2024版新教材高考数学全程一轮总复习课时作业五十三双曲线及其性质

这是一份2024版新教材高考数学全程一轮总复习课时作业五十三双曲线及其性质，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,4)＝1(a>0)的离心率为eq \r(3)，则E的焦点坐标为( )
A．(±1，0) B．(±eq \r(2)，0)
C．(±eq \r(5)，0) D．(±eq \r(6)，0)
2．[2023·河北衡水模拟]已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦距为2eq \r(5)，且实轴长为2，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．y＝±eq \f(1,2)xB．y＝±eq \r(5)x
C．y＝±2xD．y＝±eq \f(\r(5),2)x
3．[2023·辽宁沈阳模拟]关于双曲线C1：x2－y2＝2与C2：y2－x2＝2，下列说法中错误的是( )
A．它们的焦距相等B．它们的顶点相同
C．它们的离心率相等D．它们的渐近线相同
4．[2023·江西九江模拟]若双曲线C的一个焦点为(5，0)，且与双曲线eq \f(y2,2)－eq \f(x2,8)＝1的渐近线相同，则双曲线C的离心率为( )
A．eq \f(5,4)B．5
C．eq \f(\r(5),2)D．eq \r(5)
5．[2023·安徽安庆一中期末]已知双曲线eq \f(x2,2)－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，|PF1|＋|PF2|＝6eq \r(2)，O为坐标原点，M是PF1中点，则|OM|＝( )
A．eq \r(2)B．2eq \r(2)
C．3eq \r(2)D．4eq \r(2)
6．[2023·黑龙江佳木斯一中期末]设F1，F2是双曲线x2－eq \f(y2,24)＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于( )
A．4eq \r(2)B．8eq \r(3)
C．24D．48
7．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)与椭圆E：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1有相同的焦点，且一条渐近线方程为l：x－2y＝0，则双曲线C的方程为( )
A．x2－eq \f(y2,4)＝1B．eq \f(x2,4)－y2＝1
C．－x2＋eq \f(y2,4)＝1D．－eq \f(x2,4)＋y2＝1
8．已知双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)以正方形ABCD的两个顶点为焦点，且经过该正方形的另两个顶点，若正方形ABCD的边长为2，则E的实轴长为( )
A．2eq \r(2)－2B．2eq \r(2)＋2
C．eq \r(2)－1D．eq \r(2)＋1
9．(能力题)[2023·河南南阳模拟]已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2eq \r(3)，0)，过F和P(0，2b)两点的直线与双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的方程为( )
A．eq \f(x2,9)－eq \f(y2,3)＝1B．eq \f(x2,3)－eq \f(y2,9)＝1
C．eq \f(x2,8)－eq \f(y2,4)＝1D．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1
10．(能力题)[2023·安徽宣城模拟]已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线右支上的一点，且△PF1F2的周长为4a＋2eq \r(a2＋b2)，则双曲线C的离心率的取值范围为( )
A．(1，2) B．(1，4)
C．(2，＋∞) D．(4，＋∞)
二、多项选择题
11．[2023·广东佛山模拟]已知曲线C的方程为eq \f(y2,m)－eq \f(x2,n)＝1，下列说法正确的是( )
A．若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则m>－n>0
B．曲线C可能是圆
C．若mn<0，则曲线C一定是双曲线
D．若C为双曲线，则渐近线方程为y＝±eq \r(\f(m,n))x
12．(能力题)[2023·河北唐山模拟]已知F1，F2为双曲线C：eq \f(y2,3)－x2＝1的两个焦点，P为双曲线C上任意一点，则( )
A．|PF1|－|PF2|＝2eq \r(3)
B．双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),3)x
C．双曲线C的离心率为eq \f(2\r(3),3)
D．|eq \(PF,\s\up6(→))1＋eq \(PF,\s\up6(→))2|≥2eq \r(3)
三、填空题
