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新高考物理一轮复习精品课件第10章专题强化18带电粒子在有界匀强磁场中的运动（含解析）
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这是一份新高考物理一轮复习精品课件第10章专题强化18带电粒子在有界匀强磁场中的运动（含解析），共60页。PPT课件主要包含了内容索引，课时精练，粒子的轨迹半径，答案见解析等内容，欢迎下载使用。
题型一 带电粒子在有界匀强磁场中的运动
题型二 带电粒子在匀强磁场中的临界问题
题型三 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
带电粒子在有界匀强磁场中的运动
1.圆心的确定方法(1)若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心，如图甲.(2)若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度垂线的交点即为圆心，如图乙.
一、粒子轨迹圆心的确定，半径、运动时间的计算方法
(3)若已知粒子轨迹上某点速度方向，又能根据r＝ 计算出轨迹半径r，则在该点沿洛伦兹力方向距离为r的位置为圆心，如图丙.
2.半径的计算方法方法一 由R＝ 求得方法二 连半径构出三角形，由数学方法解三角形或勾股定理求得例如：如图甲，R＝ 或由R2＝L2＋(R－d)2求得
常用到的几何关系①粒子的偏转角等于半径扫过的圆心角，如图乙，φ＝α②弦切角等于弦所对应圆心角一半，θ＝ α.
二、带电粒子在有界磁场中的运动1.直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)
2.平行边界(往往存在临界条件，如图所示)
3.圆形边界(进出磁场具有对称性)(1)沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示.(2)不沿径向射入时，如图乙所示.射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ.
例1 如图所示，直线MN上方有垂直纸面向里的匀强磁场，电子1从磁场边界上的a点垂直MN和磁场方向射入磁场，经t1时间从b点离开磁场.之后电子2也由a点沿图示方向以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场，则 为
考向1 带电粒子在直线边界磁场中运动
电子1、2在磁场中都做匀速圆周运动，根据题意画出两电子的运动轨迹，如图所示，
电子1垂直边界射进磁场，从b点离开，则运动了半个圆周，ab即为直径，c点为圆心，电子2以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场，根据半径r＝ 可知，电子1和2的半径相等，根据几何关系可知，△aOc为等边三角形，则电子2转过的圆心角为60°，所以电子1运动的时间t1＝ ，电子2运动的时间t2＝＝ ，所以 ＝3，故A正确，B、C、D错误.
考向2 带电粒子在圆形边界磁场中运动
例2 (2021·全国乙卷·16)如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子从圆周上的M点沿直径MON方向射入磁场.若粒子射入磁场时的速度大小为v1，离开磁场时速度方向偏转90°；若射入磁场时的速度大小为v2，离开磁场时速度方向偏转60°，不计重力，则 为
如图所示，设圆形磁场区域的半径为R，粒子以v1射入磁场时的轨迹半径为r1根据几何关系r1＝R，
例3 如图所示，在半径为R的圆形区域内有垂直于竖直纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，AC为该圆的一条直径，O为圆心.一带电粒子以初速度v0从C点垂直磁场沿竖直方向射入圆形区域，离开磁场时速度方向恰好水平向左.已知该粒子从C点入射时速度方向与直径AC的夹角θ＝45°，不计粒子重力，则有A.该粒子一定带负电B.该粒子的比荷为C.该粒子在磁场中做圆周运动的半径为RD.该粒子在磁场中的运动时间为
作出粒子运动的轨迹如图，由左手定则可知，粒子带正电，选项A错误；由轨迹图结合题意可知粒子在磁场中偏转角度为90°，设O′为圆周运动的圆心，由几何关系可知2r2＝(2R)2，
由图可知粒子在磁场中的偏转角为90°，故粒子在磁场中的运动时间为t＝ ，选项D错误.
考向3 带电粒子在多边形边界磁场中运动
例4 (2019·全国卷Ⅱ·17)如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面(abcd所在平面)向外.ab边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子.已知电子的比荷为k.则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为
带电粒子在匀强磁场中的临界问题
解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解.1.临界条件带电粒子刚好穿出(不穿出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切，故边界(边界的切线)与轨迹过切点的半径(直径)垂直.
