【期中复习提升】苏教版2019 2023-2024学年高二数学 选修1第二章 圆与方程（压轴题专练）

第二章 圆与方程（压轴题专练）

题型一  圆的方程　

【例1】求以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦为直径的圆C的方程．

思维升华

利用待定系数法求圆的方程

(1)若已知条件与圆的圆心和半径有关，可设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值．

(2)若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，可选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，从而求出D，E，F的值．　

巩固训练

1．以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为(　 )

A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2

B．(x－1)2＋(y－1)2＝2

C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8

D．(x－1)2＋(y－1)2＝8

2．已知直线l：3x－4y－15＝0与圆C：x2＋y2－2x－4y＋5－r2＝0(r>0)相交于A，B两点，若AB＝6，则圆C的标准方程为(　 )

A．(x－1)2＋(y－2)2＝25

B．(x－1)2＋(y－2)2＝36

C．(x－1)2＋(y－2)2＝16

D．(x－1)2＋(y－2)2＝49

3．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与圆(x－2)2＋(y－3)2＝8相外切，则圆C的方程为______________．

题型二　直线与圆的位置关系

【例2】已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，直线l过定点A(1,0)．

(1)若l与圆C相切，求l的方程；

(2)若l与圆C相交于P，Q两点，且PQ＝2，求此时直线l的方程．

思维升华

1．过圆外一点(x0，y0)与圆相切的切线方程的求法

(1)当切线斜率存在时，设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，化成一般式kx－y＋y0－kx0＝0，利用圆心到直线的距离等于半径长，解出k；

(2)当切线斜率存在时，设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2联立，化为关于x的一元二次方程，利用判别式为0，求出k．

当切线斜率不存在时，可通过数形结合思想，在平面直角坐标系中作出其图象，求出切线的方程．

2．圆中弦长的求法

(1)直接求出直线与圆或圆与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式求解．

(2)利用圆的弦长公式l＝|x1－x2|＝·(其中x1，x2为两交点的横坐标)．

(3)利用垂径定理：分别以圆心到直线的距离d、圆的半径r与弦长的一半为线段长的三条线段构成直角三角形，故有l＝2．　

巩固训练

1．若直线x－my＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则m的值为(　 )

A．1  B．±1

C．±  D．

2．(多选)已知ab≠0，O为坐标原点，点P(a，b)是圆x2＋y2＝r2外一点，过点P作直线l⊥OP，直线m的方程是ax＋by＝r2，则下列结论正确的是(　 )

A．m∥l   B．m⊥l

C．m与圆相离   D．m与圆相交

题型三　求动点的轨迹方程

【例3】已知等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么图形．

思维升华

求与圆有关的轨迹问题的常用方法

巩固训练

1．已知等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，另一个端点是C，求线段AC中点M的轨迹方程．

2．已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，点B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．

(1)求线段AP中点的轨迹方程；

(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．

题型四　与圆有关的实际应用问题

【例4】　某河上有一座圆拱桥，其跨度为30 m，圆拱高为5 m，一船宽为10 m，上面载有货物，水面到船顶高为4 m，问该船能否顺利通过该桥？

思维升华

解决与圆有关的实际问题的步骤

巩固训练

1．如图，某海面上有O，A，B三个小岛(面积大小忽略不计)，A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40 千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B三点．

(1)求圆C的方程；

(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？

2．如图所示，一座圆拱桥示意图，当水面在如图位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？(精确到0．01米)

题型五　圆与圆的位置关系

【例5】已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y－5＝0与圆C2：x2＋y2－8x＋4y＋7＝0．

(1)证明圆C1与圆C2相切，并求过切点的两圆公切线的方程；

(2)求过点(2, 3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程．

思维升华

圆与圆位置关系问题的解题策略

(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．

(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．　　

巩固训练

1．已知圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0和圆C2：x2＋y2＋2y－3＝0，则两圆的公切线有(　 )

A．1条  B．2条  C．3条  D．4条

2．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝(　 )

A．21  B．19 

C．9  D．－11