初中人教版12.1 全等三角形学案

这是一份初中人教版12.1 全等三角形学案，共65页。学案主要包含了导学，自学，助学，强化，评价等内容，欢迎下载使用。

第十二章 全等三角形
12.1 全等三角形
一、导学
1.导入课题：
观察下列几组图形：

你能发现这几组图片中两个图形有什么关系吗？今天我们开始学习最简单的全等形——全等三角形.
2.学习目标:
(1)知道全等形及全等三角形的概念.
(2)能够准确辨认全等三角形的对应元素.
(3)知道全等三角形的性质，并能灵活运用全等三角形的性质解决相应的几何问题.
3.学习重、难点：
重点：全等三角形的性质.
难点：运用全等三角形的性质解决几何问题.
4.自学指导:
（1）自学内容：探究三角形全等的意义和一个图形经过几何变换前后的关系.
（2）自学时间：10分钟.
（3）自学方法：操作、观察、比较、归纳.
（4）探究提纲：

①取一张纸，将自己事先准备好的三角板按在纸上，画下图形，照图形裁下来.
②通过上面的操作可以得到全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形；全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
③列举日常生活中两个图形全等的例子.
学校教室的前后门，前后窗户.
④观察下面甲、乙、丙三个图形的位置变化.

如图甲将△ABC沿直线BC平移得△DEF；如图乙将△ABC沿BC翻折180°得到△DBC；如图丙将△ABC绕A旋转180°得△AED.
a.各图中的两个三角形全等吗？你能找出图中全等三角形的对应线段(边)和对应角吗？
b.根据对应顶点放在对应位置上的方法，图甲记作：△ABC ≌△DEF；图乙记作：△ABC ≌△DBC；图丙记作△ABC ≌△AED.
c.一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状和大小不变，即：平移、翻折、旋转前后的图形全等.
⑤从全等的实际意义中你认为全等三角形有哪些性质吗？
对应边相等，对应角相等.
二、自学
学生可结合自学指导进行自学.
三、助学
1.师助生：
（1）明了学情：对于图甲这种类型的图形，学生能顺利地寻找出对应元素；但对于图乙、图丙这种有重合部分的图形，学生寻找对应元素会存在一定的难度，教师应予以重点关注.
（2）差异指导：
a.对于图乙、图丙，教师加强动画演示，引导学生观察图形经过翻折、旋转变换后的对应元素的位置；
b.引导学生运用几何语言描述全等三角形的性质，用几何语言表示两个三角形全等的时候，一定要强调对应顶点放在对应位置上；
c.教师强调同一组图形的记法并不唯一.
2.生助生：学生相互交流帮助.
四、强化
1.基本概念：全等形、全等三角形、对应顶点、对应角、对应边，以及有关的数学符号．记作：△ABC≌△A′B′C′，符号“≌”读作“全等于”.（注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上）
2.全等三角形的性质是对应边相等，对应角相等.
3.练习：
（1）如图，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，说出这两个三角形中相等的边和角.若∠A=20°，∠AOC=75°，你能求出∠B的度数吗？
解：OC=OB,OA=OD,CA=BD,∠COA=∠BOD,∠C=∠B,∠A=∠D.∠B=∠C=180°-∠A-∠AOC=85°.

（2）如图，已知△ABE≌△ACD，∠ADE=∠AED，∠B=∠C,指出其他的对应边和对应角.若BD=2cm，DE=3cm，你能求出DC的长吗？

解：AB=AC,AE=AD,BE=CD,∠BAE=∠CAD.DC=BE=BD+DE=5cm.
五、评价
1.学生的自我评价：学生相互交谈自己的收获和困惑.
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：对学生的学习态度、方法、成果和不足进行点评.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师自我评价（教学反思）：
本课时通过学生在做模型、画图、动手操作等活动中的体验，完成对三角形全等的认识，重点在对“三角形全等”“对应”等含义的理解.对“全等三角形”的认识，可让学生采用复写纸、手撕、剪纸、扎针眼等方式获取，并鼓励学生间互相交流动手过程中的体验.教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历观察、实验、归纳、类比、直觉、数据处理等思维过程，从中获得数学知识与技能，体验教学活动的方法，同时升华学生的情感、态度和价值观.







一、基础巩固（第1题20分，第2题50分，共70分）
1.判断题：
(1)全等三角形的对应边相等，对应角相等.（√）
(2)全等三角形的周长相等，面积也相等.（√）
(3)面积相等的三角形是全等三角形.（×）
(4)周长相等的三角形是全等三角形.（×）
2.填空：
(1)如图，点O是平行四边形ABCD的对角线的交点,△AOB绕O旋转180°,可以与△COD重合，这说明△AOB≌△COD．这两个三角形的对应边是AO与CO，OB与OD，BA与DC；对应角是∠AOB与∠COD，∠OBA与∠ODC，∠BAO与∠DCO.

(2)如图，△ABC≌△ADE，则，AB=AD，∠E=∠C．若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC=80°.
(3)△ABC≌△DEF且△ABC的周长为12，若AB=3，EF=4， 则AC=5．
(4)△ABC≌△BAD，A和B，C和D是对应顶点，如果AB=8cm，BD=6cm，AD=5cm，BC=5cm．
(5)如图，△ABE≌△ACD，AB=AC，BE=CD，∠B=50°，∠AEC=120°，则∠DAC的度数等于70°.


二、综合应用（每题10分，共20分）
3.已知：△DEF≌△MNP，EF＝NP，∠F＝∠P，∠D＝48°，∠E＝52°，MN＝12cm，求：∠P的度数及DE的长.
解：∵△DEF≌△MNP,EF=NP，∠F=∠P,
∴∠M=∠D=48°,∠N=∠E=52°,DE=MN=12 cm.
又∠M+∠N+∠P=180°
∴∠P=80°
4.在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°,那么在△ABC中与这100°角对应相等的角是（A）
A.∠AB.∠BC.∠CD.∠B或∠C

三、拓展延伸（10分）
5.如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是（C）
A.△ABD和△CDB的面积相等 B.△ABD和△CDB的周长相等
C.∠A+∠ABD＝∠C+∠CBD D.AD∥BC，且AD＝BC


12.2 三角形全等的判定
第1课时 边边边
一、新课导入
1.导入课题：
通过上节课的学习，大家知道：两个三角形全等时，三条对应边相等，三组对应角相等，那么判定两个三角形全等，是否一定需要满足六个条件呢?如果只满足上述六个条件中的一部分，是否也能保证两个三角形全等呢?从这节课开始，我们来探究全等三角形的判定.
2.学习目标：
（1）通过三角形的稳定性，体验三角形全等的“边边边”条件.
（2）会运用“边边边”定理判定两个三角形的全等．
3.学习重、难点：
重点:寻求三角形全等的条件的方法.
难点:寻求三角形全等的条件的依据.
二、分层学习

