高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示练习

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知识精讲
知识点01 平面向量加、减运算的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量eq \(AB,\s\up6(→))＝ ，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．
【即学即练1】 已知平面上三点的坐标分别为A(－2,1)，B(－1,3)，C(3,4)，求点D的坐标，使这四点为平行四边形的四个顶点．
反思感悟 坐标形式下向量相等的条件及其应用
(1)条件：相等向量的对应坐标相等．
(2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标．
知识点02 平面向量数乘运算的坐标表示
已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．
【即学即练2】已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c等于( )
A．(－23，－12) B．(23,12)
C．(7,0) D．(－7,0)
反思感悟 平面向量坐标运算的技巧
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行运算．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．
知识点03 平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.
则a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当 时，向量a，b(b≠0)共线．
【即学即练3】(多选)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是( )
A．a＝(－2,3)，b＝(4,6)
B．a＝(2,3)，b＝(3,2)
C．a＝(1，－2)，b＝(7,14)
D．a＝(－3,2)，b＝(6，－4)
反思感悟 向量共线的判定应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行判断，特别是利用向量共线的坐标表示进行判断时，要注意坐标之间的搭配．
能力拓展
考法01 向量加减的坐标运算
【典例1】．平面向量的坐标运算
已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______， SKIPIF 1 < 0 _________．
结论：两个向量和与差的坐标分别等于_______．
【变式训练】已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则点M的坐标为______.
考法02 向量数乘的坐标运算
【典例2】已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________.
【变式训练】设向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 同向”的充要条件是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
考法03 向量共线的坐标表示
【典例3】已知 SKIPIF 1 < 0
(1)当k为何值时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线？
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，且A，B，C三点共线，求m的值．
【变式训练】已知 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 三点共线B． SKIPIF 1 < 0 三点共线
C． SKIPIF 1 < 0 三点共线D． SKIPIF 1 < 0 三点共线
分层提分
题组A 基础过关练
1．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 的坐标为（ ）
A．（0，4，-11）B．（12，16，7）
C．（0，16，-7）D．（12，16，-7）
2．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数m的值为（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．如图，在平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），若 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．3C． SKIPIF 1 < 0 D．4
5．（多选）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线，则 SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为锐角
C． SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0 的最小值为1
6．（多选）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 （m， SKIPIF 1 < 0 ），则 SKIPIF 1 < 0 可能是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．在 SKIPIF 1 < 0 中，CA＝CB＝1， SKIPIF 1 < 0 ，若CM与线段AB交于点P，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，（ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ），且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为______．
8．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
9．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _____.
10．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最小值为_____．
11．已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 等于___________.
12．已知 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角为锐角，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
题组B 能力提升练
1．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是线段AB的中点，则 SKIPIF 1 < 0 点的坐标是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
B．若向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共线，则 SKIPIF 1 < 0
C．已知正方形ABCD的边长为1，若点M满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．若O是 SKIPIF 1 < 0 的外心， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0
3．（多选）如图，正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长为 SKIPIF 1 < 0 ，动点 SKIPIF 1 < 0 在正方形内部及边上运动， SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的有（ ）
A．点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上时， SKIPIF 1 < 0 为定值
B．点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上时， SKIPIF 1 < 0 为定值
C． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
D．使 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 点轨迹长度为 SKIPIF 1 < 0
4．已知向量 SKIPIF 1 < 0 在基底 SKIPIF 1 < 0 下的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在基底 SKIPIF 1 < 0 下的坐标为 SKIPIF 1 < 0 为________.
5．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________.
6． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
7．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________.
8．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的夹角为____________．
9．在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形 SKIPIF 1 < 0 （如图②）．己知正六边形的边长为1，点M满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________________；若点P是线段 SKIPIF 1 < 0 上的动点（包括端点），则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是________________．
图① 图②
10．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)当 SKIPIF 1 < 0 为何值时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 三点共线，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
题组C 培优拔尖练
1．在平面内，定点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，动点P，M满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和．现在对直角三角形 SKIPIF 1 < 0 按上述操作作图后，得如图所示的图形，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ____________．
5．设 SKIPIF 1 < 0 为不共线的向量，满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为________．
6．如图，在边长为 SKIPIF 1 < 0 的正方形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是边 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的两个动点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是______．
7．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，对于任意实数t，恒有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___， SKIPIF 1 < 0 的最小值为_______
8．如图，在△ABC中 SKIPIF 1 < 0 ，点E是CD的中点，AE与BC相交于F，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)用 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若在平面直角坐标系xOy中，已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 .
课程标准
课标解读
平面向量加、减运算的坐标表示，掌握平面向量数乘运算的坐标表示.
2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
3.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．
1、通过阅读课本在平面向量加减运算的基础上，掌握坐标系下的加减 与数乘运算，提升数学运算的核心素养.
2、熟练运用掌握向量的运算性质，提升对平面向量共线的坐标表示的理解与掌握，提升数学核心素养.
3、会利用坐标法，理解和掌握两个向量是否共线的判断.
数学公式
文字语言表述
向量加法
a＋b＝
两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
向量减法
a－b＝
两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差