湖南省长沙市实验中学2023-2024学年高一数学上学期第一阶段性试题（Word版附解析）

长沙市实验中学2023年下学期高一年级第一次阶段性检测

数学

时量：120分钟    满分：150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知全集，集合，，则为

A. {1,2,4} B. {2,3,4} C. {0,2,4} D. {0,2,3,4}

【答案】C

【解析】

【分析】先根据全集U求出集合A的补集，再求与集合B的并集．

【详解】由题得，故选C.

【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题．

2. 已知集合和的关系如下图，则阴影部分所表示集合为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】图中阴影部分表示的为，求出集合，根据交集的定义计算可得.

【详解】因为，又，

所以，

又图中阴影部分表示的为，

所以阴影部分所表示集合为.

故选：B

3. 已知集合，，则集合的子集个数为（    ）

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

【答案】B

【解析】

【分析】解不等式化简集合B，再结合交集、子集的意义求解即得.

【详解】解不等式，得或，于是或，而，

因此，所以集合的子集个数为4.

故选：B

4. 设四边形的两条对角线为、，则“四边形为菱形”是“”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【详解】试题分析：若四边形为菱形，则对角线；反之若，则四边形为正方形或菱形或等腰梯形，故“四边形为菱形”是“”的充分不必要条件，选A.

考点：平行四边形、菱形的性质，充分条件与必要条件判断，容易题.

5. 设命题：，，则为（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】B

【解析】

【分析】根据全称命题的否定为特称命题可得结论.

【详解】因为命题为，，

所以命题，.

故选：B.

6. 已知，，，则的最小值是（    ）

A.  B. 4 C.  D. 5

【答案】C

【解析】

【分析】将化，即可将变形为，结合基本不等式即可求得答案.

【详解】，

，

（当且仅当时等号成立），

故选：C

7. 若不等式的解集为，则不等式的解集是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件，求出，代入再解不等式即得.

【详解】由不等式的解集为，得是方程的二根，且，

于是，且，解得，

不等式为，即，解得，

所以不等式的解集是.

故选：A

8 若，，则一定有（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由不等式的性质判断BD，由作差法判断AC即可.

【详解】，，∴，故D对B错；

，大小关系不确定，故AC错.

故选：D

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 设集合，，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】CD

【解析】

【分析】求出函数定义域化简A，解不等式化简B，再逐项判断即得.

【详解】函数有意义，，解得，即，

解不等式，得，即，

显然，A错误；，B错误，C正确；

而或，因此，D正确.

故选：CD

10. 下列说法正确的是（    ）

A. 两个三角形全等是这两个三角形面积相等的充分不必要条件

B. 设，是实数，则“”是“”的必要而不充分条件

C. 设，一元二次方程有整数根的充要条件是

D. 函数的图象关于直线对称的充要条件是

【答案】AD

【解析】

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】对于A，两个三角形全等两个三角形的面积相等，故充分性成立；

但两个三角形的面积相等不能推出两个三角形全等，故必要性不成立，

所以两个三角形全等是这两个三角形面积相等的充分不必要条件，故A正确；

对于B：由推不出，如，，满足，但是，故充分性不成立；

由也推不出，如，，满足，但是，故必要性不成立，

所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误；

对于C：当时一元二次方程的根为，故C错误；

对于D：若函数的图象关于直线对称，则，解得，

所以函数的图象关于直线对称的充要条件是，故D正确；

故选：AD

11. 小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（），其全程的平均时速为v，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】设甲乙两地相距，则平均速度，结合基本不等式，即可得出结果.

【详解】设甲乙两地相距，

则平均速度，

故A错误，B正确；

又∵，

∴，

根据基本不等式及其取等号的条件可得：
，

∴，

即，

故C正确，D错误；

故选：BC．

12. 下列说法正确的是（    ）

A. 函数的最小值为2

B. 若正数x，y满足，则的最大值是2

C. 已知实数x，y满足且，则

D. 若对任意，恒成立，则

【答案】BD

【解析】

【分析】对于A，当取负值时显然不成立；

对于B，通过配方得，利用基本不等式即可得出结果；

对于C，将用和线性表示，结合不等式的性质即可得结果；

对于D，通过分离参数得，结合二次函数的性质即可得解得.

【详解】∵函数中的值可以取负值，此时无最小值，故A错误；

∵正数x，y满足，

∴，∴，即，

当且仅当，即，时取等号，

故的最大值是2，故B正确.

设，

∴解得，即，

∵且，

∴，，

∴，

即，故C错误；

对任意，恒成立，

分离参数得对任意恒成立，

令在最大值为，

即，故D正确，

故选：BD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知集合，，则中元素的个数为________．

【答案】2

【解析】

【分析】根据给定条件，解方程组即可得解.

【详解】依题意，，

所以中元素的个数为2.

故答案为：2

14. 已知，，若集合，则的值为__________.

【答案】

【解析】

【分析】利用集合相等，求出，再求出，检验即可.

【详解】根据题意，，故，则，

故，则，

当时，与集合的互异性相矛盾，故舍去，

当时，，符合题意，

故答案为：.

15. 若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是________．

【答案】[－8,0]

【解析】

【详解】当a＝0时，不等式显然成立；

当a≠0时，由题意知

得－8≤a<0.综上，－8≤a≤0.