1.自学指导：
（1）自学内容：
探究1:两个三角形的六个对应元素中满足一个或两个对应元素相等的两个三角形是否一定全等.
探究2:三条边对应相等的两个三角形是否一定全等.
（2）自学时间：10分钟.
（3）自学方法：按探究中的要求画三角形、剪三角形、重叠三角形，并观察归纳得出自己的结论.
（4）探究提纲：
动手画出符合给出条件的两个三角形，小组内比较一下，看画出的图形是否全等.
a.小组长任意给出一个条件（一条边或一个角），小组的所有成员动手画出符合条件的三角形，小组内比较一下，你们画出的图形一样吗？
b.小组长任意给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？
发现按这些条件画出的两个三角形不能保证一定全等.
c.给出三个条件画三角形，画画看有几种可能的情况.
d.已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm．你能画出这个三角形吗？把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？你能得出什么结论？
通过上面的操作，你得出的结论：三边分别相等的两个三角形全等简写为“边边边”或“SSS”.
2.自学：学生结合探究提纲进行探究式学习.
3.助学：
(1)师助生：
①明了学情：学生对自学提纲中的a、b两种情形，能够很快得出不全等的结论，但对于自学参考提纲中的c情形，学生可以得出很多结论，因此教师在肯定学生的前提下，不要过多的停留在这个问题上，要迅速引导学生回到今天探讨的重点上.
②差异指导：根据学生学习中存在的问题予以分类指导.
(2)生助生：在动手画图的过程中，小组之内需要合作探究，相互交流帮助.
4.强化：
(1)定理的文字表述：三边分别相等的两个三角形全等.
(2)定理的几何表述：
如图，在△ABC和△DEF中，∵AB=DE，AC=DF，BC=EF，∴△ABC≌△DEF.（特别注意对应的顶点写在对应的位置上.）


1.自学指导：
(1)自学内容：教材第36页例1到教材第37页探究3前的内容.
(2)自学时间：5分钟.
(3)自学方法：认真阅读教材上的内容，思考回答自学提纲中的问题.
(4)自学参考提纲：
①判定两个三角形全等，今天学习了什么方法？SSS
②图中D是BC的中点，你可以得出哪个结论？等腰三角形“三线合一”.
③你学会了证明两个三角形全等的基本格式了吗？
④请仿照课本作图：已知∠AOB.
a.求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB，认真阅读作法，理解什么是尺规作图？然后写出这样作图的理论依据.

依据：三边分别相等的两个三角形全等（SSS）.
b.剪下△COD和△C′O′D′，重叠地放置在一起，看一看有什么结果？全等.
2.自学：学生可结合自学指导进行自学.
3.助学：
(1)师助生：
①明了学情：重点了解学生对证明的符号语言的运用及作图中的作法表述规范完整.
②差异指导：
a.指导学生的证明过程；b.纠正学生尺规作图的作法不当之处；c.引导说明每步作图的目的和依据.
(2)生助生：对尺规作图的理论依据及规范操作进行交流，对困难学生予以帮助.
4.强化：
(1)结论、方法、要领：
①用：“SSS”判定两个三角形全等的依据.
②用“SSS”证明两个三角形全等的表达格式.
③符号“∵”“∴”表示的意义.
④公共边是对应边.
⑤等量的运用：等式性质.
(2)练习：如图，A、D、B、F在一条直线上，BC=DE，AC=EF，BF=AD，求证：△ABC≌△FDE.

证明：∵BF=AD,∴BF+BD=AD+DB,即DF=AB.
在△ABC和△FDE中，BC=DE,AC=FE,AB=FD,∴△ABC=△FDE(SSS).

三、评价
1.学生的自我评价：通过本节课的学习，让学生代表谈谈自己的收获或困惑.
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：对学生的学习态度、学习方法和收获进行点评.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师自我评价(教学反思):
本课时教学时应抓住以下重点：
(1)分类问题：教师让学生从实践入手，给定三角形三边，学生在薄纸上画，然后小组的同学看所画三角形是否重合，探索归纳、形成结论.
(2)教师可用多媒体展示现实生活中的实际例子：如桥梁、铁塔、自行车的三角架等，从中体验三角形的稳定性，认识“边边边”可作为三角形全等的判定依据.
(3)强调思路分析和书写规范.




一、基础巩固（第1、2、3题每题10分，第4题20分，共50分）
1.下面判断两个三角形全等的条件中，正确的是（D）
A.一条边对应相等 B.两条边对应相等
C.三个角对应相等 D.三边对应相等
2.如图，△ABC中，AB=AC，EB=EC，则由SSS可以判定（B）
A.△ABD≌△ACD B.△ABE≌△ACE
C.△BDE≌△CDE D.以上答案都不对

3.如图，AB=AC，EB=CD，要使△ABE≌△ACD，依据SSS，则还需要添加条件AE=AD.
4.如图，AB=AD，CB=CD，△ABC 与△ADC全等吗？为什么？
解：全等.∵AB=AD,CB=CD,AC=AC,∴△ABC≌△ADC(SSS).

二、综合应用（每题15分，共30分）
5.如图，C是AB的中点，AD=CE，CD=BE，求证△ACD≌△CBE 证明：∵C是AB的中点，∴AC=CB.
在△ACD和△CBE中，
AC=CB,AD=CE,CD=BE,∴△ACD≌△CBE（SSS）.
6.如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证：∠A=∠D.

证明：∵BE=CF,∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF,在△ABC和△DEF中，AB=DE,AC=DF,BC=EF,∴△ABC≌△DEF(SSS).
∴∠A=∠D.

三、拓展延伸（20分）
7.已知∠AOB，点C是OB边上的一点，用尺规作图，画出经过点C与OA平行的直线.
解：作图如图所示：

作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E;
（2）以点C为圆心，OD长为半径画弧，交OB于点F；
（3）以点F为圆心，DE长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点P;
（4）过C，P两点作直线，直线CP即为要求作的直线.
12.2三角形全等的判定
第2课时 边角边
一、新课导入
1.导入课题：
上一节课，我们探究了三条边对应相等的两个三角形全等.
如果两个三角形有两条边和一个角分别对应相等，这两个三角形会全等吗？——这就是本节课我们要探讨的课题.
2.学习目标：
（1）能说出“边角边”判定定理.
（2）会用“边角边”定理证明两个三角形全等.
3.学习重、难点：
重点：“边角边”定理及其应用.
难点：“边角边”定理的应用.
二、分层学习

1.自学指导：
（1）自学内容：探究有两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形是否全等.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：根据探究提纲进行操作，并观察归纳得出结论.
（4）探究提纲：
①如果两个三角形有两条边和一个角分别对应相等，有几种可能的情形？
②画△ABC和△A′B′C′，使AB=A′B′，BC=B′C′，∠A=∠A′，剪下两个三角形，相互交流一下，看△ABC与△A′B′C′是否一定能重合？
不一定
③画△ABC和△A′B′C′, 使A′B′=AB,∠A′=∠A,A′C′=AC，剪下△ABC和△A′B′C′，大家试一试， △A′B′C′与△ABC能重合吗？
能
a.由上面的探究得到判定两个三角形全等的方法是两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（简写成边角边或SAS）.
b.将上述结论写成几何语言：
∵AB=A′B′,∠BAC=∠B′A′C′,AC=A′C′,∴△ABC≌△A′B′C′(SAS)
④寻找题目中的隐含条件.

a.如图（a），AB、CD相交于点O，且AO=OB.观察图形，图中已具备的另一个相等的条件是∠AOC=∠BOD；联想SAS公理，只需补充条件OC=OD，则有△AOC≌△BOD.
b.如图（b），AB⊥AC,AD⊥AE,AB=AC, AD=AE.能得出△DAC≌△EAB吗？
能.∵AB⊥AC,AD⊥AE,∴∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE,即∠EAB=∠DAC.在△DAC和△EAB中，
AC=AB,∠DAC=∠EAB,∴△DAC≌△EAB(SAS)AD=AE
c.如图（c），AB=CD，∠ABC=∠DCB，能判定△ABC≌△DCB吗？
解：∵AB=CD,∠ABC=∠DCB,BC=CB,∴△ABC≌△DCB(SAS).
2.自学：学生结合探究提纲进行探究学习.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：部分学生在归纳结论上会存在一定的困难，特别是“夹角”的理解及表述上.
②差异指导：根据学生学习中存在的问题予以分类指导.
（2）生助生：探究提纲中的问题可以由小组合作学习，相互交流帮助寻找出题目条件或隐含条件和说明方式.
4.强化：
（1）已知两边和夹角，会用尺规作图画三角形.
（2）边角边公理内容及几何语言的表达.
（3）边角边公理是判定两个三角形全等的第二个方法，现在一共学习了两个判定三角形全等的方法：SSS、SAS，结合条件可以选用这两个判定方法证明三角形全等.
（4）强化练习：
①下列条件中，能用SAS判定△ABC≌△DEF的条件是（B）
A.AB=DE,∠A=∠D,BC=EF B.AB=DE,∠B=∠E,BC=EF
C.AB=EF,∠A=∠D,AC=DF D.BC=EF,∠C=∠F,AB=DF
②已知△ABC中，AB=BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出7个.

