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新高考物理一轮复习讲义第7章 机械振动和机械波 第1讲 机械振动 (含解析)
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这是一份新高考物理一轮复习讲义第7章 机械振动和机械波 第1讲 机械振动 (含解析)，文件包含人教版物理九年级全册同步精品讲义153串联和并联原卷版doc、人教版物理九年级全册同步精品讲义153串联和并联教师版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。
学习目标 1.认识简谐运动，能用公式和图像描述简谐运动。 2.知道单摆，理解单摆的周期公式。 3.认识受迫振动的特点，了解产生共振的条件及其应用。
一、简谐运动
eq \a\vs4\al(1.,,,)
2.两种模型
二、简谐运动的表达式和图像
eq \a\vs4\al(1.,)
eq \a\vs4\al(2.,,,,,,,)
三、受迫振动和共振
eq \a\vs4\al(1.,)
eq \a\vs4\al(2.,,,)
1.思考判断
(1)简谐运动是匀变速运动。(×)
(2)周期、频率是表征物体做简谐运动快慢程度的物理量。(√)
(3)振幅等于振子运动轨迹的长度。(×)
(4)简谐运动的回复力可以是恒力。(×)
(5)弹簧振子每次经过平衡位置时，位移为零、动能最大。(√)
(6)单摆在任何情况下的运动都是简谐运动。(×)
(7)物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率无关。(√)
(8)简谐运动的图像描述的是振动质点的轨迹。(×)
2.[2021·广东卷，16(1)]如图1所示，一个轻质弹簧下端挂一小球，小球静止。现将小球向下拉动距离A后由静止释放，并开始计时，小球在竖直方向做简谐运动，周期为T。经eq \f(T,8)时间，小球从最低点向上运动的距离________eq \f(A,2)(填“大于”“小于”或“等于”)；在eq \f(T,4)时刻，小球的动能________(填“最大”或“最小”)。
图1
答案 小于 最大
3.某弹簧振子沿x轴的简谐运动图像如图2所示，下列描述正确的是( )
图2
A.t＝1 s时，振子的速度为零，加速度为负的最大值
B.t＝2 s时，振子的速度为负，加速度为正的最大值
C.t＝3 s时，振子的速度为负的最大值，加速度为零
D.t＝4 s时，振子的速度为正，加速度为负的最大值
答案 A
4.(多选)一单摆做简谐运动，在偏角增大的过程中，摆球的( )
A.位移增大 B.速度增大
C.回复力增大 D.机械能增大
答案 AC
考点一 简谐运动的基本特征
例1 (多选)[2022·湖南卷，16(1)改编]下端附着重物的粗细均匀木棒，竖直浮在河面，在重力和浮力作用下，沿竖直方向做频率为1 Hz的简谐运动；与此同时，木棒在水平方向上随河水做匀速直线运动，如图3(a)所示。以木棒所受浮力F为纵轴，木棒水平位移x为横轴建立直角坐标系，浮力F随水平位移x的变化如图(b)所示。已知河水密度为ρ，木棒横截面积为S，重力加速度大小为g。下列说法正确的是( )
图3
A.x从0.05 m到0.15 m的过程中，木棒的动能先增大后减小
B.x从0.21 m到0.25 m的过程中，木棒加速度方向竖直向下，大小逐渐变小
C.x＝0.35 m和x＝0.45 m时，木棒的速度大小相等，方向相反
D.木棒在竖直方向做简谐运动的振幅为eq \f(F1－F2,2ρSg)
答案 ABD
解析 由简谐运动的对称性可知，0.1 m、0.3 m、0.5 m时木棒处于平衡位置；则x从0.05 m到0.15 m的过程中，木棒从平衡位置下方向上移动，经平衡位置后到达平衡位置上方，速度先增大后减小，所以动能先增大后减小，A正确；x从0.21 m到0.25 m的过程中，木棒从平衡位置上方靠近最大位移处向下运动(未到平衡位置)，加速度方向竖直向下，大小逐渐变小，B正确；x＝0.35 m和x＝
0.45 m时，由图像的对称性知浮力大小相等，说明木棒在同一位置，竖直方向速度大小相等，方向相反，而这两时刻木棒水平方向速度相同，所以合速度大小相等，方向不是相反，C错误；木棒底端处于水面下最大位移时，F1＝ρgSh1，木棒底端处于水面下最小位移时，F2＝ρgSh2，木棒在竖直方向做简谐运动的振幅A＝eq \f(h1－h2,2)＝eq \f(F1－F2,2ρSg)，D正确。
跟踪训练
1.(2023·山东潍坊高三期末)光滑水平面上做简谐运动的弹簧振子的系统总能量表达式为E＝eq \f(1,2)kA2，其中k为弹簧的劲度系数，A为简谐运动的振幅。若振子质量为0.25 kg，弹簧的劲度系数为25 N/m。起振时系统具有势能0.06 J和动能0.02 J，则下列说法正确的是( )
A.该振动的振幅为0.16 m
B.振子经过平衡位置时的速度为0.4 m/s
C.振子的最大加速度为8 m/s2
D.若振子在位移最大处时，质量突变为0.15 kg，则振幅变大
答案 C
解析 弹簧振子振动过程中系统机械能守恒，则有eq \f(1,2)kA2＝0.06 J＋0.02 J＝0.08 J，所以该振动的振幅为A＝0.08 m，故A错误；振子经过平衡位置时，动能为eq \f(1,2)mv2＝0.08 J，所以速度为v＝0.8 m/s，故B错误；由牛顿第二定律可知振子的最大加速度为a＝eq \f(kA,m)＝8 m/s2，故C正确；振子在位移最大处时，速度为零，动能为零，所以质量突变为0.15 kg，不影响系统的机械能，所以振幅不变，故D错误。
考点二 简谐运动的表达式和图像
1.由图像可获取的信息
(1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ(如图4所示)。
图4
(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移。
(3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度大小和方向，速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定。
(4)某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同。
(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况。
2.简谐运动的对称性(如图5)
图5
(1)相隔Δt＝nT(n＝1，2，3…)的两个时刻，弹簧振子在同一位置，位移和速度都相同。
(2)相隔Δt＝(n＋eq \f(1,2))T(n＝0，1，2…)的两个时刻，弹簧振子的位置关于平衡位置对称，位移等大反向(或都为零)，速度也等大反向(或都为零)。
例2 (多选)(2023·天津河西一模)如图6所示，为一个水平弹簧振子的振动图像，下列说法正确的是( )
图6
A.t＝1 s到t＝2 s内，弹簧振子的动能不断减小
B.该弹簧振子的振动方程为x＝－10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)t))cm
