备战高考2024年数学第一轮专题复习3.5 幂函数与一元二次函数（精讲）（提升版）（解析版）

3.5 幂函数与一元二次函数（精讲）（提升版）

考点一 幂函数及性质

【例1-1】（2022·全国·高三专题练习）幂函数是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则m的值为（       ）

A．﹣6 B．1 C．6 D．1或﹣6

【答案】B

【解析】∵幂函数是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，

∴，且为偶数或

当时，满足条件；当时，，舍去因此：m＝1故选：B

【例1-2】（2022·全国·高三专题练习）幂函数是偶函数，在上是减函数，则整数的值为（       ）

A．0 B．1 C．0或1 D．2

【答案】A

【解析】因为幂函数在上是减函数，所以，解得，

又，所以或，

当时，定义域为，且，所以是偶函数，满足题意；

当时，定义域为，而，所以是奇函数，不满足题意，舍去；综上，.故选：A

【一隅三反】

1．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的有（       ）

A．函数是偶函数 B．函数是增函数

C．当时， D．当时，

【答案】BCD

【解析】因为幂函数的图象经过点，所以，则，

所以，其定义域为，不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数，故A错；

又，所以是增函数，故B正确；

因此当时，，故C正确；

当时，因为，，

则

，所以，故D正确.故选：BCD.

2．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知函数是幂函数，对任意，，且，满足.若，，且的值为负值，则下列结论可能成立的有（       ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】BC

【解析】由于函数为幂函数，故，即，解得.当时，，当时，.由于“对任意，且，满足”知，函数在上为增函数，故.易见，故函数是单调递增的奇函数.

由于，即，得，所以，此时，若当时，，故；当时，，故，故；当时，由知，，故或或，即或或.综上可知，，且或或.故选：BC.

3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知幂函数的图像关于轴对称，与轴及轴均无交点，则由的值构成的集合是__________．

【答案】

【解析】由幂函数与轴及轴均无交点，得，解得，

又，即，的图像关于轴对称，

即函数为偶函数，故为偶数，所以，故答案为：.

4．（2022·上海·高三专题练习）已知函数为幂函数，且为奇函数，则实数a的值_____．

【答案】1

【解析】因为函数为幂函数，所以或.

当时，为偶函数，不符合题意，所以舍去；当时，为奇函数，符合题意.

故答案为：1

考点二 一元二次函数

【例2-1】（2021·重庆市清华中学校高三阶段练习）若函数的定义域为，值域为，则实数m的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】函数的图象如图所示，

因为当或时，；当时，，

因为函数的定义域为，所以．故选：C．

【例2-2】（2022·宁夏·平罗中学模拟预测（理））已知，则函数在上是增函数的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题设对称轴为，而，函数开口向上，

所以的增区间为，故在上是增函数有，综上，对应可行域如下阴影部分：

所以阴影部分面积为，而的面积为1，故在上是增函数的概率为.故选：D

【例2-3】（2022·全国·高三专题练习）（多选）若函数的定义域为，值域为，则正整数a的值可能是（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】BC

【解析】函数的图象如图所示：

因为函数在上的值域为，结合图象可得，

结合a是正整数，所以BC正确.故选： BC.

【一隅三反】

1．（2022·全国·高三专题练习）若，，成等差数列，则二次函数的图象与轴的交点个数为（       ）

A．0 B．1 C．2 D．1或2

【答案】D

【解析】由，，成等差数列，可得，

所以，

所以二次函数的图象与轴交点的个数为1或2.故选：D.

2．（2022·天津·南开中学二模）已知函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】当函数是R上的单调递减函数，所以，解得，

因为且，所以当时，不可能是增函数，所以函数在R上不可能是增函数，

综上：实数a的取值范围为，故选：B

3（2022·重庆·模拟预测）已知二次函数的两个零点都在区间内，则a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】二次函数，对称轴为，开口向上，在上单调递减，在上单调递增，

要使二次函数的两个零点都在区间内，需，解得

故实数a的取值范围是故选：C

4．（2022·全国·高三专题练习（理））若集合中有且只有一个元素，则正实数的取值范围是___________

【答案】

【解析】由题意，不等式且，即，

令，

所以，

所以是一个二次函数，图象是确定的一条抛物线，

而一次函数，图象是过一定点的动直线，

作出函数和的图象，如图所示，

其中，

又因为，结合图象，

要使得集合中有且只有一个元素，

可得，即，解得.

即正实数的取值范围是.

故答案为：.

考点三 一元二次函数与其他知识综合

【例3】（2022·山东济宁·三模）已知二次函数的值域为，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】若，则函数的值域为，不合乎题意，

因为二次函数的值域为，则，

且，所以，，可得，则，

所以，，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：B.

【一隅三反】

1．（2021·广东·湛江二十一中）若函数有最大值，则a的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】令，要使函数有最大值，

则内层函数要有最小正值，且外层函数为减函数，可知0＜a＜1．

要使内层函数要有最小正值，则，解得．综合得a的取值范围为．故选：B.

2．（2022·黑龙江）若关于的方程有解，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】方程有解，有解，

令，则可化为有正根，

则在有解，又当时，所以，故选：．

3．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为，则实数的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】因为函数的值域为，可得真数部分取到所有的正数，

即函数取到所有的正数，所以是函数的值域的子集，

所以解得：或，所以实数的取值范围是：.故选：A.

考点四 图像问题

【例4-1】（2022·全国·高三专题练习）函数（且）与函数（且）在同一个坐标系内的图象可能是（       ）

A． B．C． D．

【答案】C

【解析】两个函数分别为指数函数和二次函数，其中二次函数图象过点（0，－1），故排除A，D；

二次函数图象的对称轴为直线，当时，指数函数递减，，C符合题意；

当时，指数函数递增，，B不符合题意．故选：C．

【例4-2】（陕西省部分地市学校2022届高三下学期高考全真模拟考试理科数学试题）函数的图象大致是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由题意，函数的定义域为，关于原点对称，

且满足，

所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，排除B选项；

当时，可得，则，

当时，，单调递减；排除A选项

当时，，单调递增，

所以排除D选项，选项C符合.

故选：C.

【一隅三反】

1．（2021·山东·新泰市第一中学高三阶段练习）若不等式的解集为，则函数的图象可以为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由题可得和是方程的两个根，且，

，解得，则，

则函数图象开口向下，与轴交于.故选：C.

2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，如果且，则它的图象可能是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由题意，函数，

因为，令，可得，即函数图象过点，

又由，可得，所以抛物线的开口向上，可排除D项，

令，可得，可排除B、C项；

故选：A.

3．（2022·全国·高三专题练习）函数的图象是（       ）

A．B．

C．D．

【答案】A

【解析】函数，满足，即函数是偶函数，图象关于y轴对称，D错误；该函数是幂函数，，故该函数是增函数，且增长得越来越快，故A正确，BC错误.

故选：A.

4．（江西省2022届高三5月高考适应性大练兵联考数学（理）试题）函数的部分图象大致为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由题得，则f(x)为偶函数，排除A；又，排除B；当时，当时，所以排除D，

故选：C．

5．（安徽省十校联盟2022届高三下学期最后一卷文科数学试题）函数在R上的图象大致为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由题意得，，

故函数为奇函数，图象关于原点对称，排除D；

，排除B；

，排除C，

故选：A.