2023-2024学年河北省沧州市高一上学期11月期中考试数学试题(含解析）

这是一份2023-2024学年河北省沧州市高一上学期11月期中考试数学试题(含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合U=0,1,2,3,4,5,6，M=0,1,2,5，N=2,3,6，则M∩∁UN=( )
A. 2B. 1,5C. 0,1,5D. 0,1,4,5
2.已知命题p：∃x0∈2,+∞，12x0+32>2，则命题p的否定为
( )
A. ∃x0∈2,+∞，12x0+32≤2B. ∀x∈2,+∞，12x+32≤2
C. ∃x0∈−∞,2,12x0+32≤2D. ∀x∈−∞,2,12x+32≤2
3.函数y=1x−3+ −x2+9的定义域是
( )
A. −3,3B. −∞,−3∪3,+∞
C. −3,3D. −∞,−3∪3,+∞
4.函数fx=4xx2+1的图象大致为
( )
A. B.
C. D.
5.已知函数fx=x3+x+1x+6在区间m,n上的最小值为9，则函数fx在区间−n,−m上的最大值为
( )
A. −6B. −3C. 3D. 6
6.已知函数y=f3x−2的定义域是−1,13，则函数y=fx−1的定义域是
( )
A. 13,79B. −5,−1C. −2,−23D. −4,0
7.已知关于x的方程x2−a−2x+a=0，则下列结论中正确的是
( )
A. 当a=1时，方程的两个实数根之和为−1
B. 方程无实数根的充分不必要条件是2C. 方程有两个正根的充要条件是a>2
D. 方程有一个正根一个负根的充要条件是a<4−2 3
8.已知函数fx对任意的x∈R都有fx+8+fx=4f4，若y=fx+2的图象关于点−2,0对称，且f3=3，则f43=( )
A. 0B. −3C. 3D. 4
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列各组函数中，两个函数是同一函数的有( )
A. fx= x2与gx=5x5B. fx=x3+1x+1与gx=x2−x+1
C. fx=x2x与gx=x,x>0,−x,x<0D. ft=45t+9与gs=45s+9
10.下列命题中，不正确的有( )
A. 若a>0>b，则ac2>bc2B. 若a>b，c>d，则ac>bd
C. 若a>b，且c<0，则ac11.下列命题中正确的是( )
A. 函数y=9+12x−4x2在3,+∞上单调递减
B. 函数y=11−x在−∞,1∪1,+∞上是增函数
C. 函数y= 8+2x−x2在−∞,1上单调递增
D. 已知fx是定义在R上的减函数，若a>b，则fa+f−b12.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为x−2( )
A. a<0
B. b+c=13
C. 4a+3b+5c>0
D. 不等式cx2−bx+a<0的解集为x−15三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.若幂函数fx=m2−9m+19xm−4在0,+∞上单调递增，则实数m=______．
14.函数fx=2x− x−1−2的值域是______．
15.已知f(x)=12x2+mx+10,x≤25m−x−3,x>2是R上的减函数，则实数m的取值范围是______．
16.若存在x∈1,2，使得不等式x2−a−4x+3>0成立，则实数a的取值范围是______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
已知集合P=x−118.(本小题12分)
已知x>0，y>0，且2x+y=1．
(1)求xy的最大值；
(2)若1x+2y≥m2−2m恒成立，求实数m的取值范围．
19.(本小题12分)
已知函数fx=x+b−1ax2+1是定义在区间−1,1上的奇函数，且f12=25．
(1)求函数fx的解析式；
(2)判断函数fx在区间−1,1上的单调性，并用函数单调性的定义证明．
20.(本小题12分)
设fx=ax2+2a−1x+a．
(1)若不等式fx≥−1对于任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围；
(2)解关于x的不等式fx21.(本小题12分)
