03空间向量与立体几何-山东省2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（人教A版）

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一、单选题
1．（2023上·山东枣庄·高二枣庄八中校考期末）在平行六面体中，其中，，，则（ ）
A．100B．C．56D．10
2．（2023上·山东泰安·高二宁阳县第四中学校考期末）已知的三个顶点为，，，则边上的中线长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2023上·山东枣庄·高二枣庄市第三中学校考期末）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023上·山东德州·高二统考期末）在空间直角坐标系中，已知点，则点P关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023上·山东聊城·高二统考期末）如图，在四面体ABCD中，，，若，，，，则平面ABD与平面CBD的夹角为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023上·山东聊城·高二统考期末）已知，分别是平面的法向量，若，则（ ）
A．B．C．1D．7
7．（2023上·山东威海·高二统考期末）在平行六面体中，点E满足，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2023上·山东济宁·高二统考期末）已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
9．（2023上·山东潍坊·高二统考期末）在直三棱柱中，，，M是的中点，则直线CM与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
10．（2023上·山东潍坊·高二统考期末）在空间直角坐标系中，若点关于z轴的对称点的坐标为，则的值为（ ）
A．3B．5C．7D．9
11．（2023上·山东东营·高二统考期末）在三棱锥中，G是的重心，M是线段的中点，若，则（ ）
A．B．C．D．1
12．（2023上·山东临沂·高二校考期末）已知空间向量，，且，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
13．（2023上·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考期末）如图，在平行六面体中，为与的交点，若，则（ ）
A．B．
C．D．
14．（2023上·山东泰安·高二校考期末）已知空间四面体D­ABC的每条棱长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，则等于（ ）
A．B．C．D．
15．（2023上·山东泰安·高二校考期末）已知平面平面，是平面的一个法向量，则下列向量是平面的法向量的是（ ）
A．B．C．D．
16．（2023上·山东临沂·高二临沂第三中学校考期末）已知平面的一个法向量，点在内，则平面外一点到的距离为（ ）
A．10B．3C．D．
二、多选题
17．（2023上·山东东营·高二统考期末）已知是两条不相同的直线，是两个不重合的平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，则m与β相交
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
18．（2023上·山东德州·高三统考期末）正方体的棱长是，、分别是、的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．以为球心，为半径的球面与侧面的交线长是
C．平面截正方体所得的截面周长是
D．与平面所成的角的正切值是
19．（2023上·山东聊城·高三校考期末）如图，在正四棱柱中，，点P为线段上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线平面
B．三棱锥的体积为
C．三棱锥外接球的表面积为
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
20．（2023上·山东烟台·高三统考期末）如图是某正方体的平面展开图，则在该正方体中（ ）
A．B．平面
C．与所成角为60°D．与平面所成角的正弦值为
21．（2023上·山东济南·高三统考期末）如图，正方体的棱长为，点为底面的中心，点为侧面内（不含边界）的动点，则（ ）
A．
B．存在一点，使得
C．三棱锥的体积为
D．若，则面积的最小值为
三、填空题
22．（2023上·山东聊城·高二统考期末）如图，长方体中，若，则到平面的距离为 ．
23．（2023上·山东聊城·高二统考期末）已知四棱锥的底面是平行四边形，若，则 ．
24．（2023上·山东枣庄·高二统考期末）若空间向量共面，则实数 .
25．（2023上·山东威海·高二统考期末）在长方体中，为棱上一点，直线与所成角的大小为，若，则 ．
26．（2023上·山东济宁·高二统考期末）如图所示，在空间四边形中，，点在上，且为中点，若.则 .
27．（2023上·山东日照·高二统考期末）已知，，且，则 ．
四、解答题
28．（2023上·山东滨州·高二统考期末）如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，，点E在棱PB上．

(1)证明：平面平面PBC；
(2)当时，求二面角的余弦值．
29．（2023上·山东聊城·高二统考期末）如图，在直三棱柱中，，，．M是AB的中点，N是的中点，P是与的交点．
(1)求直线与平面所成角的正弦值；
(2)线段上是否存在点Q，使得平面？
30．（2023上·山东枣庄·高二统考期末）如图，在四棱锥中，平面为等边三角形，分别为棱的中点.
(1)求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
(2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.