1.自学指导：
（1）自学内容：教材第38页例2到教材第39页练习前的“思考”.
（2）自学时间：10分钟.
（3）自学指导：结合自学参考提纲，阅读教材.
（4）自学参考提纲：
①看懂例题题意，对照定理，在证明过程的后面注上理由.
②此题证明△ABC≌△DEC的理论依据是什么？
SAS
③归纳：线段相等或者角相等，可以通过什么方法得到？
证明三角形全等，再根据全等三角形的性质得到.
④思考：定理中为什么要强调“夹角”？
因为只有满足“两边及夹角”的两个三角形才能全等，否则不一定全等.
动手操作：把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC，固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD，这个实验说明了什么？
两边相等，夹角不相等的两个三角形不一定全等.
2.自学：学生可结合自学指导进行自学.
3.助学：
(1)师助生：
①明了学情：第二层次的学习是教会学生证明角、线段相等的方法是构造全等三角形，学生在初次接触到这种方法，应用起来会比较生疏.
②差异指导：a.指导学生构造全等三角形来证明角或者边相等；b.引导学生理解“两边及一角对应相等是不是一定可以得到两个三角形全等？”
（2）生助生：小组共同探讨帮助认知例题的证明方法及教材第39页的思考所反映的问题.
4.强化：
(1)判定两个三角形全等到目前学习的方法有“SSS”、“SAS”，注意没有“SSA”或“ASS”（特殊情形除外）.
(2)证明三角形全等的方法和步骤.
(3)课堂练习：
①课本教材第39页练习.
练习1：相等，根据边角边定理，△BAD≌△BAC,∴DA=CA.
练习2：证明：∵BE=FC，∴BE+EF=FC+EF,即BF=CE,又AB=DC,∠B=∠C,∴△ABF≌DCE，∴∠A=∠D.
②如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，你能得出AB=CD吗？若能，试说明理由.

解：连接AC.∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA.在△ABC和△CDA中，AD=BC,∠DAC=∠BCA,AC=CA,∴△ABC≌△CDA(SAS).∴AB=CD.
三、评价
1.学生的自我评价：学生交谈自己的学习收获及学习中的困惑.
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：对学生的学习态度、方法、成果及存在的不足进行点评.
（2）纸笔评价（课堂评价检测）.
3.教师的自我评价（教学反思）：
本节课的引入，可采用探究的方式，引导学生通过操作、观察、探索、交流、发现思索的过程，得出判定三角形全等的“SAS”条件，同时利用一个联系生活实际的问题——测量池塘两端的距离，对得到的知识加以运用，最后再通过实际图形让学生认识到“两边及其中一边的对角对应相等”的条件不能判定两个三角形全等.


一、基础巩固（第1、2题每题10分，第3、4题每题20分，共60分）
1.下列命题错误的是(D)
A.周长相等的两个等边三角形全等
B.两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
C.有两条边对应相等的两个等腰三角形不一定全等
D.有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等
2.如图，AB=AC，若想用“SAS”判定△ABD≌△ACE，则需补充一个条件AD=AE.

第2题图 第3题图 第4题图
3.如图，给出5个等量关系：①AD=BC;②AC=BD;③CE=DE;④∠D=∠C;⑤∠DAB=∠CBA.请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，组成一个正确的命题（用“若……则……”的形式表述）（只需写出一个），并加以证明.
解：命题：若AD=BC,∠DAB=∠CBA,则AC=BD.
证明如下：
在△ABD和△BAC中，AD=BC,∠DAB=∠CBA,AB=BA,∴△ABD≌△BAC(SAS).∴AC=BD.
4.如图，点B，E，C，F在同一直线上，AB=DE，∠B=∠DEF，BE=CF．求证：AC=DF.
证明：∵BE=CF,∴BE+EC=CF+EC,即
BC=EF.在△ABC和△DEF中，
AB=DE,∠B=∠DEF,∴△ABC≌△DEF（SAS）.∴AC=DF.
BC=EF

二、综合应用（20分）
5.已知：如图AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,求证： △ABD≌△ACE.

证明：∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE,在△ABD和△ACE中，AB=AC,∠BAD=∠CAE,∴△ABD≌△ACE(SAS),AD=AE,

三、拓展延伸（20分）
6.小明做了一个如图所示的风筝，测得DE＝DF，EH＝FH，由此你能推出哪些正确结论?并说明理由.

解：
结论：（1）DH平分∠EDF和∠EHF.
（2）DH垂直平分EF.
理由.
（1）在△EDH和△FDH中，DE=DF,EH=FH,DH=DH,∴△EDH≌△FDH(SSS).
∴∠EDH=∠FDH,∠EHD=∠FHD.即DH平分∠EDF和∠EHF.
（2）由（1）知，在△EOD和△FOD中，ED=DF,∠EDO=∠FDO,OD=OD, ∴△EOD≌△FOD(SAS).
∴EO=OF,∠EOD=∠FOD=90°, ∴DH垂直平分EF.
12.2三角形全等的判定
第3课时 角边角和角角边
一、新课导入
1.导入课题:
一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了，如图，你能制作一张与原来形状大小相同的三角形硬纸板吗？下面我带着这个问题学习——三角形的又一个重要的判定方法.

2.学习目标:
（1）能述出“角边角”定理.
（2）能运用“角边角”定理解决简单的推理证明问题.
3.学习重、难点：
重点：“角边角”定理及其应用.
难点：灵活运用三角形全等条件证明三角形全等.
二、分层学习

1.自学指导：
（1）自学内容：探究有两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形是否全等.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：参考探究提纲进行实验操作，并进行观察、思考，得出你的结论.有困难的学生可以合作学习.
（4）探究提纲：
①动手操作：三角形的两个内角分别是60°和80°，它们的夹边为4 cm,你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么结论？
②将你发现的结论写下来：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）.
③将上述结论用几何语言表示为：
在△ABC和△A′B′C′中
∵∠A=∠A′，AB=A′B′，∠B=∠B′，
∴△ABC≌△A′B′C′(ASA)
2.自学：学生结合探究提纲进行探究学习.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：观察学生动手情况，特别是结论的归纳及表述是否正确、简洁.
②差异指导：对学生学习中存在的问题予以分类指导.
（2）生助生：针对个别学生学习中存在的疑点进行互助交流.
4.强化：
“ASA”的文字表述及符号表述.

