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小学数学人教版五年级下册4 分数的意义和性质约分约分精品复习练习题
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这是一份小学数学人教版五年级下册4 分数的意义和性质约分约分精品复习练习题，共21页。试卷主要包含了公因数和最大公因数的意义，求两个数的最大公因数的方法，互质数的意义，求两个数的最大公因数的特殊方法，用公因数，约分的意义，最简分数的意义 ，约分的方法等内容，欢迎下载使用。
第11讲 约分（讲义）
（知识梳理+易错汇总+易错精讲+易错专练）
1、公因数和最大公因数的意义。
几个数公有的因数，叫作它们的公因数；其中最大的公因数叫作它们的最大公因数。
2、求两个数的最大公因数的方法。
（1）列举法；（2）筛选法；（3）分解质因数法；（4）短除法。
3、互质数的意义。
只有公因数1的两个数，叫作互质数。
4、求两个数的最大公因数的特殊方法。
（1）当两个数成倍数关系时，较小数是它们的最大公因数；（2）当两个数是互质数时，最大公因数是1。
5、用公因数、最大公因数解决实际问题。
当所求量分别与两个已知量的因数有关时，可以用公因数、最大公因数知识解决。
6、约分的意义。
把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫作约分。
7、最简分数的意义 。
分子和分母只有公因数1的分数叫作最简分数。
8、约分的方法。
（1）逐次约分法；（2）一次约分法。
1、最大公因数必须是两个数的公因数里面最大的一个，两个合数的最大公因数也可能是1。
2、约分是把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数。
3、最简分数的分子和分母不是没有公因数，而是只有公因数1。
【易错一】“五月五，过端午，粽香艾香飘满堂”。小明一家一共包了24个豆沙粽和16个火腿粽，把它们分别放在包装盒里，要使每盒的数量相等，每盒最多放（ ）个。
A．4 B．6 C．8 D．12
【解题思路】根据题意可知，求每盒最多装几个，也就是求24和16的最大公因数，先把这两个数分解质因数，它们公有质因数的乘积就是它们的最大公因数，由此解答。
【完整解答】24＝2×2×2×3
16＝2×2×2×2
24和16的最大公因数是2×2×2＝8
故答案为：C
【点睛】此题属于最大公因数的实际应用，利用分解质因数的方法，求出它们的最大公因数，由此解决问题。
【易错二】工作人员要把96条肉干和72袋狗粮平均分给动物救助站的小狗，刚好全部分完。每只小狗分到的肉干条数相同，狗粮袋数也相同，动物救助站最多有( )只小狗。
【解题思路】由题意可知，肉干和狗粮都刚好分完，则小狗的只数既是肉干条数的因数，也是狗粮袋数的因数，求小狗的最多只数就是求96和72的最大公因数，用短除法求出这两个数的最大公因数，据此解答。
【完整解答】
96和72的最大公因数是：2×2×2×3＝24
所以，动物救助站最多有24只小狗。
【点睛】本题主要考查最大公因数的应用，准确求出两个数的最大公因数是解答题目的关键。
【易错三】用下面的两种彩带包装礼品盒。现在要把它们剪成同样长的小段且没有剩余，每段最长是多少分米？一共能剪成几段？
【解题思路】要把彩带截成同样长的小段，不能有剩余，求每段彩带最长的长度，就是在求56和48的最大公因数，然后再用两条彩带的长度和除以最大公因数即可求解段数。据此解答。
【完整解答】56＝2×2×2×7
48＝2×2×2×2×3
2×2×2＝8
每段最长是8分米，
（56＋48）÷8
＝104÷8
＝13（段）
答：每段最长是8分米，一共能剪成13段。
【点睛】本题考查的是最大公因数的应用，主要分析题目是求最大公因数还是最小公倍数。
【易错四】把一个分数化简，用2约分一次，用3约分两次，用5约分一次，得到。原来的这分数是（ ）。
A． B． C．
【解题思路】根据约分方法，分别用分子和分母×5×3×3×2，求出原来的分子和分母即可。
【完整解答】2×5×3×3×2＝180、3×5×3×3×2＝270，原来的这分数是。
故答案为：B
【点睛】关键是掌握约分的方法，根据逐步约分法逆推回去即可。
【易错五】王叔叔四月份的工作天数占整个月天数的几分之几？休息天数占整个月天数的几分之几？（结果化成最简分数）
【解题思路】四月份工作的时间的天数是22天，四月份总天数是30天，休息的天数是（30－22）天，求一个数占另一个数的几分之几，用除法，用四月份工作的时间的天数除以整个月天数即可得解，用四月份休息的天数除以整个月天数即可得解。
【完整解答】22÷30＝
（30－22）÷30
＝8÷30
＝
答：四月份工作时间的天数占整个月天数的，休息天数占整个月天数的。
【点睛】此题的解题关键是掌握求一个数占另一个数的几分之几的计算方法。
【易错六】2021年春茶之际，茶农平均每天可以采摘50千克茶叶，其中龙井茶有20千克，白茶有14千克，其余是乌牛早。
（1）白茶质量是总质量的几分之几？
（2）算式“20÷（50－20－14）”解决的是什么问题？并计算。
【解题思路】（1）用白茶的质量除以茶叶的总质量即可；
（2）由题意可知，20千克表示龙井茶的重量，（50－20－14）表示乌牛早的重量，则20÷（50－20－14）解决的是龙井茶的重量是乌牛早的重量的几倍，据此进行计算即可。
【完整解答】（1）14÷50＝
答：白茶质量是总质量的。
（2）20÷（50－20－14）解决的是龙井茶的重量是乌牛早的重量的几倍；
20÷（50－20－14）
＝20÷16
＝
答：龙井茶的重量是乌牛早的倍。
【点睛】本题考查求一个数占另一个数的几分之几，明确用除法是解题的关键。
一、选择题
1．正在生长发育的小朋友，一般每天应保证9~10小时的睡眠时间，小朋友每天的睡眠最少是一天时间的（ ）。
