备战高考2024年数学第一轮专题复习5.3 三角函数的性质（精讲）（提升版）（解析版）

5.3 三角函数的性质（精讲）（提升版）

考点一  值域

【例1-1】（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）函数（）的图象向左平移个单位后关于直线对称，则函数在区间上的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】函数的图象向左平移个单位后的图象表达式为y，该函数的图象关于直线对称，所以，又所以，，

所以.

当时，，所以当，即时，的最小值为.

故选：A

【例1-2】（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值为（       ）

A．1 B． C． D．3

【答案】C

【解析】，

令，所以，则，

所以，所以原函数可化为，，对称轴为，

所以当时，取得最大值，所以函数的最大值为，

即的最大值为，故选：C

【例1-3】（2021·河南南阳·高三期末）已知，若对任意恒成立，则实数的取值范围为(       )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，

，则，.

，

若对任意恒成立，则，

即.故选：A.

【例1-4】（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））函数在内恰有两个最小值点，则的范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】当时，即时，函数有最小值，

令时，有，，，，

因为函数在内恰有两个最小值点，，

所以有：，故选：B

【一隅三反】

1．（2021·江苏泰州·高三阶段练习）已知函数，的值域为，则实数

的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设，则，

所以，且，又的值域为，

所以，即实数的取值范围为.故选：C.

2．（2022·河南焦作·二模）已知函数，若方程在区间上恰有5个实根，则的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由方程，可得，所以，

当时，，

所以的可能取值为，，，，，，…，

因为原方程在区间上恰有5个实根，所以，

解得，即的取值范围是.故选：D.

3．（2022·全国·高三专题练习）已知函，对于任意的x1，x2∈R，都有f(x1)+f(x2)-2≤0，若f(x)在[0，π]上的值域为，则实数ω的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】f(x)=asinωx+cos(ωx-)=asinωx+cosωxcos+sinωxsin=(+a)sin ωx+cos ωx=

·sin(ωx+φ)，其中tan φ=.

对于任意的x1，x2∈R，都有f(x1)+f(x2)-2≤0，即f(x1)+f(x2)≤2，当且仅当f(x1)=f(x2)=f(x)max时取等号，故2=2，解得a=1或a=-2(舍去)，故f(x)=sin ωx+cos ωx=sin(ωx+).因为0≤x≤π，所以≤ωx+≤ωπ+.又f(x)在[0，π]上的值域为[]，所以≤ωπ+≤，解得≤ω≤.故选：B.

考点二 伸缩平移

【例2-1】（2022·河南洛阳·模拟预测（文））已知曲线，，为了得到曲线，则对曲线的变换正确的是（       ）

A．先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移个单位长度

B．先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度

C．先把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移个单位长度

D．先把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度

【答案】C

【解析】A. 先把曲线上点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得的图象，再把得到的曲线向右平移个单位长度得的图象，A错；

B. 先把曲线上点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得的图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度得的图象，B错；

C. 先把曲线上点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得的图象，再把得到的曲线向右平移个单位长度得的图象，C正确；

D. 先把曲线上点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得的图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度得的图象，D错误；故选：C．

【例2-2】（2022·全国·高三专题练习）将函数的图象向左平移a(a>0)个单位长度得到函数g(x)=cos 2x的图象，则a的最小值为（       ）

A． B． C． D．π

【答案】B

【解析】将函数f(x)=sin(2x-)的图象向左平移a(a>0)个单位长度，可得函数y=sin[2(x+a)-]=sin[2x+(2a-)]的图象，所以y=sin[2x+(2a-)]的图象与g(x)=cos 2x的图象重合.

因为g(x)=cos 2x=sin(2x+)，所以2a-=2kπ+，k∈Z，即a=kπ+，k∈Z.

当k=0时，可得amin=.故选：B.

【一隅三反】

1．（2022·陕西）已知函数的最小正周期为，若将其图象向左平移个单位长度后得到的图象关于坐标原点对称，则的图象（       ）

A．关于点对称 B．关于对称 C．关于点对称 D．关于对称

【答案】A

【解析】依题意，解得，所以，将函数向左平移个单位长度得到，

因为关于坐标原点对称，所以，解得，因为，所以，所以，

因为，所以函数关于对称，又，所以函数关于对称，，所以函数关于对称；

故选：A

2．（2022·湖北·一模）函数，先把函数的图像向左平移个单位，再把图像上各点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图像，则下列说法错误的是（       ）

A．函数是奇函数，最大值是2

B．函数在区间上单调递增

C．函数的图像关于直线对称

D．π是函数的周期

【答案】B

【解析】，把函数的图像向左平移个单位，得，再把图像上各点的横坐标缩短到原来的，得，所以可知是奇函数，最大值是2，最小正周期为，当，得，所以函数在区间上单调递增，在上单调递减，，得，所以也是函数的对称轴，所以错误的选项为B.故选：B.