31．（2023上·山东威海·高二统考期末）如图，正方体的棱长为1．
(1)求直线与平面所成角的正弦值；
(2)求平面与平面所成角的正弦值．
五、证明题
32．（2023上·山东临沂·高二临沂第三中学校考期末）如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，E是PD的中点，PA＝2，AB＝1，AD＝2．

(1)求证：PB∥平面ACE；
(2)求直线CP与平面ACE所成角的正弦值；
33．（2023上·山东德州·高二统考期末）如图，已知直角梯形，，，，，四边形为正方形，且平面⊥平面．
(1)求证：⊥平面；
(2)点M为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
34．（2023上·山东泰安·高二统考期末）歇山顶，即歇山式屋顶，为古代汉族建筑屋顶样式之一，宋朝称九脊殿、曹殿或厦两头造，清朝改称歇山顶，又名九脊顶，其屋顶（上半部分）类似于五面体形状．如图所示的五面体的底面ABCD为一个矩形，，，，棱，M，N分别是AD，BC的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
参考答案：
1．D
【分析】由题意可得，结合已知条件及模长公式即可求解.
【详解】
，
所以
，
所以，
故选：D．
2．C
【分析】根据中点坐标公式以及点点距离公式即可求解.
【详解】边上的中点为,所以,
故选：C
3．A
【分析】根据题意求平面的法向量与直线l的方向向量，利用空间向量求线面夹角.
【详解】因为平面的方程为，
所以平面的法向量可取，
同理平面的法向量可取，
平面的法向量可取，
设直线的方向向量，
则，令，则，
则直线l与平面所成角的正弦值为
.
故选：A
4．C
【分析】直接根据空间点关于轴对称的结论即可得到答案.
【详解】根据空间点关于轴对称，则轴上坐标不变，轴上坐标取相反数，
故点P关于x轴的对称点的坐标是.
故选：C.
5．C
【分析】根据题意可得，结合空间向量的数量积的定义及运算律可求得，即可得结果.
【详解】设平面ABD与平面CBD的夹角为，
由题意可得：，
∵，
则，
即，解得，
由，可得，
故平面ABD与平面CBD的夹角为.
故选：C.
6．B
【分析】利用平面平行可得法向量平行，列出等式即可求解
【详解】因为，分别是平面的法向量，且，
所以，即，解得
故选：B
7．A
【分析】利用向量的线性运算全部转化为用作为起点的向量来表示，然后整理即可.
【详解】由得，
整理得.
故选：A.
8．A
【分析】根据线面角的向量法求解即可.
【详解】因为平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
故选：A.
9．C
【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，再利用空间向量求解作答.
【详解】在直三棱柱中，，以点C为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
，则，线段的中点，
于是，，
所以直线CM与夹角的余弦值为.
故选：C
10．A
【分析】根据给定条件，求出点M关于z轴对称点坐标，再列式计算作答,
【详解】依题意，点关于z轴的对称点，
于是得，解得，
所以.
故选：A
11．A
【分析】根据空间向量的运算，用基底表示出相关向量，根据空间向量基本定理，即可求得答案.
【详解】如图在三棱锥中，连接并延长交于D，
则D为的中点，
M是线段的中点，G是的重心，
则
,
故，故.
故选：A
12．A
【分析】由已知结合向量数量积的坐标表示求出n，再利用向量夹角公式求出夹角.
【详解】，解得，则，
，，
设向量与的夹角为，则，
，，即与的夹角为．
故选：A．
13．C
【分析】根据空间向量的加法，减法，数乘向量运算的定义求解即可.
【详解】.
故选：C.
14．B
【分析】由题意可得，再利用空间向量的数量积运算即可得到答案.
【详解】因为点分别是的中点，所以，，
所以，则，
又因为空间四面体D­ABC的每条棱长都等于1，所以是等边三角形，则，
所以.
故选：B．
.
15．B
【分析】判断各选项中与向量平行的向量，即可找出平面的一个法向量．
【详解】因为平面平面，即两个平面的法向量平行，
B选项，由，所以向量与向量平行，
故向量是平面的一个法向量，故B正确；
显然ACD选项中的向量均不与向量平行，所以不能作为平面的一个法向量，故ACD均错误．
故选：B．
16．C
【分析】首先求出，再根据点到的距离计算可得.
【详解】解：因为、，
所以，
又平面的一个法向量，
所以点到的距离.
故选：C
17．BCD
【分析】对于A，判断m与可能相交也可能平行；对于B，根据线面垂直以及面面平行的性质即可判断；对于C，根据平面的法向量可判断正误；对于D，根据面面平行的性质以及线面垂直的性质可判断正误.