2.几种常见的求极值情况(速度一定时)(1)最长时间：弧长最长，一般为轨迹与直线边界相切.圆形边界：公共弦为小圆直径时，出现极值，即：当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的圆心角最大，粒子运动时间最长.(2)最短时间：弧长最短(弦长最短)，入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直.如图，P为入射点，M为出射点.此时在磁场中运动时最短.
例5 (多选)如图所示，在坐标系的y轴右侧存在有理想边界的匀强磁场，磁感应强度为B，磁场的宽度为d，磁场方向垂直于xOy平面向里.一个质量为m、电荷量为－q(q>0)的带电粒子，从原点O射入磁场，速度方向与x轴正方向成30°角，粒子恰好不从右边界射出，经磁场偏转后从y轴上的某点离开磁场.忽略粒子重力.关于该粒子在磁场中的运动情况，下列说法正确的是
考向1 带电粒子在磁场中运动的临界问题
粒子运动轨迹如图所示，r＋rsin 30°＝d，解得粒子运动轨道半径为r＝ d，故A正确；
粒子运动轨迹与y轴交点的纵坐标为y＝－2rcs 30°＝－ d，故D错误.
例6 如图所示，半径为R的圆形区域内存在着磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于纸面向里，一带负电的粒子(不计重力)沿水平方向以速度v正对圆心射入磁场，通过磁场区域后速度方向偏转了60°.
考向2 带电粒子在磁场中运动的极值问题
(1)求粒子的比荷 及粒子在磁场中的运动时间t；
(2)如果想使粒子通过磁场区域后速度方向的偏转角度最大，在保持原入射速度的基础上，需将粒子的入射点沿圆弧向上平移的距离d为多少？
当粒子的入射点和出射点的连线是磁场圆的直径时，粒子速度偏转的角度最大.
平移距离d＝Rsin θ ⑧
带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界状态不确定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题.(1)找出多解的原因.(2)画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况.
例7 (多选)如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计.为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场.已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为 ，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是A.B> ，垂直纸面向里 B.B> ，垂直纸面向里C.B> ，垂直纸面向外 D.B> ，垂直纸面向外
考向1 磁场方向不确定形成多解
当磁场方向垂直纸面向里时，离子恰好与OP相切的轨迹如图甲所示，切点为M，设轨迹半径为r1，
当磁场方向垂直纸面向外时，其临界轨迹，即圆弧与OP相切于N点，如图乙所示，
综合上述分析可知，选项B、D正确，A、C错误.
例8 (多选)如图所示，边长为L的等边三角形区域ACD内、外的匀强磁场的磁感应强度大小均为B、方向分别垂直纸面向里、向外.三角形顶点A处有一质子源，能沿∠A的角平分线发射速度大小不等、方向相同的质子(质子重力不计、质子间的相互作用可忽略)，所有质子恰能通过D点，已知质子的比荷 ＝k，则质子的速度可能为
考向2 临界状态不确定形成多解
1.(多选)如图所示，虚线MN上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B.一群电子以不同速率从边界MN上的P点以相同的入射方向射入磁场.其中某一速率为v的电子从Q点射出边界.已知电子入射方向与边界MN的夹角为θ，则A.该匀强磁场的方向垂直纸面向里B.所有电子在磁场中的轨迹半径相同C.速率越大的电子在磁场中运动时间越长D.在此过程中每个电子的速度方向都改变2θ
由左手定则可判断，该匀强磁场的方向垂直纸面向里，A正确；
由洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m ，整理得r＝ ，电子的轨迹半径与速度大小有关，B错误；
由周期公式T＝ 可知，电子在磁场中的运动周期相同，由几何关系可知，在此过程中每个电子的速度方向都改变2θ，即轨迹圆心角为2θ，电子在磁场中的运动时间t＝ T，故不同速率的电子在磁场中运动时间都相同，C错误，D正确.
