专题12 直线和圆的方程（公式、定理、结论图表）-备战2024年新高考数学必背知识手册

这是一份专题12 直线和圆的方程（公式、定理、结论图表）-备战2024年新高考数学必背知识手册，共13页。试卷主要包含了倾斜角的定义，倾斜角与斜率的关系，我们把①称为直线的参数方程等内容，欢迎下载使用。

 直线和圆的方程（公式、定理、结论图表）



一．直线的倾斜角
1.倾斜角的定义
（1）当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
（2）当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
2.直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
二．直线的斜率
1.斜率的定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即.
2.斜率的计算公式：

定义
斜率的定义式

两点式
过两点，的直线的斜率公式为
【注意】任何直线都有倾斜角，但当倾斜角等于时，直线的斜率不存在.
3.倾斜角与斜率的关系
图示




倾斜角




斜率


不存在

三．直线的平行于垂直

定义
平行
当存在时，两直线平行，则
当不存在时，则两直线的倾斜角都为
垂直
当存在时，两直线垂直，则
当不存在时，则一条直线倾斜角为，另一条直线倾斜角为
【注意】在计算两直线平行的题时，注意考虑重合的情况.
四．直线的方程

直线方程
适用范围
点斜式

不能表示与轴垂直的直线
斜截式

不能表示与轴垂直的直线
两点式

不能表示与轴、轴垂直的直线
截距式

不能表示与轴垂直、轴垂直以及过原点的直线
一般式

无局限性
五．特殊的直线方程
已知点，则
类型
直线方程
与轴垂直的直线

与轴垂直的直线

六．方向向量与直线的参数方程
除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的.
如图1，设直线l经过点，是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量与共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使，即，所以.
在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数.

由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程.
七．直线的平行与垂直

斜截式
一般式
直线方程



平行

（注意可能重合）
垂直


八．利用平行与垂直解决问题

斜截式
一般式
直线方程


平行
若直线，则可设的方程为：
若直线，则可设的方程为：
垂直
若直线，则可设的方程为：
若直线，则可设的方程为：
九．两条直线的交点
对于直线，，求交点即解方程组，该方程组的解与两直线的位置关系如下：
方程组解的个数
位置关系
一个解
相交
无解
平行
无数解
重合
十．三个距离公式

条件
距离公式
两点之间的距离公式
已知两点，

点到直线的距离公式
已知一点，以及直线

两平行线的距离公式
已知直线，
以及


十一．对称

条件
方法
两点关于另外一点对称
，两点关于对称

两点关于一直线对称
，两点关于直线对称（斜率存在）
1.两点的中点在直线上；
2.两点所在直线与直线垂直
两直线关于另一直线对称（三直线不平行）

1.三条直线交于同一点；
2.到角公式

十二．两点关于一直线特殊的对称
点的坐标
直线方程
对称点坐标












十三．到角公式

设的斜率分别是，到的角为，则.
十四．圆的定义
圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径).圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.
十五．圆的标准方程
圆的标准方程
圆心
半径



十六．圆的一般方程
圆的一般方程
圆心
半径



十七．二元二次方程与圆的方程
1.二元二次方程与圆的方程的关系：
二元二次方程，对比圆的一般方程，
，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程.
2.二元二次方程表示圆的条件：
二元二次方程表示圆的条件是&A=C≠0&B=0&(DA)2+(EA)2-4(FA)>0.
十八．点与圆的位置关系
圆的标准方程为一般方程为.平
面内一点到圆心的距离为.
位置关系
判断方法
几何法
代数法（标准方程）
代数法（一般方程）
点在圆上



点在圆外



点在圆内



十九．与圆有关的最值问题
1.与圆的几何性质有关的最值问题
类型
方法
圆外一定点到圆上一动点距离的最值
最大值：；最小值：（为该定点到圆心的距离）
圆上一动点到圆外一定直线距离的最值
最大值：；最小值：（为圆心到直线的距离）
过园内一定点的弦的最值
最大值：直径；最小值：与过该点的直径垂直的弦




2.与圆的代数结构有关的最值问题
类型
代数表达
方法
截距式
求形如的最值
转化为动直线斜率的最值问题
斜率式
求形如的最值
转化为动直线截距的最值问题
距离式
求形如的最值
转化为动点到定点的距离的平方的最值问题
【注意】截距式与斜率式在学习直线与圆的位置关系后，都可转化为动直线与圆相切时取得最值.同时，需要注意若是斜率式，则需考虑斜率是否存在.
二十．直线与圆的位置关系
位置关系
图示
几何法
代数法
相切


（为圆心到直线的距离）

相交


（为圆心到直线的距离）

相离


（为圆心到直线的距离）

二十一．相切→求切线方程
过定点作圆的切线，则切线方程为：
与圆的位置关系
切线条数
切线方程（方法）
在圆上
1条

在圆外
2条
【分两种情况讨论】：
1.斜率存在，设为点斜式，再通过或求出斜率即可；
2.斜率不存在.
【说明】：若情况1有一解，则情况2必有一解；若情况1有两解，则情况2必无解.

