2022-2023学年江西省赣州市大余中学高一下学期期中考试数学试题含答案

2022-2023学年江西省赣州市大余中学高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．下列说法正确的是（    ）

A．零向量是没有方向的向量 B．零向量的长度为0

C．任意两个单位向量的方向相同 D．同向的两个向量可以比较大小

【答案】B

【解析】根据零向量的定义和性质、单位向量的定义，同向向量的定义进行判断即可.

【详解】解析：零向量的长度为0，方向是任意的，故A错误，B正确；任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，故C错误；不管是同向的向量还是不同向的向量，都不能比较大小，故D错误.

故选：B

【点睛】本题考查了零向量的定义和性质，考查了单位向量的定义，考查了同向向量的定义，属于基础题.

2．设，则的一个可能值是（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】D

【分析】根据题意得到，从而得到，即可得到答案.

【详解】因为，，

所以，，所以.

故选：D

3．，，，则（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】A

【分析】根据向量数量积的坐标运算法则计算．

【详解】由题意，则，

故选：A．

【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示，属于基础题．

4．已知函数 ，若函数是周期为的偶函数，则可以是

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分别代入化简.

【详解】当时， ，

此时是非奇非偶函数，周期为；

当时，，

此时是非奇非偶函数，周期为；

当时，，

此时是非奇非偶函数，周期为；

当时，

，

此时是偶函数，周期为.

故选D.

【点睛】本题考查三角恒等变化和三角函数的性质.

5．下列化简结果正确的个数为（    ）

①        ②

③                    ④

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【分析】直接由诱导公式及和差角的正弦、余弦、正切公式以及倍角公式依次判断即可.

【详解】，①正确；

，②正确；

，③正确；

，④错误；正确的有3个.

故选：C.

6．关于给出下列命题：

①若，则该三角形为等腰三角形

②若，则是等腰三角形

③若，则是直角三角形

④在中，恒有

⑤若，则是等边三角形

其中正确命题的个数是（    ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【答案】B

【分析】根据每一项提供的条件，运用诱导公式以及A，B，C是三角形内角，逐项分析可以求解.

【详解】对于①， ，

，

，因为B，C是三角形内角，所以 ，

是等腰三角形，

故①正确；

对于②， 或者 ，即 或者 ，

是等腰三角形或者是直角三角形，

故②错误；

对于③， ，或者 ，

即 或者 ， 是直角三角形或是钝角三角形，

故③错误；

对于④，设C是 的最大角，若C是钝角，则 ，

不等式 恒成立；

若 ，则 ，

原不等式成立；

若 ，则必有 ，  ，

，

，

∴ 不论为何种三角形，不等式恒成立，

故④正确；

对于⑤， ， ，

由于 ，则必有 ，

即A=B=C，即 是等边三角形，

故⑤正确；

故选：B.

7．已知函数的两条相邻的对称轴的间距为，现将的图象向左平移个单位后得到一个偶函数，则的一个可能取值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】求出函数的最小正周期，可求出的值，然后求出变换后所得函数的解析式，根据函数的奇偶性可得出关于的等式，由此可得出结果.

【详解】由于函数的两条相邻的对称轴的间距为，该函数的最小正周期为，

，则，

将函数的图象向左平移个单位后，得到函数，

由于函数为偶函数，则，可得，

当时，.

故选：B.

【点睛】本题考查利用图象变换求函数解析式，同时也考查了利用函数的奇偶性求参数，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

8．已知是函数的最大值，若存在实数、使得对任意实数总有成立，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用正弦的和角公式以及辅助角公式化简至标准型正弦函数，解得，即可容易求得结果.

【详解】因为

∴，周期，

又存在实数，对任意实数总有成立，

∴，，

的最小值为，

的最小值为，

故选：D

二、多选题

9．将的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度得到的图象（    ）

A．若为奇函数，则的值可能为

B．若为奇函数，则的值可能为

C．若为偶函数，则的值可能为

D．若为偶函数，则的值可能为

【答案】BC

【分析】先利用三角函数图象变换规律表示出的解析式，然后根据函数奇偶性的性质逐个分析判断即可.