C.t＝3 s时，弹簧振子的加速度沿x轴负方向
D.t＝0到t＝10 s弹簧振子的路程为50 cm
答案 BC
解析 t＝1 s到t＝2 s内，弹簧振子从位移最大位置向平衡位置运动，则振子的动能不断增加，选项A错误；因为ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,2) rad/s，振幅A＝10 cm，该弹簧振子的振动方程为x＝－10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)t)) cm，选项B正确；t＝3 s时，弹簧振子的位移正向最大，则加速度沿x轴负方向，选项C正确；因10 s＝2.5T，则t＝0到t＝
10 s弹簧振子的路程为2.5×4A＝100 cm，选项D错误。
跟踪训练
2.(2022·辽宁大连模拟)如图7所示是某一质点做简谐运动的振动图像，下列说法正确的是( )
图7
A.质点振动的周期为7 s
B.1 s末质点受到的回复力改变方向
C.3 s时与7 s时质点速度相同
D.质点振动方程为x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)t＋\f(π,4)))cm
答案 D
解析 由图可知，质点振动的周期为8 s，故A错误；1 s末前后质点受到的回复力都沿x轴负方向，故B错误；由x－t 图像斜率表示速度可知，3 s时与7 s时质点速度大小相同，方向相反，故C错误；由A选项可得ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,4)rad/s，设质点振动方程为x＝Asin(ωt＋φ)cm，t＝3 s时x＝0，代入数据解得φ＝eq \f(π,4)，可得x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)t＋\f(π,4)))cm，故D正确。
考点三 单摆及周期公式
1.单摆的受力特征
(1)回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，F回＝－mgsin θ＝－eq \f(mg,l)x＝－kx，负号表示回复力F回与位移x的方向相反。
(2)向心力：摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力提供向心力，F向＝
FT－mgcs θ。
(3)两点说明
①当摆球在最高点时，F向＝eq \f(mv2,l)＝0，FT＝mgcs θ。
②当摆球在最低点时，F向＝meq \f(veq \\al(2,max),l)，F向最大，FT＝mg＋meq \f(veq \\al(2,max),l)。
2.周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))的两点说明
(1)l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离。
(2)g为当地重力加速度。
例3 (多选)如图8所示是甲、乙两个单摆做简谐运动的图像，则下列说法中正确的是( )
图8
A.甲、乙两摆的振幅之比为2∶1
B.t＝2 s时，甲摆的重力势能最小，乙摆的动能为零
C.甲、乙两摆的摆长之比为4∶1
D.甲、乙两摆摆球在最低点时摆线的拉力大小一定相等
答案 AB
解析 由题图知甲、乙两摆的振幅分别为2 cm、1 cm，所以甲、乙两摆的振幅之比为2∶1，故A正确；由图像知，t＝2 s时，甲摆在平衡位置处，重力势能最小，乙摆在正的最大位移处，动能为零，故B正确；甲、乙两摆的周期之比为1∶2，由单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(L,g))，得到甲、乙两摆的摆长之比为1∶4，故C错误；由题目中的条件无法比较甲、乙两摆摆球在最低点时摆线的拉力大小，故D错误。
跟踪训练
3.(多选)如图9甲所示为挖掘机的顶部垂下一个大铁球并让它小角度的摆动，即可以用来拆卸混凝土建筑，可视为单摆模型，它对应的振动图像如图乙所示，则下列说法正确的是( )
图9
A.单摆振动的周期是6 s
B.t＝2 s时，摆球的速度最大
C.球摆开的角度越大，周期越大
D.该单摆的摆长约为16 m
答案 BD
解析 由图像知，单摆的周期8 s，A错误；t＝2 s时，摆球位于平衡位置，速度最大，B正确；根据单摆周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))，周期与角度无关，C错误；代入T＝2πeq \r(\f(l,g))得摆长l≈16 m，D正确。
考点四 受迫振动和共振
简谐运动、受迫振动和共振的关系比较
例4 图10(a)为演示单摆共振的装置，实验时依次让不同的单摆先摆起来，观察单摆P(图中未标出)能达到的最大振幅A和稳定时的振动频率f，并描点记录在图(b)中，用光滑曲线连接各点得到如图(b)所示曲线。取重力加速度g＝π2m/s2，下列说法正确的是( )
图10
A.单摆P的固有频率约为1 Hz
B.装置(a)中只有一个单摆的摆长约为1.0 m
C.当单摆P稳定时的振动频率为1.0 Hz时，先振动的单摆摆长约为0.25 m
D.单摆P的振动周期总为2 s
答案 C
解析 图(b)为单摆P的共振曲线，振幅最大时对应的频率0.50 Hz接近或等于其固有频率，故A错误；单摆P振幅最大时，先振动的单摆与P的固有周期相近或相同，P的固有周期约为2.0 s，由T＝2πeq \r(\f(l,g))可求得其摆长约为1.0 m，说明装置中至少还有一个单摆的摆长约为1.0 m，故B错误；当单摆P稳定时的振动频率为1.0 Hz时，先振动的单摆的固有频率也为1.0 Hz，由T＝2πeq \r(\f(l,g))，可得摆长约0.25 m，故C正确；单摆P做受迫振动的周期与先振动的单摆周期相同，故D错误。
跟踪训练
4.(多选)(2021·浙江1月选考，15)为了提高松树上松果的采摘率和工作效率，工程技术人员利用松果的惯性发明了用打击杆、振动器使松果落下的两种装置，如图11甲、乙所示。则( )
图11
A.针对不同树木，落果效果最好的振动频率可能不同
B.随着振动器频率的增加，树干振动的幅度一定增大
C.打击杆对不同粗细树干打击结束后，树干的振动频率相同
D.稳定后，不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同
答案 AD
解析 根据共振的条件，当振动器的频率等于树木的固有频率时产生共振，此时落果效果最好，而不同的树木的固有频率不同，针对不同树木，落果效果最好的振动频率可能不同，A正确；当振动器的振动频率等于树木的固有频率时产生共振，此时树干的振幅最大，则随着振动器频率的增加，树干振动的幅度不一定增大，B错误；打击结束后，树干做阻尼振动，阻尼振动的频率为树干的固有频率，所以粗细不同的树干频率不同，C错误；树干在振动器的振动下做受迫振动，则稳定后，不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同，D正确。
A级 基础对点练
对点练1 简谐运动的基本特征
