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新高考数学二轮复习数列培优专题07 数列求和-错位相减、裂项相消（含解析）
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这是一份新高考数学二轮复习数列培优专题07 数列求和-错位相减、裂项相消（含解析），共27页。
错位相减法是求解由等差数列 SKIPIF 1 < 0 和等比数列 SKIPIF 1 < 0 对应项之积组成的数列 SKIPIF 1 < 0 (即 SKIPIF 1 < 0 )的前 SKIPIF 1 < 0 项和的方法.这种方法运算量较大,要重视解题过程的训练.在讲等比数列的时候, 我们推导过等比数列的求和公式,其过程正是利用错位相减的原理, 等比数列的通项 SKIPIF 1 < 0 其实可以看成等差数列通项 SKIPIF 1 < 0 与等比数列通项 SKIPIF 1 < 0 的积.
公式秒杀:
SKIPIF 1 < 0 (错位相减都可化简为这种形式,对于求解参数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ,可以采用将前1项和与前2项和代入式中,建立二元一次方程求解.此方法可以快速求解出结果或者作为检验对错的依据.)
【经典例题1】设数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ； (2) SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
(1)因为 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 也满足上式，所以 SKIPIF 1 < 0 是首项为1，公比为2的等比数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 …①
SKIPIF 1 < 0 …②
①-②得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
【经典例题2】已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
(1)设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意得： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ①，
SKIPIF 1 < 0 ②，
两式相减得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
【经典例题3】已知各项均为正数的等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
(1)设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，无解．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （舍）．
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
(2) SKIPIF 1 < 0 ．所以 SKIPIF 1 < 0 ①，则 SKIPIF 1 < 0 ②，
①－②得， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
【练习1】已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
(1)由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
(2)由（1）得： SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
【练习2】已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
(1)令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为1，公比为2的等比数列，∴ SKIPIF 1 < 0 ；
(2)由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ．
【练习3】已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是以2为首项，4为公比的等比数列，
故 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)由（1）可知， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
故 SKIPIF 1 < 0 ．
【练习4】已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）.
(1)求证数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)证明见解析 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
(1)由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是等差数列.
(2)由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
相减得， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
◆裂项相消法
把数列的通项拆成相邻两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.在消项时要注意前面保留第几项,最后也要保留相对应的倒数几项.例如消项时保留第一项和第3项,相应的也要保留最后一项和倒数第三项.
常见的裂项形式:
(1) SKIPIF 1 < 0 ;
(2) SKIPIF 1 < 0 ;
(3) SKIPIF 1 < 0 ;
(4) SKIPIF 1 < 0 ;
(5) SKIPIF 1 < 0 ;
(6) SKIPIF 1 < 0 ;
(7) SKIPIF 1 < 0 ;
(8) SKIPIF 1 < 0
(9) SKIPIF 1 < 0
(10) SKIPIF 1 < 0 .
(11) SKIPIF 1 < 0
(12) SKIPIF 1 < 0
【经典例题1】已知正项数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
因为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，所以，数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
因为数列 SKIPIF 1 < 0 为正项数列，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
【经典例题2】数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，该数列的前8项和为__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【经典例题3】已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为：
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【练习1】数列 SKIPIF 1 < 0 的前2022项和为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
解： SKIPIF 1 < 0
记 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
故选：B
【练习2】数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均为正数， SKIPIF 1 < 0 为其前 SKIPIF 1 < 0 项和，对于任意的 SKIPIF 1 < 0 ，总有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，又记 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
由对于任意的 SKIPIF 1 < 0 ，总有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列可得：
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均为正数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【练习3】 SKIPIF 1 < 0 _______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【练习4】设数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
(1)解：数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，上式也成立.
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
(2)因为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
【练习5】已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列， SKIPIF 1 < 0 .