1.自学指导：
（1）学习内容：教材第40页例3到教材第41页“练习”前面的内容.
（2）自学时间：10分钟.
（3）自学方法：结合图形，对照条件寻找符合“ASA”的对应元素.
（4）自学参考提纲：
①例3中，要证明AD=AE，可通过证明哪两个三角形全等得到？根据条件采用哪种判定方法？
△ACD≌△ABE(ASA).
证明中对应相等的元素排列次序有讲究吗？公共角(公共边)是∠A.
②认真阅读例4
a.已知条件中的两个角是边的夹角吗？不是
b.仔细阅读例题的证明过程，该题的证明是用我们学过哪个定理来证明的？三角形内角和定理
c.该例题得出了一个什么结论？
结论：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
（简写为：角角边或AAS）
将上述结论用几何语言表示为：
在△ABC和△DEF中
∵∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF
∴△ABC≌△DEF(AAS)
③小组合作完成教材第41页上面的思考.
a.小组长给出任意三个角的度数，小组内的所有成员动手画一画，然后比一比，画出的三角形全等吗？
b.通过 “思考”的学习，我们明白了什么道理？
结论:三个角分别相等的两个三角形不一定全等.
c.归纳交流：判定两个三角形全等的方法有哪些？
2.自学：学生可结合自学指导进行自学.
3.助学：
(1)师助生：
①明了学情：对于例4的证明，学生对条件的转换容易混淆，教材第41页的思考在小组合作下学习，部分学生也会存在一定的困难.
②差异指导：对学生存在的问题予以启发指导.
(2)生助生：对教材第41页的“思考”由小组共同合作交流相互帮助完成.
4.强化：
（1）有两个角及一边对应相等的两个三角形全等，其对应关系有两种情况：“ASA”、“AAS”
（2）练习：①如图，EA⊥AB，DB⊥AB，∠ACE=∠BDC，AE=BC，试判断CE与CD的关系.

解：∵EA⊥AB,DB⊥AB,∴∠A=∠B=90°,
在△ACE和△BDC中，
∠ACE=∠BDC,∠A=∠B,AE=BC,∴△ACE≌△BDC（AAS）.∴CE=CD.
②判断：
a.有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等.(×)
b.有两个角和一条边对应相等的两个三角形全等.(√)
三、评价
1.学生的自我评价：学生相互交流自己的学习收获和困惑.
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：对学生的学习态度、方法、成果和不足进行点评.
（2）纸笔评价（课堂评价检测）.
3.教师的自我评价（教学反思）：
本课时教学以“自主探究——合作交流”为主体形式，先给学生独立思考的时间，提供学生创新的空间与可能，再给不同层次的学生提供一个交流合作的机会，培养学生独立探究，合作学习的能力.
同时，注重让学生用自己的语言归纳和表达发现的规律，指引学生对知识与方法进行回顾总结，形成良好的反思习惯，获取优秀的学习方法.




一、基础巩固（每题10分，共50分）
1.在△ABC和△A′B′C′中，从下列各组条件中，选取的三个条件不能保证△ABC≌△A′B′C′的是（B）
①AB=A′B′②BC=B′C′③AC=A′C′④∠A=∠A′⑤∠B=∠B′⑥∠C=∠C′
A.①②③ B.①②④ C.③④⑤ D.具备②③⑥
2.如果两个三角形中两条边和其中一边所对的角相等，那么这两个三角形（C）
A.全等 B.不全等 C.不一定全等 D.以上答案均不对
3.如图，已知AB＝DC，AD＝BC，E、F是DB上的两点且BF＝DE.若∠AEB＝120°，∠ADB＝30°，则∠BCF= (D)
A.150° B.40° C.80° D.90°

4.如图，若△ABC≌△ADE，∠EAC=35°，则∠BAD=35度.
5.如图，AB∥CD，AD∥BC，OE=OF,图中全等三角形共有6对.

二、综合运用（每题15分，共30分）
6.已知：如图，∠ABC＝∠DEF，AB＝DE，要证明△ABC≌△DEF，

（1）若以“SAS”为依据，还须添加的一个条件为BC=EF.
（2）若以“ASA”为依据，还须添加的一个条件为∠A=∠D.
（3）若以“AAS”为依据，还须添加的一个条件为∠ACB=∠F.
7.如图，AB∥CD，AD∥BC，那么AD=BC，AB=ＤC，你能说明其中的道理吗？(可添加辅助线)

解：连接AC.∵AB∥CD,AD∥BC,∴∠BAC=∠DCA,∠DAC=∠BCA,又AC=CA,
∴△BAC≌△DCA（ASA）.∴AD=BC,AB=DC.

三、拓展延伸（20分）
8.如图，E、F在BD上，且AB＝CD，BF＝DE，AE＝CF,求证：AC与BD互相平分.

证明：∵BF=DE,
∴BF-EF=DE-EF,即BE=DF.
在△ABE和△CDF中，
AB=CD,AE=CF,BE=DF,
∴△ABE≌△CDF.∴∠B=∠D.
∴AB∥CD.∴∠BAO=∠DCO.
在△ABO和△CDO中，
∠B=∠D,AB=CD,∠BAO=∠DCO,
∴△ABO≌△CDO,
∴BO=DO,AO=CO,即AC与BD互相平分.
12.2三角形全等的判定
第4课时 斜边、直角边
一、新课导入
1.导入课题:
对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足哪些条件，这两个直角三角形就全等呢？本节课我们探讨直角三角形全等的判定方法.
2.学习目标:
（1）探究直角三角形全等的判定方法.
（2）能运用三角形全等的判定方法判断两个直角三角形全等.
3.学习重、难点：
重点：直角三角形全等的判定方法.
难点：两个直角三角形全等判定的应用.
二、分层学习

1.自学指导：
(1)自学内容：探究斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等.
(2)自学时间：10分钟
(3)自学方法：结合探究提纲进行探究.
(4)探究提纲：
①判定两个三角形全等的方法：SSS、SAS、ASA、AAS.
②①中几个判定方法对于直角三角形是否适用？适用
③如图，AB⊥BE于点B，DE⊥BE于点E，

a.若∠A=∠D，AB=DE，则△ABC与△DEF全等吗？依据是ASA（用简写法）.
b.若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△DEF全等吗？依据是SAS（用简写法）.
结论：两条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
④已知△ABC中，∠C=90°，试作出一个△A′B′C′，使∠C′=∠C，A′B′=AB，B′C′=BC.
a.作图过程中应先作∠C′=∠C，再作B′C′=BC，然后作A′B′=AB.
b.剪下△A′B′C′与△ABC重叠一下，看它们是否完全重合.重合
c.根据作图、重叠，你有什么发现吗？
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（HL）.
d.将上述结论用几何语言表示为：
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中
∵AB=A′B′ BC=B′C′
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL)
⑤比较“HL”与“SAS”两个定理的区别.
⑥用“SSA”不能判定一般的两个三角形全等，对于直角三角形行吗？一定行.
2.自学：学生结合探究提纲进行探究学习.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：前面已经学习了几个判定，学生能够利用类比的方法迅速掌握本节内容，但在应用的过程中还存在一定的障碍，特别是应用“HL”定理时容易写成“SSA”.
②差异指导：在学习的过程中，先由一般方法到特殊方法，让学生整体感知“HL”的优点.
（2）生助生：在完成探究的过程中，需要小组合作学习，相互交流帮助作图并说明道理.
4.强化：
(1)直角三角形是特殊的三角形，它不仅有一般三角形全等判定的方法:SAS、ASA、AAS、SSS，还有直角三角形特殊的判定方法——“HL”.
（2）“HL”不能写成“SSA”.
（3）如图，若AB=DE，AC=DF，则△ABC与△DEF全等吗？为什么？
不一定全等，因为没有第三个条件.

