人教A版2024年高一数学寒假提高讲义 第02课 函数的性质、指数函数与对数函数（2份打包，原卷版+教师版）

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知识梳理
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.
[注意] 有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结.
2.函数的最值
常用结论
1.函数单调性的两个等价结论
设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则
(1)eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＞0(或(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]＞0)⇔f(x)在D上单调递增.
(2)eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＜0(或(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]＜0)⇔f(x)在D上单调递减.
【例1】求函数f(x)＝﹣x2＋2|x|＋1的单调区间.
【解】 f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x2＋2x＋1，x≥0，,－x2－2x＋1，x<0))＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－（x－1）2＋2，x≥0，,－（x＋1）2＋2，x<0.))
画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(﹣∞，﹣1]和(0，1]，单调递减区间为(﹣1，0]和(1，＋∞).
【例2】判断函数y＝eq \f(2x2－3,x)的单调性.
解：因为f(x)＝eq \f(2x2－3,x)＝2x﹣eq \f(3,x)，且函数的定义域为(﹣∞，0)∪(0，＋∞)，
而函数y＝2x和y＝﹣eq \f(3,x)在区间(﹣∞，0)上均为增函数，根据单调函数的运算性质，
可得f(x)＝2x﹣eq \f(3,x)在区间(﹣∞，0)上为增函数.
同理，可得f(x)＝2x﹣eq \f(3,x)在区间(0，＋∞)上也是增函数.
故函数f(x)＝eq \f(2x2－3,x)在区间(﹣∞，0)和(0，＋∞)上均为增函数.
【例3】(1)函数y＝x＋eq \r(x－1)的最小值为________.
(2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋a，x≤0，,x＋\f(4,x)，x＞0))有最小值，则实数a的取值范围是________.
【解析】(1)法一(换元法)：令t＝eq \r(x－1)，且t≥0，则x＝t2＋1，
所以原函数变为y＝t2＋1＋t，t≥0.配方得y＝(t＋eq \f(1,2))2＋eq \f(3,4)，
又因为t≥0，所以y≥eq \f(1,4)＋eq \f(3,4)＝1，故函数y＝x＋eq \r(x－1)的最小值为1.
法二：因为函数y＝x和y＝eq \r(x－1)在定义域内均为增函数，
故函数y＝x＋eq \r(x－1)在[1，＋∞)内为增函数，所以ymin＝1.
(2)(基本不等式法)由题意知，当x＞0时，函数f(x)＝x＋eq \f(4,x)≥2eq \r(x·\f(4,x))＝4，
当且仅当x＝2时取等号；当x≤0时，f(x)＝2x＋a∈(a，1＋a]，因此要使f(x)有最小值，则必须有a≥4.
【答案】 (1)1 (2)[4，＋∞)
函数的奇偶性及周期性
知识梳理
1.函数的奇偶性
[注意]奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称，函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件.
2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
[注意] 不是所有的周期函数都有最小正周期，如f(x)＝5.
常用结论
1.函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.
(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.
2.函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝﹣f(x)，则T＝2a(a＞0).
(2)若f(x＋a)＝eq \f(1,f（x）)，则T＝2a(a＞0).
(3)若f(x＋a)＝﹣eq \f(1,f（x）)，则T＝2a(a＞0).
【例4】(1)下列函数中为偶函数的是( )
A.y＝x2sin x B.y＝x2cs x C.y＝|ln x| D.y＝2﹣x
解析：选B.根据偶函数的定义知偶函数满足f(﹣x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数.故选B.
(2)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex﹣1，则当x＜0时，f(x)＝( )
A.e﹣x﹣1 B.e﹣x＋1 C.﹣e﹣x﹣1 D.﹣e﹣x＋1
【解析】 通解：依题意得，当x＜0时，f(x)＝﹣f(﹣x)＝﹣(e﹣x﹣1)＝﹣e﹣x＋1，选D.
优解：依题意得，f(﹣1)＝﹣f(1)＝﹣(e1﹣1)＝1﹣e，结合选项知，选D.
