2023年四川省乐山市中考数学真题

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本试题卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共8页。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。满分150分。考试时间120分钟。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。考生作答时，不能使用任何型号的计算器。
第I卷（选择题 共30分）
注意事项：
1．选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上。
2．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分。
1. 计算：（ ）
A. aB. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据合并同类项法则进行计算即可．
【详解】解：，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了合并同类项，解题的关键是熟练掌握合并同类项法则，准确计算．
2. 下面几何体中，是圆柱的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据各个选项中的几何体的形体特征进行判断即可．
【详解】解：A．选项中的几何体是圆锥体，因此选项A不符合题意；
B．选项中的几何体是球体，因此选项B不符合题意；
C．选项中的几何体是圆柱体，因此选项C符合题意；
D．选项中的几何体是四棱柱，因此选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查认识立体图形，掌握圆柱体，圆锥体，棱柱，球的形体特征是正确判断的前提．
3. 下列各点在函数图象上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，将选项中的各点分别代入函数解析式，进行计算即可得到答案．
【详解】解：一次函数图象上的点都在函数图象上，
函数图象上的点都满足函数解析式，
A.当时，，故本选项错误，不符合题意；
B.当时，，故本选项错误，不符合题意；
C.当时，，故本选项错误，不符合题意；
D.当时，，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上的点都在函数图象上，是解题的关键．
4. 从水利部长江水利委员会获悉，截止2023年3月30日17时，南水北调中线一期工程自2014年12月全面通水以来，已累计向受水区实施生态补水约90亿立方米．其中9000000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，看小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．小数点向左移动时，n是正整数；小数点向右移动时，n是负整数．
【详解】解：
故选：B．
【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
5. 乐山是一座著名的旅游城市，有着丰富的文旅资源．某校准备组织初一年级500名学生进行研学旅行活动，政教处周老师随机抽取了其中50名同学进行研学目的地意向调查，并将调查结果制成如下统计图，如图所示估计初一年级愿意去“沫若故居”的学生人数为（ ）

A. 100B. 150C. 200D. 400
【答案】C
【解析】
【分析】用初一年级总人数500名乘以随机抽取的50名同学中愿意去“沫若故居”的学生人数占的比值了可求解．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】本题考查条形统计图，用样本估计总体一，熟练掌握用样本频数估计总体频数是解题的关键．
6. 如图，菱形的对角线与相交于点O，E为边的中点，连结．若，则（ ）

A. 2B. C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】先由菱形的性质得，，，再由勾股定理求出，然后由直角 三角形斜边的中线等于斜边的一半求解．
【详解】解：∵菱形，
∴，，，
∴由勾股定理，得，
∵E为边的中点，
∴
故选：B．
【点睛】本考查菱形性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
7. 若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为（ ）
A. 4B. 8C. 12D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后即可确定两个根，再由根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程两根为，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握此关系是解题关键．
8. 我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为25，小正方形面积为1，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由两个正方形的面积分别得出其边长，由赵爽弦图的特征可得，则，在中，利用勾股定理求出，最后按照正弦函数的定义计算求解即可．
【详解】解：∵大正方形的面积是25，小正方形面积是1，
∴大正方形的边长，小正方形的边长，

∵，
∴，
在中，，
∴，
解得（负值舍去）
∴．
故选A．
【点睛】本题考查了勾股定理、弦图及正弦函数计算，明确相关性质及定理是解题的关键．
9. 如图，抛物线经过点，且，有下列结论：①；②；③；④若点在抛物线上，则．其中，正确的结论有（ ）

A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】抛物线经过点，且，，可以得到，，从而可以得到b的正负情况，从而可以判断①；继而可得出，则，即可判断②；由图象可知，当时，，即，所以有，从而可得出，即可判断③；利用，再根据，所以，从而可得，即可判断④．
【详解】解 ：∵抛物线的图象开口向上，
∴，
∵抛物线经过点，且，
∴，
∴，故①正确；
∵，，
∴
∴，故②正确；
由图象可知，当时，，即，
∴
∵，，
∴，故③正确；
∵，
又∵，
∴，
∵抛物线的图象开口向上，
∴，故④错误．
∴正确的有①②③共3个，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，熟练掌握根据二次函数图象性质是解题的关键．
10. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，面积的最大值是（ ）