A． B． C． D．
2．A＝2×3×5，B＝2×3×7，则A和B的最大公因数是（ ）。
A．30 B．42 C．6
3．甲数＝2×3×5，乙数＝2×3×7，甲乙两数的公因数有（ ）个。
A．3 B．4 C．5
4．把一个分数化简，用2约分一次，用3约分两次，用5约分一次，得到。原来的这分数是（ ）。
A． B． C．
5．已知，那么a和b有可能是（ ）。
A．， B．，
C．， D．，
6．把5克盐放入20克水中，盐占盐水的（ ）。
A． B． C． D．
7．乐乐把1瓶250mL的纯牛奶平均倒进4个杯子里，爸爸和乐乐各喝了1杯，剩下的妈妈全部喝完，请问妈妈喝的牛奶占整瓶牛奶的（ ）。
A． B． C． D．无法确定
8．一个数的最大因数是18，另一个数的最小倍数是24，它们的最大公因数是（ ）。
A．3 B．6 C．2 D．12
二、填空题
9．修一条1500米长的水渠，已经修了1000米，修了全长的( )（填分数）。
10．小花有一张长12厘米，宽9厘米的长方形纸。她要把它剪成若干同样大小的正方形面没有剩余，剪出的正方形的边长最大是( )厘米。
11．一根10米长的钢材重6千克，每米钢材重( )千克，每千克钢材长( )米。
12．在7、10和35中，( )是( )的倍数，( )是( )的因数，( )和( )的公因数只有1。
13．把下面的分数填到合适的框里。
与相等的分数 与相等的分数
14．一个班有45人，其中男生有25人，女生人数占全班人数的( )。
15．疫情期间，六年级线上学习每节课25分钟，合( )小时。
16．一个分数约分后是。约分之前分子与分母的和是160，约分前的分数是( )。
三、判断题
17．自然数11和12的最大公因数是1。( )
18．在100克的水中加入4克的糖，这时糖占糖水的。( )
19．学校有6个篮球，8个足球，足球个数比篮球多。( )
20．把20克糖溶解在100克水中，糖的质量占糖水质量的。( )
四、计算题
21．求下列每组数的最大公因数。
36和48 13和78 12和16
22．把下面各数约分，化成最简分数，能化成带分数的要化成带分数。
五、解答题
23．2021年世界水日的主题是“珍惜水，爱护水”。我国是一个缺水的国家，人均淡水资源量是2300立方米，世界人均淡水资源量是9200立方米。我国人均淡水资源量是世界人均淡水资源量的几分之几？
24．有两根钢管，分别长45厘米、30厘米，把它们截成长度相等的小段，且没有剩余。每一小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？
25．实验小学五年级共有学生220人，其中五一班有女生20人，男生35人。五一班女生人数是男生的几分之几？五年级的人数是五一班女生人数的多少倍？
26．有两根绳子，一根长36米，另一根长42米，要把这两根绳子都剪成同样长的小段，不许有剩余，每小段最长多少米？一共可以剪成多少段？
27．小刚每天睡10个小时，他一天的睡眠时间占全天的几分之几？
28．“六一”儿童节，刘老师准备了40个笔记本和32支水笔，把它们平均分给了几个孩子（没有剩余）。老师最多分给了几个同学？
29．世界上飞的最快的鸟是尖尾雨燕，平均时速可达170千米/小时；世界上跑得最快的鸟是鸵鸟，平均时速可达72千米/小时。鸵鸟的平均时速是尖尾雨燕的几分之几？尖尾雨燕的平均时速是鸵鸟的几倍？
30．在2022年北京冬奥会上，中国队获得金牌9枚、银牌4枚、铜牌2枚，金牌枚数和奖牌总枚数均创历史新高。
（1）中国队获得的金牌枚数占所获奖牌总枚数的几分之几？
（2）中国队获得的银牌和铜牌总枚数占所获金牌枚数的几分之几？
31．第二十四届冬季奥林匹克运动会于2022年2月20日在北京闭幕，我国奥运健儿最终获得9金、4银、2铜的优异成绩。请问，金牌数占奖牌总数的几分之几？银牌数是金牌数的几分之几？
32．丽丽读一本书，已读了32页，还剩48页没有读。
（1）已读了全书的几分之几？
（2）还剩全书的几分之几没有读？
参考答案
1．B
【分析】小朋友至少要有9个小时的睡眠时间，一天有24小时，把一天的时间看作单位“1”，根据求一个数占另一个数的几分之几，用一个数除以另一个数，则用9÷24即可求出小朋友每天的睡眠最少是一天的几分之几。
【详解】9÷24
＝
＝
正在生长发育的小朋友，一般每天应保证9~10小时的睡眠时间，小朋友每天的睡眠最少是一天时间的。
故答案为：B
【点睛】本题主要考查了求一个数占另一个数的几分之几，用除法计算。
2．C
【分析】把A和B分解质因数后，全部公有质因数的乘积就是A和B的最大公因数，据此解答。
【详解】A＝2×3×5，B＝2×3×7。
2×3＝6
所以，A和B的最大公因数是6。
故答案为：C
【点睛】掌握用分解质因数的方法求两个数最大公因数的方法是解答题目的关键。
3．B
【分析】甲数和乙数分解质因数后，全部公有质因数相乘的积就是甲数和乙数的最大公因数，先求出甲数和乙数的最大公因数，公因数是最大公因数的因数，再求出最大公因数的所有因数，据此解答。
【详解】甲数和乙数的最大公因数为：2×3＝6
6÷1＝6
6÷2＝3
由上可知，6的因数有1，2，3，6一共4个因数，所以甲乙两数的公因数有4个。
故答案为：B
【点睛】掌握求两个数最大公因数的方法并熟记公因数是最大公因数的因数是解答题目的关键。
4．B
【分析】根据约分方法，分别用分子和分母×5×3×3×2，求出原来的分子和分母即可。
【详解】2×5×3×3×2＝180、3×5×3×3×2＝270，原来的这分数是。
故答案为：B
【点睛】关键是掌握约分的方法，根据逐步约分法逆推回去即可。
5．B
【分析】分数与除法的关系是，据此关系先将除法算式写成分数，不是最简分数的要根据分数的基本性质约分成最简分数。
【详解】A．当a＝5，b＝3时，a÷b＝5÷3＝。
B．当a＝9，b＝15时，a÷b＝9÷15＝＝。
C．当a＝30，b＝45时，a÷b＝30÷45＝＝。
