甘肃省张掖市某重点校2023-2024学年高二数学上学期开学检测试题（Word版附答案）

高二年级暑假学习效果检测数学试卷

     2023年8月26日

一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

1．已知(为虚数单位)，则复数=

A． B． C． D．

2．的值为（　　）

A． B． C． D．

3．如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，，且，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

4．某校举办文艺汇演，高二（1）班的大合唱“保卫黄河”的12位评委的打分如下：8.4，9.3，8.9，8.8，8.6，8.2，8.5，8.4，9.2，8.8，8.7，9.4，则这组数据的（   ）

A．极差为1 B．众数为8.4

C．80%分位数为8.9 D．第三四分位数为9.05

5．的值等于（    ）

A． B．0 C． D．

6．已知随机事件中，与互斥，与对立，且，则（ ）

A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.9

7．已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）

A．，则           B．，则

C．，则           D．，则

8．在中，，则（  ）

A． B． C． D．

二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分）

9．下列命题正确的是（    ）

A. 不共线的三点确定一个平面        

B. 平行于同一条直线的两条直线平行

C. 经过两条平行直线，有且只有一个平面

D. 如果空间中两个角两条边分别对应平行，那么这两个角一定相等

10．从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则下列叙述正确的是（    ）

A．取出的两个球同为红色和同为黑色是两个互斥而不对立的事件

B．至多有一个黑球与至少有一个红球是两个对立的事件

C．事件A＝“两个球同色”，则

D．事件B＝“至少有一个红球”，则

11. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则（    ）

B.

C. 的图象关于直线对称 

D. 在上的值域为

12．已知平面四边形，O是四边形所在平面内任意一点，则下列命题正确的是（    ）

A．若，则四边形是平行四边形

B．若，则为直角三角形

C．若，则四边形是矩形

D．若动点满足（），则动点P的轨迹一定通过的重心

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.是虚数单位，已知．写出一个满足条件的复数________．

14. 已知向量，，若，则__________.

15. 已知球的体积为，则该球的表面积为______.

16．若函数在内有且仅有一个最大值点，则的取值范围是________．

四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

 17．已知向量，满足，且，．

(1)求；

(2)若与的夹角为，求的值.

18. 某学校派甲、乙两人组成“少年队”参加射击比赛，每轮比赛由甲、乙各射击一次，已知甲每轮射中的概率为，乙每轮射中的概率为．在每轮比赛中，甲和乙射中与否互不影响，各轮比赛结果也互不影响．

（1）求“少年队”在一轮比赛中恰好射中1次的概率；

（2）求“少年队”在三轮比赛中恰好射中3次的概率．

19．的内角的对边分别为，已知.

(1)求；

(2)若，求的面积.

20．如图，在正三棱柱中，已知，是的中点.

(1)求直线与所成角的正切值

(2)求证：平面平面，并求点到平面的距离.

21．为激活国内消费市场，挽回疫情造成的损失，国家出台一系列的促进国内消费的优惠政策.某机构从某一电商的线上交易大数据中来跟踪调查消费者的购买力，现从电商平台消费人群中随机选出人，并将这人按年龄分组，记第组，第组，第组，第组，第组，得到如下频率分布直方图：

(1)求出频率分布直方图中的值和这人的年龄的中位数及平均数；

(2)从第组中用分层抽样的方法抽取人，并再从这人中随机抽取人进行电话回访，求这两人恰好属于同一组别的概率.

22．如图所示，在四棱锥中，该四棱锥的底面是边长为6的菱形，，，，为线段上靠近点的三等分点.

(1)证明：平面平面；

暑假学习效果检测数学参考答案：

1．B

2．B

3．C

4．D

5．C

6．C

7．C

8．A

9.ABC

10.ACD

11.ACD

12.ABD

单选每个5分，多选题 少选且正确的给2分，全部选对5分，选错不得分

17．

(1)；(2).

【分析】（1）根据向量的线性运算计算即可；

（2）由计算即可.