A. 8B. 6C. 4D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数与坐标轴的交点得出，确定，再由题意得出当的延长线恰好垂直时，垂足为点E，此时即为三角形的最大高，连接，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴当时，，当时，，
∴，
∴，
∴，
∵的底边为定值，
∴使得底边上高最大时，面积最大，
点P为的中点，当的延长线恰好垂直时，垂足为点E，此时即为三角形的最大高，连接，

∵，的半径为1，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】题目主要考查一次函数的应用及勾股定理解三角形，垂径定理的应用，理解题意，确定出高的最大值是解题关键．
第Ⅱ卷（非选择题 共120分）
注意事项：
1．考生使用0.5m黑色墨汁签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题卷上无效。
2．作图时，可先用铅笔画线，确认后再用0.5mm黑色墨汁签字笔描清楚。
3．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤。
4．本部分共16个小题，共120分。
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分。
11. 不等式的解集是__________．
【答案】
【解析】
【分析】直接移项即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．
12. 小张在“阳光大课间”活动中进行了5次一分钟跳绳练习，所跳个数分别为：160，163，160，157，160．这组数据的众数为__________．
【答案】160
【解析】
【分析】根据众数是一组数据中出现次数最多的数值求解即可．
【详解】解：这组数据中出现次数最多的是160，出现了三次，
∴这组数据的众数为160，
故答案为：160．
【点睛】题目注意考查求一组数据的众数，理解众数的定义是解题关键．
13. 如图，点O在直线上，是的平分线，若，则的度数为__________．

【答案】##20度
【解析】
【分析】根据邻补角得出，再由角平分线求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
故答案为：．
【点睛】题目注意考查邻补角及角平分线的计算，找准各角之间的关系是解题关键．
14. 若m、n满足，则__________．
【答案】16
【解析】
【分析】先将已知变形为，再将变形为，然后整体代入即可．
【详解】解：∵
∴
∴
故答案为：16．
【点睛】本题考查代数式值，幂的乘方和同底数幂除法，熟练掌握幂的乘方和同底数幂除法法则是解题的关键．
15. 如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连结交于点F．若，则__________．

【答案】
【解析】
【分析】四边形是平行四边形，则，可证明，得到，由进一步即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴,
∵，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明是解题的关键．
16. 定义：若x，y满足且（t为常数），则称点为“和谐点”．
（1）若是“和谐点”，则__________．
（2）若双曲线存在“和谐点”，则k的取值范围为__________．
【答案】 ① ②.
【解析】
【分析】（1）根据“和谐点”的定义得到，整理得到，解得（不合题意，舍去），即可得到答案；
（2）设点为双曲线上的“和谐点”，根据“和谐点”的定义整理得到，由得到，则，由进一步得到，且，根据二次函数的图象和性质即可得到k的取值范围．
【详解】解：（1）若是“和谐点”，则，
则，
∴，
即，解得（不合题意，舍去），
∴，
故答案为：
（2）设点为双曲线上的“和谐点”，
∴，，
即，
∴，
则，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，且，
对抛物线来说，
∵，
∴开口向下，
当时，，
当时，，
∵对称轴为，，
∴当时，k取最大值为4，
∴k的取值范围为，
故答案为：
【点睛】此题考查了反比例函数的性质、二次函数的图象和性质等知识， 读懂题意，熟练掌握反比例函数和二次函数的性质是解题的关键．
三、解答题：本大题共10个小题，共102分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。
17. 计算：
【答案】1
【解析】
【分析】先化简绝对值及算术平方根，计算零次幂的运算，然后进行加减法即可．
【详解】解：

