初一数学秋季讲义 第9讲 图形的认识初步

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1.  几何图形

⑴几何图形：从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形.

⑵立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体等）的各部分不都在同一平面内，他们是立体图形.

⑶平面图形：有些几何图形（如线段、角、正方形等）的各部分都在同一平面内，他们是平面图形.

2.  点、线、面、体

⑴点、线、面、体的概念

①几何体也简称为体，例如长方体、正方体等.

②包围着体的是面，面有平面和曲面两种.

③面与面相交的地方形成线，线有直线和曲线两种.

④线与线相交形成点.

⑵点动成线、线动成面、面动成体.

3. 几何图形都是由点、线、面、体构成的，点是构成图形的基本元素.

4. 基本图形

⑴常见的几何体

⑵常见几何体的分类

【引例】       所给的图形中，是棱柱的有        个．

⑴                ⑵       ⑶      ⑷        ⑸         ⑹       ⑺

【解析】       4个，第⑴、⑵、⑷、⑺个图形均是．

学生容易忽略第⑴、⑺个图形．

【教师备选】例1是常见几何体的识别，例2是点、线、面的关系以及几何体中顶点、棱和面的关系.

【例1】         如下图，柱体有     个，其中     是圆柱，     是棱柱；锥体有     个，其中        

       是圆锥，       是棱锥．

【解析】       柱体有个，其中是圆柱，是棱柱．锥体有个，其中是圆锥，是棱锥．

【例2】         ⑴ 如图，将三角尺绕着它的一条直角边旋转一周．请回答下列问题：

①       三角尺右下的顶点，经运动形成了一个怎样的图形？

②       三角尺下面的边，经运动形成了一个怎样的图形？

③       三角尺的面，经运动形成了一个怎样的图形？

⑵ 观察下列多面体，并把下表补充完整．

①观察上表中的结果，你能发现、、之间有什么关系吗？请写出关系式．

②一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是____________.

【解析】       ⑴ ① 形成一个圆．② 形成一个圆面．③ 形成一个圆锥体．

⑵

①可以得到欧拉公式．

②20.

          设顶点数为x，则面数为x+8，则有：

             解得：

          面数为20.

【点评】       ⑴ 点动成线，线动成面，面动成体．⑵ 多面体是根据面数命名．比如正方体和长方体都有六个面，叫做六面体．凸多面体的顶点数、棱数、面数满足欧拉公式．

定义：从正面看到的图叫主视图，也叫正视图．从左面看到的图叫左视图．从上面看到的图叫俯视图．主视图、左视图、俯视图统称三视图．

要求：（学生版没有）

①会画一个立体图形的三视图．

②会通过三视图确定立体图形．

③知道三视图与特殊立体图形的表面积、体积的关系．

④两种视图与分类讨论．（如：根据所给主视图、左视图判断最多或最少多少个立方体）

【引例】       右图是一块带有圆形空洞和矩形空洞的小木板，则下列物体中最有可能既可以堵住圆形空洞，又可以堵住矩形空洞的是（     ）

A．       B．     C．     D．

【解析】       B．

【点评】       此题是对圆柱体主视图（左视图）和俯视图基础知识的简单应用.

【教师备选】例3要求会判断并画出几何体的三视图；例4通过三视图中的两个图能还原到整个几何体并求出面积或体积；例5根据三视图的形状判断几何体的最值情况.

