|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝4＋2＋1＝7，故|a＋b|＝.
(2)由|a＋b|＝|ma|，得|a＋b|2＝|ma|2.
即|a|2＋2 a·b＋3|b|2＝m2|a|2，
即4＋2a·b＋3＝4m2，7＋2(cos θ＋sin θ)＝4m2.
所以4sin＝4m2－7.
由θ∈，得θ＋∈，
因为存在两个不同的θ满足题意，所以数形结合知4sin∈[6，4)，即6≤4m2－7＜4，即≤m2＜，又m＞0，所以≤m＜.
即实数m的取值范围为.
十二、向量与平面几何综合问题的解法
(1)坐标法
把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．
(2)基向量法
适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．
典例17：(1)已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．内心 B．外心
C．重心 D．垂心
(2)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB＝________．
【解析】 (1)由原等式，得－＝λ(＋)，即＝λ(＋)，根据平行四边形法则，知＋＝2(D为BC的中点)，所以点P的轨迹必过△ABC的重心．故选C.
(2)在平行四边形ABCD中，＝＋＝＋＝－，又因为＝＋，所以·＝(＋)·(－)＝2－·＋·－2＝||2＋||||cos 60°－||2＝1＋×1×||－||2＝1.所以||＝0，又||≠0，所以||＝.
【答案】 (1)C (2)
十三、平面向量与函数、不等式的综合应用
通过向量的数量积运算把向量运算转化为实数运算，再结合函数、不等式的知识解决，同时也要注意平面向量的坐标运算在这方面的应用．
典例18：(1)设θ是两个非零向量a，b的夹角，若对任意实数t，|a＋tb|的最小值为1，则下列判断正确的是( )
A．若|a|确定，则θ唯一确定
B．若|b|确定，则θ唯一确定
C．若θ确定，则|b|唯一确定
D．若θ确定，则|a|唯一确定
(2)已知向量a，b为单位向量，且a·b＝－，向量c与a＋b共线，则|a＋c|的最小值为________．
【解析】 (1)设g(t)＝(a＋tb)2＝b2t2＋2ta·b＋a2，当且仅当t＝－＝－时，g(t)取得最小值1，所以b2×－2a·b×＋a2＝1，化简得a2sin 2θ＝1，所以当θ确定时，|a|唯一确定．
(2)法一：因为向量c与a＋b共线，所以可设c＝t(a＋b)(t∈R)，所以a＋c＝(t＋1)a＋tb，所以(a＋c)2＝(t＋1)2a2＋2t(t＋1)a·b＋t2b2，因为向量a，b为单位向量，且a·b＝－，所以(a＋c)2＝(t＋1)2－t(t＋1)＋t2＝t2＋t＋1≥，所以|a＋c|≥，所以|a＋c|的最小值为.
法二：因为向量a，b为单位向量，且a·b＝－，所以向量a，b的夹角为120°，在平面直角坐标系中，不妨设向量a＝(1，0)，b＝，则a＋b＝，因为向量c与a＋b共线，所以可设c＝t(t∈R)，所以a＋c＝，所以|a＋c|＝＝≥，所以|a＋c|的最小值为.
【答案】 (1)D (2)
十四、平面向量与解三角形的综合应用
(1)解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决．
(2)还应熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、几何意义、向量模、夹角的坐标运算公式以及三角恒等变换、正、余弦定理等知识．
典例19：已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，m·n＝sin 2C.
(1)求角C的大小；
(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且·(－)＝18，求c.
【解】 (1)m·n＝sin A·cos B＋sin B·cos A＝sin(A＋B)，
对于△ABC，A＋B＝π－C，0
所以m·n＝sin C，又m·n＝sin 2C，
所以sin 2C＝sin C，cos C＝，又因为C∈(0，π)，
所以C＝.
(2)由sin A，sin C，sin B成等差数列，可得2sin C＝sin A＋sin B，由正弦定理得2c＝a＋b.
因为·(－)＝18，所以·＝18，
即abcos C＝18，ab＝36.
由余弦定理得
c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab，
所以c2＝4c2－3×36，c2＝36，所以c＝6.
十五、向量在解析几何中的2个作用
载体
作用
向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题
工具
作用
利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)，a∥b⇔a＝λb(b≠0)可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法
典例20：(1)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．
(2)已知F为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，定点A为双曲线虚轴的一个端点，过F，A两点的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B，若＝3，则此双曲线的离心率为________．
【解析】 (1)由椭圆＋＝1可得F(－1，0)，点O(0，0)，设P(x，y)(－2≤x≤2)，
则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3
＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，－2≤x≤2，
当且仅当x＝2时，·取得最大值6.
(2)由F(－c，0)，A(0，b)，得直线AF的方程为y＝x＋b.
根据题意知，直线AF与渐近线y＝x相交，
联立得消去x得，yB＝.
由＝3，得yB＝4b，所以＝4b，化简得3c＝4a，
所以离心率e＝.
【答案】 (1)6 (2)
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