人教A版2024年高一数学寒假提高讲义 第08课 平面向量基本定理及坐标表示（2份打包，原卷版+教师版）

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平面向量基本定理
思考：0能与另外一个向量a构成基底吗？
[提示] 不能.基向量是不共线的，而0与任意向量是共线的.
1.设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是( )
A.{e1，e2} B.{e1＋e2,3e1＋3e2} C.{e1,5e2} D.{e1，e1＋e2}
2.若a，b不共线，且la＋mb＝0(l，m∈R)，则l＝________，m＝________.
3.如图所示，向量eq \(OA,\s\up14(→))可用向量e1，e2表示为________.
【例1】 设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：
①eq \(AD,\s\up14(→))与eq \(AB,\s\up14(→))；②eq \(DA,\s\up14(→))与eq \(BC,\s\up14(→))；③eq \(CA,\s\up14(→))与eq \(DC,\s\up14(→))；④eq \(OD,\s\up14(→))与eq \(OB,\s\up14(→)).其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )
A.①② B.①③ C.①④ D.③④
对基底的理解
两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线.若共线，则不能作基底，反之，则可作基底.
若向量a，b不共线，则c＝2a﹣b，d＝3a﹣2b，试判断{c，d}能否作为基底.
【例2】 (1)D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的中点，且eq \(BC,\s\up14(→))＝a，eq \(CA,\s\up14(→))＝b，给出下列结论：①eq \(AD,\s\up14(→))＝﹣eq \f(1,2)a﹣b；②eq \(BE,\s\up14(→))＝a＋eq \f(1,2)b；③eq \(CF,\s\up14(→))＝﹣eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b；④eq \(EF,\s\up14(→))＝eq \f(1,2)a.其中正确的结论的序号为________.
(2)如图所示，▱ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，若eq \(AB,\s\up14(→))＝a，eq \(AD,\s\up14(→))＝b，试用a，b表示向量eq \(DE,\s\up14(→))，eq \(BF,\s\up14(→)).
用基底表示向量的三个依据和两个“模型”
(1)依据：①向量加法的三角形法则和平行四边形法则；
②向量减法的几何意义；
③数乘向量的几何意义.
(2)模型：
【例3】如图所示，在△OAB中，eq \(OA,\s\up14(→))＝a，eq \(OB,\s\up14(→))＝b，点M是AB上靠近B的一个三等分点，点N是OA上靠近A的一个四等分点.若OM与BN相交于点P，求eq \(OP,\s\up14(→)).
1.任意一向量基底表示的唯一性的理解：
2.任意一向量基底表示的唯一性的应用：
平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e1，e2的线性组合λ1e1＋λ2e2.在具体求λ1，λ2时有两种方法：
(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理.
(2)利用待定系数法，即利用定理中λ1，λ2的唯一性列方程组求解.
1.对基底的理解
(1)基底的特征
基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的.平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件.
(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底.
2.准确理解平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的.
(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.
1.判断正误
(1)平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底.( )
(2)基底中的向量可以是零向量.( )
(3)平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的.( )
(4)e1，e2是平面α内两个不共线向量，若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.( )
2.已知平行四边形ABCD，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是( )
A.{eq \(AB,\s\up14(→))，eq \(DC,\s\up14(→))} B.{eq \(AD,\s\up14(→))，eq \(BC,\s\up14(→))} C.{eq \(BC,\s\up14(→))，eq \(CB,\s\up14(→))} D.{eq \(AB,\s\up14(→))，eq \(DA,\s\up14(→))}
3.设D为△ABC所在平面内一点，eq \(BC,\s\up14(→))＝3eq \(CD,\s\up14(→))，则( )
A.eq \(AD,\s\up14(→))＝﹣eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \f(4,3)eq \(AC,\s\up14(→)) B.eq \(AD,\s\up14(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up14(→))﹣eq \f(4,3)eq \(AC,\s\up14(→)) C.eq \(AD,\s\up14(→))＝eq \f(4,3)eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up14(→)) D.eq \(AD,\s\up14(→))＝eq \f(4,3)eq \(AB,\s\up14(→))﹣eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up14(→))
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
1.平面向量的正交分解及坐标表示
(1)平面向量的正交分解：
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
(2)平面向量的坐标表示：
在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a＝(x，y)叫做向量的坐标表示.