2.(多选)如图所示，水平放置的挡板上方有垂直纸面向里的匀强磁场，一带电粒子a垂直于挡板从板上的小孔O射入磁场，另一带电粒子b垂直于磁场且与挡板成θ角射入磁场，a、b初速度大小相等，两粒子恰好都打在板上同一点P(图中未标出)，并立即被挡板吸收.不计粒子重力，下列说法正确的是A.a、b的电性一定相同B.a、b的比荷之比为C.若P在O点左侧，则a在磁场中运动时间比b长D.若P在O点右侧，则a在磁场中运动路程比b短
3.如图所示，平行边界区域内存在匀强磁场，比荷相同的带电粒子a和b依次从O点垂直于磁场的左边界射入，经磁场偏转后从右边界射出，带电粒子a和b射出磁场时与磁场右边界的夹角分别为30°和60°，不计粒子的重力，下列判断正确的是A.粒子a带负电，粒子b带正电B.粒子a和b在磁场中运动的半径之比为1∶C.粒子a和b在磁场中运动的速率之比为 ∶1D.粒子a和b在磁场中运动的时间之比为1∶2
a粒子向上偏转，由F＝qvB得，a粒子带正电；b粒子向下偏转，b粒子带负电，故A错误；
由几何关系可知，磁场水平距离x＝Rasin 60°＝Rbsin 30°，Ra∶Rb＝1∶ ，故B正确；
4.(多选)如图所示的虚线框为一正方形区域，该区域内有一垂直于纸面向里的匀强磁场，一带电粒子从a点沿与ab边成30°角方向射入磁场，恰好从b点飞出磁场；另一带电粒子以相同的速率从a点沿ad方向射入磁场后，从c点飞出磁场，不计重力，则两带电粒子的比荷之比及在磁场中的运动时间之比分别为A. ＝1∶1B. ＝2∶1C.t1∶t2＝2∶3D.t1∶t2＝1∶3
两粒子的运动轨迹如图；设正方形区域边长为L，则从b点飞出的粒子的运动轨迹半径为r1＝L；从c点飞出的粒子的运动轨迹半径为r2＝L；
根据T＝ 可知，两粒子在磁场中做圆周运动的周期相同，两粒子在磁场中转过的角度分别为60°和90°，根据t＝ T，可得t1∶t2＝60°∶90°＝2∶3，选项C正确，D错误.
5.(多选)(2020·天津卷·7)如图所示，在Oxy平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场.一带电粒子从y轴上的M点射入磁场，速度方向与y轴正方向的夹角θ＝45°.粒子经过磁场偏转后在N点(图中未画出)垂直穿过x轴.已知OM＝a，粒子电荷量为q，质量为m，重力不计.则A.粒子带负电荷B.粒子速度大小为C.粒子在磁场中运动的轨道半径为aD.N与O点相距( ＋1)a
由题意可知，粒子在磁场中做顺时针方向的圆周运动，根据左手定则可知粒子带负电荷，故A正确；粒子的运动轨迹如图所示，O′为粒子做匀速圆周运动的圆心，其轨道半径R＝ a，故C错误；
6.如图所示，abcd为边长为L的正方形，在四分之一圆abd区域内有垂直正方形平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B.一个质量为m、电荷量为＋q的带电粒子从b点沿ba方向射入磁场，粒子恰好能通过c点，不计粒子的重力，则粒子的速度大小为
画出粒子在磁场中运动的轨迹示意图，根据几何关系，射出磁场时的速度反向延长线通过a点，磁场的半径为L，设粒子的轨道半径为r，由几何关系得L＋r＝ L，由洛伦兹力提供向心力得：qvB＝m ，联立解得v＝ ，故选C.
7.(多选)如图，半径为R的圆形区域内有方向垂直于纸面向里的匀强磁场，某质量为m、带电荷量为q的粒子从圆上P点沿半径方向以速度v0射入匀强磁场，粒子从Q点飞出，速度偏转角为60°.现将该粒子从P点以另一速度沿半径方向射入匀强磁场，粒子离开磁场时，速度偏转角为120°，不计粒子重力.则A.该粒子带正电B.匀强磁场的磁感应强度为C.该粒子第二次射入磁场的速度为D.该粒子第二次在磁场中运动的时间为
由左手定则可知该粒子带负电，故A错误；
8.(多选)如图，在直角坐标系第一象限中y轴与直线y＝x所夹范围内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里.一带负电的粒子以速度v0自y轴上a点垂直射入磁场，一段时间后，该粒子垂直直线y＝x射出磁场，自x轴上b点(图中未画出)离开第一象限.已知Oa＝L，不计粒子重力.则下列判断正确的是A.粒子在磁场中运动的轨道半径为LB.b点的横坐标为 LC.粒子在第一象限磁场中的运动时间为D.粒子在第一象限的运动时间为
9.平面OM和平面ON之间的夹角为30°，其横截面(纸面)如图所示，平面OM上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外.一带电粒子的质量为m，电荷量为q(q>0).粒子沿纸面以大小为v的速度从OM的某点向左上方射入磁场，速度与OM成30°角.已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，并从OM上另一点射出磁场.不计重力.粒子离开磁场的出射点到两平面交线O的距离为
10.(2020·全国卷Ⅱ·24)如图，在0≤x≤h，－∞0)的粒子以速度v0从磁场区域左侧沿x轴进入磁场，不计重力.