1.自学指导：
(1)自学内容：教材第42页例5.
(2)自学时间：5分钟.
(3)自学方法：认真阅读例5，分析图中的对应条件.
(4)自学参考提纲：

①题中要证BC=AD，可以转化为证明哪两个三角形全等？为什么？
△ABC≌△BAD
②这两个三角形全等有哪些已知条件？用哪个判定定理合适？为什么？
已知AB=BA,AC=BD,用HL判定定理，因为AB是Rt△ABC和Rt△BAD的斜边，AC和BD分别是Rt△ABC和Rt△BAD的直角边.
2.自学：学生可结合自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：由于前面几节课的学习，学生在证明过程中容易形成思维定势，总在寻找三个对应条件来判定两个三角形全等，而忽视“直角三角形”的特殊性.
②差异指导：先按一般三角形全等的判定方法，寻求条件，若缺条件，再尝试“HL”
（2）生助生：学生之间相互交流帮助.
4.强化：
（1）判定两个直角三角形全等的方法和特殊方法.
（2）练习：如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC与E，AB=DC,BE=CF,你认为AB平行于CD吗？说说你的理由.

解：平行.理由：∵AF⊥BC，DE⊥BC，∴∠AFB和∠DEC都是直角，又BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE.在Rt△ABF和Rt△DCE中，AB=CD,BF=CE,
∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL),∴∠B=∠C,AB∥CD.
三、评价
1.学生的自我评价：通过本节课的学习谈自己有哪些收获和体验.
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：对学生的学习态度、方法、成果和不足进行点评.
（2）纸笔评价（课堂评价检测）.
3.教师的自我评价（教学反思）：
本课时教学应突出学生主体性原则，即从规律的探究、例题的学习，指引学生独立思考，自主得出，在探究之后，让学生相互交流，或上台展示自己的发现，或表达个人的体验，从中获取成功的体验后，激发学生探究的激情.



一、基础巩固（第1、2题每题10分，第3题40分，共60分）
1.判断一组直角三角形全等的方法有：SSS SAS ASA AAS HL.
2.在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C′=∠C=90°，∠B′=∠A，AB=B′ A′，则下列结论正确的是（C）
A.AC=A′C′ B.BC=B′C′ C.AC=B′C′ D.∠A′=∠A
3.如图，BA⊥AC，DC⊥AC，要使△ABC≌△CDA，还需添加什么条件，才能保证结论成立？

(1)AB=CD（SAS）； (2)∠ACB=∠CAD（ASA）；
(3)∠B=∠D（AAS）； (4)BC=AD（HL）.

二、综合应用（每小题10分，20分）
4.已知：BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA，
求证：① △BEC≌△DEA；
②DF⊥BC．

证明：(1)∵BE⊥CD,∴∠BEC=∠DEA=90°.在Rt△BEC和Rt△DEA中，BC=DA,BE=DE,∴Rt△BEC≌△Rt△DEA.
（2）∵Rt△BEC≌Rt△DEA,∴∠C=∠DAE,∴∠C+∠D=∠DAE+∠D=90°,∴∠CFD=90°,∴DF⊥BC.
5.如图，∠DCE=90°，CD=CE，AD⊥AC，BE⊥AC，垂足分别为A、B，试说明AD+AB＝BE.

解：∵AD⊥AC,BE⊥AC,∴∠A=∠CBE=90°,∴∠D+∠ACD=90°.又∵∠DCE=90°,∴∠ACD+∠BCE=90°,∴∠D=∠BCE.在△ACD和△BEC中，∠A=∠CBE,∠D=∠BCE,CD=EC,∴△ACD≌△BEC(AAS).∴AD=BC,AC=BE,∴AD+AB=BC+AB=AC=BE.

三、拓展延伸（20分）
6.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，EF是过点A的直线，BE⊥EF于E，CF⊥EF于F，试探求线段BE、CF、EF之间的关系，并加以证明.

解：BE+CF=EF,证明如下：
∵BE⊥EF,CF⊥EF,
∴∠BEA=∠AFC=90°.
又∠BAC=90°，∴∠EAB+∠CAF=180°-∠BAC=90°,
∴∠EAB=∠FCA,
在△ABE和△CAF中，
∠BEA=∠AFC,∠EAB=∠FCA,AB=CA,
∴△ABE≌△CAF(AAS).
∴BE=AF,AE=CF,
∴BE+CF=AF+AE=EF.
12.3角的平分线的性质
第1课时 角平分线性质
一、新课导入
1.导入课题：
投影教材第48页开头的“思考”中的文字和图形，让学生说明道理后提出问题：你能从“思考”中得到的启示通过运用尺规作一个角的平分线吗？
2.学习目标：
（1）学会角平分线的画法.
（2）探究并认知角平分线的性质.
（3）熟练地运用角平分线的性质解决实际问题.
3.学习重、难点：
重点：角的平分线的性质.
难点：运用角平分线的性质解决相关的问题.
二、分层学习

1.自学指导：
（1）自学内容：探究“角平分线的作法”.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：阅读、作图、总结、归纳.
（4）自学参考提纲：
①投影中AE平分∠DAB是由什么方法得到∠DAE=∠BAE？证明△ABC≌△ADC(SSS).
②由平分角的仪器尝试画∠AOB的平分线.
③由导入得到作角平分线的方法：
a.作法(1)能得到OM=ON；
b.作法(2)能得到MC=NC；
c.由SSS方法判定△OMC≌△ONC，得到∠MOC＝∠NOC，∴OC是∠AOB的平分线;
d.在作法的第二步中，去掉“大于12MN的长”这个条件行吗？不行.
2.自学：学生结合自学指导进行探究式学习.
3.助学：
(1)师助生：
①明了学情：利用角平分仪悟出画角平分线的方法，由实物抽象出几何图形，应用了数学里面的建模思想，部分学生理解起来还存在一定的困难.
②差异指导： a.引导学生理解角平分仪平分角的道理是证明两角相等，回忆前面证明角相等的方法是证明三角形全等.b.在尺规作图的过程中引导学生运用三角形三边关系定理，理解“大于12MN的长”这个条件.
（2）生助生：学生之间相互交流帮助.
4.强化：
（1）让学生口述角平分线的作法步骤.
（2）尝试练习：作出△ABC的三条角平分线（保留作图痕迹，写出作法）.
（3）练习：
平分平角∠AOB，通过作角平分线得到射线OC，然后反向延长OC得到直线CD，直线CD与直线AB存在什么样的位置关系？互相垂直.
（4）给一张三角形纸片，你能不借助任何工具找到某一个角的平分线吗？
能，将这个三角形沿过一个顶点的线折叠，使在该顶点的角的两边重合，则该线就是这个角的平分线.

1.自学指导：
（1）自学内容：探究“角平分线上的点到角的两边的距离相等”.
（2）自学时间：5分钟.
（3）学习方法：先通过折纸画图、测量得出角平分线的性质，再探究几何证明方法.
（4）探究提纲：
①如图，OC平分∠AOB，点P是OC上任一点，P点到OA、OB的距离怎么找？

过点P分别向OA、OB作垂线，P点与垂足之间的线段的长就是P点到OA、OB的距离.
②这两个距离可采用什么方法得到它们的大小关系？
证三角形全等，然后得出这两个距离相等.
③用你采用的方法，得到了什么结论？
结论：角的平分线上的点到角的两边的距离相等..
④将性质用图形、几何语言表示（填写下表）：
图形：

已知事项：已知∠AOB,OC是∠AOB的平分线，P为OC上一点，且PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D、E.
由已知事项推出的事项：PD=PE
⑤根据探究的内容，写出已知、求证及证明结论的过程.
已知：∠AOC=∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D、E.
求证：PD=PE.
证明：∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO,∠AOC=∠BOC,OP=OP,∴△PDO≌△PEO(AAS),∴PD=PE.
⑥由上述证明过程，总结证明一个几何命题的一般步骤：
1.明确命题中的已知和求证;2.根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证;3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
2.自学：学生可结合自学指导探究式学习.
3.助学：
(1)师助生：
①明了学情：通过第二层次的学习，学生能够理解角平分线的性质定理，但在证明过程中，大部分学生不习惯把文字语言改成几何语言，教师应了解学生在几何表述中存在的问题.
②差异指导：得出结论之后，要通过证明，才能确定命题的正确性，引导学生学会证明文字语言描述的几何题的步骤.
(2)生助生：学生之间相互交流帮助.
4.强化：
(1)用文字及几何语言表述定理；(2)证明题的基本步骤.