(3)向量坐标与点的坐标之间的联系
在平面直角坐标系中，以原点O为起点作eq \(OA,\s\up14(→))＝a，设eq \(OA,\s\up14(→))＝xi＋yj，则向量eq \(OA,\s\up14(→))的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)也就是向量eq \(OA,\s\up14(→))的坐标.
2.平面向量的坐标运算
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有：
1.已知a＝(3,5)，b＝(﹣3,2)，则a＋b＝( )
A.(8，﹣1) B.(0,7) C.(7,0) D.(﹣1,8)
2.已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，则b﹣a等于( )
A.(﹣2,1) B.(2，﹣1) C.(2,0) D.(4,3)
3.已知点A(1，﹣2)，点B(4,0)，则向量eq \(AB,\s\up14(→))＝________.
4.如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j，以{i，j}作为基底，对于平面内的一个向量a，若|a|＝2，θ＝45°，则向量a的坐标为________.
【例1】 如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，eq \(OA,\s\up14(→))＝a，eq \(AB,\s\up14(→))＝b.四边形OABC为平行四边形.
(1)求向量a，b的坐标； (2)求向量eq \(BA,\s\up14(→))的坐标； (3)求点B的坐标.
求点、向量坐标的常用方法：
(1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标.
(2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标.
【例2】 (1)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量eq \(AC,\s\up14(→))＝(﹣4，﹣3)，则向量eq \(BC,\s\up14(→))＝( )
A.(﹣7，﹣4) B.(7,4) C.(﹣1,4) D.(1,4)
(2)已知向量a，b的坐标分别是(﹣1,2)，(3，﹣5)，求a＋b，a﹣b的坐标.
平面向量坐标(线性)运算的方法
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行.
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.
(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行.
若A，B，C三点的坐标分别为(2，﹣4)，(0,6)，(﹣8,10)，求eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \(BC,\s\up14(→))，eq \(BC,\s\up14(→))﹣eq \(AC,\s\up14(→))的坐标.
【例3】 已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(﹣1，﹣2)，C(3,1)，且eq \(BC,\s\up14(→))＝eq \(AD,\s\up14(→))，则顶点D的坐标为( )
A.(2，eq \f(7,2)) B.(2，﹣eq \f(1,2)) C.(4,5) D.(1,3)
在平面几何问题中，可以借助平行四边形对边平行且相等，也可利用平行四边形法则求解.
3.已知平行四边形OABC，其中O为坐标原点，若A(2,1)，B(1,3)，则点C的坐标为________.
1.在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系.如图所示.
2.向量的坐标和其终点的坐标不一定相同.当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和其终点的坐标相同.
3.在进行向量坐标形式的运算时，要牢记公式，细心计算，防止符号错误.
1.判断正误
(1)相等向量的坐标相同.( )
(2)平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标.( )
(3)一个坐标对应于唯一的一个向量.( )
(4)平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应.( )
2.设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若eq \(OA,\s\up14(→))＝4i＋2j，eq \(\(OB,\s\up14(→)))＝3i＋4j，则eq \(OA,\s\up14(→))＋eq \(OB,\s\up14(→))的坐标是( )
A.(1，﹣2) B.(7,6) C.(5,0) D.(11,8)
3.已知点A(﹣1，﹣2)，B(4,3)，则eq \(AB,\s\up14(→))的坐标为( )
A.(3,1) B.(﹣5，﹣5) C.(5,5) D.(﹣5,5)
4.已知A(2，﹣3)，eq \(AB,\s\up14(→))＝(3，﹣2)，则点B的坐标为( )
A.(﹣5,5) B.(5，﹣5) C.(﹣1,1) D.(1,1)
5.(1)已知平面上三个点A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，求eq \(AB,\s\up14(→))，eq \(AC,\s\up14(→))，eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \(AC,\s\up14(→))，eq \(AB,\s\up14(→))﹣eq \(AC,\s\up14(→))；
(2)已知a＝(1,2)，b＝(﹣3,4)，求向量a＋b，a﹣b的坐标.
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
1.数乘运算的坐标表示
(1)符号表示：已知a＝(x，y)，则λa＝λ(x，y)＝(λx，λy).
(2)文字描述：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
2.平面向量共线的坐标表示
(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2)如果用坐标表示，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2﹣x2y1＝0.