(1)若粒子经磁场偏转后穿过y轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度的最小值Bm；
由题意，粒子刚进入磁场时应受到方向向上的洛伦兹力，因此磁场方向垂直于纸面向里.设粒子进入磁场中做圆周运动的半径为R，根据洛伦兹力公式和圆周运动规律，有
粒子穿过y轴正半轴离开磁场，其在磁场中做圆周运动的圆心在y轴正半轴上，半径应满足R≤h ③
由题意，当磁感应强度大小为Bm时，粒子穿过y轴正半轴离开磁场时的运动半径最大，由此得
(2)如果磁感应强度大小为 ，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场.求粒子在该点的运动方向与x轴正方向的夹角及该点到x轴的距离.
若磁感应强度大小为，粒子做圆周运动的圆心仍在y轴正半轴上，由②④式可得，此时圆弧半径为R′＝2h ⑤粒子会穿过图中P点离开磁场，运动轨迹如图所示.设粒子在P点的运动方向与x轴正方向的夹角为α，
由几何关系可得，P点与x轴的距离为y＝2h(1－cs α) ⑧
11.(2019·全国卷Ⅰ·24)如图，在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外.一带正电的粒子从静止开始经电压U加速后，沿平行于x轴的方向射入磁场；一段时间后，该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出.已知O点为坐标原点，N点在y轴上，OP与x轴的夹角为30°，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d，不计重力.求：
(1)带电粒子的比荷；
设带电粒子的质量为m，电荷量为q，加速后的速度大小为v.由动能定理有qU＝ mv2 ①
设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力，
(2)带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间.
由几何关系知，带电粒子射入磁场后运动到x轴所经过的路程为s＝ ＋rtan 30° ⑤带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间为t＝ ⑥
12.真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和2a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示.一电子以速率v沿半径方向射入磁场.已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力.为使电子不能进入内部无磁场区域，磁场的磁感应强度B最小为
题型一 带电粒子在有界匀强磁场中的运动
题型二 带电粒子在匀强磁场中的临界问题
题型三 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
带电粒子在有界匀强磁场中的运动
1.圆心的确定方法(1)若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心，如图甲.(2)若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度垂线的交点即为圆心，如图乙.
一、粒子轨迹圆心的确定，半径、运动时间的计算方法
(3)若已知粒子轨迹上某点速度方向，又能根据r＝ 计算出轨迹半径r，则在该点沿洛伦兹力方向距离为r的位置为圆心，如图丙.
2.半径的计算方法方法一 由R＝ 求得方法二 连半径构出三角形，由数学方法解三角形或勾股定理求得例如：如图甲，R＝ 或由R2＝L2＋(R－d)2求得
常用到的几何关系①粒子的偏转角等于半径扫过的圆心角，如图乙，φ＝α②弦切角等于弦所对应圆心角一半，θ＝ α.
二、带电粒子在有界磁场中的运动1.直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)
2.平行边界(往往存在临界条件，如图所示)
3.圆形边界(进出磁场具有对称性)(1)沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示.(2)不沿径向射入时，如图乙所示.射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ.
例1 如图所示，直线MN上方有垂直纸面向里的匀强磁场，电子1从磁场边界上的a点垂直MN和磁场方向射入磁场，经t1时间从b点离开磁场.之后电子2也由a点沿图示方向以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场，则 为
考向1 带电粒子在直线边界磁场中运动
电子1、2在磁场中都做匀速圆周运动，根据题意画出两电子的运动轨迹，如图所示，
电子1垂直边界射进磁场，从b点离开，则运动了半个圆周，ab即为直径，c点为圆心，电子2以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场，根据半径r＝ 可知，电子1和2的半径相等，根据几何关系可知，△aOc为等边三角形，则电子2转过的圆心角为60°，所以电子1运动的时间t1＝ ，电子2运动的时间t2＝＝ ，所以 ＝3，故A正确，B、C、D错误.
