2023年四川省广元市中考真题数学试题

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四川省广元市中考数学试卷
一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意.每小题3分，共30分）
1. 的相反数是（　　）
A. B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据相反数的性质，互为相反数的两个数的和为0即可求解．
【详解】解：因为-+＝0，
所以-的相反数是．
故选：D．
【点睛】本题考查求一个数的相反数，掌握相反数的性质是解题关键．

2. 下列计算正确的是(　　)
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，平方差公式进行计算即可求解．
【详解】A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，平方差公式，熟练掌握以上知识是解题的关键．
3. 某几何体是由四个大小相同的小立方块拼成，其俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小立方块个数，则这个几何体的左视图是（　　）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先细心观察原立体图形中正方体的位置关系，从左面看去，一共两排，左边底部有1个小正方形，右边有2个小正方形．结合四个选项选出答案．
【详解】解：从左面看去，一共两排，左边底部有1个小正方形，右边有2个小正方形．
故选：D．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是具有几何体的三视图及空间想象能力．
4. 某中学开展“读书节活动”，该中学某语文老师随机抽样调查了本班10名学生平均每周的课外阅读时间，统计如表：
每周课外阅读时间（小时）




学生数（人）




下列说法错误的是（　　）
A. 众数是 B. 平均数是
C. 样本容量是 D. 中位数是
【答案】A
【解析】
【分析】根据众数、平均数、样本的容量、中位数的定义，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A.6出现的次数最多，则众数是6，故该选项不正确，符合题意；
B. 平均数是，故该选项正确，不符合题意；
C. 样本容量是，故该选项正确，不符合题意；
D. 中位数是第5个和第6个数平均数即，故该选项正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了众数、平均数、样本的容量、中位数，熟练掌握众数、平均数、样本的容量、中位数的定义是解题的关键．
5. 关于x的一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（　　）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用一元二次方程根的判别式即可得．
【详解】解：，
其中，，，
∴，
∴方程没有实数根．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
6. 如图，是的直径，点C，D在上，连接，若，则的度数是（　　）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆周角定理计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】此题考查圆周角定理，熟知同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．
7. 如图，半径为的扇形中，，是上一点，，，垂足分别为，，若，则图中阴影部分面积为(　　)

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，证明四边形是正方形，进而得出，，然后根据扇形面积公式即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，

∵，，，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，，
∴图中阴影部分面积，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，求扇形面积，证明四边形是正方形是解题的关键．
8. 向高为10的容器（形状如图）中注水，注满为止，则水深h与注水量v的函数关系的大致图象是（　　）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】从水瓶的构造形状上看，从底部到顶部的变化关系为：开始宽，逐渐细小，再变宽，再从函数的图象上看，选出答案．
【详解】解：从水瓶的构造形状上看，从底部到顶部的变化关系为：开始宽，逐渐细小，再变宽．
则注入的水量v随水深h的变化关系为：先慢再快，最后又变慢，
那么从函数的图象上看，
C对应的图象变化为先快再慢，最后又变快，不符合；
A、B对应的图象中间没有变化，只有D符合条件．
故选：D．
【点睛】本题主要考查函数的定义及函数的图象的关系，抓住变量之间的变化关系是解题的关键．
9. 近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a为全程10千米的普通道路，路线b包含快速通道，全程7千米，走路线b比路线a平均速度提高，时间节省10分钟，求走路线a和路线b的平均速度分别是多少？设走路线a的平均速度为x千米/小时，依题意，可列方程为（　　）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】若设路线a时的平均速度为x千米/小时，则走路线b时的平均速度为千米/小时，根据路线b的全程比路线a少用10分钟可列出方程．
【详解】解：由题意可得走路线b时的平均速度为千米/小时，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
10. 已知抛物线（，，是常数且）过和两点，且，下列四个结论：；；若抛物线过点，则；关于的方程有实数根，则其中正确的结论有（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】由抛物线过和两点得到对称轴为直线，且，所以得到，进而判断的符号，得到，；抛物线过点和，代入可得和，解得，又由，得；对称轴为直线，，开口向下，所以有最大值为，且，无法判断关于x的方程是否有实数根．
【详解】解：已知抛物线过和两点，则对称轴为直线，
∵，所以，即，，则，
当时，，则，所以，故结论①错误；
因为，所以，，即，故结论②正确；
抛物线过和两点，代入可得和，两式相减解得，由可得，解得，故结论③正确；
对称轴为直线，，开口向下，
∵，
∴所以有最大值为，
∵不一定成立，
∴关于x的方程有实数根无法确定，故结论④错误．
故选：B
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，根据题意判断a，b，c与0的关系，再借助点的坐标得出结论．
二、填空题（把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上．每小题4分，共24分）
11. 若有意义，则实数x的取值范围是______
【答案】
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件计算即可．
【详解】∵有意义，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解题的关键．
12. 广元市聚焦“1345”发展战略和“十四五”规划，牢牢牵住重点项目建设“牛鼻子”，《2023年广元市重点项目名单》共编列项目300个，其中生态环保项目10个，计划总投资约45亿元，将45亿这个数据用科学记数法表示为 ____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可．
【详解】解：将45亿这个数据用科学记数法表示为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键是熟练掌握科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
13. 如图，，直线l与直线a，b分别交于B，A两点，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线，分别交直线a，b于点C，D，连接AC，若，则的度数为 _____．