3．（2022·全国·模拟预测）若将函数的图象分别向左平移个单位长度与向右平移个单位长度，所得的两个函数图象恰好重合，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】的图象向左平移个单位长度得的图象,

向右平移（）个单位长度得的图象,

由题意得 （）所以（） 又 ,故的最小值为, 故选：A

考点三  三角函数的性质

【例3-1】（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列函数中，以为最小正周期的函数有（       ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【解析】，其最小正周期为，

的最小正周期为，所以的最小正周期为，

的最小正周期为，所以的最小正周期为，

的最小正周期为故选：BD

【例3-2】（2020·河南）已知函数的图象与函数图象的对称中心完全相同，则（       ）

A． B． C．1 D．2

【答案】C

【解析】由已知，令，解得，

所以的对称中心为，又的对称中心为，所以.故选：C

【例3-3】（2022·四川·泸县五中二模（文））将的图象向左平移个单位后得到的图象，则有 （       ）

A．为奇函数，在上单调递減

B．为偶函数，在上单调递增

C．周期为π，图象关于点对称

D．最大值为1，图象关于直线对称

【答案】D

【解析】将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象.

为偶函数，，，函数单调递减，故A不正确；

，，，，函数不单调，故B错误；

的周期为，当时，，故C错误；

g（x）最大值为1，当时，函数，为最小值，故的图象关于直线对称，故D正确，

故选：D．

【例3-4】（2022·山东青岛·一模）已知函数，将的图象先向左平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若图象关于对称，则为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，

的图象先向左平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，

得到函数，

故，所以，

由于，所以.故选：A

【一隅三反】

1．（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列函数中，图象为轴对称图形的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【解析】A.因为，

所以是偶函数，函数图象关于y轴对称，故正确；

B.因为的对称轴方程为：，

的对称轴方程为：，

又，

所以图象不是轴对称图形，故错误；

C.将向左平移个单位可得，

因为，

所以是偶函数，所以是轴对称图形，故正确；

D. 因为的对称轴方程为：，的对称轴方程为：，

又，所以图象不是轴对称图形，故错误；

故选：AC

2．（2022·北京西城·一模）将函数的图象向右平移个单位所得函数图象关于原点对称，向左平移个单位所得函数图象关于轴对称，其中，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由函数的图象向右平移个单位，可得，

又由函数的图象向左平移个单位，可得，

因为函数关于原点对称，可得，

解得，即

又因为的图象关于轴对称，可得，

解得，则，即，

因为，可得.故选：D.

3．（2022·北京·一模）已知函数.从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定．

(1)求的解析式；

(2)设，求函数在上的单调递增区间.

条件①：；

条件②：为偶函数；

条件③：的最大值为1；

条件④：图象的相邻两条对称轴之间的距离为．

注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)选择①④或③④均可得到(2)和

【解析】(1)因为，所以，

显然当时为奇函数，故②不能选，

若选择①③，即最大值为，所以，解得，所以，又，所以，即，，解得，，故不能唯一确定，故舍去；

若选择①④，即图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以，解得，所以，又，所以，解得，所以；

若选择③④，即图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以，解得，所以，又的最大值为，所以，解得，所以；

(2)由（1）可得

令，，解得，，所以函数的单调递增区间为，，又，所以在上的单调递增区间有和；

4．（2022·浙江浙江·二模）已知函数，．

(1)求函数的单调递增区间；

(2)求函数的值域．

【答案】(1)(2)

【解析】(1)由由

得所以函数的单调递增区间为：

(2)由，则

所以

由，则

所以函数的值域为

考点四  三角函数性质与其他知识的综合运用

【例4-1】（2022·江苏苏州）若函数在区间[0，π)内有且只有两个极值点，则正数ω的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为在有2个极值点，也即在区间取得一次最大值，一次最小值；

又，则当，，要使得满足题意，只需，解得.故选：C.

【一隅三反】

1．（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数在区间上无极值，则的取值范围是（       ）

A．（0，5] B．（0，5）

C．（0，） D．（0，]

【答案】A

【解析】由已知条件得，

∵函数在区间上无极值，

∴函数在区间上单调，

∴或在区间上恒成立，

当时，，

∵，∴，在此范围内不成立；

当时，，

∵，∴，即，解得，则的取值范围是，故选：.

2．（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））已知函数的部分图像如图所示，现将的图像向左平移个单位长度得到的图像，则方程在上实数解的个数为（       ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】B

【解析】根据函数，，，的部分图象，

可得，．所以，

结合五点法作图，，，因为，，故．

再把点代入，可得，即，，

所以．

现将的图象向左平移个单位长度，

得到函数，

因为，即，所以或，

解得或，

因为，所以或或或或或，

故方程在上实数解的个数为个；

故选：B

3．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））已知的三个内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，且，若将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像，则下列说法中正确的是（       ）

A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称

C．当时，函数的最小值为 D．函数在上单调递增

【答案】C

【解析】∵，

∴，即，

∴，又，

∴，

∴，又将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像，

∴，

∴函数的最小正周期为，故A错误；

当时，，函数的图象不关于直线对称，故B错误；

当时，，

即，故C正确；

当时，，所以函数在上有增有减，故D错误.

故选：C.