13．[2023·广东广州模拟]写出一个同时满足下列性质①②③的双曲线方程____________．
①中心在原点，焦点在y轴上 ②一条渐近线方程为y＝2x ③焦距大于10
14．(能力题)[2023·山东郓城模拟]设F1，F2分别是双曲线C：x2－eq \f(y2,b)＝1的左右焦点，过F2作x轴的垂线与C交于A，B两点，若△ABF1为正三角形，则C的离心率为________，△ABF1的面积为________．
四、解答题
15．[2023·河南南阳期末]已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，第一象限内的点P在C上，双曲线的左、右焦点分别记为F1，F2，且|PF1|＝2|PF2|，PF1·PF2＝0，O为坐标原点．
(1)求双曲线C的离心率；
(2)(能力题)若△OF2P的面积为2，求点P的坐标．
优生选做题
16．[2023·河北邯郸期末](多选)已知双曲线C：eq \f(y2,9)－eq \f(x2,16)＝1的上、下焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C的上支上，点Q(－5，0)，则下列说法正确的有( )
A．双曲线C的离心率为eq \f(4,3)
B．|PF2|的最小值为8
C．△PQF2周长的最小值为6＋10eq \r(2)
D．若△PF1F2内切圆的圆心为M，则M点的纵坐标为3
17．已知双曲线eq \f(x2,m)－eq \f(y2,5)＝1(m>0)的一条渐近线方程为eq \r(5)x＋2y＝0，左焦点为F，点P在双曲线右支上运动，点Q在圆x2＋(y－4)2＝1上运动，则|PQ|＋|PF|的最小值为______．
课时作业（五十三） 双曲线及其性质
1．解析：根据题意得，双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,4)＝1（a>0）是焦点在x轴的双曲线，
所以b2＝4，c2＝a2＋b2＝a2＋4，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(c2,a2))＝eq \r(\f(a2＋4,a2))＝eq \r(3)，
解得a2＝2，所以c2＝6，所以焦点坐标为（±eq \r(6)，0）.
故选D.
答案：D
2．解析：由题意可知，2c＝2eq \r(5)，2a＝2，所以c＝eq \r(5)，a＝1，
所以b＝eq \r(c2－a2)＝2，则eq \f(b,a)＝2，渐近线方程为y＝±2x.
故选C.
答案：C
3．解析：由C1：x2－y2＝2，可得C1：eq \f(x2,2)－eq \f(y2,2)＝1，其焦距为2eq \r(2＋2)＝4，顶点坐标为（±eq \r(2)，0），离心率为eq \r(\f(2＋2,2))＝eq \r(2)，渐近线方程为y＝±x；
由C2：y2－x2＝2，可得C2：eq \f(y2,2)－eq \f(x2,2)＝1，其焦距为2eq \r(2＋2)＝4，顶点坐标为（0，±eq \r(2)），离心率为eq \r(\f(2＋2,2))＝eq \r(2)，渐近线方程为y＝±x；
所以双曲线C1：x2－y2＝2与C2：y2－x2＝2的顶点坐标不同．
故选B.
答案：B
4．解析：依题意可知，双曲线eq \f(y2,2)－eq \f(x2,8)＝1的渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x，
即双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x，即eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,4)，a2＝4b2，
由c2＝a2＋b2＝25可知，b2＝5，a2＝20，
则e＝eq \f(c,a)＝eq \f(5,2\r(5))＝eq \f(\r(5),2).
故选C.
答案：C
5．解析：在双曲线eq \f(x2,2)－y2＝1中，a＝eq \r(2)，b＝1，c＝eq \r(3)，
由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2eq \r(2)，又因为|PF1|＋|PF2|＝6eq \r(2)，则|PF2|＝2eq \r(2)，
因为O、M分别为F1F2、PF1的中点，故|OM|＝eq \f(1,2)|PF2|＝eq \r(2).
故选A.
答案：A
6．解析：双曲线的实轴长为2，焦距为|F1F2|＝10.根据题意和双曲线的定义知
2＝|PF1|－|PF2|＝eq \f(4,3)|PF2|－|PF2|＝eq \f(1,3)|PF2|，
所以|PF2|＝6，|PF1|＝8，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以PF1⊥PF2.所以S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq \f(1,2)×6×8＝24.
故选C.
答案：C
7．解析：∵双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的一条渐近线方程为l：x－2y＝0，
∴设双曲线C：eq \f(x2,4λ)－eq \f(y2,λ)＝1.
