人教版九年级数学中考常错易错题 第一讲 数与式、方程与不等式(组)
展开明确目标﹒定位考点
中考定位 实数、二次根式,最简二次根式、同类二次根式;代数式、整式;整式的混合运算;乘法公式;因式分解。一元一次方程、二元一次方程组和一元二次方程的解法及应用;不等式及不等式组的解法及其不等式的应用。一元一次方程、二元一次方程组和一元二次方程的解法及应用;不等式及不等式组的解法及其不等式的应用的相关错题及常错题。
归纳总结﹒思维升华
1、实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数
实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零),从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a与b互为相反数,则有a+b=0,a=—b,反之亦成立。
2、绝对值
一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离,|a|≥0。零的绝对值时它本身,也可看成它的相反数,若|a|=a,则a≥0;若|a|=-a,则a≤0。正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数,两个负数,绝对值大的反而小。
3、倒数
如果a与b互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
2、科学记数法和近似数
1、有效数字
一个近似数四舍五入到哪一位,就说它精确到哪一位,这时,从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字,都叫做这个数的有效数字。
2、科学记数法
把一个数写做的形式,其中,n是整数,这种记数法叫做科学记数法。
3、一元二次方程根的判别式
根的判别式
一元二次方程中,叫做一元二次方程的根的判别式,通常用“”来表示,即
4、一元二次方程根与系数的关系
如果方程的两个实数根是,那么,。也就是说,对于任何一个有实数根的一元二次方程,两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数;两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
5、分式方程
1、解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是:
(1)去分母,方程两边都乘以最简公分母
(2)解所得的整式方程
(3)验根:将所得的根代入最简公分母,若等于零,就是增根,应该舍去;若不等于零,就是原方程的根。
2、分式方程的特殊解法
换元法:换元法是中学数学中的一个重要的数学思想,其应用非常广泛,当分式方程具有某种特殊形式,一般的去分母不易解决时,可考虑用换元法。
6、不等式(组)
1、不等式的解集
对于一个含有未知数的不等式,任何一个适合这个不等式的未知数的值,都叫做这个不等式的解。
对于一个含有未知数的不等式,它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合,简称这个不等式的解集。
求不等式的解集的过程,叫做解不等式。
2、用数轴表示不等式的方法
易错点聚焦﹒题型突破
易错点一 考查绝对值,相反数,倒数等概念及科学计数法
【例1】(1)-等于( ).
A. B. C. D.
易错分析 负数的绝对值是它的相反数,在解题过程中容易忽视绝对值,利用负负得正,导致结果出错。
【变式训练1】的相反数是( )
A. B. C. D.
易错点二 科学记数法
【例2】今年五月份香港举办“保普选反暴力”大联盟大型签名行动,9天共收集超121万个签名,将121万用科学记数法表示为( )
A. 1.21×106 B. 12.1×105 C. 0.121×107 D. 1.21×105
易错分析 把一个大于10的数表示成a×10^n(^表示方)的形式(其中a必须是整数数位只有一位的数,n是正整数),这种记法我们叫做科学计数法。解题时处理万字时添零的个数易出错,还易把a写成整数位是零的小数。
【温馨提示】 在中考中以上属于送分题.对于这类题,一定要紧扣课本的概念,理清条理和思路,答题过程中细心即可.
【变式训练2】未来三年,国家将投入亿元用于缓解群众“看病难、看病贵”的问题.将亿元用科学记数法表示为( )
A.亿元 B.亿元 C.亿元 D.亿元
易错点三 根式的化简技巧
【例3】若都是实数,且,求的值
易错分析 考查二次根式有意义的条件,对于一般形如“”的式子,其值一定为,此时.
温馨提示 本例明为给出条件的代数式的求值,实质依然是考查二次根式有意义的条件,对于一般形如“”的式子,其值一定为,此时.
【变式训练3】 计算:.