16. 设集合，且M、N都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是______．

【答案】

【解析】

【详解】∵集合M={x|m x  m+},N={x|n- x n}，且M、N都是集合{x|0x1}的子集

∴根据新定义可知：M的长度为，N的长度为，

当集合M∩N的长度的最小值时，

M与N应分别在区间[0，1]的左右两端，

故M∩N的长度的最小值是．

故答案为：．

四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知集合，．

（1）若，求；

（2）若，求实数m的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）将代入即可得，再求交集即可；

（2）根据是否为空集，结合子集的性质分类讨论求解即可.

【小问1详解】

当时，，

∵，

∴.

【小问2详解】

∵集合，，，

∴当时，，解得.

当时，，解得.

综上，实数的取值范围是.

18. 学校某研究性学习小组在对学生上课时注意力集中情况的调查研究中，发现在40min的一节课中，学生的注意力指数y与听课时间x（单位：min）之间的关系满足如图所示的图象．当时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点，点，当时，图象是线段BC，其中点．

（1）当时，求注意力指数y与听课时间x的函数关系式；

（2）根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．要使得学生学习效果最佳，求老师安排核心内容的时间段（结果用区间表示）．

【答案】（1）；   

（2）在时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳，理由见解析.

【解析】

【分析】（1）当时，利用二次函数顶点式求得函数解析式.

（2）利用分段函数解不等式，由此求得学习效果最佳的时间段.

【小问1详解】

当时，设，而点在该二次函数图象上，

则，解得，

所以所求函数关系为.

【小问2详解】

当时，设，由线段过点、，

得，解得，则，

依题意，，则由（1）得，当时，或当时，，

解得或，因此，

所以老师就在时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳.

19. 某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为150平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为200元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计．

（1）写出总造价y（元）与污水处理池的宽x（米）的关系式；

（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．

【答案】（1）；   

（2）长为15米，宽为米时总造价最低，总造价最低为36000元.

【解析】

【分析】（1）污水处理池的底面积一定，设宽为米，可表示出长，从而得出总造价.

（2）由长和宽的限制条件，得自变量的范围，再借助对勾函数的单调性求得最小值.

【小问1详解】

设污水处理池的宽为，则长为米，

总造价，，

所以所求函数关系式是.

【小问2详解】

由（1）及已知，得，解得，

令，显然函数在上单调递减，在上单调递增，

当时，此时，有最小值，即有最小值，

因此（元），

所以当污水处理池的长为15米，宽为米时总造价最低，总造价最低为36000元.

20. 解下列问题：

（1）已知，，且，求的最大值；

（2）已知，求函数的最大值；

（3）若正数，满足，求的最小值．

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据基本不等式可得，进而求得的最大值．

（2）先将函数解析式整理成基本不等式的形式，然后利用基本不等式求得函数的最大值.

（3）将方程变形为代入可得，然后利用基本不等式求解．

【小问1详解】

因为，，所以

解得，当且仅当，即时取等号，

故的最大值为；

【小问2详解】

因为，则，，

故

，

当且仅当，即时取等号，故函数的最大值为．

【小问3详解】

由，且，可得，

所以，

当且仅当，即时取等号，故的最小值为；

21. 我国明朝科学家徐光启在他的《几何原本》中，首创使用几何方法研究代数问题，后来这一方法“几何代数法”成了西方数学家处理问题的重要依据．运用这个方法，很多代数公式、定理都能够通过图形实现证明，数学上称之为“无字证明”．设，，称为a，b的调和平均数；为a，b的几何平均数；为a，b的算术平均数；为a，b的平方平均数．如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点，点D在半圆O上，且，于点E，过点O作AB的垂线，交半圆于F，连结CF，设，．

（1）求线段DE与CF长度；

（2）证明：．

【答案】（1），；   

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）根据给定的几何图形，利用勾股定理及相似三角形性质计算即得.

（2）利用（1）的结论，结合图形中线段在大小关系推理得解.

【小问1详解】

依题意，不妨令，

，，

由，得，即，

由，得，则，因此，

由，得，，

所以，.

【小问2详解】

由（1）知，，，，，，

观察图形知，，当且仅当点与重合时取等号，

因此，当且仅当时取等号，

所以.

22. 已知二次函数．

（1）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

（2）解关于的不等式（其中）．

【答案】（1）；   

（2）答案见解析.

【解析】

【分析】(1)当时将原不等式变形为，根据基本不等式计算即可；

(2)不等式化为，讨论的取值，从而求出对应不等式的解集．

【小问1详解】

不等式即为：，

当时，不等式可变形为：，

因为，

当且仅当时取等号，所以，

所以实数a的取值范围是.

【小问2详解】

不等式，

等价于，即，

①当时，不等式整理为，解得；

当时，方程的两根为，，

②当时，可得，解不等式得或；

③当时，因为，解不等式得；

④当时，因为，不等式的解集为；

⑤当时，因，解不等式得；

综上所述，不等式的解集为：

①当时，不等式解集为；

②当时，不等式解集为；

③当时，不等式解集为；

④当时，不等式解集为；

⑤当时，不等式解集为．