【详解】对于A, 若，，则m与可能相交也可能平行，错误；
对于B，若，，则，由于，则，正确；
对于C，若，，则可在直线m上取向量作为的法向量，
在直线n上取向量作为的法向量，
因为，故，即有，正确；
对于D,由，，可得或，由于，故，正确，
故选：BCD
18．AC
【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，可判断AD选项；分析可知以为球心，为半径的球面与侧面的交线是以点为圆心，半径为的圆，利用扇形的弧长公式可判断B选项；确定平面与正方体各棱的交点，求出截面周长，可判断C选项.
【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
对于A选项，、、、，
，，则，，A对；
对于B选项，因为平面，
所以，以为球心，为半径的球面与侧面的交线是以点为圆心，半径为的圆，
故交线长为，B错；
对于D选项，易知点、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
，，
设直线与平面所成角为，则，
所以，，故，
因此，与平面所成的角的正切值是，D错.
对于C选项，设平面交棱于点，其中，，
因为平面，所以，，解得，即点，
同理可知，平面交棱于点，
由空间中两点间的距离公式可得，
同理可得，，
因此， 平面截正方体所得的截面为五边形，
其周长是，C对.
故选：AC.
【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：
（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；
（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角；
（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为.
19．AB
【分析】先证明平面平面，再根据面面平行得线面平行可判断A；用等体积法判断B；求外接球表面积判断C；利用空间向量先表示出直线与平面所成角的正弦值，进而求得最大值，即可判断D.
【详解】对于A，由长方体的性质得，，
因为平面，平面，所以平面，
同理，平面，平面，所以平面，
又，且平面，平面，
所以平面平面，
又平面，从而直线平面，故A正确；
对于B，由A知，平面平面，点在平面，所以，故B正确；
对于C，三棱锥外接球的半径，
所以三棱锥外接球的表面积为，故C错误；
对于D，以为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，则，
设，则，即，，
可得面的一个法向量，设直线与平面所成角为，
则，
故，有最大值为，故D错误.
故选：AB.
20．BC
【分析】利用即可判断A,B选项，证明为正三角形即可判断C，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面夹角的正弦值即可.
【详解】将展开图合成空间图形如下图并连接,,
，
，四边形为平行四边形，，
若，则，显然不成立，故A错误，
，平面，平面，
平面，故B正确，
设正方体棱长为1，则，故为正三角形，
故，而，与所成角为，故C正确，
以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，设正方体棱长为1，
则,
则,
设平面的一个方向量，则，
即，令，则，则，
设与平面所成角为，
则，故D错误.
故选：BC.
21．ACD
【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，利用空间向量数量积可判断A选项；利用空间向量共线的坐标表示可判断B选项；利用锥体体积公式可判断C选项；求出点的坐标满足的关系式，利用二次函数的基本性质可求得面积的最小值，可判断D选项的正误.
【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、、，
设点，其中，.
对于A选项，，，则，
所以，，A对；
对于B选项，，若，则，解得，不合乎题意，
所以，不存在点，使得，B错；
对于C选项，，点到平面的距离为，
所以，，C对；
对于D选项，，
若，则，可得，
由可得，
，
当且仅当时，等号成立，
因为平面，平面，，
，D对.
故选：ACD.
22．/
【分析】求出面的法向量，利用向量法得出到平面的距离.
【详解】因为，所以，
，设平面的法向量为，由，可得
，取，则，
即到平面的距离为.
故答案为：
23．
【分析】根据空间向量的运算及空间向量基本定理得答案.
【详解】因为四棱锥的底面是平行四边形，所以，
又，由空间向量基本定理可得，，故.
故答案为：.
24．1
【分析】因为三个向量共面，由平面向量的基本定理可知，然后计算即可.
【详解】由题可知，，故，有，解得
故答案为：1
25．
【分析】设，，利用空间向量法即可求解.
【详解】在长方体中，以为原点，为轴建立如图所示坐标系，
设，，则，，，，
所以，，
所以，解得，
所以，解得，即，
又，所以，
故答案为：
26．/
【分析】根据题意可得，又，从而可求解.
【详解】因为为中点，所以.
所以.
因为，所以.
故答案为:.
27．
【分析】利用数量积公式求，再利用数量积的坐标表示求模.
【详解】因为，所以，解得
所以，.