【答案】D
【例5】已知定义域为(﹣1，1)的奇函数f(x)是减函数，且f(a﹣3)＋f(9﹣a2)＜0，则实数a的取值范围是( )
A.(2eq \r(2)，3) B.(3，eq \r(10)) C.(2eq \r(2)，4) D.(﹣2，3)
【解析】 由f(a﹣3)＋f(9﹣a2)＜0得f(a﹣3)＜﹣f(9﹣a2).又由奇函数性质得f(a﹣3)＜f(a2﹣9).
因为f(x)是定义域为(﹣1，1)的减函数，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－1a2－9，))解得2eq \r(2)＜a＜3.
【答案】A
指数与指数函数
知识梳理
1.根式
(1)根式的概念
①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子eq \r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.
②a的n次方根的表示：xn＝a⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\r(n,a)，当n为奇数且n∈N*，n>1时，,x＝±\r(n,a)，当n为偶数且n∈N*时.))
(2)根式的性质
①(eq \r(n,a))n＝a(n∈N*，且n＞1). ②eq \r(n,an)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a，n为奇数，,|a|＝\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a<0，))n为偶数.))
2.有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正分数指数幂：aeq \s\up6(\f(m,n))＝eq \r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；
②负分数指数幂：a﹣eq \s\up6(\f(m,n))＝eq \f(1,a\s\up6(\f(m,n)))＝eq \f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.
(2)有理数指数幂的运算性质
①ar·as＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；②eq \f(ar,as)＝ar﹣s(a＞0，r，s∈Q)；③(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；
④(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q).
3.指数函数的图象与性质
常用结论
1.指数函数图象的画法
画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，(-1，eq \f(1,a)).
2.指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大.
3.指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研究.
【例6】(1)化简eq \r(4,16x8y4)(x＜0，y＜0)得( )
A.2x2y B.2xy C.4x2y D.﹣2x2y
解析：选D.因为x＜0，y＜0，所以eq \r(4,16x8y4)＝(16x8·y4)eq \s\up6(\f(1,4))＝(16)eq \s\up6(\f(1,4))·(x8)eq \s\up6(\f(1,4))·(y4)eq \s\up6(\f(1,4))＝2x2|y|＝﹣2x2y.
(2)化简的结果为________.
解析：原式＝﹣6ab﹣1＝﹣eq \f(6a,b).
答案：﹣eq \f(6a,b)
(3)已知＝3，则x2＋x﹣2＋3＝________.
解析：由＝3，得x＋x﹣1＋2＝9，所以x＋x﹣1＝7，所以x2＋x﹣2＋2＝49，
所以x2＋x﹣2＝47，所以x2＋x﹣2＋3＝50.
答案：50.
【例7】(1)已知a＝，b＝，c＝，则下列关系式中正确的是( )
A.c＜a＜b B.b＜a＜c C.a＜c＜b D.a＜b＜c
【解析】把b化简为b＝，而函数y＝在R上为减函数，又eq \f(4,3)＞eq \f(2,3)＞eq \f(1,3)，
所以＜＜，即b＜a＜c.
【答案】B
(2)不等式＜恒成立，则a的取值范围是________.
【解析】由题意，y＝是减函数，因为＜恒成立，
所以x2＋ax＞2x＋a﹣2恒成立，所以x2＋(a﹣2)x﹣a＋2＞0恒成立，
所以Δ＝(a﹣2)2﹣4(﹣a＋2)＜0，即(a﹣2)(a﹣2＋4)＜0，即(a﹣2)(a＋2)＜0，
解得﹣2＜a＜2，即a的取值范围是(﹣2，2).
【答案】 (﹣2，2)
对数函数
知识梳理
1.对数
2.对数函数的图象与性质
3.反函数
指数函数y＝ax与对数函数y＝lgax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.
常用结论
1.换底公式的三个重要结论
①lgab＝eq \f(1,lgba)；②lgambn＝eq \f(n,m)lgab；③lgab·lgbc·lgcd＝lgad.