1.如图1所示，弹簧振子在B、C间振动，O为平衡位置，BO＝OC＝5 cm。若振子从B到C的运动时间是1 s，则下列说法中正确的是( )
图1
A.振子从B经O到C完成一次全振动
B.振动周期是1 s，振幅是10 cm
C.经过两次全振动，振子通过的路程是20 cm
D.从B开始经过3 s，振子通过的路程是30 cm
答案 D
解析 振子从B经O到C只完成半次全振动，再回到B才算完成一次全振动，完成一次全振动的时间为一个周期，故T＝2 s，A、B错误；经过一次全振动，振子通过的路程是4倍振幅，故经过两次全振动，振子通过的路程是40 cm，C错误；从B开始经过3 s，振子通过的路程是30 cm，D正确。
2.(多选)如图2所示，弹簧振子在C、B间做简谐运动，O点为其平衡位置，则( )
图2
A.物块在由C点运动到O点的过程中，回复力逐渐增大
B.物块在由O点运动到B点的过程中，速度不断增大
C.物块在O点加速度最小，在B点加速度最大
D.物块通过平衡位置O点时，动能最大，势能最小
答案 CD
解析 物块在由C点运动到O点的过程中，位移减小，由回复力公式F＝－kx可知，回复力逐渐减小，A错误；物块在由O点运动到B点的过程中，回复力做负功，动能转化为势能，所以速度不断减小，B错误；由牛顿第二定律和回复力公式可知，物块的位移越大加速度越大，位移越小加速度越小，所以物块在O点加速度最小，在B点加速度最大，C正确；由简谐运动的规律可知，物块通过平衡位置O点时，速度最大，所以动能最大，势能最小，D正确。
对点练2 简谐运动的表达式及图像
3.(2023·山东菏泽高三期末)如图3甲所示，物体置于光滑水平面上O点，左端连接一弹簧，弹簧左端固定于竖直墙壁上，用向左的力缓慢推动物块，使其压缩弹簧至A点，撤去力并开始计时，其运动图像如图乙所示。则( )
图3
A.t＝0.8 s时，物体的速度方向向右
B.t＝0.2 s时，物体在O点右侧6 cm处
C.t＝0.2 s和t＝1.0 s时，物体的加速度等大反向
D.t＝0.8 s到t＝1.2 s的时间内，物体的速度逐渐减小
答案 C
解析 t＝0.8 s时，物体在负向最大位移处，速度为零，故A错误；t＝0.2 s时，物体的位移为x＝12 cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(0.2,1.6)×2π)) cm＝6eq \r(2) cm，即此时物体在O点左侧6eq \r(2) cm处，故B错误；t＝0.2 s和t＝1.0 s相差半个周期，所以物体在两个时刻的位置关于O点对称，物体的加速度等大反向，故C正确；t＝0.8 s到t＝1.2 s的时间内，物体的速度逐渐增大，故D错误。
4.(2023·重庆巴蜀中学高三月考)甲、乙两弹簧振子的振动图像如图4所示，则可知( )
图4
A.甲加速度最小时，乙速度最小
B.任一时刻两个振子受到的回复力都不相同
C.两个振子的振动频率之比f甲∶f乙＝2∶1
D.两个振子的振幅之比A甲∶A乙＝2∶1
答案 D
解析 甲在平衡位置时加速度最小，此时乙速度最大，例如在t＝1.0 s时刻，选项A错误；某时刻当两振子都在平衡位置时，回复力都为零，选项B错误；两个振子的周期之比为T甲∶T乙＝2∶1，振动频率之比f甲∶f乙＝1∶2，选项C错误；两个振子的振幅之比A甲∶A乙＝10∶5＝2∶1，选项D正确。
对点练3 单摆及周期公式
5.如图5，BOC为半径为R的光滑弧形槽，O点是弧形槽的最低点。半径R远大于BOC弧长。一小球由静止开始从B点释放，小球在槽内做周期运动。欲使小球运动的周期减小，可采用的方法是( )
图5
A.让小球释放处更靠近O点
B.让小球释放时有个初速度
C.换一个半径R小一些的弧形槽
D.换一个半径R大一些的弧形槽
答案 C
解析 小球的运动可视为单摆模型，由单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(L,g))，可知其周期取决于摆长和g，与质量和振幅无关。因此想要减小小球运动的周期，可以减小摆长L，即换一个半径R小一点的弧形槽，故A、B、D错误，C正确。
6.如图6所示，两根长度分别为l和eq \f(l,2)的细长轻绳下端拴质量相等的小球构成单摆，两悬点在同一竖直线上且间距为eq \f(l,2)，现将单摆向左拉开一个小角度，然后无初速度释放，若小球碰撞时无能量损失，小球可视为质点，重力加速度为g，对于以后的运动，下列说法中正确的是( )
图6
A.此组合摆周期为eq \f(（\r(2)＋2）π,2)eq \r(\f(l,g))，且每次碰撞一定发生在悬点正下方
B.摆球在平衡位置左右两侧走过的最大弧长相等
C.摆球在左侧上升的最大高度比右侧高
D.摆线在平衡位置右侧的最大摆角是左侧的2倍
答案 A
解析 根据单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(L,g))，求得T＝eq \f(T1,2)＋eq \f(T2,2)＝eq \f(（\r(2)＋2）π,2)eq \r(\f(l,g))，碰撞点在悬点的正下方，A正确；由于碰撞是弹性碰撞，根据机械能守恒定律，左右两侧上升的高度相同，在左右两侧走过的弧长不相等，摆角不是2倍关系，B、C、D错误。
对点练4 受迫振动和共振
7.(2022·浙江温州模拟)匀速运行的列车经过钢轨接缝处时，车轮就会受到一次冲击。由于每一根钢轨长度相等，所以这个冲击力是周期性的，列车受到周期性的冲击做受迫振动。如图7所示，为某同学设计的“减震器”原理示意图，他用弹簧连接一金属球组成“弹簧振子”悬挂在车厢内，金属球下方固定一块强磁铁(不考虑磁铁对金属球振动周期的影响)。当列车上下剧烈振动时，该“减震器”会使列车振幅减小。下列说法正确的是( )
图7
A.“弹簧振子”的金属球振动幅度与车速无关
B.“弹簧振子”的振动频率与列车的振动频率相同
C.“弹簧振子”固有频率越大，对列车的减振效果越好
D.若将金属球换成大小和质量均相同的绝缘球，能起到相同的减振效果
答案 B
解析 “弹簧振子”的金属球振动幅度与驱动力的频率有关，而列车受到周期性的冲击做受迫振动的频率与车速有关，故A错误；根据受迫振动稳定时的频率和驱动力的频率一致，可知“弹簧振子”的振动频率与列车的振动频率相同，B正确；当“弹簧振子”的固有频率等于受迫振动的频率时，金属球振动幅度最大，这样更好的把能量传递给“弹簧振子”， 对列车起到更好的减振效果，所以并不是“弹簧振子”固有频率越大，对列车的减振效果越好，C错误；若将金属球换成大小和质量均相同的绝缘球，那么绝缘球在振动时就不会产生电磁阻尼，达不到相同的减震效果，D错误。
8.(2022·江苏苏州模拟)一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力频率f的关系)如图8所示，则( )
图8
A.此单摆的固有周期约为0.5 s
B.此单摆的摆长约为1 m
C.若摆长增大，单摆的固有频率增大
D.若摆长增大，共振曲线的峰将向右移动
答案 B
解析 由共振曲线可知，此单摆的固有频率约为f＝0.5 Hz，所以固有周期约为
T＝eq \f(1,f)＝2 s，故A错误；根据单摆周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))，