易错分析 按完全平方公式展开,再相减,运算太繁杂,占用时间过长,且计算过程中易出错。
温馨提示 若按完全平方公式展开,再相减,运算繁杂,但逆用平方差公式,则能使运算简便得多.
易错点四. 常见的非负性
【例4】. 已知 ,求的值.
易错分析 乘法公式、多项式与多项式相乘以及合并同类项等知识点,“非负数的和为0,非负数都为0”这一重要结论,进而计算出a,b的值。公式多计算时很容易出错。
温馨提示 题目虽然简单,但考查的内容却是相当广泛,公式多,这样的题目,应该引起读者足够重视.
【变式训练4】已知直角三角形两边x,y 的长满足,求第三边的长.
温馨提示 本例主要考察了二次根式及绝对值的非负性,结合勾股定理的相关知识点,考查直角三角形边长的求法,题目难度不大,但容易忽略3为斜边的情况,从而产生漏解.
易错点五 一次方程的概念及其解法
【例5】关于的一元一次方程的解为____.
易错分析 题目中是有参变字母不确定,要对其做出合理的分类(如本例中的和且),做题时容易疏漏.
温馨提示 本例是典型的考查一元一次方程的概念的题目,对于这样一类考查概念性问题的题目,我们可以从两个方向把握:一是搞清所考查的概念的具体内容是什么,并应用该概念的限定条件,列出相关等式;二是要注意题目中是否有参变字母不确定,要对其做出合理的分类(如本例中的和且),慎防漏解.
【变式训练5】解下列方程(组):
(1); (2)
温馨提示 (1)①去分母时,方程两边同乘以各分母的最小公倍数,不要漏乘没有分母的项;②去分母后,分数线起到括号的作用,尤其是分式前是负号的项.(2)用代入消元法解方程组,也可以用加减消元法解决问题,解方程组要善于观察方程组的特点,灵活选用适当的方法,提高解题速度.
易错点六 含字母的方程、不等式的解法
【例6】.已知关于的方程的解为负数,则的取值范围是 .
易错分析 本题的参数去掉绝对值时,不用对参数范围进行讨论;最后在求k的取值范围时,要分组讨论。
【温馨提示】本题考查了含绝对值符号且含参数的一元一次方程的解法, 对于这类问题,一般的步骤是去掉绝对值,整理成含参数的方程,再讨论参数字母的可能情况,用参数表示未知数,最后再根据情况,确定参数的范围.但本题没有对参数范围进行讨论,读者想想是为什么?
【变式训练6】若不等式组的解集为,则不等式的解集为 .
易错点七 分式的概念、分式有意义的条件
【例7】.若,试判断是否有意义.
易错分析 在对等式左边进行整理合并时,不能够彻底的因式分解,就算因式分解后,容易得出结论两个都无意义。
【温馨提示】要判断是否有意义,须看其分母是否为零,由条件中等式左边因式分解,即可判断中至少有一个为0,从而可得出结论.
【变式训练7】若分式的值为零,则的值为( )
A. 0 B. 1 C. D.
【温馨提示】分式是0的条件中,应特别需要注意分母不能为0,这是常考知识点.分式的值是0的条件是:分子为0,分母不为0,由此条件解出.
易错点八 分式的化简求值
【例8】.已知,求的值.
易错分析 可利用设的手段,将三个字母统一用一个字母表示,使得复杂的问题变得简单明,做题时想不起来转化思想,本题会变得复杂难解。
【温馨提示】 本例是一道很经典的老题,题目中利用设的手段,使得复杂的问题变得简单明了,充分的体现了转化思想在数学学习中的重要性。
【变式训练8】.已知:,求的值.
【温馨提示】相信一定有一部分的读者,看见本例,头皮会发麻的,题目中出现了,这是一个让人纠结的问题,本例巧妙的利用“取倒”的手段,避开了四次方,达到了降次的目的,也使得计算量大大简化,这种处理方法值得读者借鉴。
易错点九 分式方程的解法
【例9】方程的解为( )
A. B. C. D.
易错分析 容易忽视分式方程分母有意义的条件
【温馨提示】 本题考点虽然比较简单,但在解题时容易忽视分式方程分母有意义的条件,所以分式方程要记得验根
【变式训练9】解方程:.