2.对数函数的图象与底数大小的关系
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.
故0＜c＜d＜1＜a＜b.
由此我们可得到以下规律：在第一象限内与y＝1相交的对数函数从左到右底数逐渐增大.
【例8】(1)计算(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25的结果为________.
解析：原式＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝2lg 2＋lg 25＝lg 4＋lg 25＝2.
答案：2
(2)若lg x＋lg y＝2lg(2x﹣3y)，则lg1.5eq \f(x,y)的值为________.
解析：依题意，可得lg(xy)＝lg(2x﹣3y)2，即xy＝4x2﹣12xy＋9y2，
整理得：4(eq \f(x,y))2﹣13(eq \f(x,y))＋9＝0，解得eq \f(x,y)＝1或eq \f(x,y)＝eq \f(9,4).
因为x＞0，y＞0，2x﹣3y＞0，所以eq \f(x,y)＝eq \f(9,4)，所以lg1.5eq \f(x,y)＝2.
答案：2
(3)设2a＝5b＝m，且eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝2，则m等于________.
解析：由2a＝5b＝m得a＝lg2m，b＝lg5m，所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝lgm2＋lgm5＝lgm10.
因为eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝2，所以lgm10＝2.所以m2＝10，所以m＝eq \r(10).
答案：eq \r(10)
【例9】(1)已知a＝lg27，b＝lg38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为( )
A.c＜b＜a B.a＜b＜c C.b＜c＜a D.c＜a＜b
【解析】 因为a＝lg27＞lg24＝2，b＝lg38＜lg39＝2，且b＝lg38＞1，c＝0.30.2＜0.30＝1，
所以c＜b＜a.故选A.
(2)已知函数f(x)＝lgax(a＞0且a≠1)满足f(eq \f(2,a))＜f(eq \f(3,a))，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－1))＞0的解集为( )
A.(0，1) B.(﹣∞，1) C.(1，＋∞) D.(0，＋∞)
【解析】法一：因为函数f(x)＝lgax(a＞0且a≠1)在(0，＋∞)上为单调函数，
而eq \f(2,a)＜eq \f(3,a)且f(eq \f(2,a))＜f(eq \f(3,a))，所以f(x)＝lgax在(0，＋∞)上单调递增，
结合对数函数的图象与性质可得f(2x﹣1)＞0⇒2x﹣1＞1，所以x＞1.
法二：由f(eq \f(2,a))＜f(eq \f(3,a))知lgaeq \f(2,a)＞lgaeq \f(3,a)，所以lga2﹣1＜lga3﹣1，所以lga2＜lga3，
所以a＞1，由f(2x﹣1)＞0得lga(2x﹣1)＞0，所以2x﹣1＞1，即x＞1.
【答案】 C
函数的性质、指数函数与对数函数 课时跟踪练习
1.已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x﹣1)＜f(eq \f(1,3))的x的取值范围是( )
A.(eq \f(1,3)，eq \f(2,3)) B.[eq \f(1,3)，eq \f(2,3)) C.(eq \f(1,2)，eq \f(2,3)) D.[eq \f(1,2)，eq \f(2,3))
解析：选D.因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f(2x﹣1)＜f(eq \f(1,3)).
所以0≤2x﹣1＜eq \f(1,3)，解得eq \f(1,2)≤x＜eq \f(2,3).故选D.
2.已知函数f(x)＝eq \r(x2－2x－3)，则该函数的单调递增区间为( )
A.(﹣∞，1] B.[3，＋∞) C.(﹣∞，﹣1] D.[1，＋∞)
解析：选B.设t＝x2﹣2x﹣3，由t≥0，即x2﹣2x﹣3≥0，解得x≤﹣1或x≥3.所以函数的定义域为(﹣∞，﹣1]∪[3，＋∞).因为函数t＝x2﹣2x﹣3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在(﹣∞，﹣1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增.所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞).