∵双曲线C与椭圆E有相同的焦点，
∴4λ＋λ＝5，解得：λ＝1，
∴双曲线C的方程为eq \f(x2,4)－y2＝1.
故选B.
答案：B
8．解析：由图知，c＝1，
易知D（1，2），代入双曲线方程得eq \f(1,a2)－eq \f(4,b2)＝1，又a2＋b2＝1，
联立求解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝3－2\r(2),b2＝2\r(2)－2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝2\r(2)＋3,b2＝－2\r(2)－2))（舍去）
所以a＝eq \r(2)－1，
所以双曲线E的实轴长为2eq \r(2)－2.
故选A.
答案：A
9．解析：因为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，所以它的渐近线为y＝±eq \f(b,a)x，
又因为F（2eq \r(3)，0），Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，2b))，所以直线PF的斜率为kPF＝eq \f(2b－0,0－2\r(3))＝－eq \f(b,\r(3))，
因为直线PF与双曲线的一条渐近线平行，所以－eq \f(b,\r(3))＝－eq \f(b,a)，故a＝eq \r(3)，
又因为双曲线的右焦点为F（2eq \r(3)，0），所以c＝2eq \r(3)，故b2＝c2－a2＝12－3＝9，
所以该双曲线的方程为eq \f(x2,3)－eq \f(y2,9)＝1.
故选B.
答案：B
10．解析：设双曲线C的焦距为2c，∴|F1F2|＝2c，a2＋b2＝c2.
∵P是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1（a>0，b>0）右支上的一点，∴|PF1|－|PF2|＝2a，
∵△PF1F2的周长为4a＋2eq \r(a2＋b2)，∴|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝4a＋2eq \r(a2＋b2)，
∴|PF1|＋|PF2|＋2c＝4a＋2c，∴|PF1|＋|PF2|＝4a，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|PF1|－|PF2|＝2a,|PF1|＋|PF2|＝4a))，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|PF1|＝3a,|PF2|＝a))，
∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|PF1|－|PF2|<|F1F2|,|F1F2|－|PF2|<|PF1|))，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3a－a<2c,2c－a<3a))，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a∴双曲线C的离心率的取值范围为（1，2）.
故选A.
答案：A
11．解析：因为曲线C的方程为eq \f(y2,m)－eq \f(x2,n)＝1，
对于A：曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则eq \f(x2,－n)＋eq \f(y2,m)＝1，即－n>m>0，故A错误；
对于B：当m＝－n>0时曲线C表示圆，故B正确；
对于C：若m＝－n＝1，满足mn<0，曲线C为x2＋y2＝1，表示圆，故C错误；
对于D：若eq \f(y2,m)－eq \f(x2,n)＝1为双曲线，则mn>0，
当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m>0,n>0))时，eq \f(y2,m)－eq \f(x2,n)＝1表示焦点在y轴上的双曲线，其渐近线方程为y＝±eq \r(\f(m,n))x，
当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m<0,n<0))时，eq \f(x2,－n)－eq \f(y2,－m)＝1表示焦点在x轴上的双曲线，其渐近线方程为y＝±eq \r(\f(m,n))x，故D正确．
故选BD.
答案：BD
12．解析：双曲线C：eq \f(y2,3)－x2＝1焦点在y轴上，a＝eq \r(3)，b＝1，c＝eq \r(a2＋b2)＝2.
对于A选项，||PF1|－|PF2||＝2a＝2eq \r(3)，而P点在哪支上并不确定，故A错误；
对于B选项，焦点在y轴上的双曲线渐近线方程为y＝±eq \f(a,b)x＝±eq \r(3)x，故B错误；
对于C选项，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,\r(3))＝eq \f(2\r(3),3)，故C正确；
对于D选项，设P（x，y），则|PO|＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(x2＋（3x2＋3）)＝eq \r(3＋4x2)≥eq \r(3)（x＝0时取等号）
因为O为F1F2的中点，所以|eq \(PF,\s\up6(→))1＋eq \(PF,\s\up6(→))2|＝|2eq \(PO,\s\up6(→))|＝2|eq \(PO,\s\up6(→))|≥2eq \r(3)，故D正确．
故选CD.