考向2 带电粒子在圆形边界磁场中运动
例2 (2021·全国乙卷·16)如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子从圆周上的M点沿直径MON方向射入磁场.若粒子射入磁场时的速度大小为v1，离开磁场时速度方向偏转90°；若射入磁场时的速度大小为v2，离开磁场时速度方向偏转60°，不计重力，则 为
如图所示，设圆形磁场区域的半径为R，粒子以v1射入磁场时的轨迹半径为r1根据几何关系r1＝R，
例3 如图所示，在半径为R的圆形区域内有垂直于竖直纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，AC为该圆的一条直径，O为圆心.一带电粒子以初速度v0从C点垂直磁场沿竖直方向射入圆形区域，离开磁场时速度方向恰好水平向左.已知该粒子从C点入射时速度方向与直径AC的夹角θ＝45°，不计粒子重力，则有A.该粒子一定带负电B.该粒子的比荷为C.该粒子在磁场中做圆周运动的半径为RD.该粒子在磁场中的运动时间为
作出粒子运动的轨迹如图，由左手定则可知，粒子带正电，选项A错误；由轨迹图结合题意可知粒子在磁场中偏转角度为90°，设O′为圆周运动的圆心，由几何关系可知2r2＝(2R)2，
由图可知粒子在磁场中的偏转角为90°，故粒子在磁场中的运动时间为t＝ ，选项D错误.
考向3 带电粒子在多边形边界磁场中运动
例4 (2019·全国卷Ⅱ·17)如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面(abcd所在平面)向外.ab边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子.已知电子的比荷为k.则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为
带电粒子在匀强磁场中的临界问题
解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解.1.临界条件带电粒子刚好穿出(不穿出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切，故边界(边界的切线)与轨迹过切点的半径(直径)垂直.
2.几种常见的求极值情况(速度一定时)(1)最长时间：弧长最长，一般为轨迹与直线边界相切.圆形边界：公共弦为小圆直径时，出现极值，即：当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的圆心角最大，粒子运动时间最长.(2)最短时间：弧长最短(弦长最短)，入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直.如图，P为入射点，M为出射点.此时在磁场中运动时最短.
例5 (多选)如图所示，在坐标系的y轴右侧存在有理想边界的匀强磁场，磁感应强度为B，磁场的宽度为d，磁场方向垂直于xOy平面向里.一个质量为m、电荷量为－q(q>0)的带电粒子，从原点O射入磁场，速度方向与x轴正方向成30°角，粒子恰好不从右边界射出，经磁场偏转后从y轴上的某点离开磁场.忽略粒子重力.关于该粒子在磁场中的运动情况，下列说法正确的是
考向1 带电粒子在磁场中运动的临界问题
粒子运动轨迹如图所示，r＋rsin 30°＝d，解得粒子运动轨道半径为r＝ d，故A正确；
粒子运动轨迹与y轴交点的纵坐标为y＝－2rcs 30°＝－ d，故D错误.
例6 如图所示，半径为R的圆形区域内存在着磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于纸面向里，一带负电的粒子(不计重力)沿水平方向以速度v正对圆心射入磁场，通过磁场区域后速度方向偏转了60°.
考向2 带电粒子在磁场中运动的极值问题
(1)求粒子的比荷 及粒子在磁场中的运动时间t；
(2)如果想使粒子通过磁场区域后速度方向的偏转角度最大，在保持原入射速度的基础上，需将粒子的入射点沿圆弧向上平移的距离d为多少？
当粒子的入射点和出射点的连线是磁场圆的直径时，粒子速度偏转的角度最大.
平移距离d＝Rsin θ ⑧
带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界状态不确定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题.(1)找出多解的原因.(2)画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况.
例7 (多选)如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计.为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场.已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为 ，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是A.B> ，垂直纸面向里 B.B> ，垂直纸面向里C.B> ，垂直纸面向外 D.B> ，垂直纸面向外
考向1 磁场方向不确定形成多解
当磁场方向垂直纸面向里时，离子恰好与OP相切的轨迹如图甲所示，切点为M，设轨迹半径为r1，
当磁场方向垂直纸面向外时，其临界轨迹，即圆弧与OP相切于N点，如图乙所示，
综合上述分析可知，选项B、D正确，A、C错误.
