河南省新乡市红旗区新乡市第一中学2023-2024学年九年级上学期11月期中数学试题

这是一份河南省新乡市红旗区新乡市第一中学2023-2024学年九年级上学期11月期中数学试题，共12页。试卷主要包含了方程，已知经过点等内容，欢迎下载使用。

命题人：娄立 审题人：段新花
分值：120分 时间：100分钟
一．选择题（每小题3分，共30分）下列各项均有四个答案，其中只有一个是正确的。
1．下列四幅作品分别代表“清明”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．方程（x﹣2）（x+3）＝0的解是（ ）
A．x＝2B．x＝﹣3
C．x1＝2，x2＝3D．x1＝2，x2＝﹣3
3．下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A．y＝3x﹣1B．y＝C．y＝3x2+x﹣1D．y＝2x3﹣1
4．已知⊙O的半径为6，点A为平面内一点，OA＝8，那么点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在⊙O内B．点A在⊙O外C．点A在⊙O上D．无法确定
5．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ）
A．﹣9B．C．D．9
6．如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形（长60米，宽40米）场地，被3条宽度相等的绿化带分为总面积为1750平方米的活动场所，如果设绿化带的宽度为x米，由题意可列方程为（ ）
A．（60﹣x）（40﹣x）＝1750B．（60﹣2x）（40﹣x）＝1750
C．（60﹣2x）（40﹣x）＝2400D．（60﹣x）（40﹣2x）＝1750
7．将抛物线y＝x2+2先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的新抛物线的解析式（ ）
A．y＝（x﹣1）2+4B．y＝（x+1）2+4
C．y＝（x﹣2）2+1D．y＝（x+2）2+1
8．若一个三角形的三边长为6，8，10，则这个三角形外接圆的半径是（ ）
A．3B．4C．5D．6
9．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，连接AO并延长，交⊙O于点E，连接BE，DE．若DE＝3DO，AB＝5，则△ODE的面积为（ ）
A．B．C．D．
10．已知经过点（﹣1，0）且对称轴为x＝1的二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0；⑤3a+c＜0．其中正确结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题（每小题3分，共15分）
11．已知x＝2是一元二次方程x2﹣mx+2＝0的一个根，则另一个根是 ．
12．抛物线y＝ax2+bx+c的函数图象如图所示，写出y＜0时x的取值范围 ．
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 ．
14．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（1，0）、点B（3，0），与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当CD∥x轴时，CD＝ ．
15．如图，在△ABC中，AB＝10，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为 ．
三．解答题（共75分）
16．（10分）解方程：
（1）x2+8x﹣9＝0（用配方法）； （2）x（x﹣1）+3（x﹣1）＝0．
17．（8分）如图，AB为⊙O的直径，如果圆上的点D恰使∠ADC＝∠B，求证：直线CD与⊙O相切．
18．（9分）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在小正方形的格点上．
（1）将△ABC向下平移3个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点C顺时针旋转90度得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；
（3）在（2）的运动过程中请计算出△ABC扫过的面积．
19．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，BD＝CE．过A，D，E三点作⊙O，连接AO并延长，交BC于点F．
（1）求证AF⊥BC；
（2）若AB＝10，BC＝12，BD＝2，求⊙O的半径长．
20．（9分）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M，N分别是斜边DE，AB的中点，DE＝2，AB＝4．
（1）将△CDE绕顶点C旋转一周，请直接写出点M，N距离的最大值和最小值；
（2）将△CDE绕顶点C逆时针旋转120°（如图2），求MN的长．
21．（9分）杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．
（1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；
（2）经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？
22．（10分）天水某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
23．（11分）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，点B的坐标为（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，点P是x轴上一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若点P在线段AO上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形ABCN面积的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（每小题3分，共30分）