故答案为：
28．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，求出各边长，由勾股定理逆定理得到，从而证明出线面垂直，面面垂直；
（2）解法一：以C为原点，CB，CA，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建系，写出点的坐标及平面的法向量，求出二面角的余弦值；
解法二：取AB的中点G，连接CG，以点C为原点，CG，CD，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建系，写出点的坐标及平面的法向量，求出二面角的余弦值；
【详解】（1）因为底面，平面，
所以．
因为，，所以．
所以，所以．
又因为，平面PBC，平面PBC，
所以平面PBC．
又平面EAC，
所以平面平面PBC．
（2）解法一：
以点C为原点，CB，CA，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，．

设点E的坐标为，因为，所以，
即，，，所以．
所以，．
设平面ACE的一个法向量为，则．
所以，取，则，．
所以平面ACE的一个法向量为．
又因为平面PAC，所以平面PAC的一个法向量为．
设平面PAC与平面ACE的夹角为，
则．
所以，平面PAC与平面ACE夹角的余弦值为．
解法二：
取AB的中点G，连接CG，以点C为原点，CG，CD，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示
的空间直角坐标系，则，，，．

设点E的坐标为，因为，所以，
即，，，所以．
所以，．
设平面ACE的一个法向量为，则．
所以，取，则，．
所以，平面ACE的一个法向量为．
又因为平面PAC，所以平面PAC的一个法向量为．
设平面PAC与平面ACE的夹角为，
则．
所以，平面PAC与平面ACE夹角的余弦值为
29．(1)
(2)存在
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角的正弦值；
（2）设出，结合第一问中求出的平面的法向量，需，从而，列出方程，求出的值，得到答案.
【详解】（1）以A为原点，AC，AB，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为，C，M的坐标分别为，，，所以，．
设是平面的法向量，则，
即，所以，
取，则，，所以是平面的一个法向量．
P点坐标为，所以．
设与平面所成的角为θ，
则．
（2）由，N的坐标分别为，，故，
设，则，得，
又P点坐标为，所以直线PQ的一个方向向量，
若平面，需，从而，
即，解得，这样的点P存在．
所以线段上存在点Q，使得平面，此时，Q为线段上靠近点N的三等分点．
30．(1)
(2)棱上存在点，使得平面，且
【分析】（1）取的中点，连接，先证明，再根据线面垂直的性质可得，以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可；
（2）设点满足，再利用向量法求解即可.
【详解】（1）取的中点，连接，
因为在四边形中，，
所以，
所以四边形是平行四边形，
所以，
因为平面，所以平面，
又平面，
所以，
又在等边中，是的中点，所以，
如图以为原点，建立空间直角坐标系，
，
故，
，
设平面的法向量，则
即，可取，
因为平面，
所以即为平面的一个法向量，
设平面与平面所成的锐二面角为，
则，
即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为；
（2）设点满足，
所以，
则，
因为平面，
所以，
解得，
即棱上存在点，使得平面，且.
31．(1)
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，然后利用空间向量法求直线与平面所成角的正弦值；
（2）利用空间向量法求平面与平面所成角的正弦值.
【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
设面的法向量为，
，取，得，
即面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
，
即直线与平面所成角的正弦值；
（2）由（1）知面的一个法向量为，
又平面的一个法向量明显为，
，
设平面与平面所成角为，，
，
即平面与平面所成角的正弦值为.
32．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据线面平行的判断，转化为证明线线平行，即可证明；
（2）以点为原点，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用线面角的向量公式，即可求线面角的正弦值.
【详解】（1）连结，交于点，连结，
因为点分别是的中点，
所以，平面，平面，
所以平面；
（2）如图，以点为原点，以分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
所以平面的法向量为，
设直线CP与平面ACE所成角为，
所以.

33．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由余弦定理得到，再由勾股定理逆定理得到，结合面面垂直得到线面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角的正弦值.
【详解】（1）已知直角梯形ABCD，，，
，所以为等腰直角三角形，
可得，，，
所以在中，由余弦定理得，
所以，得．
因为平面平面ABCD，平面平面，平面，
所以⊥平面．
（2）根据（1）中所证可得：两两垂直，
故以C为坐标原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系：
则，，，．
，，，
设为平面MAB的一个法向量，
由，取，则，
故，
设直线与平面所成角为，
则．
即直线与平面所成角正弦值为．
34．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明以及，根据面面垂直的判定定理即可证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得平面与平面法向量，根据向量的夹角公式即可求解.
【详解】（1）因为，为的中点，所以．
在矩形中，，分别是，的中点，所以．
又，，平面，所以平面．
又平面，所以平面平面．
（2）在平面中，过作，为垂足．
因为平面平面ABCD，平面平面，
平面，所以平面．
过作的平行线，交于点，则，，，
以为坐标原点，以，，方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
所以，，，．
设平面EFCD的一个法向量为，则，所以，
取，解得，所以，
同理可得平面的一个法向量为．
设平面与平面夹角为．则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．