思考：两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的坐标条件能表示成eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)吗？
[提示] 不一定，x2，y2有一者为零时，比例式没有意义，只有x2y2≠0时，才能使用.
1.已知向量eq \(AB,\s\up14(→))＝(2,4)，eq \(AC,\s\up14(→))＝(0,2)，则eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up14(→))＝( )
A.(﹣2，﹣2) B.(2,2) C.(1,1) D.(﹣1，﹣1)
2.下列各对向量中，共线的是( )
A.a＝(2,3)，b＝(3，﹣2) B.a＝(2,3)，b＝(4，﹣6)
C.a＝(eq \r(2)，﹣1)，b＝(1，eq \r(2)) D.a＝(1，eq \r(2))，b＝(eq \r(2)，2)
3.已知a＝(﹣3,2)，b＝(6，y)，且a∥b，则y＝________.
4.若A(3，﹣6)，B(﹣5,2)，C(6，y)三点共线，则y＝________.
【例1】 (1)下列各组向量中，共线的是( )
A.a＝(﹣2,3)，b＝(4,6) B.a＝(2,3)，b＝(3,2)
C.a＝(1，﹣2)，b＝(7,14) D.a＝(﹣3,2)，b＝(6，﹣4)
(2)已知A(﹣1，﹣1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)，向量eq \(AB,\s\up14(→))与eq \(CD,\s\up14(→))平行吗？直线AB平行于直线CD吗？
向量共线的判定方法
提醒：向量共线的坐标表达式极易写错，如写成x1y1﹣x2y2＝0或x1x2﹣y1y2＝0都是不对的，因此要理解并记熟这一公式，可简记为：纵横交错积相减.
1.已知A(1，﹣3)，B(8，eq \f(1,2))，C(9,1)，求证：A，B，C三点共线.
【例2】 已知a＝(1,2)，b＝(﹣3,2)，当k为何值时，ka＋b与a﹣3b平行？平行时它们是同向还是反向？
利用向量平行的条件处理求值问题的思路
(1)利用共线向量定理a＝λb(b≠0)列方程组求解.
(2)利用向量平行的坐标表达式x1y2﹣x2y1＝0直接求解.
2.已知向量a＝(1,2)，b＝(2，﹣2)，c＝(1，λ)，若c∥(2a＋b)，则λ＝________.
【例3】 (1)已知向量a＝(cs α，﹣2)，b＝(sin α，1)，且a∥b，则2sin αcs α等于( )
A.3 B.﹣3 C.﹣eq \f(4,5) D.eq \f(4,5)
(2)如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2，6)，求AC与OB的交点P的坐标.
应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤
3.如图所示，已知△AOB中，A(0,5)，O(0,0)，B(4,3)，eq \(OC,\s\up14(→))＝eq \f(1,4)eq \(OA,\s\up14(→))，eq \(OD,\s\up14(→))＝eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up14(→))，AD与BC相交于点M，求点M的坐标.
[探究问题]
1.设P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，如何求线段P1P2的中点P的坐标？
2.设P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，点P是线段P1P2的一个三等分点，则P点坐标是什么？
3.当eq \(P1P,\s\up14(→))＝λeq \(PP2,\s\up14(→))时，点P的坐标是什么？
【例4】已知点A(3，﹣4)与点B(﹣1,2)，点P在直线AB上，且|eq \(AP,\s\up14(→))|＝2|eq \(PB,\s\up14(→))|，求点P的坐标.
1.若将本例条件“|eq \(AP,\s\up14(→))|＝2|eq \(PB,\s\up14(→))|”改为“eq \(AP,\s\up14(→))＝3eq \(PB,\s\up14(→))”其他条件不变，求点P的坐标.
2.若将本例条件改为“经过点P(﹣2,3)的直线分别交x轴、y轴于点A，B，且|eq \(AB,\s\up14(→))|＝3|eq \(AP,\s\up14(→))|”，求点A，B的坐标.
求点的坐标时注意的问题
(1)设P1(x1，y1)，P2(x2，y2).若点P是P1P2的中点时，则P(x，y)为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).
(2)求线段P1P2上或延长线上的点的坐标时，不必过分强调公式的记忆，可以转化为向量问题后列出方程组求解，同时要注意分类讨论.