(2)由（1）得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
【练习6】已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 为等比数列，并求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)证明见解析； SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
(1)解： SKIPIF 1 < 0 ，
即为 SKIPIF 1 < 0 ·······①，
又 SKIPIF 1 < 0 ，········②，
①-②得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ；
从而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是首项为1，公比为2的等比数列；
(2)由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
【练习7】记 SKIPIF 1 < 0 是公差不为零的等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的等比中项.
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)记 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前20项和.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
(1)由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，
设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以1为首项和公差为1的等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2)由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 ，
设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 和为 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的前20和为 SKIPIF 1 < 0
【练习8】已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
(1)由题意，可设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，d＝2，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
(2)∵ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
【练习9】已知正项数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 成等比数列，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
(1)解：对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由题意可得 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
上述两个等式作差得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，且首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
(2)解： SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 .
【练习10】已知 SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和， SKIPIF 1 < 0 ，___________.
① SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；②数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 .从以上两个条件中任选一个补充在横线处，并求解：
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)条件选择见解析， SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
(1)解：选条件①： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
即数列 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 均为公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
选条件②：因为数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
得到 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以，对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(2)解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
【过关检测】
一、单选题
1． SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
由 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
2．数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和等于（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
解：设 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， ①
所以 SKIPIF 1 < 0 ， ②
①－②，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选:B．
3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=7，S6=63，则数列{nan}的前n项和为（ ）
A．-3+(n+1)×2nB．3+(n+1)×2n
C．1+(n+1)×2nD．1+(n-1)×2n
【答案】D
【解析】
设等比数列{an}的公比为q，易知q≠1，
所以由题设得 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相除得1+q3=9，解得q=2，
进而可得a1=1，
所以an=a1qn-1=2n-1，
所以nan=n×2n-1.
设数列{nan}的前n项和为Tn，
则Tn=1×20+2×21+3×22+…+n×2n-1，
2Tn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n，
两式作差得-Tn=1+2+22+…+2n-1-n×2n= SKIPIF 1 < 0 -n×2n=-1+(1-n)×2n，
故Tn=1+(n-1)×2n.
故选：D.
4．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前8项和为（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 可得公差 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，所以前8项和为 SKIPIF 1 < 0
故选：B
5．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．记 SKIPIF 1 < 0 ，数列的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
因为数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．因为数列 SKIPIF 1 < 0 是递增数列，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A．
6．已知数列满足 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前2022项和为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
因为 SKIPIF 1 < 0 ①，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ②，
①-②化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时： SKIPIF 1 < 0 ，也满足 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 的前2022项和 SKIPIF 1 < 0 .
故选:D.
7．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2021B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
∵ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
∴数列 SKIPIF 1 < 0 是以首项 SKIPIF 1 < 0 ，公差 SKIPIF 1 < 0 的等差数列
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
故选：B．
8．等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前61项和为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．7C． SKIPIF 1 < 0 D．8
【答案】C
【解析】
解：因为等差数列满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，令数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．
9．设数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．25C．26【答案】A
【解析】
由 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A．
10．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前5项和为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 前5项和为 SKIPIF 1 < 0
故选：D
11．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的首项 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，记数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若对于任意 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，……， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
12．在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，其前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，若对任意 SKIPIF 1 < 0 总有 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，两式相减，整理得 SKIPIF 1 < 0 ①，
又当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ②，① SKIPIF 1 < 0 ②，整理得 SKIPIF 1 < 0
，又因 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，从而数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以公差 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
易见 SKIPIF 1 < 0 随 SKIPIF 1 < 0 的增大而增大，从而 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C．
