高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质同步训练题

一元二次函数、方程和不等式

1不等式关系与不等式

① 不等式的性质

(1) 传递性：；

(2) 加法法则：；

(3) 乘法法则：；    

(4) 倒数法则：；

(5) 乘方法则：；

② 比较大小

(1) 作差法(与的比较)

(2) 作商法(与比较) 

2 一元二次不等式及其解法

① 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：

(以下均以为例)

② 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系，可充分利用二次函数图像去理解；

③ 求解一元二次不等式时，利用二次函数图像思考，需要确定二次函数的开口方向，判别式，两根的大小与不等式的解集有关，而对称轴是不会影响解集的.

3 一元二次不等式的应用

(1) 分式不等式的解法

解分式不等式可等价为有理整式不等式(组)求解.

由于与均意味同号，故与等价的；

与均意味异号，故与等价的；

可得① ，且.

比如且.

② ，且.

比如且.

(2) 一元高次不等式的解法

① 一元高次不等式通常先进行因式分解，化为(或)的形式，然后用穿针引线法求解.首先保证每个因式中的系数为正，然后从右侧画起，右侧第一个区间为正，从右向左依次正负出现，特别要注意“奇穿偶切”，“奇”(“偶”)指的是某个因式的次数.

Eg 解，如图所示，解集为.

解，如图所示，解集为.

【题型一】不等式性质的运用

【典题1】实数满足，则下列不等式正确的是       (　　)

【解析】，

错误，比如，得出；

，，该选项正确；

错误，比如时，；

, 时，，

，该选项错误．

故选：．

【点拨】涉及不等式的选择题，适当利用“取特殊值排除法”会做得更快些.

【典题2】已知，试比较与的值的大小．

【解析】，(作差法)

当时，，，则，即；(确定差)

当时，，则，即．

综上可得时，；时，．

【点拨】比较两个式子的大小，可用做差法或做商法；一般幂的形式比较大小用作商法，比如比较与；多项式形式常用做差法，比如比较与.

【典题3】已知，，，则正确的结论是(　　)

                   与的大小不确定

【解析】方法一 特殊值法

取特殊值，令，则，，

易知, 排除，还不能排除，猜测选.

方法二 做差法，分析法

要比较大小，只需要比较的大小

(遇到二次根式可考虑平方去掉根号)

而显然，故，故，故选.

方法三 共轭根式法

，

，

，

，

，即，故选.

【点拨】

① 比较两个式子的方法很多，选择题可以考虑取特殊值排除法；

② 方法二中，遇到带有根号的常常两边平方去掉根号再比较，此时注意两个式子是否都是正数；在思考的过程中，不断使用“等价转化”把比较的两个式子越化越简单，等价过程中注意严谨；

③ 方法三中注意到.

若，互为共轭根式，它们的乘积、平方和差有一定的特点.

.

巩固练习

1 (★)  已知，那么下列不等式成立的是(　　)

【解析】，，，，．

．

．

故选：．

2 (★★)  设，则下列不等式恒成立的是(　　)

【解析】设，可得，则错误；

由可得，，可得，故错误；

由可得1，则22，故正确；

由，可得，故错误．

故选：．

3(★★) 已知，且，，则的关系是(　　)

【解析】因为，，且，，

所以，，

则0，

当且仅当时取等成立，

所以即，所以，

故选：．

4(★★) 若，，则，的大小关系是(　)

                由的取值确定

【解析】，，，

，

∴，

，且，，

．

故选．

5(★★★) 设，则下列判断中正确的是(  )

                    ．

【解析】

即.

【题型二】二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系

  【典题1】 如果关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为       .

【解析】关于的不等式的解集为，

是方程的两实数根，且，

由韦达定理得，

，

不等式化为，

即，解得或；

则该不等式的解集为．

【点拨】通过二次函数的图像理解，二次函数、一元二次方程和一元二次不等式三者之间的关系.

【典题2】解关于的不等式：

【解析】；

等价变形为：且； (注意分母)

解得.

