重庆市永川北山中学2022-2023学年高二数学上学期12月月考试题（Word版附解析）

重庆市永川北山中学校高2024级高二上期

12月月考数学试题卷

考试时间：120分钟

【注意事项】

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．作答时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效．

3．考试结束后，将答题卡交回．

一、单项选择题（本大题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 已知数列{an}的前4项为：，则数列{an}的通项公式是（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，观察数列{an}的前4项，分析其变化的规律，综合即可得答案．

【详解】根据题意，观察数列{an}的前4项，可知分母为2n，分子是奇数，为2n﹣1，

同时各项符号是正负相间，

所以．

故选：B．

【点睛】本题考查数列的表示方法，涉及归纳推理的应用，属于基础题．

2. 已知点是抛物线的焦点，点在抛物线上，若，则该抛物线的方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据抛物线的定义直接求出p即可.

【详解】由抛物线的定义知，

，

解得，

所以抛物线方程为，

故选：A

3. 在数列中，，且，，则（    ）

A. 2 B. -1 C.  D. 1

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件推导出数列的周期，再借助周期性计算得解.

【详解】解：在数列中，，，则，

，

于是得数列是周期数列，周期为3，

又，所以，，所以，

所以

故选：C.

4. 设直线与直线的交点为P，则P到直线的距离为（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先联立直线方程求出点P坐标，再利用点到直线的距离公式计算即可.

【详解】联立两直线方程，即，

由点到直线的距离公式可得P到直线的距离为.

故选：D

5. 过点可以向圆引两条切线，则的范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据方程表示圆，以及点在圆外，列不等式即可求解.

【详解】因为表示圆，

所以，解得：，

若过点可以向圆引两条切线，

则点在圆外，

所以，解得，

所以的范围是，

故选：C.

6. 已知空间向量满足 ， ， ， ，则=（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据得到，两边平方，利用向量数量积公式求出.

【详解】因为，所以，则，

即，从而，

解得：.

故选：D

7. 如图，在边长为的正方体中，为的中点，点在底面上移动，且满足，则线段的长度的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

分析】

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，根据得出、满足的关系式，并求出的取值范围，利用二次函数的基本性质求得的最大值.

【详解】如下图所示，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，

则点、、，设点，

，，

，，得，

由，得，得，

，

，当时，取得最大值.

故选：D.

【点睛】本题考查立体几何中线段长度最值的计算，涉及利用空间向量法处理向量垂直问题，考查计算能力，属于中等题.

8. 人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律:如图，卫星在以地球的中心为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地心的连线)在相同的时间内扫过的面积相等设该椭圆的长轴长、焦距分别为，.某同学根据所学知识，得到下列结论:

①卫星向径的取值范围是

②卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁

③卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间

④卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大

其中正确的结论是（    ）

A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ①③④

【答案】B

【解析】

【分析】①根据椭圆的简单几何性质可知卫星向径的最小值和最大值分别为什么；

②根据向径的最小值与最大值的比值，结合椭圆的性质即可得出结论；

③根据在相同的时间内扫过的面积相等，即可判断

④根据题意结合椭圆的图形知卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小．

【详解】解：如图所示，

对于①，卫星向径的最小值为，最大值为，①正确；

对于②，卫星向径的最小值与最大值的比值为，

越小，就越大，就越小，椭圆轨道越扁，②错误；

对于③，根据在相同的时间内扫过的面积相等，卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，③正确；

对于④，卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，④错误；

综上，正确结论的序号是①③，共2个．

故选．

【点睛】本题考查椭圆的相关性质，以及物理学中开普勒定律的理解，属于基础题．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分．）

9. 下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（    ）．

A. 1，，，，…，，…

B. ，，，，…，，…

C. ，，，…，，…

D. 1，，，…，，…

【答案】BD

【解析】

【分析】按已知条件逐一分析各个选项即可得解.

【详解】对于A，1，，，，…，，…为递减数列，故A错误；

对于B，，，，，…，，…为递增数列，且是无穷数列，故B正确；

对于C，，，，…，，…中，故不是递增数列，故C错误；

对于D，1，，，…，，…既是无穷数列又是递增数列的，故D正确.

故选：BD.

