【学考复习】2024年高中数学学业水平（新教材专用） 02第二章 一元二次函数、方程和不等式-讲义

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知识梳理TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc21066" PAGEREF _Tc21066 \h 1
考点精讲精练 \l "_Tc24496" PAGEREF _Tc24496 \h 3
\l "_Tc31370" 考点一：等式性质与不等式性质 PAGEREF _Tc31370 \h 3
\l "_Tc21003" 考点二：基本不等式 PAGEREF _Tc21003 \h 5
\l "_Tc16329" 考点三：二次函数与一元二次方程、不等式 PAGEREF _Tc16329 \h 6
\l "_Tc3181" 一元二次函数、方程和不等式实战训练 PAGEREF _Tc3181 \h 7
1、不等式的概念
在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式.
2、实数大小的比较
1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对.
2、作差法比大小：①；②；③
3、不等式的性质
4、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）
①如果，，，当且仅当时，等号成立．
②其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数．
5、两个重要的不等式
①（）当且仅当时，等号成立．
②（）当且仅当时，等号成立．
6、利用基本不等式求最值
①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值；
②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值；
7、二次函数
（1）形式：形如的函数叫做二次函数.
（2）特点：
①函数的图象与轴交点的横坐标是方程的实根.
②当且()时，恒有()；当且()时，恒有().
8、一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.
9.或型不等式的解集
10、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
考点一：等式性质与不等式性质
真题讲解
例题1．（2023春·湖南·高二统考学业考试）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，，则
例题2．（2023春·河北·高三统考学业考试）下列不等式：
①；
②；
③；
④
其中恒成立的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
例题3．（2023春·河北·高三统考学业考试）已知，，分别求
(1)
(2)
(3)的取值范围.
例题4．（2023春·河北·高三统考学业考试）设为实数，比较与的值的大小.
真题演练
1．（2023·安徽·高二马鞍山二中校考学业考试）若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·河北·高三学业考试）“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（多选）（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）已知非零实数，满足，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·上海·高三统考学业考试）设，，则s与t的大小关系是 .
考点二：基本不等式
真题讲解
例题1．（2023春·湖南·高二统考学业考试）已知，则的最大值为（ ）
A．B．1C．D．2
例题2．（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）已知正数a，b满足，则最小值为（ ）
A．25B．C．26D．19
例题3．（2023·浙江温州·高二统考学业考试）已知正数，满足，则的最小值为 ．
例题4．（2023·安徽·高二马鞍山二中校考学业考试）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 ．
例题5．（2023·湖南衡阳·高二校联考学业考试）已知，则的最大值是
真题演练
1．（2023·广东·高三学业考试）已知且，则的最小值为（ ）
A．B．4C．6D．12
2．（2023春·浙江杭州·高二统考学业考试）若正数满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·湖南衡阳·高二统考学业考试）函数（）的最小值是 ．
4．（2023·山西运城·高三校考学业考试）若a，，且，则的最大值为 ．
5．（2023春·天津南开·高一学业考试）若，则的最小值是 ．
考点三：二次函数与一元二次方程、不等式
真题讲解
例题1．（2023·广东·高三学业考试）不等式的解集是（ ）
A．或B．或
C．D．
例题2．（2023秋·广东·高三统考学业考试）已知不等式的解集为空集，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．或
例题3．（2023·广东·高三学业考试）不等式的解集为（ ）
A．B．或C．D．
例题4．（2023·湖南长沙·高二长郡中学校考学业考试）若关于x的不等式只有一个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
真题演练
1．（2023春·天津河北·高二学业考试）不等式的解集为（ ）
A．B．
C．，或D．，或
2．（2023春·浙江杭州·高二统考学业考试）不等式的解集是（ ）
A．或B．或
C．D．
3．（2023春·宁夏银川·高二统考学业考试）不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
4．（多选）（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）关于x的不等式的解集中恰有3个正整数解，则a的值可以为（ ）
A．B．C．D．2
第二章 一元二次函数、方程和不等式实战训练
一、单选题
1．（2023春·福建·高二统考学业考试）已知，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·福建·高二统考学业考试）已知，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2023春·湖南邵阳·高三统考学业考试）不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．或
4．（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中学校考学业考试）若正实数，满足．则的最小值为（ ）
A．12B．25C．27D．36
5．（2023·江西宜春·高一江西省宜丰中学校考学业考试）正数，满足，则的最小值为（ ）
A．6B．8C．9D．10
6．（2023·广东·高三学业考试）若均为正数，且，则的最小值等于（ ）
A．B．C．D．5
7．（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中学校考学业考试）若正数，满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023秋·广东·高三统考学业考试）若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2023·河北·高三学业考试）若不等式的解集是，则的值为（ ）
A．-10B．-14C．10D．14
10．（2023春·河北·高二统考学业考试）已知，则函数的最小值是（ ）
A．8B．6C．4D．2
11．（2023·河北·高三学业考试）函数的最小值是（ ）
A．B．
C．D．
12．（2023·山西·高二统考学业考试）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
13．（2023·浙江·高二学业考试）已知当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
14．（2023·广东·高三统考学业考试）已知关于x的不等式的解集中的一个元素为2，则实数a的取值范围为
15．（2023·天津·高二学业考试）已知（a，），则的最小值为 ．
16．（2023·上海·高三统考学业考试）已知x＞2，则y＝的最小值是 ．
17．（2023春·天津河北·高二学业考试）当时， 的最小值为 ．
三、解答题
18．（2023春·天津南开·高一学业考试）设，，函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若在上的最大值为，求的取值范围．
19．（2023·河北·高三学业考试）求下列函数的最值
（1）求函数的最小值.
（2）求函数的最小值.
（3）设，，若，求的最小值.
（4）若正数，满足，求的最小值.
20．（2023·安徽·高二马鞍山二中校考学业考试）已知函数.
(1)求关于的不等式的解集；
(2)若，求函数在上的最小值.自然语言
大于
小于
大于或等于
小于或等于
至多
至少
不少于
不多于
符号语言
性质
性质内容
特别提醒
对称性
（等价于）
传递性
（推出）
可加性
（等价于
可乘性
注意的符号（涉及分类讨论的思想）
同向可加性
同向同正可乘性
可乘方性
，同为正数
不等式
解集
判别式
二次函数的图象
一元二次方程
的根
有两相异实数根，()
有两相等实数根
没有实数根
一元二次不等式
的解集
一元二次不等式
的解集