得l＝eq \f(gT2,4π2)≈eq \f(9.8×22,4×（3.14）2) m≈1 m，故B正确；根据单摆周期公式得，若摆长增大，则单摆的固有周期增大，固有频率减小，共振曲线的峰将向左移动，故C、D错误。
B级 综合提升练
9.(多选)如图9所示为受迫振动的演示装置，在一根张紧的绳子上悬挂几个摆球，可以用一个单摆(称为“驱动”摆)驱动另外几个单摆。下列说法正确的是( )
图9
A.某个单摆摆动过程中多次通过同一位置时，速度可能不同而加速度一定相同
B.如果驱动摆的摆长为L，则其他单摆的振动周期都等于2πeq \r(\f(L,g))
C.如果驱动摆的摆长为L，振幅为A，若某个单摆的摆长大于L，振幅也大于A
D.如果某个单摆的摆长等于驱动摆的摆长，则这个单摆的振幅最大
答案 ABD
解析 某个单摆摆动过程中多次通过同一位置时，速度大小相等但方向可能不同，根据F＝－kx可得，加速度a＝eq \f(F,m)＝－eq \f(kx,m)，故加速度一定相同，A正确；如果驱动摆的摆长为L，根据单摆的周期公式有T＝2πeq \r(\f(L,g))，而其他单摆都是受迫振动，故其振动周期都等于驱动摆的周期，B正确；当受迫振动的单摆的固有周期等于驱动摆的周期时，受迫振动的振幅最大，故某个单摆的摆长大，振幅不一定也大，C错误；同一地区，单摆的固有频率只取决于单摆的摆长，则只有摆长等于驱动摆的摆长时，单摆的振幅能够达到最大，这种现象称为共振，D正确。
10.(2022·浙江6月选考，11)如图10所示，一根固定在墙上的水平光滑杆，两端分别固定着相同的轻弹簧，两弹簧自由端相距x。套在杆上的小球从中点以初速度v向右运动，小球将做周期为T的往复运动，则( )
图10
A.小球做简谐运动
B.小球动能的变化周期为eq \f(T,2)
C.两根弹簧的总弹性势能的变化周期为T
D.小球的初速度为eq \f(v,2)时，其运动周期为2T
答案 B
解析 物体做简谐运动的条件是它在运动中所受回复力与位移成正比，且方向总是指向平衡位置，可知小球在杆中点到接触弹簧过程，所受合力为零，此过程做匀速直线运动，故小球不是做简谐运动，A错误；假设杆中点为O，小球向右压缩弹簧至最大压缩量时的位置为A，小球向左压缩弹簧至最大压缩量时的位置为B，可知小球做周期为T的往复运动，过程为O→A→O→B→O，根据对称性可知小球从O→A→O与O→B→O，这两个过程小球的动能变化完全一致，两根弹簧的总弹性势能的变化完全一致，故小球动能的变化周期为eq \f(T,2)，两根弹簧的总弹性势能的变化周期为eq \f(T,2)，B正确，C错误；小球的初速度为eq \f(v,2)时，可知小球在匀速运动阶段的时间变为原来的2倍，接触弹簧过程，根据弹簧振子周期公式T0＝2πeq \r(\f(m,k))，可知与弹簧接触过程所用时间与速度无关，即与弹簧接触过程时间保持不变，故小球的初速度为eq \f(v,2)时，其运动周期应小于2T，D错误。
11.(多选)(2022·浙江台州模拟)如图11所示，一个竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T型支架在竖直方向振动，T型支架下面系着一个弹簧和小球组成的振动系统，小球浸没在水中，当圆盘静止时，让小球在水中振动，其阻尼振动频率约为0.5 Hz。现使圆盘由静止开始缓慢加速转动，直至以1 s的周期匀速转动稳定下来，在此过程中，下列说法正确为( )
图11
A.圆盘静止和转动时，小球都是做受迫振动
B.最终稳定时小球的振动频率为1 Hz
C.小球的振幅先逐渐增大后又逐渐减小
D.圆盘缓慢加速转动时，以T型支架为参考系，小圆柱的运动可视为简谐运动
答案 BC
解析 振动系统在周期性驱动力作用下的振动叫受迫振动，圆盘静止时无周期性驱动力作用，不是受迫振动，A错误；小球稳定振动时的频率为f′＝eq \f(1,T′)＝eq \f(1,1) Hz＝1 Hz，故B正确；圆盘转速由零逐渐增大，转动的频率逐渐接近小球振动的固有频率，振幅增大，与固有频率相同时振幅最大；超过固有频率，转速继续增大，振幅减小，故先增大后减小，C正确；圆盘缓慢加速转动时，以T型支架为参考系，小圆柱运动到T型支架的中间位置时是非平衡状态，有加速度，不满足简谐运动的条件，D错误。
12.(多选)如图12甲是用力传感器对单摆做小角度摆动过程进行测量的装置图，图乙是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的F－t图像，其中F的最大值Fmax＝1.02 N。已知摆球质量m＝100 g，重力加速度g取9.8 m/s2，π2取9.8，不计摆线质量及空气阻力。下列说法正确的是( )
图12
A.单摆周期为0.8 s
B.单摆摆长为0.64 m
C.F的最小值Fmin＝0.96 N
D.若仅将摆球质量变为200 g，单摆周期不变
答案 BCD
解析 分析可知小球在最低点时摆线受到的拉力最大，在F－t图像上相邻的两次最大拉力的时间间隔刚好为单摆振动的半个周期，故T＝2(0.9－0.1)s＝1.6 s，选项A错误；根据单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))可知单摆做简谐振动的周期与摆球的质量无关，只与摆长和当地的重力加速度有关，选项D正确；由T＝2πeq \r(\f(l,g))得l＝eq \f(gT2,4π2)＝0.64 m，选项B正确；分析可知当摆球上升到最高点时对摆线的拉力最小，设此时摆线与竖直方向的夹角为θ，故Fmin＝mgcs θ，从最高点到最低点的过程中只有重力对摆球做功，摆球的机械能守恒，则有mgl(1－cs θ)＝eq \f(1,2)mv2，在最低点根据牛顿第二定律有Fmax－mg＝meq \f(v2,l)，根据上述表达式可得Fmin＝eq \f(3mg－Fmax,2)＝0.96 N，选项C正确。模型
弹簧振子
单摆
示意图
简谐运
动条件
(1)弹簧质量可忽略
(2)无摩擦等阻力
(3)在弹簧弹性限度内
(1)摆线为不可伸缩的轻细线
(2)无空气阻力等
(3)最大摆角小于等于5°
回复力
弹簧的弹力提供
摆球重力沿与摆线垂直方向(即切向)的分力
平衡位置
弹簧处于原长处
最低点
周期
与振幅无关
T＝2π eq \r(\f(l,g))
能量
转化
弹性势能与动能的相互转化，系统的机械能守恒
重力势能与动能的相互转化，机械能守恒
受力特征
回复力F＝－kx，F(或a)的大小与x的大小成正比，方向相反
运动特征
靠近平衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小
能量特征
振幅越大，能量越大。在运动过程中，动能和势能相互转化，系统的机械能守恒
周期性
特征
质点的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为eq \f(T,2)
对称性
特征
关于平衡位置O对称的两点，加速度的大小、速度的大小、动能、势能相等，相对平衡位置的位移大小相等
振动
项目
简谐运动
受迫振动
共振
受力情况
仅受回复力
受驱动力作用
受驱动力作用
振动周期或频率
由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0