目前，治理海洋污染已经成为环境保护的重要一环，我国在解决污水排放的问题上，投入了大量的人力物力.某企业为响应号召决定开发生产一款大型污水处理设备.生产这款设备的年固定成本为800万元，每生产x台(x∈N+)需要另投入成本tx(万元)，当年产量x不足100台时，tx=14x2+40x−450(万元)；当年产量x不少于100台时，tx=81x+11025x+1−2589(万元).若每台设备的售价为80万元，经过市场分析，该企业生产的污水处理设备能全部售完．
(1)求年利润y(万元)关于年产量x(台)的函数关系式；
(2)当年产量x为多少台时，该企业在这款污水处理设备的生产中获利最大?最大利润是多少万元?
22.(本小题12分)
已知函数fx的定义域为D=xx≠0，且满足对任意x1，x2∈D，有fx1x2=fx1+fx2．
(1)求f1，f−1的值；
(2)判断函数fx的奇偶性并证明你的结论；
(3)当0答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】应用集合的交补运算求集合．
解：由题设∁UN={0,1,4,5}，则M∩∁UN={0,1,5}．
故选：C
2.【答案】B
【解析】【分析】由特称命题的否定：存在改任意并否定原结论，即可得答案．
解：由特称命题的否定为全称命题，故原命题的否定为∀x∈2,+∞，12x+32≤2．
故选：B
3.【答案】A
【解析】【分析】按定义域的定义计算即可
解：由题有x−3≠0x2≤9
故−3≤x<3
故选：A
4.【答案】A
【解析】【分析】根据奇偶性定义判断f(x)奇偶性，结合f1=2>0，应用排除法确定图象．
解：由函数定义域为R，且f−x=−4x(−x)2+1=−4xx2+1=−f(x)，
所以f(x)为奇函数，排除C、D；
由f1=41+1=2>0，排除B．
故选：A
5.【答案】C
【解析】【分析】构造函数ℎx=fx−6，易知ℎx为奇函数，根据已知条件确定在m,n上的最小值为9，再根据奇函数的性质判断ℎx在−n,−m上的最大值，最终确定函数fx在区间−n,−m上的最大值．
解：由题可设，ℎx=fx−6=x3+x+1x，其定义域为−∞,0∪0,+∞，
易知：ℎ−x=−x3−x−1x=−ℎx，则ℎx=fx−6为奇函数，
又因为函数fx在区间m,n上的最小值为9．
则ℎx在区间m,n上的最小值为3
由奇函数对称区间上的单调性相同：故ℎx在区间−n,−m上的最大值为−3．
所以fx在区间−n,−m上的最大值为3．
故选：C
6.【答案】D
【解析】【分析】由已知得−5≤3x−2≤−1，根据抽象函数定义域有−5≤x−1≤−1，即可求y=fx−1的定义域．
解：由x∈−1,13，则−5≤3x−2≤−1，
令−5≤x−1≤−1⇒−4≤x≤0，
故函数y=fx−1的定义域是−4,0．
故选：D
7.【答案】B
【解析】【分析】由x2+x+1=(x+12)2+34>0判断A；利用方程对应函数的性质列不等式组求参数范围，结合充分、必要性定义判断B、C、D．
解：A：由题设x2+x+1=(x+12)2+34=0，显然无解，错；
B：若方程无实根，则Δ=(a−2)2−4a<0，即a2−8a+4<0⇔4−2 3所以2C：令f(x)=x2−a−2x+a，要使方程有两个正根，
所以a−22>0f0=a>0Δ=a−22−4a>0，可得a>4+2 3，故a>2不是充要条件，错；
D：同C分析，f0=a<0Δ=a−22−4a>0，可得a<0，故a<4−2 3不是充要条件，错．
故选：B
8.【答案】B
【解析】【分析】根据题设得到y=fx是周期为16的奇函数为关键．
由题设易知y=fx关于原点对称，将x=−4代入条件得f−4+8+f−4=4f4，结合奇函数性质得f(4)=0，即fx+8+fx=0，进而推出y=fx是周期为16的奇函数，利用周期性、奇函数性质求函数值．
解：由y=fx+2的图象关于点−2,0对称，则y=fx关于原点对称，
故f(−x)=−f(x)又，f3=3，则f−3=−3，
由fx+8+fx=4f4，则f−4+8+f−4=4f4，
所以f4−f4=4f4⇒f(4)=0，故fx+8+fx=0，
所以fx+8−f−x=0⇒f(−x)=f(x+8)，即f(x+8)=−f(x)，
则f(x+16)=−f(x+8)=f(x)，
综上，y=fx是周期为16的奇函数，
所以f43=f(48−5)=f(−5)=−f(5)，而f−3+8+f−3=0⇒f(5)=f(3)=3，
所以f43=−3．