D．当a＝1.5，b＝5时，a÷b＝1.5÷5＝15÷50＝＝。
故答案为：B
【点睛】分数与除法既有联系，又有区别。除法是一种运算，分数是一种数。
6．D
【分析】盐是5克，盐水是5＋20＝25（克），求盐占盐水的几分之几，用盐的重量除以盐水的重量即可求解。
【详解】5÷（5＋20）
＝5÷25
＝
故答案为：D
【点睛】明确盐水的量＝盐的量＋水的量，掌握求一个数是另一个数的几分之几的方法是解答本题的关键。
7．A
【分析】由题意可知，把整瓶纯牛奶看作单位“1”，平均分成4份，爸爸和乐乐各喝了1份，则妈妈自己喝了2份，用2除以4即可求出妈妈喝的牛奶占整瓶牛奶的几分之几。
【详解】（4－1－1）÷4
＝2÷4
＝
则妈妈喝的牛奶占整瓶牛奶的。
故答案为：A
【点睛】本题考查求一个数占另一个数的几分之几，明确用除法是解题的关键。
8．B
【分析】一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身；据此得出这两个数分别是18和24，然后把18和24分解质因数，公有的相同质因数乘起来就是它们的最大公因数。
【详解】一个数的最大因数是18，则这个数是18；
另一个数的最小倍数是24，则另一个数是24；
18＝2×3×3
24＝2×2×2×3
18和24的最大公因数是：2×3＝6
一个数的最大因数是18，另一个数的最小倍数是24，它们的最大公因数是6。
故答案为：B
【点睛】本题考查因数和倍数的认识以及求两个数的最大公因数的方法。
9．
【分析】求修了全长的几分之几，即是在求一个数占另一个数的几分之几，用除法，用修了的长度除以水渠的总长度，即可得解。
【详解】1000÷1500＝
即修了全长的。
【点睛】此题的解题关键是掌握求一个数占另一个数的几分之几的计算方法。
10．3
【分析】长方形纸12厘米，宽9厘米，要把这张长方形纸剪成大小相等的正方形，而无剩余，正方形的边长必须是12和9的公因数，如果要求正方形的边长最大，那么必须是12和9的最大公因数即可。
【详解】12＝2×2×3
9＝3×3
12和9的最大公因数是3。
所以剪出的正方形的边长最大是3厘米。
【点睛】灵活应用最大公因数的求解方法来解决实际问题。
11． 0.6## ##
【分析】钢材重量÷长度＝每米重量，钢材长度÷重量＝每千克长度，据此列式计算。
【详解】6÷10＝0.6（千克）
10÷6＝＝（米）
一根10米长的钢材重6千克，每米钢材重0.6千克，每千克钢材长米。
【点睛】关键是根据分数与除法的关系表示出结果，分数的分子相当于被除数，分母相当于除数。
12． 35 7 7 35 7 10
【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。因数与倍数是相互依存的，必须说，谁是谁因数，谁是谁的倍数。
列举出7、10和35的因数，找出哪两个数的公因数只有1。
【详解】35÷7＝5
7的因数：1，7；
10的因数：1，2，5，10；
35的因数：1，5，7，35；
在7、10和35中，35是7的倍数，7是35的因数，7和10的公因数只有1。
【点睛】本题考查因数和倍数的意义以及找一个数的因数的方法。
13．见详解
【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。
【详解】＝＝
＝＝
＝＝
＝＝
＝＝
＝＝
＝＝
＝＝
＝＝
如图：
与相等的分数 与相等的分数
【点睛】掌握约分、通分的意义及应用是解题的关键。
14．
【分析】A是B的几分之几的计算方法：A÷B＝，女生人数占全班人数的分率＝（全班人数－男生人数）÷全班人数，把结果化为最简分数，据此解答。
【详解】（45－25）÷45
＝20÷45
＝
所以，女生人数占全班人数的。
【点睛】掌握一个数占另一个数几分之几的计算方法是解答题目的关键。
15．
【分析】根据1小时＝60分钟，高级单位化低级单位要乘进率，低级单位化高级单位要除以进率，据此解答。
【详解】25分钟＝小时
疫情期间，六年级线上学习每节课25分钟，合小时。
【点睛】本题考查了时间单位的换算，明确低级单位化高级单位要除以进率。
16．
【分析】把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。
一个分数约分之前分子与分母的和是160，约分后是，约分后分子与分母的和是3＋5＝8，则约分前分子与分母的和是约分后的160÷8＝20倍，用约分后分数的分子、分母分别乘20，即可求出约分前的分数。
【详解】160÷（3＋5）
＝160÷8
＝20
＝＝
约分前的分数是。
【点睛】理解掌握约分的意义及应用，找出分数约分前与约分后分子、分母之和的倍数关系是解题的关键。
17．√
【分析】在两个或两个以上的非零自然数中，如果它们有相同的因数，那么这些因数就叫做它们的公因数。其中最大的公因数，就叫做它们的最大公因数。
自然数11和12是互质数，它们的最大公因数是1。
【详解】11的因数：1，11；
12的因数：1，2，3，4，6，12；
11和12的最大公因数是1。
原题说法正确。
故答案为：√
【点睛】本题考查求两个数的最大公因数的方法，明确当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1。
18．×
【分析】先用糖的质量加上水的质量，求出糖水的质量；根据求一个数是另一个数的几分之几，用糖的质量除以糖水的质量即可。
【详解】4÷（4＋100）
＝4÷104
＝
在100克的水中加入4克的糖，这时糖占糖水的。
原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题考查分数与除法的关系，注意计算结果是最简分数。
19．√
【分析】把篮球的个数看作单位“1”，求足球的个数比篮球的个数多几分之几，先用足球的个数减去篮球的个数，多出的个数再除以单位“1”，即除以篮球的个数，计算得解，据此解答。