【例3】         ⑴ 如图所示几何体的左视图是（     ）

                    正面

⑵ 如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，那么其三种

视图中面积最小的是（    ）

A．正视图     B．左视图    C．俯视图     D．三种一样

⑶ 一个几何体的主视图、左视图、俯视图的图形完全相同，它可能是（    ）

A．三棱锥   B．长方体     C．球体    D．三棱柱

⑷ 一位美术老师在课堂上进行立体模型素描教学时，把由圆锥与圆柱组成的几何体（如图所

示，圆锥在圆柱上底面正中间放置）摆在讲桌上，请你在指定的方框内分别画出这个几何体的三视图（从正面、左面、上面看得到的视图）．

【解析】       ⑴ D；⑵ B；  ⑶ C； ⑷ 如图所示：（说明：俯视图中漏掉圆心的黑点扣分．）

【例4】         ⑴ 长方体的主视图、俯视图如图所示（单位：），则其左视图面积是（     ）

A．4             B．12           C．1             D．3

⑵ 如图，是一个几何体的三视图，根据图中标注的数据可求得这个几何体的体积为（    ）

A．            B．           C．          D．

⑶ 将棱长是的小正方体组成如图所示的几何体．

① 画出这个图的三视图，并求出三视图的面积．

② 求该立体图形的表面积．（包括底面积）

③ 求出几何体中重叠面的面积和．

【解析】       ⑴ D；⑵ A；⑶ ① 三视图如下：

主视图的面积为；左视图的面积为；俯视图的面积为．

② 主视图、左视图、俯视图面积和的倍：．

③ 24. 提示法一：；法二：

【例5】         ⑴ 如右图，是由若干个同样大小的立方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置立方体的个数，则这个几何体的主视图是（    ）

⑵ 如图，是由一些大小相同的小正方体组成的几何体的主视图

和俯视图，则组成这个几何体的小正方体最多块数是（     ）

A．                         B．   

C．                         D． 

⑶ 如图是由大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视

图和左视图，那么组成这个几何体的小正方体的个数最多

为        ．

⑷一个几何体，是由许多规格相同的小正方体堆积而成的，其主  

视图、左视图如右图所示，要摆成这样的图形，至少需用

            块小正方体，至多需要       块小正方体．

【解析】       ⑴ D ；⑵在此强调一下没有特殊说明俯视图都是从正上方往下看，故选C；

⑶ 7；

⑷ 小正方体个数最少情况如下左图所示，最多情况如下右图所示.

所以最少为5块；最多13块. （图中数字表示该位置小正方体的个数）

展开——立体图形平面化，折叠——平面图形立体化，折与展是两个相反的过程，将我们的思维带到更深的境地.

【引例】       如图，为一个多面体的表面展开图，每个面内都标注了数字．若数字为的面是底面，则朝上一面所标注的数字为（　　）

A．        B．       C．     D．

【分析】       解答此题的关键是正确的将展开图还原成立体图形.

【解析】       D．

【教师备选】例6是有关立体图形的展开图，例7为立体图形的截面图.

【例6】         ⑴ 如图是一个正方形盒的展开图，若在其中的三个正方形A、B、C 内分别填入适当的数，使得它们折成正方形后相对的面上的两个数互为相反数，则填入正方形A、B、C内的三个数依次为（    ）

A. 0、、2                      B. 0、2、        

C. 2、0、                      D. 、0、2

⑵ 右图所示是一个三棱柱纸盒，在下面四个图中，只有一个是

这个纸盒的展开图，那么这个展开图是（    ）

A．       B．     C．       D．

（北京中考）

⑶ 下图是一个没有完全剪开的正方体，若再剪开一条棱，则得到的平面展开图可能是下列六种图中的            ．（填写字母）

（海淀期末）

【解析】       ⑴ B；⑵ D；⑶ A、B、E．

【例7】         ⑴用一个平面去截一个正方体，截面不可能是（　　）

A．梯形    B．五边形   C．六边形   D．直角三角形

⑵用平面截一个几何体，如果截面的形状是长方形（或正方形），那么该几何体不可能

是（　　）

A．圆柱    B．棱柱    C．正方体   D．圆锥

⑶用一个平面去截一个长方体，把长方体截成两部分，使其中一部分有4个面围成，另一部分有7个面围成，想一想，再在下面画出示意图．

【解析】       ⑴D；截面为三角形，四边形（正方形，长方形都归属于此类），五边形，六边形． 用一个平面去截正方体，可能出现下面几种情况：

由前面的知识我们知道“面与面相交得到线”，而用平面去截几何体，所得的截面就是这个平面与几何体每个面相交的线所围成的图形．正方体只有六个面，所以截面最多有六条边，即截面边数最多的图形是六边形．长方体、棱柱的截面与正方体的截面有相似之处．

⑵       D.

⑶      

【教师备选】正方体的十一种展开方式

1. “141型”，中间一行4个作侧面，上下两个各作为上下底面，共有6种基本图形.

2．“132型”，中间3个作侧面，共3种基本图形.

3．“222型”，两行只能有1个正方形相连.

4．“33型”，两行只能有1个正方形相连.