二、填空题
13．已知正项数列{an}满足a1＝2且an+12﹣2an2﹣anan+1＝0，令bn＝（n+2）an，则数列{bn}的前8项的和等于 __．
【答案】4094
【解析】
由 SKIPIF 1 < 0 ，
得（an+1+an）（an+1−2an）＝0，又an＞0，
所以an+1+an＞0，
所以an+1−2an＝0，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令数列{bn}的前n项的和为Tn，
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
＝2−8×29＝−4094，
则T8＝4094，
故答案为：4094．
14．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an﹣2，则数列{ SKIPIF 1 < 0 }的前n项和Tn＝__．
【答案】2 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
解：∵Sn＝2an﹣2，∴Sn﹣1＝2an﹣1﹣2（n≥2），设公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得：an＝2an﹣2an﹣1，即an＝2an﹣1，n≥2，
又当n＝1时，有S1＝2a1﹣2，解得：a1＝2，
∴数列{an}是首项、公比均为2的等比数列，
∴an＝2n， SKIPIF 1 < 0 ，
又Tn SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 Tn SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得： SKIPIF 1 < 0 Tn SKIPIF 1 < 0 ，
整理得：Tn＝2 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：Tn＝2 SKIPIF 1 < 0 ．
15．将 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数记为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
SKIPIF 1 < 0 的展开式的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
16．数列 SKIPIF 1 < 0 的前项n和为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
由题意，数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 +…+ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
三、解答题
17．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证：数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)证明见解析；
(2) SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
(1)令 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，首项为1，公差为2；
(2)由（1）知： SKIPIF 1 < 0 ；故 SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
18．已知正项数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
(1)∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴数列 SKIPIF 1 < 0 是以公差为3的等差数列.
又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
(2)由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0
19．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为3，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，并求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)证明见解析； SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
(1)因为 SKIPIF 1 < 0 ，所 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，公差等于1的等差数列，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ；
综上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
20．已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证：数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，并求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)证明见解析， SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
（1）解：对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列．所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解：由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，两式相减得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，因此， SKIPIF 1 < 0 .
21．已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若数列 SKIPIF 1 < 0 为正项数列（各项均为正），求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
(1)等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为q， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
(2)由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
于是得 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减，得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
22．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
(1)设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为d，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
由数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ①，
当 SKIPIF 1 < 0 时，得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ②；
①-②有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为3，公比为3的等比数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ③；
③×3得 SKIPIF 1 < 0 ④；
③-④得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
整理化简得： SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述：若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
错位相减法是求解由等差数列 SKIPIF 1 < 0 和等比数列 SKIPIF 1 < 0 对应项之积组成的数列 SKIPIF 1 < 0 (即 SKIPIF 1 < 0 )的前 SKIPIF 1 < 0 项和的方法.这种方法运算量较大,要重视解题过程的训练.在讲等比数列的时候, 我们推导过等比数列的求和公式,其过程正是利用错位相减的原理, 等比数列的通项 SKIPIF 1 < 0 其实可以看成等差数列通项 SKIPIF 1 < 0 与等比数列通项 SKIPIF 1 < 0 的积.
公式秒杀:
SKIPIF 1 < 0 (错位相减都可化简为这种形式,对于求解参数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ,可以采用将前1项和与前2项和代入式中,建立二元一次方程求解.此方法可以快速求解出结果或者作为检验对错的依据.)
【经典例题1】设数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ； (2) SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
(1)因为 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 也满足上式，所以 SKIPIF 1 < 0 是首项为1，公比为2的等比数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 …①
SKIPIF 1 < 0 …②
①-②得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
【经典例题2】已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
(1)设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意得： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ①，
SKIPIF 1 < 0 ②，
两式相减得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
【经典例题3】已知各项均为正数的等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
(1)设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，无解．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （舍）．
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
(2) SKIPIF 1 < 0 ．所以 SKIPIF 1 < 0 ①，则 SKIPIF 1 < 0 ②，
①－②得， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
【练习1】已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
(1)由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
(2)由（1）得： SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
【练习2】已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
(1)令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为1，公比为2的等比数列，∴ SKIPIF 1 < 0 ；
(2)由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ．
【练习3】已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是以2为首项，4为公比的等比数列，
故 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)由（1）可知， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
故 SKIPIF 1 < 0 ．
【练习4】已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）.