三、评价
1.学生的自我评价：学生相互交谈自己的收获和学习困惑.
2.教师对学生的评价：
(1)表现性评价：对学生的学习态度、方法、成果及存在的不足进行点评.
(2)纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）：
本节课由于采用了动手操作、直观模型的观察以及讨论交流等教学方法.从而有效地增强了学生对角以及角的平分线的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感性.所以本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的，不是之处：少数学生在尺规作图上还存在问题，需要在今后的教学与作业中进一步加强巩固和训练.



一、基础巩固（第1、2、3题每题10分，第4题20分，共50分）
1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.
2.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D．下列结论中错误的是 (D)
A.PC=PD B.OC=OD C.∠CPO=∠DPO D.OC=PO

第2题图 第3题图 第4题图
3.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，若AB=10cm，则△DBE的周长等于(A)
A.10cm B.8cm C.6cm D.9cm
4.如图，P是∠AOB角平分线上的点，C、D分别是OA、OB上的点，且PC=PD，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，求证：CE=DF.
证明：∵OP是∠AOB的平分线，PE⊥OA,PF⊥OB,∴∠PEC=∠PFD=90°,PE=PF,在Rt△PEC和Rt△PFD中，PC=PD,PE=PF,∴Rt△PEC≌Rt△PFD(HL),∴CE=DF.

二、综合应用（第5题10分，第6题20分，共30分）
5.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，则下列四个结论：
①AD上任意一点到点C、点B的距离相等；②AD上任意一点到AB，AC的距离相等；③BD=CD，AD⊥BC；④∠BDE=∠CDF．其中，正确的个数是（D）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

第5题图 第6题图
6.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，∠B=90°，DF⊥AC，垂足为F，DE=DC，求证：BE=CF.
证明：∵DF⊥AC,∴∠DFA=∠B=90°.∵AD为∠BAC的平分线，∴DB=DF.在Rt△BDE和Rt△FDC中，DE=CD,DB=DF,∴Rt△BDE≌Rt△FDC（HL）.∴BE=CF.
三、拓展延伸（20分）
7.如图，点D、B分别在∠MAN的两边上，C是∠MAN内一点，AB=AD，BC=CD，CE⊥AM于E，CF⊥AN于F.
求证：CE =CF.

证明：在△ABC和△ADC中，AB=AD,BC=DC,AC=AC,∴△ABC≌△ADC(SSS).∴∠DAC=∠BAC.
∴AC平分∠MAN.∵CE⊥AM,CF⊥AN,∴CE=CF.
12.3角的平分线的性质
第2课时 角平分线的判定
一、新课导入
1.导入课题：
我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，反过来，到角的两边的距离相等的点是否在这个角的平分线上呢？这节课我们对这个问题进行探究.
2.学习目标：
（1）能说出角平分线的性质的逆定理，并能给予证明.
（2）能够熟练地运用角平分线的性质的逆定理解决一些相关的数学问题.
3.学习重、难点：
重点：正确地区分角平分线的性质定理及逆定理的条件与结论.
难点：角平分线定理和逆定理的互用.
二、分层学习

1.自学指导：
（1）自学内容：教材第49页下面的“思考”至例题之间的内容.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：通过动手作图、观察、思考、论证、归纳得出结论.
（4）自学参考提纲：
①知识回顾：角平分线的性质定理是：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
这个定理的题设是一个点在一个角的平分线上，结论是这个点到这个角两边的距离相等，用几何语言表示：如右图，

∵OP平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE
②把角平分线的性质定理的题设与结论互换，就可以得到它的逆命题，试写出这个逆命题：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上用几何语言表示：如右图，

∵PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE,
∴点P在∠AOB的平分线上（OP平分∠AOB）,
③小组合作完成教材第49页的思考：
a.所建的集贸市场要符合哪些条件？
到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m.
b.集贸市场应该建在什么位置？
画一画，并说明理由.

如图所示:P点即为所求，理由：P点在交叉口的角平分线上，所以P点到公路与铁路的距离相等.
c.实际距离500米能否转换成图上距离？写出计算过程.
能,∵图上距离/500m=，∴图上距离=0.025m=2.5cm.
④结合上图自己写出角平分线性质定理的逆定理的证明过程.
2.自学：学生可结合自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：学生已经具备了一些几何概念定理学习方法，对于性质定理的逆命题，学生能很快得出来，但在语言表达上还存在一定问题；教材第49页的“思考”对于八年级的学生来说还存在一定的难度.
②差异指导：引导学生比较角平分线的性质定理和它的逆命题的题设与结论，认识它们的区别与联系，学会文字语言和几何语言的转换.
(2)生助生：生生间互助交流.
4.强化：
（1）进一步明确角平分线的性质定理和它的逆定理的题设与结论的互换关系，以及文字语言向几何语言的转换方法.
（2）角平分线的性质定理和它的逆定理，揭示了“角相等”和“线段相等”之间的一种特殊关系.

这为今后我们证明角相等，线段相等提供了一种解题思路.

1.自学指导：
（1）自学内容：教材第50页例题.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学要求：思考辅助线的作用和为什么要这样作辅助线的道理.
（4）自学参考提纲：
研究例题，我知道了：
①推出PD=PE的依据是角的平分线上的点到角的两边的距离相等；
②“同理”这里省略的过程是∵CN是△ABC的角平分线，点P在CN上；
③推出PE=PF的依据是角的平分线上的点到角的两边的距离相等；
④推出PD=PE=PF的依据是等量代换；
⑤由点P在∠A的内部，且PD=PF可知，点P在∠A的平分线上，其依据是角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上；
⑥归纳：三角形的三条角平分线交于一点，而且这一点到三角形三边的距离相等.
2.自学：学生可结合自学指导进行自学.
3.助学：
(1)师助生：
①明了学情：看学生能否根据今天学习的内容很快完成例题的学习，看是否明白作辅助线的道理.
②差异指导：例题中隐含有两个重要结论：一是三角形三条中线交于一点；二是确定到三角形三边的距离相等的点的方法.对此部分学生理解上存在困难，注意分类指导.
(2)生助生：学生之间相互交流帮助.
4.强化：
（1）三角形三条角平分线交于一点.
（2）要在三角形的内部找到一点，使这一点到三角形的三边的距离都相等，这个点应如何确定？
作其中任意两角的平分线，交点即为所要找的点.
（3）教材第50页小练习.
练习1：作∠BOA的平分线交于MN于P即可.
练习2：证明：过P作PM⊥AC于M，过P作PN⊥BC于N，过P作PQ⊥AB于Q.
∵CE为∠MCN的平分线，∴PM=PN，
同理PN=PQ，∴点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
三、评价
1.学生的自我评价：学生之间交谈自己的学习收获和学习体会.
2.教师对学生的评价
（1）表现性评价：对学生的学习态度、学习方法和成果进行点评.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）：
本课时教学思路按操作、猜想、验证的学习过程，遵循学生的认知规律，充分体现了数学学习的必然性，教学时要始终围绕问题展开，先从出示问题开始，鼓励学生思考、探索问题中所包含的数学知识，再要求学生开展活动——折纸，体验三角形角平分线交于一点的事实，并得出进一步的猜想和开展新活动——尺规作图，从中猜想结论并思考证明的方法，整堂课以学生操作、探究、合作贯穿始终，并充分给学生思考留下足够的空间与时间，形成动手、合作、概括与解决问题的意识与能力.