3.下列函数中，满足“∀x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1﹣x2)·[f(x1)﹣f(x2)]＜0”的是( )
A.f(x)＝2x B.f(x)＝|x﹣1| C.f(x)＝eq \f(1,x)﹣x D.f(x)＝ln(x＋1)
解析：选C.由(x1﹣x2)·[f(x1)﹣f(x2)]＜0可知，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，A、D选项中，f(x)为增函数；B中，f(x)＝|x﹣1|在(0，＋∞)上不单调，对于f(x)＝eq \f(1,x)﹣x，因为y＝eq \f(1,x)与y＝﹣x在(0，＋∞)上单调递减，因此f(x)在(0，＋∞)上是减函数.
4.设函数f(x)＝eq \f(ex－e－x,2)，则下列结论错误的是( )
A.|f(x)|是偶函数 B.﹣f(x)是奇函数
C.f(x)|f(x)|是奇函数 D.f(|x|)f(x)是偶函数
解析：选D.因为f(x)＝eq \f(ex－e－x,2)，则f(﹣x)＝eq \f(e－x－ex,2)＝﹣f(x).所以f(x)是奇函数.
因为f(|﹣x|)＝f(|x|)，所以f(|x|)是偶函数，所以f(|x|)f(x)是奇函数.
5.若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝lg2(x＋2)﹣1，则f(﹣6)＝( )
A.2 B.4 C.﹣2 D.﹣4
解析：选C.根据题意得f(﹣6)＝﹣f(6)＝1﹣lg2(6＋2)＝1﹣3＝﹣2.
6.函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)＝f(2﹣x).若f(x)在区间[1，2]上是减函数，则f(x)( )
A.在区间[﹣2，﹣1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数
B.在区间[﹣2，﹣1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数
C.在区间[﹣2，﹣1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数
D.在区间[﹣2，﹣1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数
解析：选B.由f(x)＝f(2﹣x)得f(x)的图象关于直线x＝1对称.又f(x)是偶函数，故函数f(x)的周期是2，f(x)在区间[﹣2，﹣1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数.
7.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x).若f(2)＞1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为( )
A.(﹣∞，﹣3) B.(3，＋∞) C.(﹣∞，﹣1) D.(1，＋∞)
解析：选D.因为f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是定义在R上的以3为周期的周期函数，所以f(7)＝f(7﹣9)＝f(﹣2).又因为函数f(x)是偶函数，所以f(﹣2)＝f(2)，所以f(7)＝f(2)＞1，
所以a＞1，即a∈(1，＋∞).故选D.
8.函数y＝的值域是( )
A.(﹣∞，4) B.(0，＋∞) C.(0，4] D.[4，＋∞)
解析：选C.设t＝x2＋2x﹣1，则y＝(eq \f(1,2))t.因为0＜eq \f(1,2)＜1，所以y＝(eq \f(1,2))t为关于t的减函数.
因为t＝(x＋1)2﹣2≥﹣2，所以0＜y＝(eq \f(1,2))t≤(eq \f(1,2))﹣2＝4，故所求函数的值域为(0，4].
9.(多选)已知函数f(x)＝ax﹣1＋1(a＞0，a≠1)的图象恒过点A，下列函数图象经过点A的是( )
A.y＝eq \r(1－x)＋2 B.y＝|x﹣2|＋1 C.y＝lg2(2x)＋1 D.y＝2x﹣1
解析：选ABC.函数f(x)＝ax﹣1＋1(a＞0，a≠1)的图象恒过点A，令x﹣1＝0，得x＝1，f(1)＝2，所以恒过点A(1，2).把x＝1，y＝2代入各选项验证，只有D中的函数没经过该点.
