5.江苏省镇江市丹阳市2022-2023学年高一下学期5月质量检测数学试题

这是一份5.江苏省镇江市丹阳市2022-2023学年高一下学期5月质量检测数学试题，共12页。

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知为虚数单位，若，则（ ）
A．1B．C．D．
2．已知，，，若，则（ ）
A．1B．5C．8D．11
3．若向量，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正4576边形，求出圆周率约为，和真正的值相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才给打破.若已知的近似值还可以表示成，则的值为（ ）
A．B．C．8D．
5．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法中错误的是（ ）
A．若平面，，，则B．若，，，则
C．若，，则D．若，，则
6．已知中，角，，的对边分别为，，，的面积为，，，，则（ ）
A．或B．C．D．
7．在长方体中，已知，，为的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．在三角形中，，，，若点满足，则（ ）
A．4B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．关于复数的命题正确的有（ ）
A．若复数，则
B．若复数为纯虚数，则
C．若，则的最小值为1
D．若，则
10．下列关于平面向量的说法中，正确的是（ ）
A．对于任意向量、，有恒成立
B．若平面向量，满足，则的最大值是5
C．若向量，为单位向量，，则向量与向量的夹角为
D．若非零向量，满足，且，不共线，则
11．已知，，其中，则（ ）
A．B．
C．D．
12．如图，在正方体中，，分别为线段，的中点，在棱上.则下列命题正确的是（ ）

A．直线直线
B．直线平面
C．直线平面
D．设直线与直线所成的角为，则
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
13．若复数（其中为虚数单位）在复平面内对应的点位于第三象限，则实数的取值范围是 .
14．中国古典神话故事《白蛇传》中“水漫金山寺”中的金山寺位于镇江金山公园内，唐宋时期，寺里有南北相向的两座宝塔，一名荐慈塔，一名荐寿塔，后双塔毁于火，明代重建该塔，当年值逢慈禧60大寿，地方官员以此塔作为贺礼进贡，故取名慈寿塔.某校高一研究性学习小组为了实地测量该塔的高度，选取与塔底中心在同一个水平面内的两个测量基点与，在点测得：塔顶的仰角为，在的北偏东处，在的正东方向41米处，且在点测得与的张角为，则慈寿塔的高度约为 米（四舍五入，保留整数）.

15．在边长为2的正方体中，是的中点，那么过点、、的截面图形为 （在“三角形、矩形、正方形、菱形”中选择一个）；截面图形的面积为 .
16．已知，，，则的值为 .
四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
17．已知函数.
(1)求的单调递增区间；
(2)若，求的值.
18．已知，，其中，均为锐角.
(1)求的值；
(2)求的值.
19．如图，和都垂直于平面，且，是的中点

(1)证明：直线//平面；
(2)若平面平面，证明：直线平面.
20．条件①；②；③（其中为的外接圆半径）.在这三个条件中任选一个，补充到下面横线上，并解答.
在中，内角，，的对边分别为，，，且满足__________.
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的最大值.（注：若选择多个条件分别解答，则按第一个计分）
21．如图，在正方形中，，分别是，的中点，为的中点，若沿，及把这个正方形折成一个四面体，使，，三点重合，重合后的点记为.

(1)在四面体中，请写出不少于3对两两垂直的平面，并证明其中的一对；
(2)若正方形的边长为4，求点到平面的距离.
22．已知的内角，，的对边分别记为，，，且.
(1)证明：；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围.
1．B
2．D
3．C
4．C
5．D
6．B
7．B
8．D
9．AC
10．ABD
11．ACD
12．BCD
13．
14．
15． 菱形
16．
17．(1)，
(2)
【详解】（1）因为
，
由，，解得，，
故的单调递增区间为，.
（2）因为，
所以，所以，
所以
.
18．(1)
(2)
【详解】（1）因为且为锐角，
所以，所以，
所以.
（2）因为、均为锐角，
所以，又，所以，
又且，
解得，（负值舍去），
所以
.
19．(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）证明：取中点，连接，，
因为为的中点，所以，，
因为，均垂直面，所以，
因为，所以且，
所以为平行四边形，
所以，面，面，
所以面．
（2）如图，过作于，
平面平面，且两平面的交线为,平面,
平面，
由平面，．
平面，平面，，
又平面，
平面．
.
20．(1)
(2)
【详解】（1）若选①，因为，
由正弦定理可得，
因为，
可得，
可得，
又为三角形内角，，
所以，
可得，
因为，
可得，
所以，
可得；
若选②，因为，
由正弦定理可得，
可得，
又为三角形内角，，
可得，
因为，
所以；
若选③，因为（其中为的外接圆半径），
又由正弦定理可得，
所以，
可得，
又为三角形内角，，
所以，
因为，
所以．
（2）因为，，
所以余弦定理可得，
可得，当且仅当时取等号，
所以的面积，当且仅当时，等号成立，
所以面积的最大值为．
21．(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）依题意可得平面平面，平面平面，平面平面．
证明如下：
在折前正方形中，
，，
折成四面体后，，，
又，平面，平面．
平面，平面，
平面平面；
因为平面，平面平面；
又令正方体的边长为，则，，
所以，所以，，平面，
所以，因为平面，所以平面平面.

（2）若正方形的边长为，则，，
，
所以，
由（1）可知平面，所以，
设点到平面的距离为，又，
所以，即，解得．
22．(1)见解析
(2)
【详解】（1）由正弦定理可得：，
，即，
，所以，
即
∵，∴，即；
（2）∵A＝2C，∴，
∵为锐角三角形，所以,∴，
由正弦定理得，
因为，所以
，
令，则，，
所以函数在上单调递增，
当时，，
当时，.
故的取值范围为.