一、基础巩固（第1、2、3题每题10分，第4、5题每题20分，共70分）
1.如右图，因为 OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，所以PD=PE. 依据是角的平分线的性质.

2.如右图，因为点P在∠AOB的内部，PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE，所以 OP平分∠AOB.即∠AOP=∠BOP.
3.要在三角形内部找到一点，使这一点到三角形三边的距离都相等，这个点是三角形的三条角平分线的交点.
4.如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（D）
A.1处 B.2处 C.3处 D.4处

第4题图 第5题图
5.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，DE垂直平分AB交AB于E.若DE=12AD=1.5cm，则BC=（D）
A.3cm B.7.5cm C.6cm D.4.5cm

二、综合应用（每小题10分，共20分）
6.如图，点P是△ABC的外角∠CBE和外角∠BCF的平分线的交点，求证：AP平分∠BAC.

证明：作PQ⊥BC,PM⊥AE,PN⊥AF,垂足分别为Q,M,N.
∵P点在∠CBE和∠BCF的平分线上，∴PM=PQ,PN=PQ,∴PM=PN.
∵P是AP上的点，∴AP平分∠BAC.
7.如图,已知在△ABC中，∠C=90°,点D是斜边AB的中点，AB=2BC，DE⊥AB交AC于E．

求证：DE=CE.
证明：点D是AB的中点，AB=2BC,∴BD=12AB=BC.∵DE⊥AB,∴∠BDE=∠C=90°,在Rt△BDE和Rt△BCE中，BE=BE,BD=BC，
∴Rt△BDE≌Rt△BCE（HL），∴DE=CE.

三、拓展延伸（10分）
8.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F．连接EF，EF与AD交于G，AD与EF垂直平分吗？证明你的结论．

解：AD垂直平分EF.证明如下：
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠1=∠2,∠AED=∠AFD=90°,DE=DF.
∴△AED≌△AFD(AAS).
∴AE=AF,在△AEG和△AFG中，AE=AF,∠1=∠2,AG=AG,∴△AEG≌△AFG(SAS).∴∠AGE=∠AGF=90°,EG=FG.
∴AD⊥EF.
∴AD垂直平分EF.
数学活动
——用全等形设计图案
一、导学
1.导入课题：
在我们日常生活中经常见到一些美丽的图案(投影一些图案)，其实它们是由我们熟悉的全等形设计的，板书活动课题——用全等形设计图案.
2.学习目标：
（1）了解一些由全等形设计的图案，并会从中找出全等形.
（2）认识由全等形设计的图案一般具有对称性.
（3）认识由全等形设计的图案有许多相等的量(线段、角)，特殊的位置关系(垂直).
3.学习重、难点：
重点：能从一个图案中找出全等形，相等量，特殊位置.
难点：学会用全等形设计图案.
4.自学指导：
(1)学习内容：教材第53页.
(2)学习时间：10分钟.
(3)学习要求：阅读教材，并完成学习参考提纲中的问题.
(4)学习参考提纲：
①观察并回答教材活动1提出的问题.
②教材图1的两幅图案是轴对称图形吗？各有几条对称轴？
是轴对称图形，两个图案都有4条对称轴
③如图，请你用四个全等的直角三角形设计一幅图案，并相互交流一下.

④完成活动2中的活动任务.
二、自学
学生结合自学参考提纲进行学习活动.
三、助学
1.师助生：
（1）明了学情：教师深入课堂，了解学生学习活动中存在的问题和活动成果.
（2）差异指导：关注学生观察与归纳的正确性，并加以引导.
2.生助生：学生之间相互交流学习成果，帮助设计图案.
四、强化
1.教材图1、图2的设计原理：全等形的轴对称设计.
2.图案设计的多样性.
3.筝形的有关性质.
五、评价
1.学生的自我评价：介绍自己在本课数学活动中的表现、收获及困惑.
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：点评学生本次活动的态度、方法、收获(成果)及不足等.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价(教学反思):
本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究以及合作交流等方式来进行，从观察图形入手，到自己动手操作设计图案，有效地激发了学生学习的主动性和探究热情，从教学教案看，学生对根据全等图形设计的图案的理解较好，在用全等三角形研究“等形”活动中，部分学生不能找准论证需要的杂件，还需在今后的教学中加强巩固这种方法的练习.


一、基础巩固（第1题20分，第2题40分，共60分）
1.如图，是由全等的三角形和全等的正方形拼成的图案，观察图案，其中有4个全等的三角形，5个全等的正方形.


2.右图中还有哪些全等形，试在图中标上字母，并把全等形写出来.
解：四边形ABCD，四边形CDEF,四边形EFGH.四边形GHAB这四个图形全等.六边形HABCDE,六边形BCDEFG,六边形DEFGHA,六边形FGHABC这四个图形全等.（答案不唯一）

二、综合应用（每小题10分，共20分）
3.请你用下面这种基本图形设计一幅图案，画在下面田字格纸上.

4.请用下列两种基本图形设计一幅轴对称图形的图案.

三、拓展延伸（20分）
5.如图，AB=AE，BC=DE，∠B=∠E，请你用测量、折纸等方法猜想AC与AD，BD与CE有什么关系？然后用全等三角形的知识证明你的结论.

解：猜想：AC=AD,BD=CE.
证明：连接AC、AD、BD、CE.在△ABC和△AED中，AB=AE,∠ABC=∠AED,BC=ED,
∴△ABC≌△AED(SAS).
∴AC=AD.
∴∠ACD=∠ADC,
∴∠ACB+∠ACD=∠ADE+∠ADC,
即∠BCD=∠EDC.在△BCD和△EDC中.
BC=ED,∠BCD=∠EDC,CD=DC,
∴△BCD≌△EDC(SAS)
∴BD=CE.
数学活动
——用全等形设计图案
一、导学
1.导入课题：
在我们日常生活中经常见到一些美丽的图案(投影一些图案)，其实它们是由我们熟悉的全等形设计的，板书活动课题——用全等形设计图案.
2.学习目标：
（1）了解一些由全等形设计的图案，并会从中找出全等形.
（2）认识由全等形设计的图案一般具有对称性.
（3）认识由全等形设计的图案有许多相等的量(线段、角)，特殊的位置关系(垂直).
3.学习重、难点：
重点：能从一个图案中找出全等形，相等量，特殊位置.
难点：学会用全等形设计图案.
4.自学指导：
(1)学习内容：教材第53页.
(2)学习时间：10分钟.
(3)学习要求：阅读教材，并完成学习参考提纲中的问题.
(4)学习参考提纲：
①观察并回答教材活动1提出的问题.
②教材图1的两幅图案是轴对称图形吗？各有几条对称轴？
是轴对称图形，两个图案都有4条对称轴
③如图，请你用四个全等的直角三角形设计一幅图案，并相互交流一下.

④完成活动2中的活动任务.
二、自学
学生结合自学参考提纲进行学习活动.
三、助学
1.师助生：
（1）明了学情：教师深入课堂，了解学生学习活动中存在的问题和活动成果.
（2）差异指导：关注学生观察与归纳的正确性，并加以引导.
2.生助生：学生之间相互交流学习成果，帮助设计图案.
四、强化
1.教材图1、图2的设计原理：全等形的轴对称设计.
2.图案设计的多样性.
3.筝形的有关性质.
五、评价
1.学生的自我评价：介绍自己在本课数学活动中的表现、收获及困惑.
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：点评学生本次活动的态度、方法、收获(成果)及不足等.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价(教学反思):
本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究以及合作交流等方式来进行，从观察图形入手，到自己动手操作设计图案，有效地激发了学生学习的主动性和探究热情，从教学教案看，学生对根据全等图形设计的图案的理解较好，在用全等三角形研究“等形”活动中，部分学生不能找准论证需要的杂件，还需在今后的教学中加强巩固这种方法的练习.