1．D．2．D．3．C．4．B．5．C．6．B．7．D．8．C．9．A．10．B．
二．填空题（每小题3分，共15分）
11．1．12．﹣1＜x＜3．13．（2，1）．14．415．25．
三．解答题（75分）
16．（10分）
解：（1）x2+8x﹣9＝0，
x2+8x＝9，
x2+8x+16＝9+16，即（x+4）2＝25，
∴x+4＝±5，
∴x1＝﹣9，x2＝1；
（2）x（x﹣1）+3（x﹣1）＝0，
（x+3）（x﹣1）＝0，
∴x+3＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝1．
17．（8分）证明：如图，连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ODA，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠ADC＝∠B，
∴∠ODA+∠ADC＝90°，
即∠CDO＝90°，
∴CD⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴直线CD与⊙O相切．
18．（9分）解：（1）△A1B1C1如图所示；
（2）△A2B2C2如图所示；
（3）＝，
∵AC＝，
∴＝＝，
∴在（2）的运动过程中△ABC扫过的面积＝＝+．
19．（9分）（1）证明：连接AD，AE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，
∴，
∴AF⊥BC；
（2）解：∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴BF＝CF＝BC＝6，
∴AF＝＝＝8，
∵BD＝2，
∴DF＝4，
连接OD，设DO＝AO＝x，
∴OF＝AF﹣x＝8﹣x，
∵OD2＝OF2+DF2，
∴x2＝（8﹣x）2+42，
∴x＝5，
∴⊙O的半径长为5．
20．（9分）解：（1）以C为圆心，CM长为半径画圆，连接CN交DE于M1，延长NC交圆于M2，
∵△ACB是等腰直角三角形，N是AB中点，
∴CN平分∠ACB，CN＝AB＝×4＝2，
∵△DCE是等腰直角三角形，
∴M1是DE中点，
∴CM1＝DE＝×2＝1，
∴M、N距离的最小值是NM1＝CN﹣CM1＝2﹣1＝1，M、N距离的最大值是NM2＝CN+CM2＝2+1＝3．
（2）连接CM，CN，作NH⊥MC交MC延长线于H，
∵△ACB是等腰直角三角形，N是AB中点，
∴CN＝AB＝2，
同理：CM＝DE＝1，
∵△CDE绕顶点C逆时针旋转120°，
∴∠MCN＝120°，
∴∠NCH＝180°﹣∠MCN＝60°，
∴CH＝CN＝1，
∴NH＝CH＝，
∵MH＝MC+CH＝2，
∴MN＝＝．
21．（9分）解：（1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为m，则6月份的销售量为256（1+m）2，
根据题意得：256（1+m）2＝400，
解得：m1＝0.25＝25%，m2＝﹣2.25（不符合题意，舍去），
答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为25%；
（2）设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为（y﹣35）元，月销售量为400+20（58﹣y）＝（1560﹣20y）（件），
根据题意得：（y﹣35）（1560﹣20y）＝8400，
整理得：y2﹣113y+3150＝0，
解得：y1＝50，y2＝63（不符合题意，舍去），
答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元．
22．（10分）解：（1）设y与x的函数解析式为y＝kx+b，
将（10，30）、（16，24）代入，得：，
解得：，
所以y与x的函数解析式为y＝﹣x+40（10≤x≤16）；
（2）根据题意知，W＝（x﹣10）y
＝（x﹣10）（﹣x+40）
＝﹣x2+50x﹣400
＝﹣（x﹣25）2+225，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＜25时，W随x的增大而增大，
∵10≤x≤16，
∴当x＝16时，W取得最大值，最大值为144，
答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．
23．（11分）解：（1）∵抛物线对称轴是直线x＝﹣1，点B的坐标为（1，0），
∴点A的坐标为（﹣3，0），
∴二次函数解析式为y＝（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3；
（2）连接ON，如图：
设P（m，0），则N（m，m2+2m﹣3），
在y＝x2+2x﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴OC＝3，
∴S四边形ABCN＝S△AON+S△BOC+S△CON
＝×3（﹣m2﹣2m+3）+×1×3+×3（﹣m）
＝﹣m2﹣m+6
＝﹣（m+）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝﹣时，S四边形ABCN取最大值，
此时P（﹣，0）；
∴四边形ABCN面积的最大值是，此时点P的坐标为（﹣，0）；
（3）在y轴上存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形，理由如下：
由A（﹣3，0），C（0，﹣3）得直线AC解析式为y＝﹣x﹣3，
设Q（0，t），P（n，0），则M（n，﹣n﹣3），N（n，n2+2n﹣3），
∵MN∥CQ，
∴当M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形时，MN，CQ是一组对边；
①当MC，NQ为对角线时，MC，NQ的中点重合，且CN＝CQ，
∴，
解得（此时M，N与C重合，舍去）或；
∴Q（0，﹣1）；
②当MQ，CN为对角线时，MQ，CN的中点重合，且CQ＝CM，
∴，
解得（舍去）或或，
∴Q（0，﹣1﹣3）或（0，﹣1+3）；
综上所述，Q的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣1﹣3）或（0，﹣1+3）．
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