【详解】（8－6）÷6
＝2÷6
＝
即足球个数比篮球多。原题说法正确。
故答案为：√
【点睛】此题的解题关键是掌握求一个数比另一个数多几分之几的计算方法。
20．×
【分析】糖＋水＝糖水，糖的质量÷糖水质量＝糖的质量占糖水质量的几分之几，据此列式计算。
【详解】20÷（20＋100）
＝20÷120
＝
＝
把20克糖溶解在100克水中，糖的质量占糖水质量的，所以原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】此题主要考查了分数与除法的实际应用。
21．12；13；4
【分析】根据求两个数最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积求解；当两个数是倍数关系时，较小的数是它们的最大公因数，较大的数是它们的最小公倍数。据此解答。
【详解】36＝2×2×3×3
48＝2×2×2×2×3
36和48的最大公因数是2×2×3＝12。
78和13是倍数关系，所以13和78的最大公因数是13；
12＝2×2×3
16＝2×2×2×2
12和16的最大公因数是2×2＝4。
22．；1；2；
【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数大小不变；根据分数的基本性质，将分数约分成最简分数，约分：分子和分母同时除以它们的最大公因数即可得到最简分数，最简分数的分子和分母互质。假分数化成带分数只要把分子除以分母，商做带分数的整数部分，余数是分子，分母不变，如果没有余数，则直接用整数表示，据此解答。
【详解】
＝
＝
＝
＝
＝1
＝
＝
＝2
＝
＝
23．
【分析】求我国人均淡水资源量是世界人均淡水资源量的几分之几，实际上求一个数是另一个数的几分之几，用除法，用我国人均淡水资源量除以世界人均淡水资源量，即可得解。
【详解】2300÷9200＝
答：我国人均淡水资源量是世界人均淡水资源量的。
【点睛】此题的解题关键是掌握求一个数占另一个数的几分之几的计算方法。
24．15厘米；5段
【分析】截成长度相等的小段后没有剩余，说明每根钢管是45和30的公因数，求每一小段最长是多少厘米，则是求45和30的最大公因数，再用45除以最大公因数的商加上30除以最大公因数的商，即是一共截成的段数，列式解答即可得到答案。
【详解】45＝3×3×5
30＝2×3×5
45和30的最大公因数是：3×5＝15。
即每一小段最长是15厘米。
（45÷15）＋（30÷15）
＝3＋2
＝5（段）
答：每一小段最长15厘米，一共可以截成5段。
【点睛】此题的解题关键是运用求两个数的最大公因数的方法解决实际的问题。
25．；11
【分析】用五一班女生的人数除以男生的人数即可；根据求一个数是另一个数的几倍，用除法计算：用220除以20即可。
【详解】20÷35＝
220÷20＝11
答：五一班女生人数是男生的，五年级的人数是五一班女生人数的11倍。
【点睛】本题考查求一个数占另一个数的几分之几，明确用除法是解题的关键。
26．6米；13段
【分析】由于将这两根绳子都剪成同样长的小段，不能有剩余，而且每段最长，由此即可知道是找36和42的最大公因数，之后再用每根绳子的长度除以一段长求出各自能剪多少段，再相加即可。
【详解】36＝2×2×3×3
42＝2×3×7
26和42的最大公因数是2×3＝6。
（36＋42）÷6
＝78÷6
＝13（段）
答：每小段最长6米；一共可以剪成13段。
【点睛】解答此题的关键是利用求最大公因数的方法计算出每小段最长的长度。
27．
【分析】一天一共24个小时，每天的睡眠时间占全天的分率＝每天睡眠的时间÷全天的时间，最后把结果化为最简分数，据此解答。
【详解】一天＝24小时
10÷24＝
答：他一天的睡眠时间占全天的。
【点睛】掌握一个数占另一个数几分之几的计算方法是解答题目的关键。
28．8个
【分析】孩子们平均分笔记本和水笔没有剩余，则孩子们的人数是笔记本和水笔的因数，求最多有几个学生，求出笔记本和水笔的最大公因数即可。求两个数的最大公因数将两个数所有公有质因数相乘即可。
【详解】40＝2×2×2×5
32＝2×2×2×2×2
2×2×2＝8（个）
答：老师最多分给了8个同学。
【点睛】掌握求最大公因数的方法是解题的关键。
29．；
【分析】根据求一个数占另一个数的几分之几，用一个数除以另一个数，则用72÷170即可求出鸵鸟的平均时速是尖尾雨燕的几分之几，根据除法的意义，用170÷72即可求出尖尾雨燕的平均时速是鸵鸟的几倍。
【详解】72÷170＝
170÷72＝
答：鸵鸟的平均时速是尖尾雨燕的；尖尾雨燕的平均时速是鸵鸟的倍。
【点睛】本题主要考查了求一个数占另一个数的几分之几，用除法计算。
30．（1）；
（2）
【分析】（1）金牌数量占所获奖牌总数量的分率＝金牌数量÷（金牌数量＋银牌数量＋铜牌数量），把结果化为最简分数；
（2）银牌和铜牌数量占金牌数量的分率＝（银牌数量＋铜牌数量）÷金牌数量，最后把结果化为最简分数，据此解答。
【详解】（1）9÷（9＋4＋2）
＝9÷15
＝
答：中国队获得的金牌枚数占所获奖牌总枚数的。
（2）（4＋2）÷9
＝6÷9
＝
答：中国队获得的银牌和铜牌总枚数占所获金牌枚数的。
【点睛】掌握一个数占另一个数几分之几的计算方法是解答题目的关键。
31．；
【分析】求一个数是另一个数（0除外）的几分之几的解题方法：一个数÷另一个数＝。先求出奖牌总数，再用金牌数÷奖牌总数求出金牌占奖牌总数的几分之几，最后根据分数的基本性质约成最简分数；用银牌数÷金牌数求出银牌数是金牌数的几分之几。
【详解】9÷（9＋4＋2）
＝9÷15
＝
＝
4÷9＝
答：金牌数占奖牌总数的，银牌数是金牌数的。
【点睛】求一个数是另一个数的几分之几或几倍都可以用除法计算。
32．（1）
（2）
【分析】（1）用加法求出一共多少页，再用已读的页数除以总页数就是已读了全书的几分之几。