(1)求证数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)证明见解析 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
(1)由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是等差数列.
(2)由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
相减得， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
◆裂项相消法
把数列的通项拆成相邻两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.在消项时要注意前面保留第几项,最后也要保留相对应的倒数几项.例如消项时保留第一项和第3项,相应的也要保留最后一项和倒数第三项.
常见的裂项形式:
(1) SKIPIF 1 < 0 ;
(2) SKIPIF 1 < 0 ;
(3) SKIPIF 1 < 0 ;
(4) SKIPIF 1 < 0 ;
(5) SKIPIF 1 < 0 ;
(6) SKIPIF 1 < 0 ;
(7) SKIPIF 1 < 0 ;
(8) SKIPIF 1 < 0
(9) SKIPIF 1 < 0
(10) SKIPIF 1 < 0 .
(11) SKIPIF 1 < 0
(12) SKIPIF 1 < 0
【经典例题1】已知正项数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
因为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，所以，数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
因为数列 SKIPIF 1 < 0 为正项数列，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
【经典例题2】数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，该数列的前8项和为__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【经典例题3】已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为：
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【练习1】数列 SKIPIF 1 < 0 的前2022项和为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
解： SKIPIF 1 < 0
记 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
故选：B
【练习2】数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均为正数， SKIPIF 1 < 0 为其前 SKIPIF 1 < 0 项和，对于任意的 SKIPIF 1 < 0 ，总有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，又记 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
由对于任意的 SKIPIF 1 < 0 ，总有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列可得：
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均为正数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【练习3】 SKIPIF 1 < 0 _______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【练习4】设数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
(1)解：数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，上式也成立.
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
(2)因为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
【练习5】已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列， SKIPIF 1 < 0 .
(2)由（1）得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
【练习6】已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 为等比数列，并求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)证明见解析； SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
(1)解： SKIPIF 1 < 0 ，
即为 SKIPIF 1 < 0 ·······①，
又 SKIPIF 1 < 0 ，········②，
①-②得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ；
从而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是首项为1，公比为2的等比数列；
(2)由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
【练习7】记 SKIPIF 1 < 0 是公差不为零的等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的等比中项.
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)记 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前20项和.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
(1)由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，
设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以1为首项和公差为1的等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2)由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 ，
设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 和为 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的前20和为 SKIPIF 1 < 0
【练习8】已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
(1)由题意，可设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，d＝2，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
(2)∵ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
【练习9】已知正项数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 成等比数列，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
(1)解：对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由题意可得 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
上述两个等式作差得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，且首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
(2)解： SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 .
【练习10】已知 SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和， SKIPIF 1 < 0 ，___________.
① SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；②数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 .从以上两个条件中任选一个补充在横线处，并求解：
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)条件选择见解析， SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
(1)解：选条件①： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
即数列 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 均为公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
选条件②：因为数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
得到 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以，对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(2)解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
【过关检测】
一、单选题
1． SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
由 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
2．数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和等于（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
解：设 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， ①
所以 SKIPIF 1 < 0 ， ②
①－②，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选:B．
3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=7，S6=63，则数列{nan}的前n项和为（ ）
A．-3+(n+1)×2nB．3+(n+1)×2n
C．1+(n+1)×2nD．1+(n-1)×2n
【答案】D
【解析】
设等比数列{an}的公比为q，易知q≠1，
所以由题设得 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相除得1+q3=9，解得q=2，
进而可得a1=1，
所以an=a1qn-1=2n-1，
所以nan=n×2n-1.
设数列{nan}的前n项和为Tn，
则Tn=1×20+2×21+3×22+…+n×2n-1，
2Tn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n，
两式作差得-Tn=1+2+22+…+2n-1-n×2n= SKIPIF 1 < 0 -n×2n=-1+(1-n)×2n，
故Tn=1+(n-1)×2n.
故选：D.