二十二．相交→求弦长
弦长公式：直线与圆相交于两点，则（为圆心到直线的距离）.
二十三．圆与圆的位置关系
两圆的半径分别为，两圆的圆心距为，则两圆的位置关系及其判断方法为：
位置关系
图示
几何法
公切线条数
外离


四条
外切


三条
相交


两条
内切


一条
内含


无
二十四．两圆的公共弦
1.公共弦方程：将两圆的方程作差，所得到的直线方程就是两圆的公共弦方程.
2.公共弦长：取其中一个圆，利用圆的弦长公式即可求出.
二十五、直线与圆的综合应用的一般步骤：
步骤
具体内容
第一步
设直线方程，注意讨论直线斜率是否存在
第二步
联立直线与圆方程消元化简
第三步
根据韦达定理写出两根之和与两根之积
第四步
根据题中所给的条件，带入韦达定理
<解题方法与技巧>
一.具有某种共同属性的一类直线的集合，我们称之为直线系，这一属性可通过直线系方程体现出来，它们的变化存在于参数之中，常见的直线系有：
(1)过已知点P(x0，y0)的直线系y－y0＝k(x－x0)(k为参数)．
(2)斜率为k的平行直线系方程y＝kx＋b(b为参数)．
(3)与已知直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ为参数，λ≠C)．
(4)与已知直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0(λ为参数)．
(5)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：l1：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为参数)(但不包含直线A2x＋B2y＋C2＝0)．
典例1：已知正方形中心为点M(－1,0)，一条边所在直线的方程是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程．
[思路点拨]　已知正方形的中心坐标和一条边所在直线的方程，由正方形的性质——中心到各边的距离相等，用待定系数法列方程求解．
[解析]　正方形中心到直线x＋3y－5＝0的距离d＝＝
设与直线x＋3y－5＝0平行的直线方程为x＋3y＋C1＝0.
由正方形的性质，得＝，
解得C1＝－5(舍去)或C1＝7.
所以与直线x＋3y－5＝0相对的边所在的直线方程为x＋3y＋7＝0.
设与直线x＋3y－5＝0垂直的边所在的直线方程为3x－y＋C2＝0.由题意，得
＝，
解得C2＝9或C2＝－3.
所以另两边所在直线的方程为3x－y＋9＝0和3x－y－3＝0.
二.利用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：
第一步：选择圆的方程的某一形式；
第二步：由题意得a，b，r(或D，E，F)的方程(组)；
第三步：解出a，b，r(或D，E，F)；
第四步：代入圆的方程．
注：解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量，例如：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦；两圆相切时，连心线过切点等．
典例2：已知圆的半径为，圆心在直线y＝2x上，圆被直线x－y＝0截得的弦长为4，求圆的方程．
[思路点拨]　利用待定系数法设出圆的标准方程，根据条件列式求解．
[解析]　法一：设圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝10.
因为圆心在直线y＝2x上，所以b＝2a.①
由方程组
得2x2－2(a＋b)x＋a2＋b2－10＝0，
所以x1＋x2＝a＋b，x1·x2＝.
由弦长公式得·＝4，
化简得(a－b)2＝4.②
解①②组成的方程组，
得a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4.
故所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.
法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝10，
则圆心为(a，b)，半径r＝，
圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离d＝.
由半弦长、弦心距、半径组成的直角三角形得
d2＋2＝r2，即＋8＝10，
所以(a－b)2＝4.
又因为b＝2a，所以a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4.
故所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.
三、直线与圆、圆与圆的位置关系
1.求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求直线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线．
2．求直线被圆所截得的弦长时，通常考虑由弦心距垂线段作为直角边的直角三角形，利用勾股定理来解决问题．
典例3：已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过M点的圆的切线方程；
(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值．
[思路点拨]　(1)分斜率存在与不存在两种情况讨论．
(2)构造直角三角形求解．
[解析]　(1)圆心C(1,2)，半径r＝2，当直线的斜率不存在时，方程为x＝3.
由圆心C(1,2)到直线x＝3的距离d＝3－1＝2＝r知，此时，直线与圆相切．
当直线的斜率存在时，设方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0.
由题意知＝2，解得k＝.
∴圆的切线方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.
故过M点的圆的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.
(2)∵圆心到直线ax－y＋4＝0的距离为，
∴2＋2＝4，
解得a＝－.
四、最值与范围
“数形结合”是把代数中的“数”与几何上的“形”结合起来认识问题、理解问题并解决问题的思维方法，是人们一种普遍思维习惯在数学上的具体表现．数形结合一般包括两个方面，即以“形”助“数”，以“数”解“形”．形如u＝的最值问题，可借助于图形分析转化为直线斜率的最值问题；形如t＝ax＋by的最值问题，可借助图形分析转化为动直线截距的最值问题；形如z＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可借助于图形分析转化为动点到定点距离平方的最值问题．
典例4：已知实数x，y满足y＝，则代数式的取值范围为________．
解析：　(1)如图所示y＝化为x2＋y2＝3(y≥0)，表示的图形为半圆弧，的几何意义为定点A(－3，－1)与半圆弧上任意一点M(x，y)的连线的斜率．

利用数形结合法可知kAB≤≤kAC.
又B(，0)，kAB＝＝，设直线AC的方程为y＋1＝k(x＋3)，
即kx－y＋3k－1＝0.
∵直线AC与半圆相切，
∴＝，即3k2－3k－1＝0，解得k＝或(舍去)．
∴kAC＝.∴≤≤.
答案：