（2）把总页数看作单位“1”，用单位“1”减去已读了全书的几分之几就是还剩全书的几分之几没有读。
【详解】（1）32÷（32＋48）
＝32÷80
＝
答：已读了全书的。
（2）1－
答：还剩全书的没有读。
【点睛】本题考查了分数除法的意义和分数减法的意义。
第11讲 约分（讲义）
（知识梳理+易错汇总+易错精讲+易错专练）
1、公因数和最大公因数的意义。
几个数公有的因数，叫作它们的公因数；其中最大的公因数叫作它们的最大公因数。
2、求两个数的最大公因数的方法。
（1）列举法；（2）筛选法；（3）分解质因数法；（4）短除法。
3、互质数的意义。
只有公因数1的两个数，叫作互质数。
4、求两个数的最大公因数的特殊方法。
（1）当两个数成倍数关系时，较小数是它们的最大公因数；（2）当两个数是互质数时，最大公因数是1。
5、用公因数、最大公因数解决实际问题。
当所求量分别与两个已知量的因数有关时，可以用公因数、最大公因数知识解决。
6、约分的意义。
把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫作约分。
7、最简分数的意义 。
分子和分母只有公因数1的分数叫作最简分数。
8、约分的方法。
（1）逐次约分法；（2）一次约分法。
1、最大公因数必须是两个数的公因数里面最大的一个，两个合数的最大公因数也可能是1。
2、约分是把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数。
3、最简分数的分子和分母不是没有公因数，而是只有公因数1。
【易错一】“五月五，过端午，粽香艾香飘满堂”。小明一家一共包了24个豆沙粽和16个火腿粽，把它们分别放在包装盒里，要使每盒的数量相等，每盒最多放（ ）个。
A．4 B．6 C．8 D．12
【解题思路】根据题意可知，求每盒最多装几个，也就是求24和16的最大公因数，先把这两个数分解质因数，它们公有质因数的乘积就是它们的最大公因数，由此解答。
【完整解答】24＝2×2×2×3
16＝2×2×2×2
24和16的最大公因数是2×2×2＝8
故答案为：C
【点睛】此题属于最大公因数的实际应用，利用分解质因数的方法，求出它们的最大公因数，由此解决问题。
【易错二】工作人员要把96条肉干和72袋狗粮平均分给动物救助站的小狗，刚好全部分完。每只小狗分到的肉干条数相同，狗粮袋数也相同，动物救助站最多有( )只小狗。
【解题思路】由题意可知，肉干和狗粮都刚好分完，则小狗的只数既是肉干条数的因数，也是狗粮袋数的因数，求小狗的最多只数就是求96和72的最大公因数，用短除法求出这两个数的最大公因数，据此解答。
【完整解答】
96和72的最大公因数是：2×2×2×3＝24
所以，动物救助站最多有24只小狗。
【点睛】本题主要考查最大公因数的应用，准确求出两个数的最大公因数是解答题目的关键。
【易错三】用下面的两种彩带包装礼品盒。现在要把它们剪成同样长的小段且没有剩余，每段最长是多少分米？一共能剪成几段？
【解题思路】要把彩带截成同样长的小段，不能有剩余，求每段彩带最长的长度，就是在求56和48的最大公因数，然后再用两条彩带的长度和除以最大公因数即可求解段数。据此解答。
【完整解答】56＝2×2×2×7
48＝2×2×2×2×3
2×2×2＝8
每段最长是8分米，
（56＋48）÷8
＝104÷8
＝13（段）
答：每段最长是8分米，一共能剪成13段。
【点睛】本题考查的是最大公因数的应用，主要分析题目是求最大公因数还是最小公倍数。
【易错四】把一个分数化简，用2约分一次，用3约分两次，用5约分一次，得到。原来的这分数是（ ）。
A． B． C．
【解题思路】根据约分方法，分别用分子和分母×5×3×3×2，求出原来的分子和分母即可。
【完整解答】2×5×3×3×2＝180、3×5×3×3×2＝270，原来的这分数是。
故答案为：B
【点睛】关键是掌握约分的方法，根据逐步约分法逆推回去即可。
【易错五】王叔叔四月份的工作天数占整个月天数的几分之几？休息天数占整个月天数的几分之几？（结果化成最简分数）
【解题思路】四月份工作的时间的天数是22天，四月份总天数是30天，休息的天数是（30－22）天，求一个数占另一个数的几分之几，用除法，用四月份工作的时间的天数除以整个月天数即可得解，用四月份休息的天数除以整个月天数即可得解。
【完整解答】22÷30＝
（30－22）÷30
＝8÷30
＝
答：四月份工作时间的天数占整个月天数的，休息天数占整个月天数的。
【点睛】此题的解题关键是掌握求一个数占另一个数的几分之几的计算方法。
【易错六】2021年春茶之际，茶农平均每天可以采摘50千克茶叶，其中龙井茶有20千克，白茶有14千克，其余是乌牛早。
（1）白茶质量是总质量的几分之几？
（2）算式“20÷（50－20－14）”解决的是什么问题？并计算。
【解题思路】（1）用白茶的质量除以茶叶的总质量即可；
（2）由题意可知，20千克表示龙井茶的重量，（50－20－14）表示乌牛早的重量，则20÷（50－20－14）解决的是龙井茶的重量是乌牛早的重量的几倍，据此进行计算即可。
【完整解答】（1）14÷50＝
答：白茶质量是总质量的。
（2）20÷（50－20－14）解决的是龙井茶的重量是乌牛早的重量的几倍；
20÷（50－20－14）
＝20÷16
＝
答：龙井茶的重量是乌牛早的倍。
【点睛】本题考查求一个数占另一个数的几分之几，明确用除法是解题的关键。
一、选择题
1．正在生长发育的小朋友，一般每天应保证9~10小时的睡眠时间，小朋友每天的睡眠最少是一天时间的（ ）。
A． B． C． D．
2．A＝2×3×5，B＝2×3×7，则A和B的最大公因数是（ ）。
A．30 B．42 C．6
3．甲数＝2×3×5，乙数＝2×3×7，甲乙两数的公因数有（ ）个。
A．3 B．4 C．5
4．把一个分数化简，用2约分一次，用3约分两次，用5约分一次，得到。原来的这分数是（ ）。
A． B． C．
