高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数精品巩固练习

4.1   指数

思维导图

新课标要求

通过对有理指数幂、实数指数幂（a>0,且，a≠1，x∈R）含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质。

知识梳理

一、　n次方根、n次根式

1．a的n次方根的定义

一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.

2．a的n次方根的表示

3.根式

式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．

二、　根式的性质

1.＝0(n∈N*，且n>1)．

2．()n＝a(a≥0，n∈N*，且n>1)．

3.＝a(n为大于1的奇数)．

4.＝|a|＝(n为大于1的偶数)．

三、　分数指数幂的意义

四、　有理数指数幂的运算性质

整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：

(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；

(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；

(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．

五、　无理数指数幂

一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．

六、　实数指数幂的运算性质[来源:学,科,网Z,X,X,K]

1．aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．

2．(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．

3．(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．

名师导学

知识点1    由根式的意义求范围

【例1-1】求使等式＝(3－a)成立的实数a的取值范围．

【变式训练1-1】（2022·全国·高一课时练习）若，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【变式训练1-2】（2021·江苏·高一专题练习），则实数a的取值范围_________ 

知识点2    利用根式的性质化简求值

【例2-1】（2022·湖南·高一课时练习）求下列各式的值：

(1)；(2)；(3)；(4)．

【变式训练2-1】化简下列各式：

(1)＋()5；

(2)＋()6；

(3).

【变式训练2-2】（2021·全国·高一课时练习）已知，化简：．

知识点3    根式与分数指数幂的互化（重点）

【例3-1】将下列根式化成分数指数幂的形式：

(1)(a>0)；

(2)(x>0)；

(3)(b>0)．

【变式训练3-1】（2021·全国·高一课前预习）将下列各式用分数指数幂的形式表示：

(1)；(2)；(3)

【变式训练3-2】（2020·广东·洛城中学高一期中）下列各式正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【变式训练3-3】（多选）（2022·湖北·江夏一中高一阶段练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ）

A． B．

C． D．

知识点4    利用分数指数幂的运算性质化简求值（重点）

【例4-1】（2021·全国·高一课前预习）化简下列各式：

(1)；

(2)．

【例4-2】（2022·全国·高一专题练习）计算：

(1)；

(2)．

【变式训练4-1】（2022·江苏·高一）化简 (a>0)等于（    ）

A．6a B．－a

C．－9a D．9a2

【变式训练4-2】（2022·全国·高一专题练习）计算：___________________．

【变式训练4-3】（2022·全国·高一课时练习）化简：

(1)；

(2)；

(3)．

知识点5    整体替换法求分数指数幂

【例5-1】(1)已知＋＝，则x2＋x－2＝________.

(2)已知x＋x－1＝7，求值：①＋；②x2－x－2.

【变式训练5-1】（2022·全国·高一课时练习）已知，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【变式训练5-2】（2022·全国·高一专题练习）已知,，则的值为______.

【变式训练5-3】（2022·全国·高一课时练习）（1）若，求的值；

（2）已知，求的值．

名师导练

A组-[应知应会]

1．（2022·四川省仪陇宏德中学高一开学考试）下列选项中，计算结果等于4a3的是（    ）

A．  B．   C．  D．

2．（2022·全国·高一单元测试）化简的结果是（    ）

A．0 B． C．0或 D．

3．（2021·四川·成都市郫都区川科外国语学校高一开学考试）下列运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

4．（2021·江苏·高一专题练习）化简（    ）

A． B． C．2 D．

5．（2021·江苏·高一专题练习）若则（    ）

A．10 B．15 C． D．

6．（2021·山东济宁·高一期中）化简结果为（    ）

A．a B．b C． D．

7．（2022·全国·高一课时练习）已知，则化为（    ）

A． B． C．m D．1

8．（2021·江苏·高一专题练习）（多选题）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ）

A． B．

C． D．

9．（2022·山东枣庄·高一期末）(多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ）

A．

B．

C．)

D．

10．（2021·广东茂名·高一期中）（多选）以下化简结果正确的是（字母均为正数）（    ）

A． B．

C． D．

11．（2022·全国·高一专题练习）化简的结果为________

12．（2022·全国·高一专题练习）计算：___．

13．（2022·全国·高一专题练习）已知，则的值为_______

14．（2022·全国·高一课时练习）已知，，，且，则______．

15．（2021·江苏省江阴市第一中学高一期中）已知，则___________.

16．（2022·全国·高一单元测试）（1）化简：；

（2）计算：．

17．（2022·湖南·益阳市箴言中学高一开学考试）化简下列各式：

(1)

(2)若，，求．

18．（2021·全国·高一专题练习）求解下列问题：

(1)已知，且，求.

(2)已知，求和的值.

B组-[素养提升]

 1．（2022·江苏·南京师大附中高一期末）设、，满足，则的值为___________.

2．已知m＝2，n＝3，则3的值是________．

3．（2022·江苏·高一）已知，，求的值.

4．对于正整数a，b，c(a≤b≤c)和非零实数x，y，z，ω，有ax＝by＝cz＝70ω，＝＋＋，求a，b，c的值．