【详解】由题可知，

若为奇函数，则，即，A错误，B正确；

若为偶函数，则，即，C正确，D错误.

故选：BC.

10．已知函数的图象关于直线对称，则（    ）

A．由可得是的整数倍

B．函数为偶函数

C．函数在上为减函数

D．函数在区间上有20个零点

【答案】BCD

【分析】由正弦函数图象的对称轴求得，然后利用正弦函数性质判断各选项．

【详解】由已知，，

又，所以，

．

A．当，时，，但不是的整数倍，A错；

B．是偶函数，B正确；

C．时，，由正弦函数性质知它是减函数，C正确；

D．，在上，，或时，，因此有两个零点，而含有10个周期，因此有20个零点，D正确．

故选：BCD．

11．在单位圆上任取一点，圆与轴正向的交点是，设将绕原点逆时针旋转到所成的角为，记关于的表达式分别为，，则下列说法正确的是（    ）

A．是偶函数，是奇函数

B．在为增函数，在为减函数

C．对于恒成立

D．函数对于恒成立

【答案】AC

【分析】由三角函数定义得出的表达式，然后由正弦函数和余弦函数的性质判断．

【详解】依题意．所以是偶函数，是奇函数，A选项正确；在先增后减，在为增函数，所以B选项错误；

借助单位圆中的三角函数线，可以证明C正确；，，，所以D选项错误．

故选：AC．

12．2022年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮．若波状涌潮的图像近似函数的图像，而破碎的涌潮的图像近似（是函数的导函数）的图像．已知当时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为－4，则（   ）

A． B．

C．是偶函数 D．在区间上单调

【答案】BC

【分析】由，求得， 由题意得，由，，解出，由破碎的涌潮的波谷为-4，解得，得到和解析式，逐个判断选项.

【详解】，则， 由题意得，即，故，因为，，所以，所以，则选项A错误；

因为破碎的涌潮的波谷为，所以的最小值为，即，得，所以，则， 故选项B正确；

因为，所以，所以为偶函数 ，则选项C正确；

，由， 得， 因为函数在 上单调递增，在 上单调递减，所以在区间上不单调，则选项D错误.

故选：BC

三、填空题

13．已知平面向量与的夹角为，则      .

【答案】

【分析】利用，展开后利用向量的数量积的定义及运算即可求解.

【详解】平面向量与的夹角为，

则，

，

故答案为：.

14．计算          ．

【答案】/

【分析】利用指数、对数运算及诱导公式，特殊角的三角函数值计算作答.

【详解】

.

故答案为：

15．在平面直角坐标系中，点是单位圆上第一象限内的点，，若，则的值为      ．

【答案】

【分析】首先由三角函数的定义有，为第一象限角，，则为第二象限角，由平方关系可求得的值，再根据运用两角差的余弦公式可得.

【详解】由三角函数的定义有，为第二象限角

，，

故答案为：.

16．已知（且），若时，有唯一解，则          ．

【答案】-5

【分析】根据的范围求出的范围，再由有唯一解可得的取值范围，又且，分别讨论的值，求出有唯一解时的值.

【详解】根据，所以，

因为有唯一解，所以，解得，

当，，则或，

解得或，因为，可得或不唯一，舍去；

当，，则或，

解得或，因为，可得唯一；

当，，则或，

解得或，因为，可得无解，舍去；

当，，则或，

解得或，因为，可得无解，舍去；

当，，则或，

解得或，因为，可得无解，舍去；

当，，则或，

解得或，因为，可得无解，舍去；

综上所述，的值为-5.

故答案为：-5.

四、解答题

17．（1）若，求的值；

（2）计算：．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）利用商数关系化弦为切即可求解；

（2）利用对数的运算及指数的运算即可求解．

【详解】解：（1）因为，

所以；

（2）．

18．已知，

(1)化简；

(2)已知，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用诱导公式和二倍角的余弦公式，进行化简，可得答案;

（2）利用两角和的正切公式，结合（1）的结果，求得答案.

【详解】（1）;

（2）由，

可得：，

故.

19．已知函数.

(1)求的最小正周期；

(2)若，求函数的值域和单调区间.