【答案】##56度
【解析】
【分析】先判断为线段的垂直平分线，即可得，，再由，可得，即有，利用三角形内角和定理可求的度数．
【详解】解：由作图可知为线段的垂直平分线，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂直平分线的作图、垂直平分线的性质、平行线的性质以及三角形内角和定理等知识，判断为线段的垂直平分线是解答本题的关键．
14. 在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”，根据规律第八行从左到右第三个数为 _____．

【答案】
【解析】
【分析】根据前六行的规律写出第7，8行的规律进而即可求解．
【详解】解：根据规律可得第七行的规律为
第八行的规律为
∴根据规律第八行从左到右第三个数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键．
15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在轴上，且点在点右方，连接，，若，则点的坐标为 _____．

【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件得出，根据等面积法得出，设，则，进而即可求解．
【详解】解：∵点，点，
∴，
，
∵，
∴，
过点作于点，

∵，是的角平分线，
∴
∵
∴
设，则，
∴
解得：或（舍去）
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了正切的定义，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．
16. 如图，，半径为2的与角的两边相切，点P是⊙O上任意一点，过点P向角的两边作垂线，垂足分别为E，F，设，则t的取值范围是 _____．

【答案】
【解析】
【分析】利用切线的性质以及等腰直角三角形的性质求得，再求得，分两种情况讨论，画出图形，利用等腰直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：设与两边的切点分别为D、G，连接，延长交于点H，

由，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图，延长交于点Q，

同理，
∵，
∴，
当与相切时，有最大或最小值，
连接，
∵D、E都是切点，
∴，
∴四边形矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴的最大值为；
如图，

同理，的最小值为；
综上，t的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，求得是解题的关键．
三、解答题（要求写出必要的解答步骤或证明过程，共96分）
17. 计算：．
【答案】4
【解析】
【分析】先化简二次根式，绝对值，计算零次幂，再合并即可.
【详解】解：


.
【点睛】本题考查的是二次根式的加减运算，化简绝对值，零次幂的含义，掌握运算法则是解本题的关键.
18. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】；
【解析】
【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．
【详解】解：


，
当，时，
原式．
【点睛】本题考查了分式化简求值，二次根式混合运算，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．
19. 如图，将边长为4的等边三角形纸片沿边上的高剪成两个三角形，用这两个三角形拼成一个平行四边形．

（1）画出这个平行四边形（画出一种情况即可）；
（2）根据（1）中所画平行四边形求出两条对角线长．
【答案】（1）见解析 （2）4或，或2，
【解析】
【分析】（1）根据题意画出拼接图形即可；
（2）利用等边三角形的性质求得，分情况分别利用平行四边形和矩形的性质和勾股定理求解即可．
【小问1详解】
解：如图①或②或③，
，
【小问2详解】
解：∵等边边，
∴，
∴，
如图①所示：可得四边形是矩形，则其对角线长为；
如图②所示：，
连接，过点C作于点E，则可得四边形是矩形，
∴，，
则；
如图③所示：，
连接，过点A作交延长线于点E，可得四边形是矩形，
由题意可得：，，
故．
【点睛】本题考查图形的剪拼，涉及等边三角形的性质、平行四边形的性质、矩形的性质、勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质和矩形性质，作辅助线构造直角三角形求解是解答的关键．
20. 为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某校开展以“文化、科技、体育、艺术、劳动”为主题的活动，其中体育活动有“一分钟跳绳”比赛项目，为了解学生“一分钟跳绳”的能力，体育老师随机抽取部分学生进行测试并将测试成绩作为样本，绘制出如图所示的频数分布直方图（从左到右依次为第一到第六小组，每小组含最小值，不含最大值）和扇形统计图，请根据统计图中提供的信息解答下列问题：