4．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前8项和为（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 可得公差 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，所以前8项和为 SKIPIF 1 < 0
故选：B
5．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．记 SKIPIF 1 < 0 ，数列的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
因为数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．因为数列 SKIPIF 1 < 0 是递增数列，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A．
6．已知数列满足 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前2022项和为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
因为 SKIPIF 1 < 0 ①，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ②，
①-②化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时： SKIPIF 1 < 0 ，也满足 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 的前2022项和 SKIPIF 1 < 0 .
故选:D.
7．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2021B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
∵ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
∴数列 SKIPIF 1 < 0 是以首项 SKIPIF 1 < 0 ，公差 SKIPIF 1 < 0 的等差数列
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
故选：B．
8．等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前61项和为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．7C． SKIPIF 1 < 0 D．8
【答案】C
【解析】
解：因为等差数列满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，令数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．
9．设数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．25
【解析】
由 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A．
10．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前5项和为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 前5项和为 SKIPIF 1 < 0
故选：D
11．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的首项 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，记数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若对于任意 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，……， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
12．在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，其前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，若对任意 SKIPIF 1 < 0 总有 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，两式相减，整理得 SKIPIF 1 < 0 ①，
又当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ②，① SKIPIF 1 < 0 ②，整理得 SKIPIF 1 < 0
，又因 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，从而数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以公差 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
易见 SKIPIF 1 < 0 随 SKIPIF 1 < 0 的增大而增大，从而 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C．
二、填空题
13．已知正项数列{an}满足a1＝2且an+12﹣2an2﹣anan+1＝0，令bn＝（n+2）an，则数列{bn}的前8项的和等于 __．
【答案】4094
【解析】
由 SKIPIF 1 < 0 ，
得（an+1+an）（an+1−2an）＝0，又an＞0，
所以an+1+an＞0，
所以an+1−2an＝0，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令数列{bn}的前n项的和为Tn，
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
＝2−8×29＝−4094，
则T8＝4094，
故答案为：4094．
14．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an﹣2，则数列{ SKIPIF 1 < 0 }的前n项和Tn＝__．
【答案】2 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
解：∵Sn＝2an﹣2，∴Sn﹣1＝2an﹣1﹣2（n≥2），设公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得：an＝2an﹣2an﹣1，即an＝2an﹣1，n≥2，
又当n＝1时，有S1＝2a1﹣2，解得：a1＝2，
∴数列{an}是首项、公比均为2的等比数列，
∴an＝2n， SKIPIF 1 < 0 ，
又Tn SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 Tn SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得： SKIPIF 1 < 0 Tn SKIPIF 1 < 0 ，
整理得：Tn＝2 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：Tn＝2 SKIPIF 1 < 0 ．
15．将 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数记为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
SKIPIF 1 < 0 的展开式的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
16．数列 SKIPIF 1 < 0 的前项n和为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
由题意，数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 +…+ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
三、解答题
17．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证：数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)证明见解析；
(2) SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
(1)令 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，首项为1，公差为2；
(2)由（1）知： SKIPIF 1 < 0 ；故 SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
18．已知正项数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
(1)∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴数列 SKIPIF 1 < 0 是以公差为3的等差数列.
又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
(2)由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0
19．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为3，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，并求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)证明见解析； SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
(1)因为 SKIPIF 1 < 0 ，所 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，公差等于1的等差数列，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ；
综上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
20．已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证：数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，并求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)证明见解析， SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
（1）解：对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列．所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解：由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，两式相减得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，因此， SKIPIF 1 < 0 .
21．已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若数列 SKIPIF 1 < 0 为正项数列（各项均为正），求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
(1)等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为q， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
(2)由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
于是得 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减，得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
22．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
(1)设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为d，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
由数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ①，
当 SKIPIF 1 < 0 时，得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ②；
①-②有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为3，公比为3的等比数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ③；
③×3得 SKIPIF 1 < 0 ④；
③-④得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
整理化简得： SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述：若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
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