10.已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－2－x，x≥0，,2x－1，x<0，))则函数f(x)是( )
A.偶函数，在[0，＋∞)内单调递增
B.偶函数，在[0，＋∞)内单调递减
C.奇函数，且单调递增
D.奇函数，且单调递减
解析：选C.易知f(0)＝0，当x＞0时，f(x)＝1﹣2﹣x，﹣f(x)＝2﹣x﹣1，此时﹣x＜0，则f(﹣x)＝2﹣x﹣1＝﹣f(x)；当x＜0时，f(x)＝2x﹣1，﹣f(x)＝1﹣2x，此时﹣x＞0，则f(﹣x)＝1﹣2﹣(﹣x)＝1﹣2x＝﹣f(x).即函数f(x)是奇函数，且单调递增，故选C.
11.(多选)已知f(x)是定义在[0，＋∞)上的函数，根据下列条件，可以断定f(x)是增函数的是( )
A.对任意x≥0，都有f(x＋1)＞f(x)
B.对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≥x2，都有f(x1)≥f(x2)
C.对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1﹣x2＜0，都有f(x1)﹣f(x2)＜0
D.对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2，都有eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＞0
解析：选CD.根据题意，依次分析选项：对于选项A，对任意x≥0，都有f(x＋1)＞f(x)，不满足函数单调性的定义，不符合题意；对于选项B，当f(x)为常数函数时，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，都有f(x1)＝f(x2)，不是增函数，不符合题意；对于选项C，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1﹣x2＜0，都有f(x1)﹣f(x2)＜0，符合题意；对于选项D，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，设x1＞x2，若eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＞0，必有f(x1)﹣f(x2)＞0，则函数在[0，＋∞)上为增函数，符合题意.
12.已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3（a－3）x＋2，x≤1，,－4a－ln x，x>1))对任意的x1≠x2都有(x1﹣x2)[f(x2)﹣f(x1)]＞0成立，则实数a的取值范围是( )
A.(﹣∞，3] B.(﹣∞，3) C.(3，＋∞) D.[1，3)
解析：选D.由(x1﹣x2)[f(x2)﹣f(x1)]＞0，得(x1﹣x2)·[f(x1)﹣f(x2)]＜0，
所以函数f(x)在R上单调递减，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－3<0，,3（a－3）＋2≥－4a，))解得1≤a＜3.故选D.
13.若函数f(x)＝x2﹣2mx＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是________.
解析：由题意知，[2，＋∞)⊆[m，＋∞)，所以m≤2.
答案：(﹣∞，2]
14.已知函数f(x)＝﹣x|x|，x∈(﹣1，1)，则不等式f(1﹣m)＜f(m2﹣1)的解集为________.
【解析】 由已知得f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2，－1所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－1<1－m<1，,－1【答案】 (0，1)
15.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则x＜0时，f(x)＝________.
解析：当x＜0时，则﹣x＞0，所以f(﹣x)＝(﹣x)(1﹣x).又f(x)为奇函数，
所以f(﹣x)＝﹣f(x)＝(﹣x)(1﹣x)，所以f(x)＝x(1﹣x).
答案：x(1﹣x)
16.已知函数f(x)满足f(x＋2)＝﹣eq \f(1,f（x）).当1≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105)＝________.
解析：因为f(x＋2)＝﹣eq \f(1,f（x）)，所以f(x＋4)＝f(x)，故4为函数f(x)的一个周期.
f(105)＝f(4×26＋1)＝f(1)＝1.
答案：1
17.已知定义在R上的函数满足f(x＋2)＝﹣eq \f(1,f（x）)，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x﹣1.
则f(17)＝________，f(20)＝________.
解析： 因为f(x＋2)＝﹣eq \f(1,f（x）)，所以f(x＋4)＝﹣eq \f(1,f（x＋2）)＝f(x)，所以函数y＝f(x)的周期T＝4.
f(17)＝f(4×4＋1)＝f(1)＝1.f(20)＝f(4×4＋4)＝f(4)＝f(2＋2)＝﹣eq \f(1,f（2）)＝﹣eq \f(1,2×2－1)＝﹣eq \f(1,3).
答案：1 ﹣eq \f(1,3).
18.已知函数f(x)＝x﹣eq \f(a,x)＋eq \f(a,2)在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________.