【详解】（1）解：，

又因为，，

∴；

（2）解：由题意可得，

又因为，

所以.

18.

（1）    （2）．

【解析】

【分析】（1）根据独立事件乘法公式和互斥事件加法公式计算即可；

（2）根据二项分布算出甲和乙在三轮比赛中，射中0次，1次，2次，3次的概率，然后利用独立事件的乘法公式和概率的加法即可.

【小问1详解】

设，分别表示甲、乙在第k（，2，3，…）轮射中，

则，．

设C表示“少年队”在一轮比赛中恰好射中1次，

则

，

所以“少年队”在一轮比赛中恰好射中1次概率为．

【小问2详解】

设，，，分别表示甲在三轮比赛中射中0次，1次，2次，3次，

，，，分别表示乙在三轮比赛中射中0次，1次，2次，3次，

M表示“少年队”在三轮比赛中恰好射中3次．

，，

，，

，，

，，

所以

，

故“少年队”在三轮比赛中恰好射中3次的概率为．

19．

(1)(2)

【分析】（1）应用正弦定理边角关系及三角恒等变换得，再由三角形内角性质得，进而确定角的大小；

（2）根据余弦定理求，再应用三角形面积公式求面积即可.

【详解】（1）由结合正弦定理可得，整理得，

，

.

（2），即，解得，

的面积为.

20．

(1) (2)证明见解析，点到平面的距离为

【分析】（1）通过平行线转化，从而找到直线与直线所成角，然后通过解三角形知识即可求解；

（2）利用平面与平面垂直的判定定理即可证明；再作出点到平面的垂线段，然后利用等面积法即可求解.

【详解】（1）由正三棱柱的结构特征可知：，平面，为等边三角形；

直线与所成角即为，

平面，平面，，

因为是的中点，所以，

所以在中，，

即直线与所成角的正切值为.

（2）因为是的中点，为等边三角形，所以，

因为平面，平面，所以，

又因为平面，

所以平面，

又因为平面，所以平面平面.

在平面内作，垂足为，

平面平面，平面平面，平面，，

平面，点到平面的距离即为的长，

由（1）知：，，

，即，

点到平面的距离为.

21．

(1)，中位数为，平均数为(2)

【分析】（1）根据频率和为的性质可构造方程求得；根据频率分布直方图估计中位数和平均数的方法，直接估算即可；

（2）根据分层抽样可确定人中分别来自第的人数，利用列举法可得所有基本事件和满足题意基本事件个数，由古典概型概率公式可求得结果.

【详解】（1）由频率分布直方图性质知：，解得：；

，，

中位数位于，设中位数为，

则，解得：，即中位数为；

平均数为.

（2）第组的频率之比为，

抽取的人中，第组应抽取人，记为；第组应抽取人，记为，

则从人中随机抽取人，有，，，，，，，，，，共个基本事件；

其中满足两人恰好属于同一组别的有，，，，共个基本事件；

两人恰好属于同一组别的概率.

22．

(1)见解析

(2)，

【分析】（1）根据菱形性质得，利用三线合一有，最后利用面面垂直的判定即可；

（2）点F存在且，利用线面平行的判断定理可证线面平行，过作，交于点，利用余弦定理求出，最后利用线面角的定义即可.

【详解】（1）设与相交于点，连接，

四边形为菱形， ，               

，，       

又，平面，  

则平面，    

平面，平面平面．

（2）存在点F满足题意，且，

假设在PD上存在点F，使得平面PBC，

证明：过点作，交于，连接，，

，，故，

而，，故

故为平行四边形，故，

而平面，平面，

故平面.  

综上，在PD上存在点F，使得平面PBC，此时，

在中，，，

在（1）知，又，平面，平面，  

过作，交于点，

故且，，则，则，

在中，，故，       

连接，在中，，

平面，则为直线与平面所成的角，

在中，，，

直线与平面所成角的大小为．