例8 (多选)如图所示，边长为L的等边三角形区域ACD内、外的匀强磁场的磁感应强度大小均为B、方向分别垂直纸面向里、向外.三角形顶点A处有一质子源，能沿∠A的角平分线发射速度大小不等、方向相同的质子(质子重力不计、质子间的相互作用可忽略)，所有质子恰能通过D点，已知质子的比荷 ＝k，则质子的速度可能为
考向2 临界状态不确定形成多解
1.(多选)如图所示，虚线MN上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B.一群电子以不同速率从边界MN上的P点以相同的入射方向射入磁场.其中某一速率为v的电子从Q点射出边界.已知电子入射方向与边界MN的夹角为θ，则A.该匀强磁场的方向垂直纸面向里B.所有电子在磁场中的轨迹半径相同C.速率越大的电子在磁场中运动时间越长D.在此过程中每个电子的速度方向都改变2θ
由左手定则可判断，该匀强磁场的方向垂直纸面向里，A正确；
由洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m ，整理得r＝ ，电子的轨迹半径与速度大小有关，B错误；
由周期公式T＝ 可知，电子在磁场中的运动周期相同，由几何关系可知，在此过程中每个电子的速度方向都改变2θ，即轨迹圆心角为2θ，电子在磁场中的运动时间t＝ T，故不同速率的电子在磁场中运动时间都相同，C错误，D正确.
2.(多选)如图所示，水平放置的挡板上方有垂直纸面向里的匀强磁场，一带电粒子a垂直于挡板从板上的小孔O射入磁场，另一带电粒子b垂直于磁场且与挡板成θ角射入磁场，a、b初速度大小相等，两粒子恰好都打在板上同一点P(图中未标出)，并立即被挡板吸收.不计粒子重力，下列说法正确的是A.a、b的电性一定相同B.a、b的比荷之比为C.若P在O点左侧，则a在磁场中运动时间比b长D.若P在O点右侧，则a在磁场中运动路程比b短
3.如图所示，平行边界区域内存在匀强磁场，比荷相同的带电粒子a和b依次从O点垂直于磁场的左边界射入，经磁场偏转后从右边界射出，带电粒子a和b射出磁场时与磁场右边界的夹角分别为30°和60°，不计粒子的重力，下列判断正确的是A.粒子a带负电，粒子b带正电B.粒子a和b在磁场中运动的半径之比为1∶C.粒子a和b在磁场中运动的速率之比为 ∶1D.粒子a和b在磁场中运动的时间之比为1∶2
a粒子向上偏转，由F＝qvB得，a粒子带正电；b粒子向下偏转，b粒子带负电，故A错误；
由几何关系可知，磁场水平距离x＝Rasin 60°＝Rbsin 30°，Ra∶Rb＝1∶ ，故B正确；
4.(多选)如图所示的虚线框为一正方形区域，该区域内有一垂直于纸面向里的匀强磁场，一带电粒子从a点沿与ab边成30°角方向射入磁场，恰好从b点飞出磁场；另一带电粒子以相同的速率从a点沿ad方向射入磁场后，从c点飞出磁场，不计重力，则两带电粒子的比荷之比及在磁场中的运动时间之比分别为A. ＝1∶1B. ＝2∶1C.t1∶t2＝2∶3D.t1∶t2＝1∶3
两粒子的运动轨迹如图；设正方形区域边长为L，则从b点飞出的粒子的运动轨迹半径为r1＝L；从c点飞出的粒子的运动轨迹半径为r2＝L；
根据T＝ 可知，两粒子在磁场中做圆周运动的周期相同，两粒子在磁场中转过的角度分别为60°和90°，根据t＝ T，可得t1∶t2＝60°∶90°＝2∶3，选项C正确，D错误.