【解析】设1＜x1＜x2，所以x1x2＞1.因为函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数，
所以f(x1)﹣f(x2)＝x1﹣eq \f(a,x1)＋eq \f(a,2)﹣eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(a,x2)＋\f(a,2)))＝(x1﹣x2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(a,x1x2)))＜0.
因为x1﹣x2＜0，所以1＋eq \f(a,x1x2)＞0，即a＞﹣x1x2.
因为1＜x1＜x2，x1x2＞1，所以﹣x1x2＜﹣1，所以a≥﹣1.
所以a的取值范围是[﹣1，＋∞).
19.若偶函数f(x)满足f(x)＝2x﹣4(x≥0)，则不等式f(x﹣2)＞0的解集为________.
解析：因为f(x)为偶函数，当x＜0时，﹣x＞0，则f(x)＝f(﹣x)＝2﹣x﹣4.
所以f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－4，x≥0，,2－x－4，x<0))
当f(x﹣2)＞0时，
有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2≥0，,2x－2－4>0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2<0，,2－x＋2－4>0，))解得x＞4或x＜0.
所以不等式的解集为{x|x＞4或x＜0}.
答案：{x|x＞4或x＜0}
20.若函数f(x)＝|2x＋a|的单调增区间是[3，＋∞)，则a的值为________.
解析：由图象(图略)易知函数f(x)＝|2x＋a|的单调增区间是[﹣eq \f(a,2)，＋∞)，令﹣eq \f(a,2)＝3，得a＝﹣6.
答案：﹣6
21.函数f(x)＝|x﹣2|x的单调减区间是________.
解析：由于f(x)＝|x﹣2|x＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－2x，x≥2，,－x2＋2x，x<2.))结合图象可知函数的单调减区间是[1，2].
答案：[1，2].
22.设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a＜b＜10，则abc的取值范围是________.
解析：由题意知，在(0，10)上，函数y＝|lg x|的图象和直线y＝c有两个不同交点，所以|lg a|＝|lg b|，
又因为y＝lg x在(0，＋∞)上单调递增，且a＜b＜10，所以lg a＝﹣lg b，所以lg a＋lg b＝0，
所以ab＝1，0＜c＜lg 10＝1，所以abc的取值范围是(0，1).
答案：(0，1)
23.已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f(eq \f(x1,x2))＝f(x1)﹣f(x2)，且当x＞1时，f(x)＜0.
(1)求f(1)的值；
(2)证明：f(x)为单调递减函数；
(3)若f(3)＝﹣1，求f(x)在[2，9]上的最小值.
解：(1)令x1＝x2＞0，代入得f(1)＝f(x1)﹣f(x1)＝0，故f(1)＝0.
(2)证明：任取x1，x2∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞))，且x1＞x2，则eq \f(x1,x2)＞1，
由于当x＞1时，f(x)＜0，所以f(eq \f(x1,x2))＜0，即f(x1)﹣f(x2)＜0，因此f(x1)＜f(x2)，
所以函数f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞))上是单调递减函数.
(3)因为f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数，所以f(x)在[2，9]上的最小值为f(9)，
由f(eq \f(x1,x2))＝f(x1)﹣f(x2)得f()＝f(9)﹣f(3)，而f(3)＝﹣1，所以f(9)＝﹣2.
所以f(x) 在[2，9]上的最小值为﹣2.
24.已知定义域为R的函数f(x)＝eq \f(－2x＋b,2x＋1＋a)是奇函数.
(1)求a，b的值；
(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2﹣2t)＋f(2t2﹣k)＜0恒成立，求k的取值范围.
解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，
即eq \f(－1＋b,2＋a)＝0，解得b＝1，所以f(x)＝eq \f(－2x＋1,2x＋1＋a).又由f(1)＝﹣f(﹣1)知eq \f(－2＋1,4＋a)＝﹣eq \f(－\f(1,2)＋1,1＋a)，解得a＝2.