（1）求第四小组的频数，并补全频数分布直方图；
（2）若“一分钟跳绳”不低于160次的成绩为优秀，本校学生共有1260人，请估计该校学生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数；
（3）若“一分钟跳绳”不低于180次的成绩为满分，经测试某班恰有3名男生1名女生成绩为满分，现要从这4人中随机抽取2人去参加学校组织的“一分钟跳绳”比赛，请用画树状图或列表的方法，求所选2人都是男生的概率．
【答案】（1）第四小组的频数为10，补全图形见解析
（2）该校学生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数为294人
（3）所选2人都是男生的概率为．
【解析】
【分析】（1）首先利用第二小组的人数及所占比例求得总人数，然后求得第四组的人数，即可作出统计图；
（2）利用总人数1260乘以优秀成绩所占比例即可求解；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出符合条件的结果数，然后根据概率公式计算即可．
【小问1详解】
解：样本容量是（人），
第四组的人数是：（人），
补全统计图如图：
；
【小问2详解】
解：该校学生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数为（人）；
【小问3详解】
解：画树状图：

共有12种等可能的结果数，其中抽到的2人都是男生的结果数为6，
所以抽到的2人都是男生的概率为．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．还考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．
21. “一缕清风银叶转”，某市20台风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两所成的角为，当其中一片风叶与塔干叠合时，在与塔底D水平距离为60米的E处，测得塔顶部O的仰角，风叶的视角．

（1）已知α，β两角和的余弦公式为： ，请利用公式计算；
（2）求风叶的长度．
【答案】（1）
（2）风叶的长度为米
【解析】
【分析】（1）根据题中公式计算即可；
（2）过点A作，连接，，先根据题意求出，再根据等腰对等边证明，结合第一问的结论用三角函数即可求，再证明四边形是矩形，即可求出．
【小问1详解】
解：由题意可得：，
∴；
【小问2详解】
解：过点A作，连接，，如图所示，

由题意得：米，，
∴米，，
∵三片风叶两两所成的角为，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴米，
∵，，
∴，
由（1）得：，
∴米，
∴米，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴米，
∵三片风叶两两所成的角为，且三片风叶长度相等，
∴，
∴米，
∴风叶的长度为米．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，正确理解题意和作出辅助线是关键．
22. 某移动公司推出A，B两种电话计费方式．
计费方式
月使用费/元
主叫限定时间/min
主叫超时费/（元/min）
被叫
A



免费
B



免费

（1）设一个月内用移动电话主叫时间为tmin，根据上表，分别写出在不同时间范围内，方式A，方式B的计费金额关于t的函数解析式；
（2）若你预计每月主叫时间为350min，你将选择A，B哪种计费方式，并说明理由；
（3）请你根据月主叫时间t的不同范围，直接写出最省钱的计费方式．
【答案】（1）见解析；
（2）选方式B计费，理由见解析；
（3）见解析．
【解析】
【分析】（1）根据题意，设两种计费金额分别为、，分别计算三个不同范围内的A、B两种方式的计费金额即可；
（2）令，根据（1）中范围求出对应两种计费金额，选择费用低的方案即可；
（3）令，求出此时的值，当主叫时间时，方式A省钱；当主叫时间时，方式A和B一样；当主叫时间时，方式B省钱；
【小问1详解】
解：根据题意，设两种计费金额分别为、
当时，方式A的计费金额为元，方式B的计费金额为108元；
方式A的计费金额，方式B的计费金额为108元；
当时，方式A的计费金额为，方式B的计费金额为
总结如下表：
主叫时间/分钟
方式A计费()
方式B计费()