(3)若eq \(P1P,\s\up14(→))＝λeq \(P1P2,\s\up14(→))(λ≠0)，
①0＜λ＜1时，P在线段P1P2上；
②λ＝1时，P与P2重合；
③λ＞1时，点P在线段P1P2延长线上；
④λ＜0时，点P在线段P1P2反向延长线上.
1.两个向量共线条件的表示方法
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
(1)当b≠0时，a＝λb.
(2)x1y2﹣x2y1＝0.
(3)当x2y2≠0时，eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)，即两向量的相应坐标成比例.
2.向量共线的坐标表示的应用
两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面.
(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线.联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题.要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行的不同.
(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程，要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据.
1.判断正误
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a与b共线，则eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2).( )
(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y2≠x2y1，则a与b不共线.( )
(3)若A，B，C三点共线，则向量eq \(AB,\s\up14(→))，eq \(BC,\s\up14(→))，eq \(CA,\s\up14(→))都是共线向量.( )
2.已知两点A(2，﹣1)，B(3,1)，则与eq \(AB,\s\up14(→))平行且方向相反的向量a可以是( )
A.(1，﹣2) B.(9,3) C.(﹣2,4) D.(﹣4，﹣8)
3.已知平面向量a＝(1,2)，b＝(﹣2，m)，且a∥b，则2a＋3b等于________.
4.设O是坐标原点，eq \(OA,\s\up14(→))＝(k,12)，eq \(OB,\s\up14(→))＝(4,5)，eq \(OC,\s\up14(→))＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
1.平面向量数量积的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
2.向量模的公式
设a＝(x1，y1)，则|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)).
3.两点间的距离公式
若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|eq \(AB,\s\up14(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
4.向量的夹角公式
设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b 夹角为θ，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))).
思考：已知向量a＝(x，y)，你知道与a共线的单位向量的坐标是什么吗？与a垂直的单位向量的坐标又是什么？
[提示] 设与a共线的单位向量为a0，则a0＝±eq \f(1,|a|)a＝±eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,|a|)，\f(y,|a|)))＝±eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,\r(,x2＋y2))，\f(y,\r(,x2＋y2))))，其中正号、负号分别表示与a同向和反向.易知b＝(﹣y，x)和a＝(x，y)垂直，
所以与a垂直的单位向量b0的坐标为±eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－y,\r(,x2＋y2))，\f(x,\r(,x2＋y2))))，其中正、负号表示不同的方向.
1.若向量a＝(x,2)，b＝(﹣1,3)，a·b＝3，则x等于( )
A.3 B.﹣3 C.eq \f(5,3) D.﹣eq \f(5,3)
2.已知a＝(2，﹣1)，b＝(2,3)，则a·b＝________，|a＋b|＝________.
3.已知向量a＝(1,3)，b＝(﹣2，m)，若a⊥b，则m＝______.
4.已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a与b夹角的余弦值为________.
【例1】 (1)如图，在矩形ABCD中，AB＝eq \r(2)，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若eq \(AB,\s\up14(→))·eq \(AF,\s\up14(→))＝eq \r(2)，则eq \(AE,\s\up14(→))·eq \(BF,\s\up14(→))的值是________.
(2)已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.
①求a的坐标；
②若c＝(2，﹣1)，求a·(b·c)及(a·b)·c.
数量积运算的途径及注意点
(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质，解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算.
(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解.
1.向量a＝(1，﹣1)，b＝(﹣1,2)，则(2a＋b)·a＝( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.2
2.在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，eq \(AB,\s\up14(→))＝(1，﹣2)，eq \(AD,\s\up14(→))＝(2,1)，则eq \(AD,\s\up14(→))·eq \(AC,\s\up14(→))＝( )
A.5 B.4 C.3 D.2
【例2】 (1)设平面向量a＝(1,2)，b＝(﹣2，y)，若a∥b，则|2a﹣b|等于( )
A.4 B.5 C.3eq \r(5) D.4eq \r(5)
(2)若向量a的始点为A(﹣2,4)，终点为B(2,1)，求：
①向量a的模；
②与a平行的单位向量的坐标；
③与a垂直的单位向量的坐标.
求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算：
利用|a|2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.
(2)坐标表示下的运算：
若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝eq \r(x2＋y2).
3.已知平面向量a＝(3,5)，b＝(﹣2,1).
(1)求a﹣2b及其模的大小；
(2)若c＝a﹣(a·b)·b，求|c|.