易错点十 一元二次方程根的判别式
【例10】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,则实数的取值范围是()
A.B.且 C. 且 D. 且
易错分析 考查一元二次方程根的判别式的,借助判别式求参数的范围,容易忽略二次项系数不为零的前提条件
【温馨提示】方程二次项系数中如果含有参数字母,首先要考虑方程是否为一元二次方程,是,才可以用判别式,不是,则不能用,这个应引起读者足够重视.
【变式训练10】一元二次方程总有实数根,则应满足的条件是( )
A. B. C. D.
易错点十一 一元二次方程根与系数关系
【例11】.已知是关于的一元二次方程:的两个解,若:, 则的值为( )
A. B. C. D.
易错分析 考查根与系数的关系以及多项式乘多项式法则。借助整体换元法将根与系数代入所求的方程中,而求出a值,容易忽略换元法的使用。
【温馨提示】此题考查了根与系数的关系,利用根与系数的关系表示出 m+n 与mn,已知等式左边利用多项式乘多项式法则变形,将m+n 与mn的值代入即可求出a 的值,熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键.
【变式训练11】是关于的一元二次方程的两个实数根,是否存在实数使
成立?则正确的结论是( )
A.时成立 B.时成立 C.或时成立 D.不存在
易错点十二 一元二次方程的综合运用
【例12】某工厂生产的某种产品按质量分为个档次,第档次(最低档次)的产品一天能生产件,每件利润元.每提高一个档次,每件利润增加元,但一天产量减少件.
(1)若生产第档次的产品一天的总利润为元(其中为正整数,且),求出关于的函数关系式;
(2)若生产第档次的产品一天的总利润为元,求该产品的质量档次.
易错分析 注意应该在自变量的取值范围内求最大值(或最小值),也就是说有条件限定的二次函数的最值不一定在时取得.
【温馨提示】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用.最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答,我们首先要吃透题意,确定变量,建立函数模型,然后结合实际选择最优方案.求最值问题时,有条件限定的二次函数的最值不一定在时取得.
【变式训练12】九年级数学兴趣小组经过市场调查,得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表:
已知该运动服的进价为每件60元,设售价为x元.
(1)请用含x的式子表示:
①销售该运动服每件的利润是 元;②月销量是 .件;(直接填写结果)
(2)设销量该运动服的月利润为y元,那么售价为多少时,当月的利润最大,最大利润是多少?
专题训练﹒对接中考
一、选择题
1. 的倒数是( )
A. B. C. D.
2.是指大气中直径米的颗粒物,将用科学记数法表示为( )
A.B.C.D.
3. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
4. 使不等式与同时成立的x的整数值是
A. 3,4 B. 4,5 C. 3,4,5 D. 不存在
5. 若关于x的方程有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题
6. 函数的自变量的取值范围是 .
7.分式方程的解是 .
8.使式子有意义的最小整数m是 .
三、解答题
9. 已知方程的两个根是和,求
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
10.某电器商场销售A,B两种型号计算器,两种计算器的进货价格分别为每台30元,40元. 商场销售5台A型号和1台B型号计算器,可获利润76元;销售6台A型号和3台B型号计算器,可获利润120元.
(1)求商场销售A,B两种型号计算器的销售价格分别是多少元?(利润=销售价格﹣进货价格)
(2)商场准备用不多于2500元的资金购进A,B两种型号计算器共70台,问最少需要购进A型号的计算器多少台?售价(元/件)
100
110
120
130
…
月销量(件)
200
180
160
140
…
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备战中考数学易错题精编 易错点02 方程(组)与不等式(组) (原卷版): 这是一份备战中考数学易错题精编 易错点02 方程(组)与不等式(组) (原卷版),共8页。试卷主要包含了解方程,移项正确的是等内容,欢迎下载使用。