高考数学一轮复习教案 第4章_第4节_数系的扩充与复数的引入（含答案解析）

第四节　数系的扩充与复数的引入

[考纲传真]　1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义．

1．复数的有关概念

(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位)．

(2)分类：

(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．

(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．

(5)复数的模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．

2．复数的几何意义

复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b) 平面向量＝(a，b)．

3．复数的运算

(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.

(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－.

1．(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i.

2．－b＋ai＝i(a＋bi)．

3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)；i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．

4．z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n.

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi. (　　)

(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小． (　　)

(3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数． (　　)

(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.   (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　 (4)√

2.(教材改编)如图所示，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是(　　)

A．A　　　　　　　　　 B．B

C．C   D．D

B　[共轭复数对应的点关于实轴对称．]

3．(教材改编)设m∈R，复数z＝m2－1＋(m＋1)i表示纯虚数，则m的值为(　　)

A．1   B．－1

C．±1   D．0

A　[由题意得，解得m＝1，故选A.]

4．复数＝(　　)

A．i   B．1＋i

C．－i   D．1－i

A　[＝＝＝i.]

5．(教材改编)设x，y∈R，若(x＋y)＋(y－1)i＝(2x＋3y)＋(2y＋1)i，则复数z＝x＋yi在复平面上对应的点位于(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

D　[由题意知解得

则复数z＝4－2i在复平面上对应的点位于第四象限，故选D.]

1．(2018·全国卷Ⅰ)设z＝＋2i，则|z|＝(　　)

A．0　　　　B.　　　　C．1　　　　D.

C　[z＝＋2i＝＋2i＝i，所以|z|＝1.]

2．(2018·浙江高考)复数(i为虚数单位)的共轭复数是(　　)

A．1＋i   B．1－i

C．－1＋i   D．－1－i

B　[＝＝1＋i，

所以复数的共轭复数为1－i，故选B.]

3．(2017·天津高考)已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为________．

－2　[∵a∈R，＝＝＝－i为实数，

∴－＝0，∴a＝－2.]

►考法1　复数的乘法运算

【例1】　(1)(2018·全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝(　　)

A．－3－i   B．－3＋i

C．3－i   D．3＋i

(2)(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝(　　)

A．－3          B．－2   C．2   D．3

(3)若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝(　　)

A．－1           B．0   C．1   D．2

(1)D　(2)A　(3)B　[(1)(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i.故选D.

(2)(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(1＋2a)i，由题意知a－2＝1＋2a，解得a＝－3，故选A.

(3)因为(2＋ai)(a－2i)＝－4i，

所以4a＋(a2－4)i＝－4i.

所以解得a＝0.故选B.]

►考法2　复数的除法运算

【例2】　(1)(2018·天津高考)i是虚数单位，复数＝________.

(2)(2018·江苏高考)若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________．

(1)4－i　(2)2　[(1)＝＝＝4－i.

(2)z＝＝＝2－i

故z的实部为2.]

►考法3　复数的综合运算

【例3】　(1)(2019·太原模拟)设复数z满足＝i，则z的共轭复数为(　　)

A．i        B．－i   C．2i   D．－2i

(2)(2016·全国卷Ⅲ)若z＝4＋3i，则＝(　　)

A．1   B．－1

C.＋i   D.－i

(3)若复数z满足 2z＋＝3－2i，其中i为虚数单位，则z等于(　　)

A．1＋2i   B．1－2i

C．－1＋2i   D．－1－2i

(1)A　(2)D　(3)B　[(1)由＝i得1－z＝i＋zi.

即(1＋i)z＝1－i，则z＝＝－i，

因此＝i，故选A.

(2)∵z＝4＋3i，∴＝4－3i，|z|＝＝5，

∴＝＝－i.

(3)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，所以2(a＋bi)＋(a－bi)＝3－2i，整理得3a＋bi＝3－2i，所以解得

所以z＝1－2i，故选B.]

(1)(2019·合肥模拟)已知i为虚数单位，则＝(　　)

A．5   B．5i

C．－－i   D．－＋i

(2)(2019·惠州模拟)已知复数z的共轭复数为，若(1－i)＝2i(i为虚数单位)，则z＝(　　)

A．i        B．i－1   C．－i－1   D．－i

(3)(2019·南昌模拟)设z的共轭复数是，若z＋＝2，z2＝－2i，则z＝(　　)

A.－i   B.＋i

C．1＋i   D．1－i

(1)A　(2)C　(3)D　[(1)法一：＝＝5，故选A.

法二：＝＝＝5，故选A.

(2)由已知可得＝＝＝－1＋i，则z＝－1－i，故选C.

(3)对四个选项逐一验证可知，当z＝1－i时，符合题意，故选D.]

【例4】　(1)(2018·北京高考)在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

(2)(2019·郑州模拟)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，1)   B．(－∞，－1)

C．(1，＋∞)   D．(－1，＋∞)

(1)D　(2)B　[(1)＝＝＝＋i，所以的共轭复数为－i，在复平面内对应的点为，位于第四象限，故选D.

(2)复数(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，其在复平面内对应的点(a＋1,1－a)在第二象限，故解得a＜－1，故选B.]

(1)(2019·广州模拟)设z＝1＋i(i是虚数单位)，则复数＋z2在复平面内对应的点位于(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

(2)在复平面内与复数z＝所对应的点关于虚轴对称的点为A，则A对应的复数为(　　)

A．1＋2i   B．1－2i

C．－2＋i   D．2＋i

(1)A　(2)C　[(1)因为z＝1＋i，所以＋z2＝＋(1＋i)2＝＋1＋2i＋i2＝＋2i＝1＋i，所以该复数在复平面内对应的点的坐标为(1,1)，位于第一象限，故选A.

(2)依题意得，复数z＝＝i(1－2i)＝2＋i，其对应的点的坐标是(2,1)，因此点A(－2,1)对应的复数为－2＋i.]

1．(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是(　　)

A．i(1＋i)2　　　　　 B．i2(1－i)

C．(1＋i)2   D．i(1＋i)

C　[A项，i(1＋i)2＝i(1＋2i＋i2)＝i×2i＝－2，不是纯虚数．

B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数．

C项，(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，是纯虚数．

D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．

故选C.]

2．(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于(　　)

A．第一象限    B．第二象限

C．第三象限     D．第四象限

C　[∵z＝i(－2＋i)＝－1－2i，∴复数z＝－1－2i所对应的复平面内的点为Z(－1，－2)，位于第三象限．

故选C.]

3．(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝(　　)

A．1　　　　B.   C.　　　　D．2

B　[∵(1＋i)x＝1＋yi，∴x＋xi＝1＋yi.

又∵x，y∈R，∴x＝1，y＝x＝1.

∴|x＋yi|＝|1＋i|＝，故选B.]

4．(2015·全国卷Ⅰ)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝(　　)

A．－2－i   B．－2＋i

C．2－i   D．2＋i

C　[∵(z－1)i＝i＋1，∴z－1＝＝1－i，

∴z＝2－i，故选C.]