=1．
【点睛】题目注意考查实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
18. 解二元一次方程组：
【答案】
【解析】
【分析】采用加减消元法即可求解．
【详解】解：①，得②，
将②+③，得，
解得．
将代入①，
得，
∴方程组的解为：．
【点睛】本题主要考查了运用加减消元法解二元一次方程组的知识，掌握加减消元法是解答本题的关键．
19. 如图，AB、CD相交于点O，AO=BO，AC∥DB．求证：AC=BD．
【答案】见解析
【解析】
【分析】要证明AC=BD，只要证明△AOC≌△BOD，根据AC//DB可得∠A=∠B，∠C=∠D，又知AO=BO，则可得到△AOC≌△BOD，从而求得结论．
【详解】（方法一）
∵AC//DB，
∴∠A=∠B，∠C=∠D．
在△AOC与△BOD中
∵∠A=∠B，∠C=∠D，AO=BO，
∴△AOC≌△BOD．
∴AC=BD．
（方法二）∵AC//DB，
∴∠A=∠B．
在△AOC与△BOD中，
∵，
∴△AOC≌△BOD．
∴AC=BD．
20. 如图，在中，，点D为边上任意一点（不与点A、B重合），过点D作，，分别交、于点E、F，连接．

（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求点C到的距离．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）利用平行线的性质证明，再利用四边形内角和为，证明，即可由矩形判定定理得出结论；
（2）先由勾股定理求出，再根据三角形面积公式求解即可．
小问1详解】
证明：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
【小问2详解】
解：∵，，
∴
设点C到的距离为h，
∵
∴
∴
答：点C到的距离为．
【点睛】本题考查矩形的判定，平行线的性质，勾股定理．熟练掌握矩形的判定定理和利用面积法求线段长是解题的关键．
21. 为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计划在规定时间内种植梨树棵．开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了，结果提前2天完成任务．问原计划每天种植梨树多少棵？
【答案】原计划每天种植梨树500棵
【解析】
【分析】根据题意列出分式方程求解即可．
【详解】解：设原计划每天种植梨树x棵
由题可知：
解得：
经检验：是原方程的根，且符合题意．
答：原计划每天种植梨树500棵．
【点睛】题目注意考查分式方程的应用，理解题意列出分式方程是解题关键．
22. 为培养同学们爱劳动的习惯，某班开展了“做好一件家务”主题活动，要求全班同学人人参与经统计，同学们做的家务类型为“洗衣”“拖地”“煮饭”“刷碗”．班主任将以上信息绘制成了统计图表，如图所示．

根据上面图表信息，回答下列问题：
（1）__________；
（2）在扇形统计图中，“拖地”所占的圆心角度数为__________；
（3）班会课上，班主任评选出了近期做家务表现优异的4名同学，其中有2名男生．现准备从表现优异的同学中随机选取两名同学分享体会，请用画树状图或列表的方法求所选同学中有男生的概率．
【答案】（1）8 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）用做饭的人数除以做饭点的百分比，得抽取的总人数，再减去“洗衣”、“拖地”、 “刷碗”的人数即可求得到m值；
（2）用乘以“拖地”人数所占的百分比，即可求解；
（3）画树状图或列表分析出所有可能的结果数和有男生的结果 数，再用概率公式计算即可．
【小问1详解】
解：，
故答案为：8；
【小问2详解】
解：，
故答案为：108°；
【小问3详解】
解：方法一：画树状图如下：

由图可知所有可能的结果共的12种，有男生的结果 有10种，所以所选同学中有男生的概率为．
方法二：列表如下：
由表可知所有可能的结果共的12种，有男生的结果 有10种，所以所选同学中有男生的概率为．
【点睛】本题考查统计表，扇形统计图，用画树状图或列表的方法求概率．熟练掌握从统计图表中获取有用信息和用画树状图或列表的方法求概率是解题的关键．
23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B， 与y轴交于点．

（1）求m的值和一次函数的表达式；
（2）已知P为反比例函数图象上的一点，，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出m的值，进而求出点A的坐标，再把点A和点C的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；
（2）先求出，，过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，如图所示，根据可得，求出，则点P的纵坐标为2或，由此即可得到答案．
【小问1详解】
解：点在反比例函数的图象上，
，
，
，
又点，都在一次函数的图象上，
，
解得，
一次函数的解析式为．
【小问2详解】
解：对于，当时，，
∴，
，
∵，

过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，如图所示．

，
．
，
解得．
点P的纵坐标为2或．
将代入得，
将代入得，
∴点或．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
24. 如图，已知是的外接圆，，D是圆上一点，E是延长线上一点，连结，且．