由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱
T驱＝T0或f驱＝f0
振动能量
振动物体的机械能不变
由产生驱动力的物体提供
振动物体获得的能量最大
常见例子
弹簧振子或单摆(θ≤5°)
机械工作时底座发生的振动
共振筛、声音的共鸣等
学习目标 1.认识简谐运动，能用公式和图像描述简谐运动。 2.知道单摆，理解单摆的周期公式。 3.认识受迫振动的特点，了解产生共振的条件及其应用。
一、简谐运动
eq \a\vs4\al(1.,,,)
2.两种模型
二、简谐运动的表达式和图像
eq \a\vs4\al(1.,)
eq \a\vs4\al(2.,,,,,,,)
三、受迫振动和共振
eq \a\vs4\al(1.,)
eq \a\vs4\al(2.,,,)
1.思考判断
(1)简谐运动是匀变速运动。(×)
(2)周期、频率是表征物体做简谐运动快慢程度的物理量。(√)
(3)振幅等于振子运动轨迹的长度。(×)
(4)简谐运动的回复力可以是恒力。(×)
(5)弹簧振子每次经过平衡位置时，位移为零、动能最大。(√)
(6)单摆在任何情况下的运动都是简谐运动。(×)
(7)物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率无关。(√)
(8)简谐运动的图像描述的是振动质点的轨迹。(×)
2.[2021·广东卷，16(1)]如图1所示，一个轻质弹簧下端挂一小球，小球静止。现将小球向下拉动距离A后由静止释放，并开始计时，小球在竖直方向做简谐运动，周期为T。经eq \f(T,8)时间，小球从最低点向上运动的距离________eq \f(A,2)(填“大于”“小于”或“等于”)；在eq \f(T,4)时刻，小球的动能________(填“最大”或“最小”)。
图1
答案 小于 最大
3.某弹簧振子沿x轴的简谐运动图像如图2所示，下列描述正确的是( )
图2
A.t＝1 s时，振子的速度为零，加速度为负的最大值
B.t＝2 s时，振子的速度为负，加速度为正的最大值
C.t＝3 s时，振子的速度为负的最大值，加速度为零
D.t＝4 s时，振子的速度为正，加速度为负的最大值
答案 A
4.(多选)一单摆做简谐运动，在偏角增大的过程中，摆球的( )
A.位移增大 B.速度增大
C.回复力增大 D.机械能增大
答案 AC
考点一 简谐运动的基本特征
例1 (多选)[2022·湖南卷，16(1)改编]下端附着重物的粗细均匀木棒，竖直浮在河面，在重力和浮力作用下，沿竖直方向做频率为1 Hz的简谐运动；与此同时，木棒在水平方向上随河水做匀速直线运动，如图3(a)所示。以木棒所受浮力F为纵轴，木棒水平位移x为横轴建立直角坐标系，浮力F随水平位移x的变化如图(b)所示。已知河水密度为ρ，木棒横截面积为S，重力加速度大小为g。下列说法正确的是( )
图3
A.x从0.05 m到0.15 m的过程中，木棒的动能先增大后减小
B.x从0.21 m到0.25 m的过程中，木棒加速度方向竖直向下，大小逐渐变小
C.x＝0.35 m和x＝0.45 m时，木棒的速度大小相等，方向相反
D.木棒在竖直方向做简谐运动的振幅为eq \f(F1－F2,2ρSg)
答案 ABD
解析 由简谐运动的对称性可知，0.1 m、0.3 m、0.5 m时木棒处于平衡位置；则x从0.05 m到0.15 m的过程中，木棒从平衡位置下方向上移动，经平衡位置后到达平衡位置上方，速度先增大后减小，所以动能先增大后减小，A正确；x从0.21 m到0.25 m的过程中，木棒从平衡位置上方靠近最大位移处向下运动(未到平衡位置)，加速度方向竖直向下，大小逐渐变小，B正确；x＝0.35 m和x＝
0.45 m时，由图像的对称性知浮力大小相等，说明木棒在同一位置，竖直方向速度大小相等，方向相反，而这两时刻木棒水平方向速度相同，所以合速度大小相等，方向不是相反，C错误；木棒底端处于水面下最大位移时，F1＝ρgSh1，木棒底端处于水面下最小位移时，F2＝ρgSh2，木棒在竖直方向做简谐运动的振幅A＝eq \f(h1－h2,2)＝eq \f(F1－F2,2ρSg)，D正确。
跟踪训练
1.(2023·山东潍坊高三期末)光滑水平面上做简谐运动的弹簧振子的系统总能量表达式为E＝eq \f(1,2)kA2，其中k为弹簧的劲度系数，A为简谐运动的振幅。若振子质量为0.25 kg，弹簧的劲度系数为25 N/m。起振时系统具有势能0.06 J和动能0.02 J，则下列说法正确的是( )
A.该振动的振幅为0.16 m
B.振子经过平衡位置时的速度为0.4 m/s
C.振子的最大加速度为8 m/s2
D.若振子在位移最大处时，质量突变为0.15 kg，则振幅变大
答案 C
解析 弹簧振子振动过程中系统机械能守恒，则有eq \f(1,2)kA2＝0.06 J＋0.02 J＝0.08 J，所以该振动的振幅为A＝0.08 m，故A错误；振子经过平衡位置时，动能为eq \f(1,2)mv2＝0.08 J，所以速度为v＝0.8 m/s，故B错误；由牛顿第二定律可知振子的最大加速度为a＝eq \f(kA,m)＝8 m/s2，故C正确；振子在位移最大处时，速度为零，动能为零，所以质量突变为0.15 kg，不影响系统的机械能，所以振幅不变，故D错误。
考点二 简谐运动的表达式和图像
1.由图像可获取的信息
(1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ(如图4所示)。
图4
(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移。
(3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度大小和方向，速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定。
(4)某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同。
(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况。
2.简谐运动的对称性(如图5)
图5
(1)相隔Δt＝nT(n＝1，2，3…)的两个时刻，弹簧振子在同一位置，位移和速度都相同。
(2)相隔Δt＝(n＋eq \f(1,2))T(n＝0，1，2…)的两个时刻，弹簧振子的位置关于平衡位置对称，位移等大反向(或都为零)，速度也等大反向(或都为零)。
例2 (多选)(2023·天津河西一模)如图6所示，为一个水平弹簧振子的振动图像，下列说法正确的是( )
图6
A.t＝1 s到t＝2 s内，弹簧振子的动能不断减小
B.该弹簧振子的振动方程为x＝－10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)t))cm
C.t＝3 s时，弹簧振子的加速度沿x轴负方向
D.t＝0到t＝10 s弹簧振子的路程为50 cm
答案 BC