故选：B
9.【答案】CD
【解析】【分析】根据同一函数的对应法则、定义域都相同判断各项是否符合要求即可．
解：A：fx= x2=|x|，gx=5x5=x，即对应法则不同，不符合；
B：fx=x3+1x+1=x2−x+1定义域为{x|x≠−1}，而gx=x2−x+1定义域为R，不为同一函数，不符合；
C：fx=x2x=x,x>0−x,x<0与gx=x,x>0−x,x<0定义域和对应法则都相同，符合；
D：ft=45t+9与gs=45s+9定义域和对应法则都相同，符合．
故选：CD
10.【答案】ABD
【解析】【分析】令c=0判断A；令a=1,b=−2,c=1,d=−2判断B；由不等式性质判断C；令n=2，且a=−2,b=1判断D．
解：A：当c=0时，则有ac2=bc2，错；
B：当a=1,b=−2,c=1,d=−2，则有acC：由不等式性质，a>b且c<0，则acD：当n=2，且a=−2,b=1时，则有an>bn，错．
故选：ABD
11.【答案】AD
【解析】【分析】根据二次函数的单调性判断A，根据特值判断B，根据函数定义域判断C，根据函数的单调性及同向不等式的性质判断D．
解：因为函数y=9+12x−4x2的对称轴为x=32，开口向下，故函数在3,+∞上单调递减， A正确；
函数y=11−x=−1x−1在−∞,1,1,+∞上单调递增，但在−∞,1∪1,+∞上不单调递增，例如，0<2，但f(0)=1>f(2)=−1，故 B错误；
函数y= 8+2x−x2要有意义，则−x2+2x+8≥0，解得−2≤x≤4，即函数定义域为[−2,4]，故在−∞,1上单调递增错误，故 C错误；
fx是定义在R上的减函数，若a>b中，则f(a)−a，( )
所以f(−b)故选：AD
12.【答案】ACD
【解析】【分析】根据不等式解集与对应方程根的关系求出a,b,c的关系，即可判断A,B,C，根据一元二次不等式解法即可判断D．
解：因为x的不等式ax2+bx+c>0的解集为x−2所以a<0，故A正确；
因为ax2+bx+c=0的两个根是−2,5
所以b=−3a，c=−10a，
所以b+c=−13a，故B错误；
4a+3b+5c=−55a>0，故C正确；
将b=−3a，c=−10a代入cx2−bx+a<0得−10ax2+3ax+a<0，
因为a<0，得10x2−3x−1<0，
解得：−15故选：ACD．
13.【答案】6
【解析】【分析】根据幂函数定义及性质求解即可．
解：由函数为幂函数可知，m2−9m+19=1，
解得m=3或m=6，
因为幂函数fx=m2−9m+19xm−4在0,+∞上单调递增，
所以m−4>0，即m>4，
所以m=6．
故答案为：6
14.【答案】[−18,+∞)
【解析】【分析】令t= x−1≥0，有fx=g(t)=2(t−14)2−18，结合二次函数性质求值域．
解：由题设fx=2x− x−1−2，令t= x−1≥0，
则fx=g(t)=2t2−t=2(t−14)2−18，开口向上，故值域为[−18,+∞)．
故答案为：[−18,+∞)
15.【答案】−4≤m≤−2
【解析】【分析】由f(x)是R上的减函数，及二次函数性质得m≤−2，进而判断y=−5mx+3在(2,+∞)上单调性，最后保证12×22+2m+10≥−5m2+3，即可求参数范围．
解：由y=12x2+mx+10=12(x+m)2+10−m22，开口向上且对称轴为x=−m，
所以函数在(−∞,−m)上递减，(−m,+∞)上递增，
又f(x)是R上的减函数，则−m≥2，即m≤−2，所以y=−5mx+3在(2,+∞)上递减，
另需12×22+2m+10≥−5m2+3=−m，即m≥−4即可，
综上，−4≤m≤−2．
故答案为：−4≤m≤−2
16.【答案】a<8
【解析】【分析】分离参数后，根据不等式能成立，转化为利用对勾函数求函数的最大值即可．
解：存在x∈1,2，使得不等式x2−a−4x+3>0成立，
则存在x∈1,2，使a即x∈1,2时，a令g(x)=x+3x+4，x∈1,2，
由对勾函数性质知，g(x)在[1, 3]上单调递减，在[ 3,2]上单调递增，
又g(1)=8,g(2)=6+32=152，所以g(x)max=8，
故a<8，
故答案为：a<8
17.【答案】解：由Q⊆P，
当Q=⌀，则2m−1≥3m−2⇒m≤1，满足题设；
当Q≠⌀，则3m−2>2m−12m−1≥−13m−2≤3⇒m>1m≥0m≤53⇒1综上，m≤53．