巩固练习

1(★) 若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为 (　　)

【答案】 

【解析】对一切实数都成立，

①时，恒成立，

②时，，解可得

综上可得，

故选：．

2(★★) 若关于的不等式的解集为，则等于(　)

【答案】

【解析】由题意知，和是方程的两个根，

则由根与系数的关系，得，解得，

所以．

故选：．

3(★★) 若不等式的解集是，则不等式的解集是(　)

【答案】  

【解析】不等式的解集是()∪()，

∴和是方程的两个实数根，

由，解得：，， 

故不等式即，

即，解得：，

所以所求不等式的解集是：，

故选：．

4(★★) 【多选题】关于的一元二次不等式的解集中有且仅有个整数，则的取值可以是(　　)

【答案】

【解析】设，其图象是开口向上，对称轴是的抛物线，如图所示；

若关于的一元二次不等式0的解集中有且仅有个整数，则

，即，

解得，又，

所以．

故选：．

5(★★) 不等式的解集是       .

6(★★) 已知不等式的解集是，，则不等式的解集是            .

【答案】  

【解析】不等式的解集是，

则，是一元二次方程的实数根，且；

，；

不等式化为 ，

；

化为；

又，；

不等式的解集为：|}，

故选：．

7(★★) 不等式的解集为或，则值是    .

【答案】

【解析】不等式等价于即，

所以，解得，

检验成立.

【题型三】求含参一元二次不等式

角度1：按二次项的系数的符号分类，即;

解不等式

【解析】

(不确定不等式对应函数是否是二次函数，分与讨论)

当时，不等式为，解集为；

当时，

(二次函数与轴必有两个交点)

解得方程两根；

(二次函数的开口方向与不等式的解集有关，分与讨论)

当时，解集为；

当时, 解集为}.(注意的大小)

综上，当时，解集为；

当时，解集为；

当时, 解集为}.

角度2：按判别式的符号分类

解不等式.

【解析】 

(此时不确定二次函数是否与轴有两个交点，对判别式进行讨论)

①当，即时，解集为；

②当，即时，解集为；

③当或，即时，此时两根为，显然，

不等式的解集为或.

综上，当时，解集为；

当时，解集为；

当或时，解集为或.

角度3：按方程的根大小分类

解不等式：.

【解析】原不等式可化为：

令，得；

(因式分解很关键，此时确定与轴有交点，的大小影响不等式解集)

当时，即时，解集为；

当时，即或时，解集为；

当时，即或时，解集为}.

综上，当时，解集为；

当或时，解集为；

当或时，解集为}.

【点拨】

① 当求解一元二次不等式时，它是否能够因式分解，若可以就确定对应的二次函数与轴有交点，就不需要考虑判别式.

常见的形式有，

等，若判别式是一个完全平方式，它就能做到“较好形式的十字相乘”，当然因式分解也可以用公式法求解；

② 在求解含参的一元二次不等式，需要严谨，多从二次函数的开口方向、判别式、两根大小的比较三个角度进行分类讨论，利用图像进行分析.

巩固练习

1 (★★)  关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是    (　　)

【答案】

【解析】由，得，

若，则不等式无解．

若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有个整数解，则此时个整数解为，则．

若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有个整数解，则此时个整数解为，则．

综上，满足条件的的取值范围是．

故选：． 

2 (★★)  解关于的不等式 ．

【答案】时，不等式的解集是，

  时，不等式的解集是，

  时，不等式的解集是．

【解析】方程中，

①当即时，不等式的解集是，

②当，即时，不等式的解集是，

③当即时，

由解得：，

时，不等式的解集是，

综上，时，不等式的解集是，

时，不等式的解集是，

时，不等式的解集是．

3 (★★) 解关于的不等式：．

【答案】 或时，不等式的解集为；

时，不等式的解集为；

时，不等式的解集为．   

【解析】关于的不等式：中，

，

当或时，，

对应的一元二次方程有两个实数根和，

且，

不等式的解集为或x}；

当时，，对应的一元二次方程有两个相等的实数根，

不等式的解集为}；

当时，，不等式的解集为；

综上，或时，不等式的解集为；

时，不等式的解集为；时，不等式的解集为．  

4(★★★) 若，解关于的不等式．

【答案】当时，解集是；  当时，解集是；

  当时，解集是；当时，解集是．   

【解析】当时，．                                             

当a≠0时，．

当时，，解得．                

当时，．

当时，                                             

当时，，或．

当时，，或．                                    

当时，解集是；

当时，解集是；

当时，解集是；

当时，解集是．   

5 (★★★) 关于的不等式恰有个整数解，求实数的取值范围.

答案】 

【解析】不等式恰有个整数解，

即恰有两个解，

，即，或．

当时，不等式解为，

，恰有两个整数解，即：，

，，解得：；

当时，不等式解为，

，恰有两个整数解即：，

，，解得，

综上所述：，或．