解析 t＝1 s到t＝2 s内，弹簧振子从位移最大位置向平衡位置运动，则振子的动能不断增加，选项A错误；因为ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,2) rad/s，振幅A＝10 cm，该弹簧振子的振动方程为x＝－10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)t)) cm，选项B正确；t＝3 s时，弹簧振子的位移正向最大，则加速度沿x轴负方向，选项C正确；因10 s＝2.5T，则t＝0到t＝
10 s弹簧振子的路程为2.5×4A＝100 cm，选项D错误。
跟踪训练
2.(2022·辽宁大连模拟)如图7所示是某一质点做简谐运动的振动图像，下列说法正确的是( )
图7
A.质点振动的周期为7 s
B.1 s末质点受到的回复力改变方向
C.3 s时与7 s时质点速度相同
D.质点振动方程为x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)t＋\f(π,4)))cm
答案 D
解析 由图可知，质点振动的周期为8 s，故A错误；1 s末前后质点受到的回复力都沿x轴负方向，故B错误；由x－t 图像斜率表示速度可知，3 s时与7 s时质点速度大小相同，方向相反，故C错误；由A选项可得ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,4)rad/s，设质点振动方程为x＝Asin(ωt＋φ)cm，t＝3 s时x＝0，代入数据解得φ＝eq \f(π,4)，可得x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)t＋\f(π,4)))cm，故D正确。
考点三 单摆及周期公式
1.单摆的受力特征
(1)回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，F回＝－mgsin θ＝－eq \f(mg,l)x＝－kx，负号表示回复力F回与位移x的方向相反。
(2)向心力：摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力提供向心力，F向＝
FT－mgcs θ。
(3)两点说明
①当摆球在最高点时，F向＝eq \f(mv2,l)＝0，FT＝mgcs θ。
②当摆球在最低点时，F向＝meq \f(veq \\al(2,max),l)，F向最大，FT＝mg＋meq \f(veq \\al(2,max),l)。
2.周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))的两点说明
(1)l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离。
(2)g为当地重力加速度。
例3 (多选)如图8所示是甲、乙两个单摆做简谐运动的图像，则下列说法中正确的是( )
图8
A.甲、乙两摆的振幅之比为2∶1
B.t＝2 s时，甲摆的重力势能最小，乙摆的动能为零
C.甲、乙两摆的摆长之比为4∶1
D.甲、乙两摆摆球在最低点时摆线的拉力大小一定相等
答案 AB
解析 由题图知甲、乙两摆的振幅分别为2 cm、1 cm，所以甲、乙两摆的振幅之比为2∶1，故A正确；由图像知，t＝2 s时，甲摆在平衡位置处，重力势能最小，乙摆在正的最大位移处，动能为零，故B正确；甲、乙两摆的周期之比为1∶2，由单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(L,g))，得到甲、乙两摆的摆长之比为1∶4，故C错误；由题目中的条件无法比较甲、乙两摆摆球在最低点时摆线的拉力大小，故D错误。
跟踪训练
3.(多选)如图9甲所示为挖掘机的顶部垂下一个大铁球并让它小角度的摆动，即可以用来拆卸混凝土建筑，可视为单摆模型，它对应的振动图像如图乙所示，则下列说法正确的是( )
图9
A.单摆振动的周期是6 s
B.t＝2 s时，摆球的速度最大
C.球摆开的角度越大，周期越大
D.该单摆的摆长约为16 m
答案 BD
解析 由图像知，单摆的周期8 s，A错误；t＝2 s时，摆球位于平衡位置，速度最大，B正确；根据单摆周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))，周期与角度无关，C错误；代入T＝2πeq \r(\f(l,g))得摆长l≈16 m，D正确。
考点四 受迫振动和共振
简谐运动、受迫振动和共振的关系比较
例4 图10(a)为演示单摆共振的装置，实验时依次让不同的单摆先摆起来，观察单摆P(图中未标出)能达到的最大振幅A和稳定时的振动频率f，并描点记录在图(b)中，用光滑曲线连接各点得到如图(b)所示曲线。取重力加速度g＝π2m/s2，下列说法正确的是( )
图10
A.单摆P的固有频率约为1 Hz
B.装置(a)中只有一个单摆的摆长约为1.0 m
C.当单摆P稳定时的振动频率为1.0 Hz时，先振动的单摆摆长约为0.25 m
D.单摆P的振动周期总为2 s
答案 C
解析 图(b)为单摆P的共振曲线，振幅最大时对应的频率0.50 Hz接近或等于其固有频率，故A错误；单摆P振幅最大时，先振动的单摆与P的固有周期相近或相同，P的固有周期约为2.0 s，由T＝2πeq \r(\f(l,g))可求得其摆长约为1.0 m，说明装置中至少还有一个单摆的摆长约为1.0 m，故B错误；当单摆P稳定时的振动频率为1.0 Hz时，先振动的单摆的固有频率也为1.0 Hz，由T＝2πeq \r(\f(l,g))，可得摆长约0.25 m，故C正确；单摆P做受迫振动的周期与先振动的单摆周期相同，故D错误。
跟踪训练
4.(多选)(2021·浙江1月选考，15)为了提高松树上松果的采摘率和工作效率，工程技术人员利用松果的惯性发明了用打击杆、振动器使松果落下的两种装置，如图11甲、乙所示。则( )
图11
A.针对不同树木，落果效果最好的振动频率可能不同
B.随着振动器频率的增加，树干振动的幅度一定增大
C.打击杆对不同粗细树干打击结束后，树干的振动频率相同
D.稳定后，不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同
答案 AD
解析 根据共振的条件，当振动器的频率等于树木的固有频率时产生共振，此时落果效果最好，而不同的树木的固有频率不同，针对不同树木，落果效果最好的振动频率可能不同，A正确；当振动器的振动频率等于树木的固有频率时产生共振，此时树干的振幅最大，则随着振动器频率的增加，树干振动的幅度不一定增大，B错误；打击结束后，树干做阻尼振动，阻尼振动的频率为树干的固有频率，所以粗细不同的树干频率不同，C错误；树干在振动器的振动下做受迫振动，则稳定后，不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同，D正确。
A级 基础对点练
对点练1 简谐运动的基本特征
1.如图1所示，弹簧振子在B、C间振动，O为平衡位置，BO＝OC＝5 cm。若振子从B到C的运动时间是1 s，则下列说法中正确的是( )
图1
A.振子从B经O到C完成一次全振动
B.振动周期是1 s，振幅是10 cm
C.经过两次全振动，振子通过的路程是20 cm
D.从B开始经过3 s，振子通过的路程是30 cm
答案 D