【解析】【分析】由集合的包含关系，讨论Q=⌀、Q≠⌀列不等式求参数范围．
18.【答案】解：(1)
由题设xy>0，而2x+y=1≥2 2xy，即xy≤18，
当且仅当x=14,y=12时，等号成立，
所以xy的最大值为18．
(2)
由1x+2y=(1x+2y)(2x+y)=4+yx+4xy≥4+2 yx⋅4xy=8，
当且仅当x=14,y=12时等号成立，故1x+2y最小值为8，
又1x+2y≥m2−2m恒成立，即m2−2m≤8⇒m2−2m−8=(m+2)(m−4)≤0，
所以−2≤m≤4．

【解析】【分析】(1)应用基本不等式得2x+y=1≥2 2xy，进而有xy≤18，注意等号成立条件，即可得最大值；
(2)应用基本不等式“1”的代换求左侧的最小值，根据恒成立有(1x+2y)min≥m2−2m，再解一元二次不等式求参数范围．
19.【答案】解：(1)
函数fx=x+b−1ax2+1是定义在区间−1,1上的奇函数，
所以f(0)=b−11=0，解得b=1，
由f12=12a4+1=25，解得a=1，
所以f(x)=xx2+1，
此时f(−x)=−x(−x)2+1=−xx2+1=−f(x)，满足f(x)为奇函数，
故f(x)=xx2+1．
(2)
函数f(x)在−1,1上单调递增，证明如下：
设任意x1,x2∈[−1,1]，且x1则f(x2)−f(x1)=x2x22+1−x1x12+1=x2x12+x2−x1x22−x1x22+1x12+1=x2−x11−x1x2x22+1x12+1，
∵x1,x2∈[−1,1]，且x1∴x1x2<1，即0<1−x1x2，x2−x1>0，又x22+1>0，x12+1>0，
所以f(x2)−f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，
所以函数f(x)在−1,1上单调递增．

【解析】【分析】(1)根据奇函数的性质及函数所过点求解；
(2)判断函数的单调性，利用定义证明即可．
20.【答案】解：(1)
由题设ax2+2a−1x+a≥−1，即ax2+2a−1x+a+1≥0对任意x∈R恒成立，
当a=0，则ax2+2a−1x+a+1=1−x≥0，显然对任意x∈R不恒成立；
当a≠0，则a>0Δ=2a−12−4aa+1≤0，即a>01−8a≤0，故a≥18；
综上，a≥18．
(2)
由fx0，
所以(x+2)(x−1a)>0，显然1a<0，
当1a≥−2，即a≤−12时，解得x>1a或x<−2，解集为(−∞,−2)∪(1a,+∞)；
当1a<−2，即0>a>−12时，解得x<1a或x>−2，解集为(−∞,1a)∪(−2,+∞)．

【解析】【分析】(1)由题设，将问题化为ax2+2a−1x+a+1≥0对任意x∈R恒成立，讨论a=0、a≠0，结合二次函数性质求参数范围；
(2)由题设可得x2+2−1ax−2a>0，讨论1a≥−2、1a<−2求对应解集即可．
21.【答案】解：(1)
y=80x−tx+800，故y=80x−800−(14x2+40x−450),0故y=fx=−14x2+40x−350,0(2)
当0fx取得最大值1250，
当x≥100时，fx=−x−11025x+1+1789=−(x+1)+11025x+1+1790≤−2 (x+1)×11025x+1+1790=1480
当且仅当11025x+1=x+1时，即x=104时取等，此时fx取得最大值1480
综上年产104台时，利润最大，为1480万元

【解析】【分析】(1)依据题意列出函数关系式，(2)利用合适的方式分段求最值即可．
22.【答案】
解：(1)
令x1=x2=1，则f1×1=f1+f1⇒f(1)=2f(1)⇒f(1)=0，
令x1=x2=−1，则f[(−1)×(−1)]=f−1+f−1⇒f(1)=2f(−1)⇒f(−1)=0．
(2)
fx为偶函数，证明如下：
令x1=x,x2=−1，则f−x=fx+f−1=f(x)，又函数定义域为D=xx≠0，
所以fx为偶函数．
(3)
令x1>x2>0，则f(x2)=f(x1⋅x2x1)=f(x1)+f(x2x1)，且0所以f(x2)−f(x1)=f(x2x1)<0，即f(x2)故fx在(0,+∞)上递增，又fx为偶函数，则在(−∞,0)上递减，
由f2x−1所以不等式解集为(−32,52)．

【解析】
【分析】(1)令x1=x2=1求f(1)，令x1=x2=−1求f(−1)；
(2)令x1=x,x2=−1，结合已知及奇偶性定义判断fx奇偶性；
(3)令x1>x2>0有f(x2)=f(x1)+f(x2x1)，移项并结合已知确定(0,+∞)上单调性，应用偶函数对称性判断(−∞,0)单调性，应用偶函数的单调性求不等式解集．