初中数学鲁教版 (五四制)九年级上册2 二次函数教案及反思

3.3 二次函数y=ax2的图象与性质（1）

教材分析

    二次函数的图象——抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一．喷泉的水流，标枪的投掷等都形成抛物线路径．同时，抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥，抛物线型隧道等．

    本节课将研究最简单的二次函数y＝x2与y=－x2的图象及性质．

    在教学中，让学生利用描点法作出y=x2的图象，并能根据图象经过大家的合作交流归纳总结出二次函数y=x2的性质．在此基础上猜想y＝－x2的图象及性质，再进行有关验证．通过讨论最简单的二次函数y＝±x2的图象的作法，引出抛物线的概念，在此基础上初步归纳这类抛物线的性质．

    本节的内容主要由学生自己思考，动手操作，合作交流得出结论，教师只给以引导，充分体现教师引导，学生学的教学理念．

教学目标

    (一)教学知识点

    1．能够利用描点法作出函数y=x2的图象，能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质．

    2．猜想并能作出y=－x2的图象，能比较它与y=x2的图象的异同．

    (二)能力训练要求

    1．经历探索二次函数y＝x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．

    2．由函数y=x2的图象及性质，对比地学习y＝－x2的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维．

    (三)情感与价值观要求

    1．通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．

    2．在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质．

教学重点

    1．能够利用描点法作出函数y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y＝x2的性质．

    2．能够作出二次函数y=－x2的图象，并能比较它与y=x2的图象的异同．

教学难点

    经历探索二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．并把这种经验运用于研究二次函数y=－x2的图象与性质方面，实现“探索——经验——运用”的思维过程．

教学方法

    探索——总结——运用法．

教具准备

    投影片四张

    第一张：(记作§3．3．1A)

    第二张：(记作§3．3．1B)

    第三张：(记作§3．3．1C)

    第四张：(记作§3．3．1D)

教学过程

    Ⅰ．创设问题情境，引入新课

    [师]我们在学习了正比例函数，一次函数与反比例函数的定义后，研究了它们各自的图象特征．知道正比例函数的图象是过原点的一条直线，一般的一次函数的图象是不过原点的一条直线，反比例函数的图象是两条双曲线．上节课我们学习了二次函数的一般形式为y＝ax2+bx+c(其中a，b，c是常数且a≠0)，那么它的图象是否也为直线或双曲线呢?本节课我们将一起来研究有关问题．

    Ⅱ．新课讲解

    一、作函数y＝x2的图象．

    [师]一次函数的图象是一条直线，二次函数的图象是什么形状呢?让我们先看最简单的二次函数y＝x2．

    大家还记得画函数图象的一般步骤吗?

    [生]记得，是列表，描点，连线．

    [师]非常正确，下面就请大家按上面的步骤作出y=x2的图象．

    [生](1)列表：

(2)在直角坐标系中描点．

    (3)用光滑的，曲线连接各点，便得到函数y＝x2的图象．

    [师]画的非常漂亮．

    二、议一议．

    投影片：(§3．3．1A)

对于二次函数y＝x2的图象，
(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流．

(2)图象与x轴有交点吗?如果有，交点坐标是什么?

(3)当x<0时，随着x值的增大，y的值如何变化?当x>0时呢?

(4)当x取什么值时，y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的?

(5)图象是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?请你找出几对对称点，并与同伴进行交流．

    [生](1)图象的形状是一条曲线．就像抛出的物体所行进的路线的倒影．

    (2)图象与x轴有交点，交于原点，交点坐标是(0，0)．

    (3)当x<0时，图象在y轴的左侧，随着x值的增大，y的值逐渐减小；当x>0时，图象在y轴的右侧，随着x值的增大，y的值逐渐增大。

    (4)观察图象可知，当x＝0时，y的值最小，最小值是0．

    (5)由图可知，图象是轴对称图形，它的对称轴是y轴，从刚才的列表中可找到对应点(－1，1)和(1，1)；(－2，4)和(2，4)；(－3，9)和(3，9)．

    [师]大家的分析判断能力很棒，下面我们系统地总结一下．

    三、y=x2的图象的性质．

投影片：(§3．3．1B)

    [师]从图象来看抛物线的开口方向向上．

    下面请大家讨论之后系统地总结出y＝x2的图象的所有性质．

    [生](1)抛物线的开口方向是向上．

    (2)它的图象有最低点，最低点坐标是(0，0)．

    (3)它是轴对称图形，对称轴是y轴．在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．

    (4)图象与x轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最低点，坐标为(0，0)．

    (5)因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝0时，y最小=0．

    四、做一做．

    投影片：(§3．3．1 C)

二次函数y=－x2的图象是什么形状?先想一想，然后作出它的图象．它与二次函数y=x2的图象有什么关系?与同伴进行交流．

    [师]请大家按照画图象的步骤作出函数y=－x2的图象．

    [生]y=－x2的图象如右图：

    形状还是抛物线，只

是它的开口方向向下，它

与y=x2的图象形状相同，

方向相反，这两个图形可

以看成是关于x轴对称．

    [师]下面我们试着讨论y=－x2的图象的性质．

    [生](1)它的开口方向向下．

    (2)它的图象有最高点，最高点坐标为(0，0)．

    (3)它是轴对称图形，对称轴是y轴，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧x随x的增大而减小．

    (4)图象与x轴有交点，也叫抛物线的顶点，还是图象的最高点，这点的坐标为(0，0)．

    (5)因为图象有最高点，所以函数有最大

值，当x－0时，y最大＝0．

    [师]大家总结得非常棒．

    五、函数y=x2与y＝－x2的图象的比较．

    我们分别作出函数y=x2与y=－x2的图象，并对图象的性质作系统的研究．现在我们再来比较一下它们图象的异同点．

    投影片：(§3．3．1 D)

不同点：

1．开口方向不同，y=x2开口向上，y=－x2开口向下．

2．函数值随自变量增大的变化趋势不同，在y＝x2图象中，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大．在y=－x2的图象中正好相反．

3．在y=x2中y有最小值，即x=0时．y最小＝0，在y=－x2中y有最大值．即当x＝0时，y最大＝0．

4．y=x2有最低点，y=－x2有最高点．

相同点：

1．图象都是抛物线．

2．图象都与x轴交于点(0，0)．

3．图象都关于y轴对称．

联系：

它们的图象关于x轴对称．

    Ⅲ．课堂练习

    1．在同一直角坐标系中画出函数y=x2与y=－x2的图象．

    2．下列函数中是二次函数的是  (    )

    A．y=2+5x2

    B．y=

    C．y＝3x(x+5)2

    D．y=

    3．分别说出抛物线y=4x2与y＝－x2的开口方向，对称轴与顶点坐标．

    答案：1．略  2．A

    3．解：抛物线y＝4x2的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，坐标为(0，0)．

    抛物线y＝－x2的开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标为(0，0)．

    Ⅳ．课时小结

    本节课我们学习了如下内容：

    1．画函数y=x2的图象，并对图象的性质作了总结．

    2．画函数y＝－x2的图象，并研究其性质．

    3．比较y＝x2与y=－x2的图象的异同点及联系．

    Ⅴ．课后作业

    习题3.4

板书设计

3.3 二次函数y=ax2的图象与性质（1）

一、1．作函数y＝x2的图象

  2．议一议(投影片§3．3．1 A)

  3．y＝x2的图象的性质(投影片§3．3．1 B)

  4．做一做(投影片§3．3．1 C)

  5．函数y＝x2与y=－x2的图象的比较(§3．3．1 D)

二、课堂练习

三、课时小结

四、课后作业