[探究问题]
1.设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，那么cs θ如何用坐标表示？
2.已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，﹣2)，且a⊥(a﹣b)，则实数x等于多少？
【例3】 (1)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，k)，且a与b的夹角为锐角，则实数k的取值范围是( )
A.(﹣2，＋∞) B.(﹣2，eq \f(1,2))∪(eq \f(1,2)，+∞) C.(﹣∞，﹣2) D.(﹣2,2)
(2)已知在△ABC中，A(2，﹣1)，B(3,2)，C(﹣3，﹣1)，AD为BC边上的高，求|eq \(AD,\s\up14(→))|与点D的坐标.
1.将本例(1)中的条件“a＝(2,1)”改为“a＝(﹣2,1)”，“锐角”改为“钝角”，求实数k的取值范围.
2.将本例(1)中的条件“锐角”改为“eq \f(π,4)”，求k的值.
1.利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤
(1)求向量的数量积.利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积.
(2)求模.利用|a|＝eq \r(x2＋y2)计算两向量的模.
(3)求夹角余弦值.由公式cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))·\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))求夹角余弦值.
(4)求角.由向量夹角的范围及cs θ求θ的值.
2.涉及非零向量a，b垂直问题时，一般借助a⊥b⇔a·b＝x1x2＋y1y2＝0来解决.
1.平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径.准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程.同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具.
2.应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力.
3.注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2﹣x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
4.事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角”的范围，稍不注意就会带来失误与错误.
1.判断正误
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
(1)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.( )
(2)a·b＜0⇔a与b的夹角为钝角.( )
(3)若a·b≠0，则a与b不垂直.( )
(4)|eq \(AB,\s\up14(→))|表示A，B两点之间的距离.( )
2.已知a＝(3，﹣1)，b＝(1，﹣2)，则a与b的夹角为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,2)
3.设a＝(2,4)，b＝(1,1)，若b⊥(a＋mb)，则实数m＝________.
4.已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，﹣x)，x∈R.
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a﹣b|.
平面向量基本定理及坐标表示 课堂跟踪练习
1.设向量a＝(1，﹣3)，b＝(﹣2,4)，c＝(﹣1，﹣2)，若表示向量4a,4b﹣2c,2(a﹣c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为( )
A.(2,6) B.(﹣2,6) C.(2，﹣6) D.(﹣2，﹣6)
2.若a＝(eq \f(3,2)，sinα)，b＝(sinα，eq \f(1,3))，且a∥b，则锐角α为( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
3.若平行四边形的3个顶点分别是(4,2)，(5,7)，(﹣3,4)，则第4个顶点的坐标不可能是( )
A.(12,5) B.(﹣2,9) C.(3,7) D.(﹣4，﹣1)
4.若函数f(x)＝2sin(eq \f(πx,6)＋eq \f(π,3))(﹣2A.﹣32 B.﹣16 C.16 D.32
5.平面上有A(﹣2,1)，B(1,4)，D(4，﹣3)三点，点C在直线AB上，且eq \(AC,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up16(→))，连接DC，点E在CD上，且eq \(CE,\s\up16(→))＝eq \f(1,4)eq \(ED,\s\up16(→))，则E点的坐标为________.
6.已知|a|＝3，|b|＝4，且(a＋2b)·(2a﹣b)≥4，则a与b夹角θ的范围是________.
7.如图，在矩形ABCD中，AB＝eq \r(2)，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \r(2)，则eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BF,\s\up6(→))的值是________.
8.已知eq \(OA,\s\up6(→))＝(4,0)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(2,2eq \r(3))，eq \(OC,\s\up6(→))＝(1﹣λ)eq \(OA,\s\up6(→))＋λeq \(OB,\s\up6(→))(λ2≠λ).
(1)求eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))及eq \(OA,\s\up6(→))在eq \(OB,\s\up6(→))上的投影；
(2)证明：A，B，C三点共线，并在eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))时，求λ的值；
(3)求|eq \(OC,\s\up6(→))|的最小值.