5.(多选)(2020·天津卷·7)如图所示，在Oxy平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场.一带电粒子从y轴上的M点射入磁场，速度方向与y轴正方向的夹角θ＝45°.粒子经过磁场偏转后在N点(图中未画出)垂直穿过x轴.已知OM＝a，粒子电荷量为q，质量为m，重力不计.则A.粒子带负电荷B.粒子速度大小为C.粒子在磁场中运动的轨道半径为aD.N与O点相距( ＋1)a
由题意可知，粒子在磁场中做顺时针方向的圆周运动，根据左手定则可知粒子带负电荷，故A正确；粒子的运动轨迹如图所示，O′为粒子做匀速圆周运动的圆心，其轨道半径R＝ a，故C错误；
6.如图所示，abcd为边长为L的正方形，在四分之一圆abd区域内有垂直正方形平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B.一个质量为m、电荷量为＋q的带电粒子从b点沿ba方向射入磁场，粒子恰好能通过c点，不计粒子的重力，则粒子的速度大小为
画出粒子在磁场中运动的轨迹示意图，根据几何关系，射出磁场时的速度反向延长线通过a点，磁场的半径为L，设粒子的轨道半径为r，由几何关系得L＋r＝ L，由洛伦兹力提供向心力得：qvB＝m ，联立解得v＝ ，故选C.
7.(多选)如图，半径为R的圆形区域内有方向垂直于纸面向里的匀强磁场，某质量为m、带电荷量为q的粒子从圆上P点沿半径方向以速度v0射入匀强磁场，粒子从Q点飞出，速度偏转角为60°.现将该粒子从P点以另一速度沿半径方向射入匀强磁场，粒子离开磁场时，速度偏转角为120°，不计粒子重力.则A.该粒子带正电B.匀强磁场的磁感应强度为C.该粒子第二次射入磁场的速度为D.该粒子第二次在磁场中运动的时间为
由左手定则可知该粒子带负电，故A错误；
8.(多选)如图，在直角坐标系第一象限中y轴与直线y＝x所夹范围内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里.一带负电的粒子以速度v0自y轴上a点垂直射入磁场，一段时间后，该粒子垂直直线y＝x射出磁场，自x轴上b点(图中未画出)离开第一象限.已知Oa＝L，不计粒子重力.则下列判断正确的是A.粒子在磁场中运动的轨道半径为LB.b点的横坐标为 LC.粒子在第一象限磁场中的运动时间为D.粒子在第一象限的运动时间为
9.平面OM和平面ON之间的夹角为30°，其横截面(纸面)如图所示，平面OM上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外.一带电粒子的质量为m，电荷量为q(q>0).粒子沿纸面以大小为v的速度从OM的某点向左上方射入磁场，速度与OM成30°角.已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，并从OM上另一点射出磁场.不计重力.粒子离开磁场的出射点到两平面交线O的距离为
10.(2020·全国卷Ⅱ·24)如图，在0≤x≤h，－∞
(1)若粒子经磁场偏转后穿过y轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度的最小值Bm；
由题意，粒子刚进入磁场时应受到方向向上的洛伦兹力，因此磁场方向垂直于纸面向里.设粒子进入磁场中做圆周运动的半径为R，根据洛伦兹力公式和圆周运动规律，有
粒子穿过y轴正半轴离开磁场，其在磁场中做圆周运动的圆心在y轴正半轴上，半径应满足R≤h ③
由题意，当磁感应强度大小为Bm时，粒子穿过y轴正半轴离开磁场时的运动半径最大，由此得
(2)如果磁感应强度大小为 ，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场.求粒子在该点的运动方向与x轴正方向的夹角及该点到x轴的距离.
若磁感应强度大小为，粒子做圆周运动的圆心仍在y轴正半轴上，由②④式可得，此时圆弧半径为R′＝2h ⑤粒子会穿过图中P点离开磁场，运动轨迹如图所示.设粒子在P点的运动方向与x轴正方向的夹角为α，
由几何关系可得，P点与x轴的距离为y＝2h(1－cs α) ⑧
11.(2019·全国卷Ⅰ·24)如图，在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外.一带正电的粒子从静止开始经电压U加速后，沿平行于x轴的方向射入磁场；一段时间后，该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出.已知O点为坐标原点，N点在y轴上，OP与x轴的夹角为30°，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d，不计重力.求：
(1)带电粒子的比荷；
设带电粒子的质量为m，电荷量为q，加速后的速度大小为v.由动能定理有qU＝ mv2 ①
设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力，
(2)带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间.
由几何关系知，带电粒子射入磁场后运动到x轴所经过的路程为s＝ ＋rtan 30° ⑤带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间为t＝ ⑥
12.真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和2a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示.一电子以速率v沿半径方向射入磁场.已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力.为使电子不能进入内部无磁场区域，磁场的磁感应强度B最小为
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