解析 振子从B经O到C只完成半次全振动，再回到B才算完成一次全振动，完成一次全振动的时间为一个周期，故T＝2 s，A、B错误；经过一次全振动，振子通过的路程是4倍振幅，故经过两次全振动，振子通过的路程是40 cm，C错误；从B开始经过3 s，振子通过的路程是30 cm，D正确。
2.(多选)如图2所示，弹簧振子在C、B间做简谐运动，O点为其平衡位置，则( )
图2
A.物块在由C点运动到O点的过程中，回复力逐渐增大
B.物块在由O点运动到B点的过程中，速度不断增大
C.物块在O点加速度最小，在B点加速度最大
D.物块通过平衡位置O点时，动能最大，势能最小
答案 CD
解析 物块在由C点运动到O点的过程中，位移减小，由回复力公式F＝－kx可知，回复力逐渐减小，A错误；物块在由O点运动到B点的过程中，回复力做负功，动能转化为势能，所以速度不断减小，B错误；由牛顿第二定律和回复力公式可知，物块的位移越大加速度越大，位移越小加速度越小，所以物块在O点加速度最小，在B点加速度最大，C正确；由简谐运动的规律可知，物块通过平衡位置O点时，速度最大，所以动能最大，势能最小，D正确。
对点练2 简谐运动的表达式及图像
3.(2023·山东菏泽高三期末)如图3甲所示，物体置于光滑水平面上O点，左端连接一弹簧，弹簧左端固定于竖直墙壁上，用向左的力缓慢推动物块，使其压缩弹簧至A点，撤去力并开始计时，其运动图像如图乙所示。则( )
图3
A.t＝0.8 s时，物体的速度方向向右
B.t＝0.2 s时，物体在O点右侧6 cm处
C.t＝0.2 s和t＝1.0 s时，物体的加速度等大反向
D.t＝0.8 s到t＝1.2 s的时间内，物体的速度逐渐减小
答案 C
解析 t＝0.8 s时，物体在负向最大位移处，速度为零，故A错误；t＝0.2 s时，物体的位移为x＝12 cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(0.2,1.6)×2π)) cm＝6eq \r(2) cm，即此时物体在O点左侧6eq \r(2) cm处，故B错误；t＝0.2 s和t＝1.0 s相差半个周期，所以物体在两个时刻的位置关于O点对称，物体的加速度等大反向，故C正确；t＝0.8 s到t＝1.2 s的时间内，物体的速度逐渐增大，故D错误。
4.(2023·重庆巴蜀中学高三月考)甲、乙两弹簧振子的振动图像如图4所示，则可知( )
图4
A.甲加速度最小时，乙速度最小
B.任一时刻两个振子受到的回复力都不相同
C.两个振子的振动频率之比f甲∶f乙＝2∶1
D.两个振子的振幅之比A甲∶A乙＝2∶1
答案 D
解析 甲在平衡位置时加速度最小，此时乙速度最大，例如在t＝1.0 s时刻，选项A错误；某时刻当两振子都在平衡位置时，回复力都为零，选项B错误；两个振子的周期之比为T甲∶T乙＝2∶1，振动频率之比f甲∶f乙＝1∶2，选项C错误；两个振子的振幅之比A甲∶A乙＝10∶5＝2∶1，选项D正确。
对点练3 单摆及周期公式
5.如图5，BOC为半径为R的光滑弧形槽，O点是弧形槽的最低点。半径R远大于BOC弧长。一小球由静止开始从B点释放，小球在槽内做周期运动。欲使小球运动的周期减小，可采用的方法是( )
图5
A.让小球释放处更靠近O点
B.让小球释放时有个初速度
C.换一个半径R小一些的弧形槽
D.换一个半径R大一些的弧形槽
答案 C
解析 小球的运动可视为单摆模型，由单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(L,g))，可知其周期取决于摆长和g，与质量和振幅无关。因此想要减小小球运动的周期，可以减小摆长L，即换一个半径R小一点的弧形槽，故A、B、D错误，C正确。
6.如图6所示，两根长度分别为l和eq \f(l,2)的细长轻绳下端拴质量相等的小球构成单摆，两悬点在同一竖直线上且间距为eq \f(l,2)，现将单摆向左拉开一个小角度，然后无初速度释放，若小球碰撞时无能量损失，小球可视为质点，重力加速度为g，对于以后的运动，下列说法中正确的是( )
图6
A.此组合摆周期为eq \f(（\r(2)＋2）π,2)eq \r(\f(l,g))，且每次碰撞一定发生在悬点正下方
B.摆球在平衡位置左右两侧走过的最大弧长相等
C.摆球在左侧上升的最大高度比右侧高
D.摆线在平衡位置右侧的最大摆角是左侧的2倍
答案 A
解析 根据单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(L,g))，求得T＝eq \f(T1,2)＋eq \f(T2,2)＝eq \f(（\r(2)＋2）π,2)eq \r(\f(l,g))，碰撞点在悬点的正下方，A正确；由于碰撞是弹性碰撞，根据机械能守恒定律，左右两侧上升的高度相同，在左右两侧走过的弧长不相等，摆角不是2倍关系，B、C、D错误。
对点练4 受迫振动和共振
7.(2022·浙江温州模拟)匀速运行的列车经过钢轨接缝处时，车轮就会受到一次冲击。由于每一根钢轨长度相等，所以这个冲击力是周期性的，列车受到周期性的冲击做受迫振动。如图7所示，为某同学设计的“减震器”原理示意图，他用弹簧连接一金属球组成“弹簧振子”悬挂在车厢内，金属球下方固定一块强磁铁(不考虑磁铁对金属球振动周期的影响)。当列车上下剧烈振动时，该“减震器”会使列车振幅减小。下列说法正确的是( )
图7
A.“弹簧振子”的金属球振动幅度与车速无关
B.“弹簧振子”的振动频率与列车的振动频率相同
C.“弹簧振子”固有频率越大，对列车的减振效果越好
D.若将金属球换成大小和质量均相同的绝缘球，能起到相同的减振效果
答案 B
解析 “弹簧振子”的金属球振动幅度与驱动力的频率有关，而列车受到周期性的冲击做受迫振动的频率与车速有关，故A错误；根据受迫振动稳定时的频率和驱动力的频率一致，可知“弹簧振子”的振动频率与列车的振动频率相同，B正确；当“弹簧振子”的固有频率等于受迫振动的频率时，金属球振动幅度最大，这样更好的把能量传递给“弹簧振子”， 对列车起到更好的减振效果，所以并不是“弹簧振子”固有频率越大，对列车的减振效果越好，C错误；若将金属球换成大小和质量均相同的绝缘球，那么绝缘球在振动时就不会产生电磁阻尼，达不到相同的减震效果，D错误。
8.(2022·江苏苏州模拟)一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力频率f的关系)如图8所示，则( )
图8
A.此单摆的固有周期约为0.5 s
B.此单摆的摆长约为1 m
C.若摆长增大，单摆的固有频率增大
D.若摆长增大，共振曲线的峰将向右移动
答案 B
解析 由共振曲线可知，此单摆的固有频率约为f＝0.5 Hz，所以固有周期约为
T＝eq \f(1,f)＝2 s，故A错误；根据单摆周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))，
得l＝eq \f(gT2,4π2)≈eq \f(9.8×22,4×（3.14）2) m≈1 m，故B正确；根据单摆周期公式得，若摆长增大，则单摆的固有周期增大，固有频率减小，共振曲线的峰将向左移动，故C、D错误。
B级 综合提升练
9.(多选)如图9所示为受迫振动的演示装置，在一根张紧的绳子上悬挂几个摆球，可以用一个单摆(称为“驱动”摆)驱动另外几个单摆。下列说法正确的是( )
图9