5．已知，那么a和b有可能是（ ）。
A．， B．，
C．， D．，
6．把5克盐放入20克水中，盐占盐水的（ ）。
A． B． C． D．
7．乐乐把1瓶250mL的纯牛奶平均倒进4个杯子里，爸爸和乐乐各喝了1杯，剩下的妈妈全部喝完，请问妈妈喝的牛奶占整瓶牛奶的（ ）。
A． B． C． D．无法确定
8．一个数的最大因数是18，另一个数的最小倍数是24，它们的最大公因数是（ ）。
A．3 B．6 C．2 D．12
二、填空题
9．修一条1500米长的水渠，已经修了1000米，修了全长的( )（填分数）。
10．小花有一张长12厘米，宽9厘米的长方形纸。她要把它剪成若干同样大小的正方形面没有剩余，剪出的正方形的边长最大是( )厘米。
11．一根10米长的钢材重6千克，每米钢材重( )千克，每千克钢材长( )米。
12．在7、10和35中，( )是( )的倍数，( )是( )的因数，( )和( )的公因数只有1。
13．把下面的分数填到合适的框里。
与相等的分数 与相等的分数
14．一个班有45人，其中男生有25人，女生人数占全班人数的( )。
15．疫情期间，六年级线上学习每节课25分钟，合( )小时。
16．一个分数约分后是。约分之前分子与分母的和是160，约分前的分数是( )。
三、判断题
17．自然数11和12的最大公因数是1。( )
18．在100克的水中加入4克的糖，这时糖占糖水的。( )
19．学校有6个篮球，8个足球，足球个数比篮球多。( )
20．把20克糖溶解在100克水中，糖的质量占糖水质量的。( )
四、计算题
21．求下列每组数的最大公因数。
36和48 13和78 12和16
22．把下面各数约分，化成最简分数，能化成带分数的要化成带分数。
五、解答题
23．2021年世界水日的主题是“珍惜水，爱护水”。我国是一个缺水的国家，人均淡水资源量是2300立方米，世界人均淡水资源量是9200立方米。我国人均淡水资源量是世界人均淡水资源量的几分之几？
24．有两根钢管，分别长45厘米、30厘米，把它们截成长度相等的小段，且没有剩余。每一小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？
25．实验小学五年级共有学生220人，其中五一班有女生20人，男生35人。五一班女生人数是男生的几分之几？五年级的人数是五一班女生人数的多少倍？
26．有两根绳子，一根长36米，另一根长42米，要把这两根绳子都剪成同样长的小段，不许有剩余，每小段最长多少米？一共可以剪成多少段？
27．小刚每天睡10个小时，他一天的睡眠时间占全天的几分之几？
28．“六一”儿童节，刘老师准备了40个笔记本和32支水笔，把它们平均分给了几个孩子（没有剩余）。老师最多分给了几个同学？
29．世界上飞的最快的鸟是尖尾雨燕，平均时速可达170千米/小时；世界上跑得最快的鸟是鸵鸟，平均时速可达72千米/小时。鸵鸟的平均时速是尖尾雨燕的几分之几？尖尾雨燕的平均时速是鸵鸟的几倍？
30．在2022年北京冬奥会上，中国队获得金牌9枚、银牌4枚、铜牌2枚，金牌枚数和奖牌总枚数均创历史新高。
（1）中国队获得的金牌枚数占所获奖牌总枚数的几分之几？
（2）中国队获得的银牌和铜牌总枚数占所获金牌枚数的几分之几？
31．第二十四届冬季奥林匹克运动会于2022年2月20日在北京闭幕，我国奥运健儿最终获得9金、4银、2铜的优异成绩。请问，金牌数占奖牌总数的几分之几？银牌数是金牌数的几分之几？
32．丽丽读一本书，已读了32页，还剩48页没有读。
（1）已读了全书的几分之几？
（2）还剩全书的几分之几没有读？
参考答案
1．B
【分析】小朋友至少要有9个小时的睡眠时间，一天有24小时，把一天的时间看作单位“1”，根据求一个数占另一个数的几分之几，用一个数除以另一个数，则用9÷24即可求出小朋友每天的睡眠最少是一天的几分之几。
【详解】9÷24
＝
＝
正在生长发育的小朋友，一般每天应保证9~10小时的睡眠时间，小朋友每天的睡眠最少是一天时间的。
故答案为：B
【点睛】本题主要考查了求一个数占另一个数的几分之几，用除法计算。
2．C
【分析】把A和B分解质因数后，全部公有质因数的乘积就是A和B的最大公因数，据此解答。
【详解】A＝2×3×5，B＝2×3×7。
2×3＝6
所以，A和B的最大公因数是6。
故答案为：C
【点睛】掌握用分解质因数的方法求两个数最大公因数的方法是解答题目的关键。
3．B
【分析】甲数和乙数分解质因数后，全部公有质因数相乘的积就是甲数和乙数的最大公因数，先求出甲数和乙数的最大公因数，公因数是最大公因数的因数，再求出最大公因数的所有因数，据此解答。
【详解】甲数和乙数的最大公因数为：2×3＝6
6÷1＝6
6÷2＝3
由上可知，6的因数有1，2，3，6一共4个因数，所以甲乙两数的公因数有4个。
故答案为：B
【点睛】掌握求两个数最大公因数的方法并熟记公因数是最大公因数的因数是解答题目的关键。
4．B
【分析】根据约分方法，分别用分子和分母×5×3×3×2，求出原来的分子和分母即可。
【详解】2×5×3×3×2＝180、3×5×3×3×2＝270，原来的这分数是。
故答案为：B
【点睛】关键是掌握约分的方法，根据逐步约分法逆推回去即可。
5．B
【分析】分数与除法的关系是，据此关系先将除法算式写成分数，不是最简分数的要根据分数的基本性质约分成最简分数。
【详解】A．当a＝5，b＝3时，a÷b＝5÷3＝。
B．当a＝9，b＝15时，a÷b＝9÷15＝＝。
C．当a＝30，b＝45时，a÷b＝30÷45＝＝。
D．当a＝1.5，b＝5时，a÷b＝1.5÷5＝15÷50＝＝。
故答案为：B
【点睛】分数与除法既有联系，又有区别。除法是一种运算，分数是一种数。
6．D
【分析】盐是5克，盐水是5＋20＝25（克），求盐占盐水的几分之几，用盐的重量除以盐水的重量即可求解。
【详解】5÷（5＋20）
＝5÷25
＝
故答案为：D