10. 已知点P是△ABC所在的平面外一点，若＝(﹣2，1，4)，＝(1，﹣2，1)，＝(4，2，0)，则（    ）

A. AP⊥AB B. AP⊥ BP C. BC＝ D. AP// BC

【答案】AC

【解析】

【分析】

根据向量的定义，平行，垂直和模长的定义可以对每个选项逐个判断，进而得出答案。

【详解】因为，故A正确；，，故B不正确；，，故C正确；，，各个对应分量比例不同，故D不正确。故选:AC。

【点睛】本题考查了向量平行和垂直的性质等，属于基础题。

11. （多选）已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线过点且与抛物线交于，两点，若是线段的中点，则（    ）

A.  B. 抛物线的方程为

C. 直线的方程为 D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】由焦点到准线的距离可求得，则可判断A正确，B错误；利用斜率坐标计算公式几何中点坐标计算公式可求得直线的斜率，从而求得的方程，可判断C正确；，所以从而判断D正确.

【详解】因为焦点到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知，故A正确

故抛物线方程为，焦点，故B错误

则，．

又是的中点，则，所以，

即，所以直线的方程为．故C正确

由，

得．故D正确

故选：ACD．

12. 泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线，动点到点的距离是点到直线的距离的一半.若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（    ）

A. 点的轨迹方程是

B. 直线：是“最远距离直线”

C. 平面上有一点，则的最小值为5.

D. 点P的轨迹与圆：是没有交汇的轨迹（也就是没有交点）

【答案】ABC

【解析】

【分析】对A，设，根据定义建立关系可求出；对B，联立直线与椭圆方程，判断方程组是否有解即可；对C，根据定义转化为求即可；对D，易判断为交点.

【详解】设，因为点到点的距离是点到直线的距离的一半，所以，化简得，故A正确；

联立方程可得，解得，故存在，所以直线：是“最远距离直线”，故B正确；

过P作PB垂直直线，垂足为B，则由题可得，则，则由图可知，的最小值即为点A到直线的距离5，故C正确；

由可得，即圆心为，半径为1，易得点P的轨迹与圆交于点，故D错误.

故选：ABC.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为__________．

【答案】

【解析】

【分析】利用渐近线方程和离心率定义构造齐次式计算即可.

【详解】设双曲线焦距为，则由题意得其渐近线方程为，

因为，

所以渐近线方程为：.

故答案为：.

14. 已知数列{an}满足＝＋4，且a1＝1，an>0，则an＝________.

【答案】

【解析】

【分析】首先判断数列是等差数列，利用等差数列的通项公式，即可求得.

【详解】由已知－＝4，∴{}是等差数列，且首项＝1，公差d＝4，∴＝1＋(n－1)×4＝4n－3.

又an>0，∴an＝.

故答案为：.

15. 空间四点共面，但任意三点不共线，若为该平面外一点且，则实数的值为____________

【答案】

【解析】

【分析】先设，然后把向量，，分别用向量，，，表示，再把向量用向量，，表示出，对照已知的系数相等即可求解．

【详解】解：因为空间，，，四点共面，但任意三点不共线，

则可设，

又点在平面外，则

，

即，

则，

又，

所以，解得，.

故答案为：．

16. 已知点，若圆上存在点使得，则实数的取值范围是____．

【答案】

【解析】

【分析】先把圆上存在点使得，转化为圆与圆相交，利用，解不等式即可.

【详解】因为直径所对的圆周角为90°，而，

所以以AB为直径的圆与圆存在公共点，

故两圆相交或相切，

所以

解得.

故答案为：

【点睛】圆C1和圆C2 的半径分别为R和r，圆心距为d，圆与圆的位置关系由5种：

（1）相离；（2）相外切；（3）相交；（4）相内切；（5）相内含；

四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17. 已知双曲线的两个焦点分别为，，且过点.

（1）求双曲线C的虚轴长；

（2）求与双曲线C有相同渐近线，且过点的双曲线的标准方程.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由双曲线的定义可知，，又，求得即可．

（2）设与双曲线有相同渐近线的双曲线的方程为，将点的坐标代入上述方程得即可．

【小问1详解】

由题意，易知，，且.

在中，

由双曲线的定义可知，，，即.

∵双曲线C的两个焦点分别为，，∴.

又∵，∴

故双曲线C的虚轴长为

【小问2详解】

由（1）知双曲线C的方程为.