A.某个单摆摆动过程中多次通过同一位置时，速度可能不同而加速度一定相同
B.如果驱动摆的摆长为L，则其他单摆的振动周期都等于2πeq \r(\f(L,g))
C.如果驱动摆的摆长为L，振幅为A，若某个单摆的摆长大于L，振幅也大于A
D.如果某个单摆的摆长等于驱动摆的摆长，则这个单摆的振幅最大
答案 ABD
解析 某个单摆摆动过程中多次通过同一位置时，速度大小相等但方向可能不同，根据F＝－kx可得，加速度a＝eq \f(F,m)＝－eq \f(kx,m)，故加速度一定相同，A正确；如果驱动摆的摆长为L，根据单摆的周期公式有T＝2πeq \r(\f(L,g))，而其他单摆都是受迫振动，故其振动周期都等于驱动摆的周期，B正确；当受迫振动的单摆的固有周期等于驱动摆的周期时，受迫振动的振幅最大，故某个单摆的摆长大，振幅不一定也大，C错误；同一地区，单摆的固有频率只取决于单摆的摆长，则只有摆长等于驱动摆的摆长时，单摆的振幅能够达到最大，这种现象称为共振，D正确。
10.(2022·浙江6月选考，11)如图10所示，一根固定在墙上的水平光滑杆，两端分别固定着相同的轻弹簧，两弹簧自由端相距x。套在杆上的小球从中点以初速度v向右运动，小球将做周期为T的往复运动，则( )
图10
A.小球做简谐运动
B.小球动能的变化周期为eq \f(T,2)
C.两根弹簧的总弹性势能的变化周期为T
D.小球的初速度为eq \f(v,2)时，其运动周期为2T
答案 B
解析 物体做简谐运动的条件是它在运动中所受回复力与位移成正比，且方向总是指向平衡位置，可知小球在杆中点到接触弹簧过程，所受合力为零，此过程做匀速直线运动，故小球不是做简谐运动，A错误；假设杆中点为O，小球向右压缩弹簧至最大压缩量时的位置为A，小球向左压缩弹簧至最大压缩量时的位置为B，可知小球做周期为T的往复运动，过程为O→A→O→B→O，根据对称性可知小球从O→A→O与O→B→O，这两个过程小球的动能变化完全一致，两根弹簧的总弹性势能的变化完全一致，故小球动能的变化周期为eq \f(T,2)，两根弹簧的总弹性势能的变化周期为eq \f(T,2)，B正确，C错误；小球的初速度为eq \f(v,2)时，可知小球在匀速运动阶段的时间变为原来的2倍，接触弹簧过程，根据弹簧振子周期公式T0＝2πeq \r(\f(m,k))，可知与弹簧接触过程所用时间与速度无关，即与弹簧接触过程时间保持不变，故小球的初速度为eq \f(v,2)时，其运动周期应小于2T，D错误。
11.(多选)(2022·浙江台州模拟)如图11所示，一个竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T型支架在竖直方向振动，T型支架下面系着一个弹簧和小球组成的振动系统，小球浸没在水中，当圆盘静止时，让小球在水中振动，其阻尼振动频率约为0.5 Hz。现使圆盘由静止开始缓慢加速转动，直至以1 s的周期匀速转动稳定下来，在此过程中，下列说法正确为( )
图11
A.圆盘静止和转动时，小球都是做受迫振动
B.最终稳定时小球的振动频率为1 Hz
C.小球的振幅先逐渐增大后又逐渐减小
D.圆盘缓慢加速转动时，以T型支架为参考系，小圆柱的运动可视为简谐运动
答案 BC
解析 振动系统在周期性驱动力作用下的振动叫受迫振动，圆盘静止时无周期性驱动力作用，不是受迫振动，A错误；小球稳定振动时的频率为f′＝eq \f(1,T′)＝eq \f(1,1) Hz＝1 Hz，故B正确；圆盘转速由零逐渐增大，转动的频率逐渐接近小球振动的固有频率，振幅增大，与固有频率相同时振幅最大；超过固有频率，转速继续增大，振幅减小，故先增大后减小，C正确；圆盘缓慢加速转动时，以T型支架为参考系，小圆柱运动到T型支架的中间位置时是非平衡状态，有加速度，不满足简谐运动的条件，D错误。
12.(多选)如图12甲是用力传感器对单摆做小角度摆动过程进行测量的装置图，图乙是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的F－t图像，其中F的最大值Fmax＝1.02 N。已知摆球质量m＝100 g，重力加速度g取9.8 m/s2，π2取9.8，不计摆线质量及空气阻力。下列说法正确的是( )
图12
A.单摆周期为0.8 s
B.单摆摆长为0.64 m
C.F的最小值Fmin＝0.96 N
D.若仅将摆球质量变为200 g，单摆周期不变
答案 BCD
解析 分析可知小球在最低点时摆线受到的拉力最大，在F－t图像上相邻的两次最大拉力的时间间隔刚好为单摆振动的半个周期，故T＝2(0.9－0.1)s＝1.6 s，选项A错误；根据单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))可知单摆做简谐振动的周期与摆球的质量无关，只与摆长和当地的重力加速度有关，选项D正确；由T＝2πeq \r(\f(l,g))得l＝eq \f(gT2,4π2)＝0.64 m，选项B正确；分析可知当摆球上升到最高点时对摆线的拉力最小，设此时摆线与竖直方向的夹角为θ，故Fmin＝mgcs θ，从最高点到最低点的过程中只有重力对摆球做功，摆球的机械能守恒，则有mgl(1－cs θ)＝eq \f(1,2)mv2，在最低点根据牛顿第二定律有Fmax－mg＝meq \f(v2,l)，根据上述表达式可得Fmin＝eq \f(3mg－Fmax,2)＝0.96 N，选项C正确。模型
弹簧振子
单摆
示意图
简谐运
动条件
(1)弹簧质量可忽略
(2)无摩擦等阻力
(3)在弹簧弹性限度内
(1)摆线为不可伸缩的轻细线
(2)无空气阻力等
(3)最大摆角小于等于5°
回复力
弹簧的弹力提供
摆球重力沿与摆线垂直方向(即切向)的分力
平衡位置
弹簧处于原长处
最低点
周期
与振幅无关
T＝2π eq \r(\f(l,g))
能量
转化
弹性势能与动能的相互转化，系统的机械能守恒
重力势能与动能的相互转化，机械能守恒
受力特征
回复力F＝－kx，F(或a)的大小与x的大小成正比，方向相反
运动特征
靠近平衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小
能量特征
振幅越大，能量越大。在运动过程中，动能和势能相互转化，系统的机械能守恒
周期性
特征
质点的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为eq \f(T,2)
对称性
特征
关于平衡位置O对称的两点，加速度的大小、速度的大小、动能、势能相等，相对平衡位置的位移大小相等
振动
项目
简谐运动
受迫振动
共振
受力情况
仅受回复力
受驱动力作用
受驱动力作用
振动周期或频率
由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0
由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱
T驱＝T0或f驱＝f0
振动能量
振动物体的机械能不变
由产生驱动力的物体提供
振动物体获得的能量最大
常见例子
弹簧振子或单摆(θ≤5°)
机械工作时底座发生的振动
共振筛、声音的共鸣等
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