答案：CD
13．解析：由①中心在原点，焦点在y轴上知，可设双曲线方程为：eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1（a>0，b>0）；
由②一条渐近线方程为y＝2x知，eq \f(a,b)＝2，即a＝2b；
由③知，2c>10，即c>5，
则可取c＝6（此处也可取大于5的其他数）
又∵a2＋b2＝c2，∴（2b）2＋b2＝36，∴b2＝eq \f(36,5)，
∴a2＝4b2＝eq \f(144,5)，
则同时满足下列性质①②③的一个双曲线方程为：eq \f(5y2,144)－eq \f(5x2,36)＝1.
答案：eq \f(5y2,144)－eq \f(5x2,36)＝1（答案不唯一，写出一个即可）
14．解析：∵△ABF1为正三角形，
设|AF2|＝t，则|AF1|＝2t，|F1F2|＝eq \r(3)t，又双曲线C：x2－eq \f(y2,b)＝1，
∴t＝2，|F1F2|＝2eq \r(3)，离心率e＝eq \f(|F1F2|,|AF1|－|AF2|)＝eq \r(3)，
∴b＝3－1＝2，
故△ABF1的面积为eq \f(\r(3),4)×42＝4eq \r(3).
答案：eq \r(3) 4eq \r(3)
15．解析：（1）∵|PF1|＝2|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2a，
∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，
∵PF1⊥PF2，∴（2c）2＝（4a）2＋（2a）2，化为：c2＝5a2，
∴e2＝5，e＝eq \r(5)，即双曲线C的离心率为eq \r(5).
（2）由题意可得：S△PF1F2＝eq \f(1,2)×2a×4a＝2×2，S△OF2P＝eq \f(1,2)c·|yP|＝2，
又c2＝5a2，解得a＝1，c＝eq \r(5)，yP＝eq \f(4\r(5),5)，
所以b2＝4，双曲线方程为x2－eq \f(y2,4)＝1，
把yP＝eq \f(4\r(5),5)代入双曲线方程，得：x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(P)) －eq \f(\f(16,5),4)＝1，xP>0，解得xP＝eq \f(3\r(5),5).
∴P（eq \f(3\r(5),5)，eq \f(4\r(5),5)）.
16．解析：对于A：e＝eq \f(c,a)＝eq \f(5,3)，∴A错误；
对于B：|PF2|的最小值为a＋c＝8，B正确；
对于C：如图，
△PQF2的周长＝|PQ|＋|QF2|＋|PF2|＝|PQ|＋|QF2|＋2a＋|PF1|＝6＋5eq \r(2)＋|PQ|＋|PF1|≥6＋10eq \r(2)（当且仅当Q，P，F1三点共线时取等号），C正确；
对于D：如图，
设△PF1F2的内切圆分别与PF1，F1F2，PF2切于点A，B，D，则PA＝PD，F1A＝F1B，F2B＝F2D，∴|PF2|－|PF1|＝|F2D|－|F1A|＝|F2B|－|F1B|＝6.又|F2B|＋|F1B|＝10，∴|F2B|＝8，∴B（0，3），∴M点的纵坐标为3，D正确．
故选BCD.
答案：BCD
17．解析：由双曲线eq \f(x2,m)－eq \f(y2,5)＝1（m>0）的一条渐近线方程为eq \r(5)x＋2y＝0，
可得eq \f(\r(5m),m)＝eq \f(\r(5),2)，解得m＝4.
所以eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1，双曲线的左焦点坐标为F（－3，0），右焦点坐标为F′（3，0），
由双曲线的定义，知|PF|－|PF′|＝4，即|PF|＝4＋|PF′|，
由圆x2＋（y－4）2＝1可得圆心C（0，4），半径为r＝1，
|PQ|＋|PF|＝4＋|PF′|＋|PQ|≥|QF′|＋4，
问题转化为求点F′到圆x2＋（y－4）2＝1上的最小值，
即|QF′|min＝|CF′|－1＝eq \r(（3－0）2＋（0－4）2)－1＝5－1＝4，
所以（|PQ|＋|PF|）min＝4＋4＝8.
所以|PQ|＋|PF|的最小值为8.
答案：8