江苏省南通市海安高级中学2023-2024学年高三上学期阶段测试(一)数学试题

高三阶段性测试（一）

数  学

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 命题“，”的否定为（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

3. 已知复数，（为虚数单位），在复平面上对应的点分别为A，B，C.若四边形OABC为平行四边形（O为复平面的坐标原点），则复数为（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 设，均为锐角，则“”是“”的（    ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

5. 南沿江高铁即将开通，某小区居民前往高铁站有①，②两条路线可走，路线①穿过市区路程较短但交通拥挤，经测算所需时间（单位：分钟）服从正态分布；路线②骑共享单车到地铁站，乘地铁前往，路程长，但意外阻塞较少，经测算所需时间（单位：分钟）服从正态分布.该小区的甲、乙两人分别有70分钟与64分钟可用，要使两人按时到达车站的可能性更大，则甲、乙选择的路线分别为（    ）

A. ①、① B. ①、② C. ②、② D. ②、①

6. 若函数的值域为，则实数m的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 设常数a使方程在区间上恰有五个解，则（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 若，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 已知与均为单位向量，其夹角为，则（    ）

A.   B.

C.  D.

11. 已知定义在上的奇函数图象连续不断，且满足，则下列结论正确的是（    ）

A. 函数的周期 B.

C. 在上有4个零点 D. 是函数图象的一个对称中心

12. 已知数列，的项数均为k（k为确定的正整数，），若，，则（    ）

A.   B. 中可以有项为1

C. 可能是以为公比的等比数列 D. 可能是以2为公比的等比数列

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 某班共有30名学生，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为______.

14. 已知函数.不论a为何值，曲线均存在一条固定的切线，则这条切线的方程是______.

15. 若，，且，则的最小值为______.

16. 写出一个同时满足下列三个性质的函数______.

①是奇函数；②在单调递增；③有且仅有3个零点.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（根据生产条件要求，x满足），每小时可获得的利润是元.

（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；

（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.

18.（本小题满分12分）

已知在中，角A，B，C的对边为a，b，c，向量，，.

（1）求角C；

（2）若，试求的值.

19.（本小题满分12分）

已知等差数列前三项的和为－3，前三项的积为8.

（1）求的通项公式；

（2）若，，成等比数列，求数列的前n项和.

20.（本小题满分12分）

如图，直三棱柱中，，，，D为AB中点，E为上一点，且.

（1）当时，求证：平面；

（2）若直线CE与平面所成的角为，求的值.

21.（本小题满分12分）

若函数为定义域D上单调函数，且存在区间（其中），使得当时，的取值范围恰为，则称函数是D上的正函数，区间叫做等域区间.

（1）是否存在实数m，使得函数是上的正函数？若存在，请求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.

（2）若，且不等式的解集恰为，求函数的解析式.并判断是否为函数的等域区间.

22.（本小题满分12分）

设函数（其中常数，且）.

（1）若常数，当时，解关于x的方程；

（2）若函数在上存在最小值，且最小值是一个与a无关的常数，求实数a的取值范围.

江苏省海安高级中学2024届高三阶段性测试一

数学答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. A   2. C   3. A   4. C   5. D   6. B   7. C   8. D

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. ACD    10. ABD    11. ABD    12. BC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 12    14.     15.    16. （答案不唯一）

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

解析：（1）根据题意，，即，……2分

解得：（负舍），……3分

又，所以.……5分

（2）设利润为y元，则，……7分

，

所以当时，利润取最大值457500元.……10分

18.（本小题满分12分）

解析：（1）由，得，……2分

所以，，

即或，……4分

因为，所以.……6分

（2）因为，且，

所以

……8分

.……12分

19.（本小题满分12分）

解析：（1）设等差数列的公差为d，则，，

因为，

解得或.……3分

所以，或.

即，或.……5分

（2）当时，，，分别为－1，－4，2，不成等比数列，

当时，，，分别为－1，2，－4，成等比数列，满足条件.

故.……7分

记数列的前n项和为.

当时，；当时，；……9分

当时，

.……11分

当时，满足此式.

综上，.……12分

20.（本小题满分12分）

解析：（1）建立空间直角坐标系如图所示，

则，，，，，，，

因为，所以，故，……2分

又，，

所以，，……4分

又因为，

所以平面；……6分

（2）由题知，，，

所以，

所以平面的一个法向量为……8分

由，

即，……10分

解得.……12分

21.（本小题满分12分）

解析：（1）因为函数是上的减函数，

所以当时，，即.……2分

两式相减得，即，

代入得，

由，且得，

故关于a的方程在区间内有实数解，……4分

记，

则，解得.……6分

（2）由不等式的解集恰为，且为二次函数，

得，且.

所以，①，②将代入①，

得.又，a，，

从而或.所以或.……8分

当时，，.……9分

当时，，所以不是的等域区间.……10分

当时，，.……11分

当时，，所以不是的等域区间.……12分

22.（本小题满分12分）

解析：（1）.

（i）当时，.

因为，由，得，……2分

（ii）当时，.由得，

所以.解得.

当时，，……4分

所以，

故当时，方程有两解和.……5分

（2）（i）若，当时，；

当时，.令，

则，在上单调递减，

所以当，即时取得最小值为3.

当时，取得最大值为.

此时在上的值域是，没有最小值.……7分

（ii）若，当时，；

当时.令，，则.

①若，在上单调递减，

所以当即时取最小值，最小值与a有关；……9分

②，在上单调递减，在上单调递增，

所以当即时取最小值，最小值与a无关.

综上，当时，在上的最小值与a无关.……12分