(2)由(1)知f(x)＝eq \f(－2x＋1,2x＋1＋2)＝﹣eq \f(1,2)＋eq \f(1,2x＋1)，由上式易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t2﹣2t)＋f(2t2﹣k)＜0等价于f(t2﹣2t)＜﹣f(2t2﹣k)＝f(﹣2t2＋k).
因为f(x)是R上的减函数，由上式推得t2﹣2t＞﹣2t2＋k.即对一切t∈R有3t2﹣2t﹣k＞0，
从而Δ＝4＋12k＜0，解得k＜﹣eq \f(1,3).故k的取值范围为(﹣∞，﹣eq \f(1,3)).
函数的性质、指数函数与对数函数 随堂检测
1.下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )
A.y＝eq \f(1,x) B.y＝|x|﹣1 C.y＝lg x D.y＝(eq \f(1,2))|x|
解析：选B.y＝eq \f(1,x)为奇函数；y＝lg x的定义域为(0，＋∞)，不具备奇偶性；y＝(eq \f(1,2))|x|在(0，＋∞)上为减函数；y＝|x|﹣1在(0，＋∞)上为增函数，且在定义域上为偶函数.
2.若函数f(x)＝(2a﹣5)·ax是指数函数，则f(x)在定义域内( )
A.为增函数 B.为减函数 C.先增后减 D.先减后增
解析：选A.由指数函数的定义知2a﹣5＝1，解得a＝3，所以f(x)＝3x，所以f(x)在定义域内为增函数.
3.已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(﹣2)＝( )
A.﹣3 B.﹣eq \f(5,4) C.eq \f(5,4) D.3
解析：选A.由f(x)为R上的奇函数，知f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝﹣1，
则f(﹣2)＝﹣f(2)＝﹣(22﹣1)＝﹣3.
4.函数f(x)＝﹣x＋eq \f(1,x)在[﹣2，﹣eq \f(1,3)]上的最大值是( )
A.eq \f(3,2) B.﹣eq \f(8,3) C.﹣2 D.2
解析：选A.函数f(x)＝﹣x＋eq \f(1,x)的导数为f′(x)＝﹣1﹣eq \f(1,x2)，则f′(x)＜0，可得f(x)在[﹣2，﹣eq \f(1,3)]上单调递减，即f(﹣2)为最大值，且为2﹣eq \f(1,2)＝eq \f(3,2).
4.若f(x)是定义在(﹣∞，＋∞)上的偶函数，∀x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有eq \f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)＜0，则( )
A.f(3)＜f(1)＜f(﹣2) B.f(1)＜f(﹣2)＜f(3)
C.f(﹣2)＜f(1)＜f(3) D.f(3)＜f(﹣2)＜f(1)
解析：选D.因为∀x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有eq \f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)＜0，所以当x≥0时，函数f(x)为减函数，因为f(x)是定义在(﹣∞，＋∞)上的偶函数，所以f(3)＜f(2)＜f(1)，即f(3)＜f(﹣2)＜f(1).
5.已知a＝lg20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )
A.a＜b＜c B.a＜c＜b C.c＜a＜b D.b＜c＜a
解析：选B.因为a＝lg20.2＜lg21＝0，b＝20.2＞20＝1，c＝0.20.3＜0.20＝1且c＞0，所以a＜c＜b，故选B.
6.函数y＝eq \r(lg3（2x－1）＋1)的定义域是( )
A.[1，2] B.[1，2) C.[eq \f(2,3)，＋∞) D.(eq \f(2,3)，＋∞)
解析：选C.由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg3（2x－1）＋1≥0，,2x－1>0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg3（2x－1）≥lg3\f(1,3)，,x>\f(1,2)，))解得x≥eq \f(2,3).故选C.
7.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(﹣1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(﹣1)＝4，则g(1)等于________.
解析：f(﹣1)＋g(1)＝2，即﹣f(1)＋g(1)＝2①，
f(1)＋g(﹣1)＝4，即f(1)＋g(1)＝4②，由①②得，2g(1)＝6，即g(1)＝3.