设与双曲线C有相同渐近线的双曲线的方程为

将点的坐标代入上述方程，得

故所求双曲线的标准方程为

18. 在等差数列{an}中,已知a1+a3＝12,a2+a4＝18,n∈N*.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）求a3+a6+a9+…+a3n.

【答案】（1）an＝3n,n∈N*（2）

【解析】

【分析】（1）依题意a1+a3＝12,a2+a4＝18,两式相减得d＝3,将d＝3代入一式可得a1,则通项公式可求.

（2）因为数列{an}是等差数列,所以数列{a3n}也是等差数列,且首项a3＝9,公差d'＝9,则其前n项和可求.

【详解】解：(1)因为{an}是等差数列,a1+a3＝12,a2+a4＝18,所以

解得d＝3,a1＝3.则an＝3+（n﹣1）×3＝3n,n∈N*.

(2)a3,a6,a9,…,a3n构成首项为a3＝9,公差为9的等差数列.

则.

【点睛】本题考查了等差数列的通项公式,等差数列的前n项和公式,等差数列的定义等,考查分析解决问题的能力和计算能力,属于基础题.

19. 四棱锥中，底面为正方形，平面，，E，F分别为PC，AD的中点.

（1）求证：平面PFB；

（2）求点E到平面PFB的距离.

【答案】（1）证明见详解   

（2）

【解析】

【分析】（1）取PB中点G，连接EG，FG，则由中位线性质可得四边形DEGF是平行四边形，即DEFG，从而DE平面PFB；

（2）由DE平面PFB，故点D、E到平面PFB的距离相等，点D到平面PFB的距离可以看成三棱锥以为底面的高，利用等体积法即得解

【小问1详解】

取中点，连接

因为分别是的中点，所以，

而，所以

因此四边形是平行四边形,所以

平面，平面

所以平面

【小问2详解】

由（1），DE平面PFB，故点D、E到平面PFB的距离相等，即求点D到平面PFB的距离，记为

点D到平面PFB的距离可以看成三棱锥以为底面的高，

由，故

由于

故，

故

故点E到平面PFB的距离为

20. 如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点．

（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N标准方程；

（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程．

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】（1）设，则圆为：，，从而得到，由此能求出圆的标准方程．

（2）由题意得，，设，则圆心到直线的距离：，由此能求出直线的方程．

【小问1详解】

解： 在直线上，设，

圆与轴相切，圆为：，，

又圆与圆外切，圆，即圆，圆心，半径；

，解得，

圆的标准方程为．

【小问2详解】

解：由题意得，，设，

则圆心到直线的距离：，

则，，即，

解得或，

直线的方程为：或．

21. 已知为等腰直角三角形，，将沿底边上的高线折起到位置，使，如图所示，分别取的中点.

（1）求二面角的余弦值；

（2）判断在线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出点的位置，若不存在，说明理由．

【答案】（1）（2）点是线段的中点时，平面．

【解析】

【详解】试题分析：（1）以所在直线为轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果；（2）假设在线段上存在一点，使平面，设，根据可求得.

试题解析：由题知，且，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则点．

（1），设平面的法向量为，则

，得，得，当时，得，同理可得平面的一个法向量为，那么，

所以二面角的余弦值为；

（2）假设在线段上存在一点，使平面，设，

则由，得，得，

那么，当平面时，，

即存在实数，使，解得，那么，

即点是线段的中点时，平面．

【方法点晴】本题主要考查利用空间向量求二面角的大小以及存在性问题，属于中档题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.

22. 已知：的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，过椭圆左焦点作不与轴重合的直线与椭圆相交于、两点，直线的方程为：，过点作垂直于直线交直线于点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求证线段必过定点，并求定点的坐标.

【答案】（1）   

（2）证明见解析，

【解析】

【分析】（1）根据题意可列方程，求解即可得椭圆的标准方程；

（2）由题意知，结合对称性可知点在轴上，设直线方程：，设，，，代入椭圆方程可得，，求解直线直线方程，求解其与轴的交点，即可确定点坐标.

【小问1详解】

解：由题可知：，所以，，

故椭圆的标准方程为；

【小问2详解】

解：由题意知，结合对称性可知点在轴上，又，

设直线方程：，设，，，

联立方程得得

所以，

又

所以直线方程为：

令，则.