78
108


108



【小问2详解】解：当时，

，故选方式B计费．
【小问3详解】
解：令，有解得
∴当时，方式A更省钱；
当时，方式A和B金额一样；
当时，方式B更省钱．
【点睛】本题考查了一次函数在电话计费中的应用，根据题意分段讨论是求解的关键．
23. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，与x轴交于点C，将直线沿y轴向上平移3个单位长度后与反比例函数图象交于点D，E．

（1）求k，m的值及C点坐标；
（2）连接，，求的面积．
【答案】（1）；；
（2）
【解析】
【分析】（1）把点代入和求出k、m的值即可；把代入的解析式，求出点C的坐标即可；
（2）延长交x轴于点F，先求出平移后的关系式，再求出点D的坐标，然后求出解析式，得出点F的坐标，根据求出结果即可．
【小问1详解】
解：把点代入和得：
，，
解得：，，
∴的解析式为，反比例函数解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴点C的坐标为；
【小问2详解】
解：延长交x轴于点F，如图所示：

将直线沿y轴向上平移3个单位长度后解析式为：
，
联立，
解得：，，
∴点，
设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
把代入得，
解得：，
∴点F的坐标为，
∴，
∴

．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求一次函数解析式，反比例函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法，能求出一次函数和反比例函数的交点坐标．
24. 如图，为直径，C为上一点，连接，过点C作的切线交延长线于点D，于点E，交于点F．

（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）的长为．
【解析】
【分析】（1）连接，利用圆周角定理及半径相等求得，根据切线的性质求得，推出，再证明，据此即可证明结论成立；
（2）先求得，，设，证明，利用相似三角形的性质得到，解之即可．
【小问1详解】
证明：连接，

∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵为的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
设，则，
由（1）得，
又，
∴，
∴，即，
整理得，
解得，
∴的长为．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，正弦函数的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
25. 如图1，已知线段，，线段绕点在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且．

（1）若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是 　 　；
（2）如图2，在(1)的条件下，若，，，求的长；
（3）如图3，若，，，当的值最大时，求此时的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）在中，，，且，，可得，根据相似三角形的性质得出，，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解；
（2）延长交于点，如图所示，在中，求得，进而求得的长，根据（1）的结论，得出，在中，勾股定理求得，进而根据，即可求解．
（3）如图所示，以为边在上方作，且，，连接，，，同（1）可得，进而得出在以为圆心，为半径的圆上运动，当点三点共线时，的值最大，进而求得，，根据得出，过点作，于点，分别求得,然后求得，最后根据正切的定义即可求解．
【小问1详解】
解：在中，，，且，，
∴，，
∴，，
∴
∴
∴，
故答案为：．
【小问2详解】
∵，且，，
∴，，
延长交于点，如图所示，

∵，
∴，
∴在中，，，
∴，
由（1）可得，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如图所示，以为边在上方作，且，，连接，，，

同（1）可得
则，
∵，则，
在中，，，
∴在以为圆心，为半径的圆上运动，
∴当点三点共线时，的值最大，此时如图所示，则，

在中，
∴,，
∵，
∴，
过点作，于点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
中，．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，正切的定义，求圆外一点到圆的距离的最值问题，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
26. 如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与轴交于点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标；
（3）如图，为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接并延长交轴于点，在点运动过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）
（2）或或
（3），理由见解析
【解析】
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）先求得抛物线的对称轴为直线，设与交于点，过点作于点，证明，设，则，，进而得出点的坐标，代入抛物线解析式，求得的值，同理可求得当点F在x轴下方时的坐标；当点与点重合时，求得另一个解，进而即可求解；
（3）设，直线的解析式为，的解析式为，求得解析式，然后求得，即可求解．
【小问1详解】
解：将点，，代入
得
解得：，
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
∵点，，
∴抛物线的对称轴为直线：，
如图所示，设与交于点，过点作于点

∵以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵点在抛物线上
∴
解得：（舍去）或,
∴，
如图所示，设与交于点，过点作于点

∵以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵点在抛物线上
∴
解得：（舍去）或，
∴，
当点与点重合时，如图所示，

∵，是等腰直角三角形，且，
∴
此时，
综上所述，或或；
【小问3详解】
设，直线的解析式为，的解析式为，
∵点，，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，的解析式为，
对于，当时，，即，
对于，当时，，即，
∵在抛物线上，则
∴

∴为定值．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质，一次函数与坐标轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．