答案：3
8.已知函数y＝lga(x＋3)﹣eq \f(8,9)(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，则点A的坐标为________；若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则f(lg32)＝________.
解析：令x＋3＝1可得x＝﹣2，此时y＝lga1﹣eq \f(8,9)＝﹣eq \f(8,9)，可知定点A的坐标为(﹣2，﹣eq \f(8,9)).点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，故﹣eq \f(8,9)＝3﹣2＋b，解得b＝﹣1.所以f(x)＝3x﹣1，则f(lg32)＝3lg32﹣1＝2﹣1＝1.
答案：(﹣2，﹣eq \f(8,9)) 1
9.函数y＝2＋eq \r(－x2＋4x)的最大值是________，单调递增区间是________.
解析：函数y＝2＋eq \r(－x2＋4x)＝2＋eq \r(－（x－2）2＋4)，可得当x＝2时，函数y取得最大值2＋2＝4；由4x﹣x2≥0，可得0≤x≤4，令t＝﹣x2＋4x，则t在[0，2]上为增函数，y﹣2＋eq \r(t)在[0，＋∞)上为增函数，可得函数y＝2＋eq \r(－x2＋4x)的单调递增区间为[0，2].
答案：4 [0，2]
10.已知f(x)＝eq \f(x,x－a)(x≠a).
(1)若a＝﹣2，试证明f(x)在(﹣∞，﹣2)上单调递增；
(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围.
解：(1)证明：设x1＜x2＜﹣2，
则f(x1)﹣f(x2)＝eq \f(x1,x1＋2)﹣eq \f(x2,x2＋2)＝eq \f(2（x1－x2）,（x1＋2）（x2＋2）).
因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1﹣x2＜0，所以f(x1)＜f(x2)，
所以f(x)在(﹣∞，﹣2)上单调递增.
(2)设1＜x1＜x2，
则f(x1)﹣f(x2)＝eq \f(x1,x1－a)﹣eq \f(x2,x2－a)＝eq \f(a（x2－x1）,（x1－a）（x2－a）).
因为a＞0，x2﹣x1＞0，所以要使f(x1)﹣f(x2)＞0，
只需(x1﹣a)(x2﹣a)＞0恒成立，所以a≤1.
综上所述，a的取值范围为(0，1].
11.已知函数f(x)＝lg4(ax2＋2x＋3).
(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)的最小值为0，求a的值.
【解】(1)因为f(1)＝1，所以lg4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，即a＝﹣1，
所以f(x)＝lg4(﹣x2＋2x＋3).
由﹣x2＋2x＋3＞0得﹣1＜x＜3，即函数f(x)的定义域为(﹣1，3).
令g(x)＝﹣x2＋2x＋3.
则g(x)在(﹣1，1)上单调递增，在[1，3)上单调递减.
又y＝lg4x在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)的单调递增区间是(﹣1，1)，单调递减区间是[1，3).
(2)若f(x)的最小值为0，
则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，
因此应有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a>0，,\f(3a－1,a)＝1，))解得a＝eq \f(1,2).
故实数a的值为eq \f(1,2).
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数
当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
(1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(﹣x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(﹣x)＝﹣f(x)，那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称
y＝ax (a＞0且a≠1)
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0，1)
当x＞0时，y＞1；
当x＜0时，0＜y＜1
当x＞0时，0＜y＜1；
当x＜0时，y＞1
在R上是增函数
在R上是减函数
概念
如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，lgaN叫做对数式
性质
对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝lgaN(a＞0，且a≠1)
lga1＝0，lgaa＝1，algaN＝N(a＞0，且a≠1)
运算法则
lga(M·N)＝lgaM＋lgaN
a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0
lgaeq \f(M,N)＝lgaM﹣lgaN
lgaMn＝nlgaM(n∈R)
换底公式
lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a＞0，且a≠1，c＞0，且c≠1，b＞0)
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
过定点(1，0)
当x＞1时，y＞0
当0＜x＜1时，y＜0
当x＞1时，y＜0
当0＜x＜1时，y＞0
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数