【点睛】明确盐水的量＝盐的量＋水的量，掌握求一个数是另一个数的几分之几的方法是解答本题的关键。
7．A
【分析】由题意可知，把整瓶纯牛奶看作单位“1”，平均分成4份，爸爸和乐乐各喝了1份，则妈妈自己喝了2份，用2除以4即可求出妈妈喝的牛奶占整瓶牛奶的几分之几。
【详解】（4－1－1）÷4
＝2÷4
＝
则妈妈喝的牛奶占整瓶牛奶的。
故答案为：A
【点睛】本题考查求一个数占另一个数的几分之几，明确用除法是解题的关键。
8．B
【分析】一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身；据此得出这两个数分别是18和24，然后把18和24分解质因数，公有的相同质因数乘起来就是它们的最大公因数。
【详解】一个数的最大因数是18，则这个数是18；
另一个数的最小倍数是24，则另一个数是24；
18＝2×3×3
24＝2×2×2×3
18和24的最大公因数是：2×3＝6
一个数的最大因数是18，另一个数的最小倍数是24，它们的最大公因数是6。
故答案为：B
【点睛】本题考查因数和倍数的认识以及求两个数的最大公因数的方法。
9．
【分析】求修了全长的几分之几，即是在求一个数占另一个数的几分之几，用除法，用修了的长度除以水渠的总长度，即可得解。
【详解】1000÷1500＝
即修了全长的。
【点睛】此题的解题关键是掌握求一个数占另一个数的几分之几的计算方法。
10．3
【分析】长方形纸12厘米，宽9厘米，要把这张长方形纸剪成大小相等的正方形，而无剩余，正方形的边长必须是12和9的公因数，如果要求正方形的边长最大，那么必须是12和9的最大公因数即可。
【详解】12＝2×2×3
9＝3×3
12和9的最大公因数是3。
所以剪出的正方形的边长最大是3厘米。
【点睛】灵活应用最大公因数的求解方法来解决实际问题。
11． 0.6## ##
【分析】钢材重量÷长度＝每米重量，钢材长度÷重量＝每千克长度，据此列式计算。
【详解】6÷10＝0.6（千克）
10÷6＝＝（米）
一根10米长的钢材重6千克，每米钢材重0.6千克，每千克钢材长米。
【点睛】关键是根据分数与除法的关系表示出结果，分数的分子相当于被除数，分母相当于除数。
12． 35 7 7 35 7 10
【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。因数与倍数是相互依存的，必须说，谁是谁因数，谁是谁的倍数。
列举出7、10和35的因数，找出哪两个数的公因数只有1。
【详解】35÷7＝5
7的因数：1，7；
10的因数：1，2，5，10；
35的因数：1，5，7，35；
在7、10和35中，35是7的倍数，7是35的因数，7和10的公因数只有1。
【点睛】本题考查因数和倍数的意义以及找一个数的因数的方法。
13．见详解
【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。
【详解】＝＝
＝＝
＝＝
＝＝
＝＝
＝＝
＝＝
＝＝
＝＝
如图：
与相等的分数 与相等的分数
【点睛】掌握约分、通分的意义及应用是解题的关键。
14．
【分析】A是B的几分之几的计算方法：A÷B＝，女生人数占全班人数的分率＝（全班人数－男生人数）÷全班人数，把结果化为最简分数，据此解答。
【详解】（45－25）÷45
＝20÷45
＝
所以，女生人数占全班人数的。
【点睛】掌握一个数占另一个数几分之几的计算方法是解答题目的关键。
15．
【分析】根据1小时＝60分钟，高级单位化低级单位要乘进率，低级单位化高级单位要除以进率，据此解答。
【详解】25分钟＝小时
疫情期间，六年级线上学习每节课25分钟，合小时。
【点睛】本题考查了时间单位的换算，明确低级单位化高级单位要除以进率。
16．
【分析】把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。
一个分数约分之前分子与分母的和是160，约分后是，约分后分子与分母的和是3＋5＝8，则约分前分子与分母的和是约分后的160÷8＝20倍，用约分后分数的分子、分母分别乘20，即可求出约分前的分数。
【详解】160÷（3＋5）
＝160÷8
＝20
＝＝
约分前的分数是。
【点睛】理解掌握约分的意义及应用，找出分数约分前与约分后分子、分母之和的倍数关系是解题的关键。
17．√
【分析】在两个或两个以上的非零自然数中，如果它们有相同的因数，那么这些因数就叫做它们的公因数。其中最大的公因数，就叫做它们的最大公因数。
自然数11和12是互质数，它们的最大公因数是1。
【详解】11的因数：1，11；
12的因数：1，2，3，4，6，12；
11和12的最大公因数是1。
原题说法正确。
故答案为：√
【点睛】本题考查求两个数的最大公因数的方法，明确当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1。
18．×
【分析】先用糖的质量加上水的质量，求出糖水的质量；根据求一个数是另一个数的几分之几，用糖的质量除以糖水的质量即可。
【详解】4÷（4＋100）
＝4÷104
＝
在100克的水中加入4克的糖，这时糖占糖水的。
原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题考查分数与除法的关系，注意计算结果是最简分数。
19．√
【分析】把篮球的个数看作单位“1”，求足球的个数比篮球的个数多几分之几，先用足球的个数减去篮球的个数，多出的个数再除以单位“1”，即除以篮球的个数，计算得解，据此解答。
【详解】（8－6）÷6
＝2÷6
＝
即足球个数比篮球多。原题说法正确。
故答案为：√
【点睛】此题的解题关键是掌握求一个数比另一个数多几分之几的计算方法。
20．×
【分析】糖＋水＝糖水，糖的质量÷糖水质量＝糖的质量占糖水质量的几分之几，据此列式计算。
【详解】20÷（20＋100）
＝20÷120
＝
＝