平面向量基本定理及坐标表示课堂检测
1.下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( )
A.a＝(0,0)，b＝(1，﹣2) B.a＝(﹣1,2)，b＝(5,7)
C.a＝(3,5)，b＝(6,10) D.a＝(2，﹣3)，b＝(4，﹣6)
2.已知两点A(2，﹣1)，B(3,1)，与eq \(AB,\s\up16(→))平行且方向相反的向量a可能是( )
A.(1，﹣2) B.(9,3) C.(﹣1,2) D.(﹣4，﹣8)
3.已知|a|＝1，b＝(0,2)，且a·b＝1，则向量a与b夹角的大小为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,2)
4.已知平面向量a＝(2,4)，b＝(﹣1,2)，若c＝a﹣(a·b)b，则|c|等于( )
A.4eq \r(2) B.2eq \r(5) C.8 D.8eq \r(2)
5.已知A(﹣2,1)，B(6，﹣3)，C(0,5)，则△ABC的形状是( )
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形
6.向量a＝(n,1)与b＝(4，n)共线且方向相同，则n＝________.
7.在△ABC中，点P在BC上，且eq \(BP,\s\up16(→))＝2eq \(PC,\s\up16(→))，点Q是AC的中点，若eq \(PA,\s\up16(→))＝(4,3)，eq \(PQ,\s\up16(→))＝(1,5)，则eq \(BC,\s\up16(→))＝________.
8.已知A(﹣3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|＝2eq \r(2)，且∠AOC＝eq \f(π,4).设eq \(OC,\s\up16(→))＝λeq \(OA,\s\up16(→))＋eq \(OB,\s\up16(→))(λ∈R)，则λ＝________.
9.已知向量a＝(1,2)，b＝(﹣2，﹣4)，|c|＝eq \r(5)，若(a＋b)·c＝eq \f(5,2)，则a与c的夹角为________.
10.已知a＝(1,3)，b＝(2＋λ，1)，且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________.
11.设平面向量a＝(csα，sinα)(0≤α<2π)，b＝(﹣eq \f(1,2)，eq \f(\r(3),2))，且a与b不共线.
(1)求证：向量a＋b与a﹣b垂直；
(2)若两个向量eq \r(3)a＋b与a﹣eq \r(3)b的模相等，求角α.
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解平面向量基本定理及其意义.(重点)
2.了解向量基底的含义.在平面内，当一组基底确定后，会用这组基底来表示其他向量.(难点)
1.通过作图引导学生得出平面向量基本定理，培养直观想象素养.
2.通过基底的学习，提升直观想象和逻辑推理的核心素养.
条件
e1，e2是同一平面内的两个不共线向量
结论
对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基底
{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
对基底的理解
用基底表示向量
平面向量基本定理的唯一性及其应用
条件一
平面内任一向量a和同一平面内两个不共线向量e1，e2
条件二
a＝λ1e1＋μ1e2且a＝λ2e1＋μ2e2
结论
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ1＝λ2，,μ1＝μ2))
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.(难点)
2.理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差的坐标运算法则.(重点)
3.向量的坐标与平面内点的坐标的区别与联系.(易混点)
1.通过力的分解引进向量的正交分解，从而得出向量的坐标表示，提升数学抽象素养.
2.借助向量的线性运算，培养数学运算素养.
加法
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
减法
a﹣b＝(x1﹣x2，y1﹣y2)
重要结论
已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则eq \(AB,\s\up14(→))＝(x2﹣x1，y2﹣y1)
平面向量的坐标表示
平面向量的坐标运算
平面向量坐标运算的应用
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握两数乘向量的坐标运算法则.(重点)
2.理解用坐标表示两向量共线的条件.(难点)
3.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线，并掌握三点共线的判断方法.(重点)
4.两直线平行与两向量共线的判定.(易混点)
1.通过向量的线性运算，提升数学运算的核心素养.
2.通过平面向量共线的坐标表示，培养逻辑推理的核心素养.
向量共线的判定与证明
已知平面向量共线求参数
向量共线的综合应用
共线向量与线段分点坐标的计算
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算.(重点)
2.会运用向量的坐标运算求解向量垂直、夹角等相关问题.(难点)
3.分清向量平行与垂直的坐标表示.(易混点)
4.能用向量方法证明两角差的余弦公式.(重点)
1.通过平面向量数量积的坐标表示，培养数学运算和数据分析的核心素养.
2.借助向量的坐标运算求向量的夹角、长度以及论证垂直问题，提升逻辑推理和数学运算的核心素养.
数量积
a·b＝x1x2＋y1y2
向量垂直
a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0
平面向量数量积的坐标运算
向量模的坐标表示
向量的夹角与垂直问题