【答案】(1)；

(2)值域是，递增区间是，递减区间是.

【分析】（1）根据诱导公式，结合降幂公式、辅助角公式、正弦型函数的最小正周期公式求解作答.

（2）利用正弦函数的性质求出指定区间上的值域及单调区间作答.

【详解】（1）依题意，，

所以的最小正周期为.

（2）由，得，则，因此，

即函数的值域是，

又正弦函数在上单调递增，在上单调递减，

由得：，由得：，

因此函数在上单调递增，在上单调递减，

所以函数的值域是，递增区间是，递减区间是.

20．已知函数．

（1）当时，求的最小正周期及单调区间；

（2）若在上恒成立，求的取值范围．

【答案】（1）4，，；（2）.

【分析】（1）当时，利用正切函数的周期公式和单调性即可求出的最小正周期及单调区间；

（2）根据在上恒成立，建立周期与最值的关系，解不等式即可求出的取值范围.

【详解】（1）当时，的最小正周期,故最小正周期为4；

要求的单调区间，只需，解得：，

故的增区间为，，无单减区间.

（2）∵，∴函数的周期．∵在上恒成立，∴在上为严格增函数，∴，∴．

∵，∴，即，即，∴，∴．

21．如图，为了测量某条河流两岸两座高塔底部A，B之间的距离，观测者在其中一座高塔的顶部D测得另一座高塔底部B和顶部C的视角为45°（即），已知两座高塔的高AD为30m，BC为75m，塔底A，B在同一水平面上，且，．

(1)求两座高塔底部A，B之间的距离；

(2)为庆祝2023年春节的到来，在两座高塔顶部各安装了一个大型彩色灯饰．政府部门为了方便市民观赏这两个彩色灯饰，决定在A，B之间的点P处（点P在线段AB上）搭建一个水上观景台，为了达到最佳的观赏效果，要求∠DPC最大，问：在距离A点多远处搭建，才能达到最佳的观赏效果？

【答案】(1)90m

(2)在距离A处米处搭建，才能达到最佳的观赏效果．

【分析】（1）分析图中的几何关系，运用正切的两角和公式求解；

（2）设 为变量，运用正切两角和公式和基本不等式求解.

【详解】（1）由题知，AD⊥AB，BC⊥AB，BC＝75，AD＝30，

如图，作DE⊥BC，垂足为E，

则四边形ABED为矩形，所以BE＝30，CE＝45，

设，，，则，，

，

，  ， （舍）， ，

两座高塔底部A，B之间的距离为90m；

（2）设AP＝t（0≤t≤90），则，

当时，

所以，，

所以

，

当时，，符合上式；

当时，，符合上式.

设（60≤m≤150），则，

所以

，

当且仅当即时，等号成立．

又因为在锐角范围内，越大，DPC越大，

所以当时，DPC取得最大值，此时，

在距离A处米处搭建，才能达到最佳的观赏效果；

综上，两座高塔底部A，B之间的距离为90m；在距离A处米处搭建，才能达到最佳的观赏效果.

22．已知函数.

（1）若函数的最大值是最小值的倍，求实数的值；

（2）若函数存在零点，求函数的零点.

【答案】（1）或或或.（2）当时，零点为；当时，零点为

【分析】（1）将整理为，换元可得，；根据对称轴位置的不同，分别在，，和四种情况下构造最大值和最小值关系的方程，解方程求得结果；（2）根据（1）中最值的取值范围可知若存在零点，必有或，从而可知的取值，进而得到零点.

【详解】（1）

当时，，令，

①当时，，；

有，解得：或

由得：

②当时，，；

有，解得：或

由得：

③当时，，；

有，解得：

由得：

④当时，，

有，解得：

由得：

综上所述：或或或

（2）由（1）知，，，

若函数存在零点，则必有：或

①当时，，此时函数的零点为：；

②当时，，此时函数的零点为：

【点睛】本题考查余弦型函数的最值、零点的求解问题，关键是能够通过换元法将问题转变为二次函数图象的讨论问题，从而根据对称轴位置确定最值取得的点；同时求解零点时，根据最值的取值范围可确定余弦的取值.