（1）求证：直线是是的切线；
（2）若，的半径为3，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由，可知是的直径，由，可得，由，，可得，，则，由，可得，即，进而结论得证；
（2）作，垂足为E，如图所示，由题意知，是等腰三角形，则，由题意知，，，可求，，，由勾股定理得，根据，计算求解即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴是的直径，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵是半径，
∴直线是是的切线；
【小问2详解】
解：作，垂足为E，如图所示，

∵，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
由题意知，，，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴的长为．
【点睛】本题考查了切线的判定，的圆周角所对的弦为直径，同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的判定与性质，正弦，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
25. 在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动
【问题情境】
刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第页“探索”部分内容：
如图，将一个三角形纸板绕点逆时针旋转到达的位置，那么可以得到：，，；，，（ ）

刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键；故数学就是一门哲学．
【问题解决】
（1）上述问题情境中“（ ）”处应填理由：____________________；
（2）如图，小王将一个半径为，圆心角为的扇形纸板绕点逆时针旋转到达扇形纸板的位置．

①请在图中作出点；
②如果，则在旋转过程中，点经过的路径长为__________；
【问题拓展】
小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置，另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止，此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图所示，请你帮助小李解决这个问题．

【答案】问题解决（1）旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等；（2）①见解析②；问题拓展：
【解析】
【分析】问题解决（1）根据旋转性质得出旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等；
（2）①分别作和的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为所求点O；②根据弧长公式求解即可；
问题拓展，连接，交于，连接，，，由旋转得，，在和中求出和的长，可以求出，再证明，即可求出最后结果．
【详解】解：【问题解决】
（1）旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等
（2）①下图中，点O为所求

②连接，，
扇形纸板绕点逆时针旋转到达扇形纸板的位置，
，,
，
设，
，
，
在旋转过程中，点经过的路径长为以点为圆心，圆心角为，为半径的所对应的弧长，
点经过的路径长；
【问题拓展】解：连接，交于，连接，，如图所示

．
由旋转得，．
在中，
．
在中，
，
，
．
．
．
，
在和中，
，
又，，
．
又，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，弧长公式，解直角三角形，三角形全等的性质与判定，解题的关键是抓住图形旋转前后的对应边相等，对应角相等，正确作出辅助线构造出直角三角形．
26. 已知是抛物（b为常数）上的两点，当时，总有
（1）求b的值；
（2）将抛物线平移后得到抛物线．
探究下列问题：
①若抛物线与抛物线有一个交点，求m的取值范围；
②设抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E，外接圆的圆心为点F，如果对抛物线上的任意一点P，在抛物线上总存在一点Q，使得点P、Q的纵坐标相等．求长的取值范围．
【答案】（1）0 （2）①②
【解析】
【分析】（1）根据，且时，总有，变形后即可得到结论；
（2）按照临界情形，画出图象分情况讨论求解即可．
【小问1详解】
解：由题可知：
时，总有，
．
则，
∴，
∴总成立，且，
；
【小问2详解】
①注意到抛物线最大值和开口大小不变，m只影响图象左右平移下面考虑满足题意的两种临界情形：
（i）当抛物线过点时，如图所示，

此时，，解得或（舍）．
（ii）当抛物线过点时，如图所示，

此时，，
解得或（舍），
综上，，
②同①考虑满足题意的两种临界情形：
（i）当抛物线过点时，如图所示，

此时，，解得或（舍）．
（ii）当抛物线过点时，如图所示，

此时，，解得或0（舍）．
综上，
如图，由圆的性质可知，点E、F在线段的垂直平分线上．

令，解得，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，即，
．
，即，
，
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、垂径定理、解一元二次方程等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键．家务类型
洗衣
拖地
煮饭
刷碗
人数（人）
10
12
10
m
男1
男2
女1
女2
男1
（男1，男2）
（男1，女1）
（男1，女2）
男2
（男2，男1）
（男2，女1）
（男2，女2）
女1
（女1，男1）
（女1，男2）
（女1，女2）
女2
（女2，男1）
（女2，女1）