把20克糖溶解在100克水中，糖的质量占糖水质量的，所以原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】此题主要考查了分数与除法的实际应用。
21．12；13；4
【分析】根据求两个数最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积求解；当两个数是倍数关系时，较小的数是它们的最大公因数，较大的数是它们的最小公倍数。据此解答。
【详解】36＝2×2×3×3
48＝2×2×2×2×3
36和48的最大公因数是2×2×3＝12。
78和13是倍数关系，所以13和78的最大公因数是13；
12＝2×2×3
16＝2×2×2×2
12和16的最大公因数是2×2＝4。
22．；1；2；
【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数大小不变；根据分数的基本性质，将分数约分成最简分数，约分：分子和分母同时除以它们的最大公因数即可得到最简分数，最简分数的分子和分母互质。假分数化成带分数只要把分子除以分母，商做带分数的整数部分，余数是分子，分母不变，如果没有余数，则直接用整数表示，据此解答。
【详解】
＝
＝
＝
＝
＝1
＝
＝
＝2
＝
＝
23．
【分析】求我国人均淡水资源量是世界人均淡水资源量的几分之几，实际上求一个数是另一个数的几分之几，用除法，用我国人均淡水资源量除以世界人均淡水资源量，即可得解。
【详解】2300÷9200＝
答：我国人均淡水资源量是世界人均淡水资源量的。
【点睛】此题的解题关键是掌握求一个数占另一个数的几分之几的计算方法。
24．15厘米；5段
【分析】截成长度相等的小段后没有剩余，说明每根钢管是45和30的公因数，求每一小段最长是多少厘米，则是求45和30的最大公因数，再用45除以最大公因数的商加上30除以最大公因数的商，即是一共截成的段数，列式解答即可得到答案。
【详解】45＝3×3×5
30＝2×3×5
45和30的最大公因数是：3×5＝15。
即每一小段最长是15厘米。
（45÷15）＋（30÷15）
＝3＋2
＝5（段）
答：每一小段最长15厘米，一共可以截成5段。
【点睛】此题的解题关键是运用求两个数的最大公因数的方法解决实际的问题。
25．；11
【分析】用五一班女生的人数除以男生的人数即可；根据求一个数是另一个数的几倍，用除法计算：用220除以20即可。
【详解】20÷35＝
220÷20＝11
答：五一班女生人数是男生的，五年级的人数是五一班女生人数的11倍。
【点睛】本题考查求一个数占另一个数的几分之几，明确用除法是解题的关键。
26．6米；13段
【分析】由于将这两根绳子都剪成同样长的小段，不能有剩余，而且每段最长，由此即可知道是找36和42的最大公因数，之后再用每根绳子的长度除以一段长求出各自能剪多少段，再相加即可。
【详解】36＝2×2×3×3
42＝2×3×7
26和42的最大公因数是2×3＝6。
（36＋42）÷6
＝78÷6
＝13（段）
答：每小段最长6米；一共可以剪成13段。
【点睛】解答此题的关键是利用求最大公因数的方法计算出每小段最长的长度。
27．
【分析】一天一共24个小时，每天的睡眠时间占全天的分率＝每天睡眠的时间÷全天的时间，最后把结果化为最简分数，据此解答。
【详解】一天＝24小时
10÷24＝
答：他一天的睡眠时间占全天的。
【点睛】掌握一个数占另一个数几分之几的计算方法是解答题目的关键。
28．8个
【分析】孩子们平均分笔记本和水笔没有剩余，则孩子们的人数是笔记本和水笔的因数，求最多有几个学生，求出笔记本和水笔的最大公因数即可。求两个数的最大公因数将两个数所有公有质因数相乘即可。
【详解】40＝2×2×2×5
32＝2×2×2×2×2
2×2×2＝8（个）
答：老师最多分给了8个同学。
【点睛】掌握求最大公因数的方法是解题的关键。
29．；
【分析】根据求一个数占另一个数的几分之几，用一个数除以另一个数，则用72÷170即可求出鸵鸟的平均时速是尖尾雨燕的几分之几，根据除法的意义，用170÷72即可求出尖尾雨燕的平均时速是鸵鸟的几倍。
【详解】72÷170＝
170÷72＝
答：鸵鸟的平均时速是尖尾雨燕的；尖尾雨燕的平均时速是鸵鸟的倍。
【点睛】本题主要考查了求一个数占另一个数的几分之几，用除法计算。
30．（1）；
（2）
【分析】（1）金牌数量占所获奖牌总数量的分率＝金牌数量÷（金牌数量＋银牌数量＋铜牌数量），把结果化为最简分数；
（2）银牌和铜牌数量占金牌数量的分率＝（银牌数量＋铜牌数量）÷金牌数量，最后把结果化为最简分数，据此解答。
【详解】（1）9÷（9＋4＋2）
＝9÷15
＝
答：中国队获得的金牌枚数占所获奖牌总枚数的。
（2）（4＋2）÷9
＝6÷9
＝
答：中国队获得的银牌和铜牌总枚数占所获金牌枚数的。
【点睛】掌握一个数占另一个数几分之几的计算方法是解答题目的关键。
31．；
【分析】求一个数是另一个数（0除外）的几分之几的解题方法：一个数÷另一个数＝。先求出奖牌总数，再用金牌数÷奖牌总数求出金牌占奖牌总数的几分之几，最后根据分数的基本性质约成最简分数；用银牌数÷金牌数求出银牌数是金牌数的几分之几。
【详解】9÷（9＋4＋2）
＝9÷15
＝
＝
4÷9＝
答：金牌数占奖牌总数的，银牌数是金牌数的。
【点睛】求一个数是另一个数的几分之几或几倍都可以用除法计算。
32．（1）
（2）
【分析】（1）用加法求出一共多少页，再用已读的页数除以总页数就是已读了全书的几分之几。
（2）把总页数看作单位“1”，用单位“1”减去已读了全书的几分之几就是还剩全书的几分之几没有读。
【详解】（1）32÷（32＋48）
＝32÷80
＝
答：已读了全书的。
（2）1－
答：还剩全书的没有读。
【点睛】本题考查了分数除法的意义和分数减法的意义。
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