一、基础巩固（第1题20分，第2题40分，共60分）
1.如图，是由全等的三角形和全等的正方形拼成的图案，观察图案，其中有4个全等的三角形，5个全等的正方形.


2.右图中还有哪些全等形，试在图中标上字母，并把全等形写出来.
解：四边形ABCD，四边形CDEF,四边形EFGH.四边形GHAB这四个图形全等.六边形HABCDE,六边形BCDEFG,六边形DEFGHA,六边形FGHABC这四个图形全等.（答案不唯一）

二、综合应用（每小题10分，共20分）
3.请你用下面这种基本图形设计一幅图案，画在下面田字格纸上.

4.请用下列两种基本图形设计一幅轴对称图形的图案.

三、拓展延伸（20分）
5.如图，AB=AE，BC=DE，∠B=∠E，请你用测量、折纸等方法猜想AC与AD，BD与CE有什么关系？然后用全等三角形的知识证明你的结论.

解：猜想：AC=AD,BD=CE.
证明：连接AC、AD、BD、CE.在△ABC和△AED中，AB=AE,∠ABC=∠AED,BC=ED,
∴△ABC≌△AED(SAS).
∴AC=AD.
∴∠ACD=∠ADC,
∴∠ACB+∠ACD=∠ADE+∠ADC,
即∠BCD=∠EDC.在△BCD和△EDC中.
BC=ED,∠BCD=∠EDC,CD=DC,
∴△BCD≌△EDC(SAS)
∴BD=CE.
章末复习
一、复习导入
1.导入课题：
在这一章，我们深入地研究了全等三角形的性质、判定以及相关的应用，这节课我们把这章的知识整体回顾一下.
2.复习目标：
（1）知道全等三角形的性质、判定.
（2）能说出角平分线性质、判定以及它与全等三角形知识的联系.
（3）灵活地运用全等三角形的性质、判定解决几何问题.
3.复习重、难点：
重点：全等三角形的性质、判定..
难点：全等三角形的性质、判定的应用.
二、分层复习

1.复习指导：
（1）复习内容：复习教材第31页到教材第56页的内容.
（2）复习时间：10分钟.
（3）复习方法：回顾、整理、反思.
（4）复习参考提纲：
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容：
①你能举出一些实际生活中全等形的例子吗？
②全等三角形有什么性质？
③全等三角形的判定有哪些？试着说说这些判定之间的区别.
④学习本章内容之后，你对角平分线有哪些新认识，你能用全等三角形的相关知识进行证明吗？
⑤说说证明几何命题的一般步骤有哪些？
2.自主复习：
同学们可结合复习指导进行复习.
3.互助复习：
1.师助生：
（1）明了学情：通过本章的学习，了解学生是否学会了利用证明三角形全等来得到线段相等、角相等，利用全等三角形证明角平分线的性质的方法是否掌握.
（2）差异指导：引导学生总结证明线段相等、角相等的方法是通过证明三角形全等来完成的.
2.生助生：学生之间相互交流帮助.
4.强化复习：
(1)复述全等三角形的性质、判定.
(2)角平分线性质定理和逆定理.

1.复习指导：
（1）复习内容：解答参考提纲中的例题.
（2）复习时间：10分钟.
（3）复习方法：自主动手完成复习参考提纲中的问题的解答.
（4）复习参考提纲：
①巧添辅助线构造全等三角形
例1：如图，在△ABC中，AB=12，AC=8，AD是BC边上的中线，求AD的取值范围.

解：延长AD至E,使AD=DE,连接BE,CE.
∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD.
在△BDE和△CDA中，BD=CD,∠BDE=∠CDA,DE=DA,
∴△BDE≌△CDA(SAS).
∴BE=CA=8.
∵AB-BE ∴4 ∴2 ②利用三角形全等解决开放性与探究性问题.
例2：如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个条件：
a.AB=AC，b.AD=AE，c.∠1=∠2，d.BD=CE.请你以其中三个条件为题设，余下的作为结论，写出一个真命题.（要求写出已知、求证及证明过程）

解：命题：如果AB=AC,AD=AE,∠1=∠2,那么BD=CE.
已知：如图，△ABD和△ACE中，AB=AC,AD=AE,∠1=∠2.
求证：BD=CE.
证明：∵∠1=∠2,∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD,即∠BAD=∠CAE.
在△ABD和△ACE中，AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE(SAS).∴BD=CE.
2.自主复习：
先动手独立完成，不会的小组互助交流.
3.互助复习：
（1）师助生：
①明了学情：通过前一章的学习，了解学生对全等三角形的知识的认知度、本章内容的知识点学生并不难掌握.但是，由于接触到几何证明的时间不长，学生对于证明的思路以及方法还不能很好的掌握.应了解学生中存在的问题关键之处.
②差异指导：引导学生根据例题探究解决问题思想及方法.
(2)生助生：学生之间相互交流帮助.
4.强化复习：
（1）添加辅助线的目的和要求.
（2）命题证明的步骤.
（3）练习：教材第55页第6题.
解：如图，共4处

三、评价
1.学生的自我评价：学生相互交流自己的学习收获和学习中的困惑.
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：对学生的学习态度、方法、成果及不足进行点评.
（2）纸笔评价(课堂评价检测).
3.教师的自我评价（教学反思）:
本课时教学应重点突出：
（1）利用知识回顾与错例剖析，使学生进一步巩固和深化对所学知识的理解，建立起清晰的知识框架，形成严谨的思维习惯.
（2）强调转化思想的认识与应用，证明线段与角的相等可以转化成证明三角形全等去解决，实际生活中的测量问题也可以利用全等三角形知识解决.利用这一系列问题帮助学生领悟和掌握这种数学思想方法.


一、基础巩固（每小题10分，共50分）
1.如图，AB∥DC，AD∥BC，CF=AE，图中全等三角形的对数是（D）
A.3 B.4 C.5 D.6
2.如图，在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，BE平分∠ABC，交AD于E，EF∥AC，下列结论一定成立的是（A）
A.AB=BF B.AE=ED C.AD=DC D.∠ABE=∠DFE

3.如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C等于（D）
A.15° B.20° C.25° D.30°
4.到三角形三条边的距离相等的点是这个三角形的（D）
A.三条中线的交点
B.三条高线的交点
C.三条边的垂直平分线的交点
D.三条角平分线的交点
5.下列各条件中，不能作出唯一三角形的是（C）
A.已知两边和夹角 B.已知两角和夹边
C.已知两边和其中一边的对角 D.已知三边

二、综合应用（30分）
6.如图，AB =CD，AD =BC，O为BD上任意一点，过O点的直线分别交AD，BC于M、N点.求证：∠1=∠2.

证明：在△ABD和△CDB中，AB=CD，AD=CB,BD=DB,
∴△ABD≌△CDB(SSS).
∴∠ADB=∠CBD,
∴AD∥BC,∴∠1=∠2.

三、拓展延伸（20分）
7.如图，在 △ABC 中，点D是BC的中点， DE⊥AB， DF⊥AC，E、F为垂足，DE＝DF，求证： AB=AC．

证明：连接AD.∵DE⊥AB,DF⊥AC,DE=DF,∴AD平分∠BAC.
∴∠BAD=∠CAD.∵点D是BC的中点，∴BD=CD.
在Rt△BDE和Rt△CDF中，BD=CD,DE=DF，∴Rt△BDE≌△Rt△CDF(HL)
∴∠B=∠C.
∴AB=AC.