【拓展】1.下面10个图形中有几个可以折成没有盖子的五个面的小方盒？请指明．

2.  已知正方体的六个面分别是、、、、、，根据图中正方体的三种不同的状态显

示的数字，推出处的数字是（     ）

A．        B．        C．         D．

3. 在二行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有点和点，点和点，点和点），在每一种翻动方式中，骰子不能后退．开始时骰子如图⑴那样摆放，朝上的点数是；最后翻动到如图⑵所示的位置，此时骰子朝上的点数不可能是下列数中的（    ）

A．            B．           C．       D．

【解析】       1. 7个；2. D；3. D.

【例8】         ⑴ 美术课上，老师要求同学们将右图所示的白纸只沿虚线裁开，

用裁开的纸片和白纸上的阴影部分围成一个立体模型，然后放在桌面上，下面四个示意图中，只有一个符合上述要求，那么这个示意图是（    ）

A．           B．

C．           D．

（北京中考）

⑵ 如图所示，一只小虫要从正方体的一个顶点爬到相距它最远的另一个

顶点，问怎么样爬行路径最短？请画出来. 这样的最短路径有几条？

【解析】       ⑴ B；⑵ 6条．提示：

训练1.  如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体的每一个面都有一个 

实数，且相对面上的两个数互为倒数，那么代数式的值等于  

（    ）

A．       B．       C．       D．

【解析】       A

训练2.  小明同学设计了右图所示的正方体形状的包装纸盒，把下面四个表面展开图   

折叠（不计接缝），与小明同学设计的纸盒完全相同的是（    ）

（西城期末）

【解析】       C．

训练3.  一个物体由多个完全相同的小正方体组成，它的三视图如图所示，那么组成这个物体的小正方体的个数为（    ）

A．      B．      C．        D．

【解析】       C．

训练4.  正方体的展开图．

【解析】       答案见下图：

题型一  常见的几何体  巩固练习

【练习1】   小军将一个直角三角板（如图）绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成一个几何体，将这个几何体的侧面展开得到的大致图形是（    ）

A            B．                C．                 D．

【解析】      D

题型二  三视图 巩固练习

【练习2】   ⑴ 如图，几何体上半部为正三棱柱，下半部为圆柱，其俯视图是（    ）．

                                           　　A．         B．          C．        D．

⑵ 如图，分别是由若干个完全相同的小正方体组成的一个

几何体的主视图和俯视图，则组成这个几何体的小正方体 

的个数是（  ）

A．个或个　　　B．个或个

C．个或个　　　D．个或个

【解析】       ⑴ C；  ⑵ C．  

【练习3】   用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示，

其中最多需要多少个小立方块？最少需要多少？

【解析】       由主视图和俯视图可以确定，构成满足条件的几何体最少需要个小立方块，最多需要个小立方块．

【练习4】   ⑴ 如图，有一块表面刷了红漆的立方体，长为厘米，宽为厘米，高为厘米，现在把它切分为边长为厘米的小正方形，能够切出两面刷了红漆的正方体有（    ）个

A．    B．    C．   D．

（海淀期末）

⑵ 《代数》课本中“想一想”中有这样一个问题，“棱长为的正方体，摆放成如图所示的形状”，现在请回答下列问题：

① 求这个图形的表面积．

② 依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了上下层，求

该物体的表面积．

【解析】       ⑴ C；⑵① ；

② ．

题型三  立体图形的展开图和截面 巩固练习

【练习5】   左下图是右下图中立方体的平面展开图，左右两图中的箭头位置和方向是一致的，那么左图中的线段与右图中对应的线段是（     ）

A．         B．         C．          D．

【解析】       A．

【练习6】   ⑴ 如图这是一个正四棱锥，请你根据这个立体图形画出它的展开图

（只画出一个）．

（海淀期末）

⑵ 讨论下列问题：

① 用一个与底面平行的平面去截圆锥，截面的形状是什么?

② 用一个与底面垂直的平面去截圆柱，截面的形状是什么?其中是否存在面积最大的截面．

【解析】       ⑴ 答案不唯一，如图：

⑵ ① 用一个与底面平行的平面去截圆锥，截面是圆（如图所示）．

② 用一个与底面垂直的平面去截圆柱，截面是长方形（、所示）．当截面经过两底面的直径时，截面的面积最大（如图所示，这样的截面通常称为轴截面）．