03圆锥曲线与方程（双曲线）-江苏省2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（苏教版）

这是一份03圆锥曲线与方程（双曲线）-江苏省2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（苏教版），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2023上·江苏南京·高二南京大学附属中学校考期末）已知为双曲线的右焦点，为的左顶点，过点且斜率为的直线与交于另一点，且垂直于轴．则的离心率为（ ）
A．B．2C．D．3
2．（2023上·江苏南京·高二南京外国语学校校考期末）已知直线与曲线仅有三个交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023上·江苏常州·高二江苏省奔牛高级中学校考期末）双曲线上的点到左焦点的距离为，则到右焦点的距离为（ ）
A．B．C．或D．
4．（2022上·江苏南京·高二南京市燕子矶中学校考期末）若曲线上存在点，使到平面内两点，距离之差的绝对值为8，则称曲线为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023上·江苏徐州·高二统考期末）已知分别为椭圆的左､右顶点，点在直线上，直线与的另外一个交点为为坐标原点，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023上·江苏镇江·高二江苏省扬中高级中学校考期末）双曲线的一条渐近线方程：，则其离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023上·江苏连云港·高二校考期末）若双曲线经过点,且它的两条渐近线方程是,则双曲线的离心率是( )
A．B．C．D．
8．（2022上·江苏南通·高二统考期末）已知双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
9．（2023上·江苏淮安·高二统考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的左支上，且，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．3D．7
10．（2022上·江苏连云港·高二校考期末）若离心率为的双曲线与椭圆的焦点相同,则双曲线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2022上·江苏连云港·高二期末）设双曲线的方程为，过点，的直线的倾斜角为150°，则双曲线的离心率是 （ ）
A．B．C．D．
12．（2022上·江苏连云港·高二校考期末）已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为，则双曲线的方程是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
13．（2023上·江苏南京·高二南京大学附属中学校考期末）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：，则（ ）
A．C的离心率为2B．C的渐近线方程为
C．C的实轴长为2D．C的右焦点到渐近线的距离为
14．（2019上·江苏常州·高二常州市第一中学校考期中）已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．当时，曲线C是椭圆
B．当或时，曲线C是双曲线
C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则
D．若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则
15．（2023上·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校联考期末）下列关于双曲线说法正确的是（ ）
A．实轴长为6B．与双曲线有相同的渐近线
C．焦点到渐近线距离为4D．与椭圆有同样的焦点
16．（2023上·江苏徐州·高二统考期末）已知曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．若是椭圆，则其长轴长为
B．若，则是双曲线
C．C不可能表示一个圆
D．若，则上的点到焦点的最短距离为
17．（2023上·江苏连云港·高二校考期末）设为实数，方程，下列说法正确的是（ ）
A．若此方程表示圆，则
B．若此方程表示双曲线，则的取值范围是
C．若此方程表示焦点在x轴上的椭圆，则的取值范围是
D．若此方程表示焦点在y轴上的双曲线，则的取值范围是
18．（2023上·江苏淮安·高二统考期末）已知，关于曲线C：，下列说法正确的是（ ）
A．曲线C不可能是圆
B．曲线C可能是焦点在x轴上的椭圆
C．曲线C不可能是焦点在y轴上的椭圆
D．曲线C可能是双曲线
三、填空题
19．（2022上·江苏扬州·高二江苏省邗江中学校考期末）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，椭圆的一个短轴端点为B，直线与双曲线的一条渐近线平行，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是 .
20．（2023上·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校联考期末）已知点M为双曲线C：在第一象限上一点，点F为双曲线C的右焦点，O为坐标原点，，∠MOF＝60°，则双曲线C的离心率为 ．
21．（2023上·江苏南通·高二统考期末）以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.已知双曲线的共轭双曲线的离心率为，则双曲线的离心率为 .
22．（2023上·江苏镇江·高二江苏省扬中高级中学校考期末）过双曲线（）的左焦点作直线与双曲线交两点，使得，若这样的直线有且仅有两条，则离心率的取值范围是 .
四、解答题
23．（2023上·江苏镇江·高二江苏省扬中高级中学校考期末）已知双曲线经过点，其渐近线方程为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点的直线与曲线分别交于点和（点和都异于点），若满足，求证：直线过定点.
24．（2023上·江苏连云港·高二校考期末）已知双曲线的焦点为，，且该双曲线过点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过左焦点作斜率为的弦AB，求AB的长；
(3)在（2）的基础上，求的周长．
25．（2023上·江苏南通·高二统考期末）已知双曲线的实轴长为2，右焦点到的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于，两点，求的面积.
26．（2022上·江苏徐州·高二统考期末）已知双曲线的左焦点为，到的一条渐近线的距离为1.直线与交于不同的两点，，当直线经过的右焦点且垂直于轴时，.
(1)求的方程；
(2)是否存在轴上的定点，使得直线过点时，恒有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
27．（2022上·江苏盐城·高二统考期末）已知双曲线的渐近线方程为，且双曲线C过点.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线与双曲线C只有一个公共点，求实数k的值.
参考答案：
1．B
【分析】根据题意先求出，，再根据可得到关于，的关系式，进而即可得到双曲线的离心率．
【详解】联立，解得，所以，
依题可得，，即，
整理得，所以双曲线的离心率为．
故选：B．
2．C
【分析】将曲线的表达式整理变形可知，其图象是由上半椭圆和上半双曲线组成的，再根据直线与双曲线的渐近线平行，利用数形结合讨论临界位置结合交点个数即可求得实数的取值范围.
【详解】由题意得曲线，即，可得；
当时得到即；
当时得到；
由以上可得曲线的如图中所示，
易知直线与双曲线的一条渐近线平行；
把直线向上平移到点时，即与曲线有两个交点，此时；
继续向上平移至与半椭圆相切前有3个交点．
当直线与椭圆的上半部分相切时，
联立直线与椭圆的方程代入整理得
即或（舍），由图示可得；
综上可知.
故选：C
3．A
【分析】根据双曲线的定义即可求解.
【详解】由双曲线方程可得：，，设双曲线的左右焦点分别为，则，
若点在双曲线的左支上，则由双曲线的定义可知：，
所以；
若点在双曲线的右支上，则由双曲线的定义可知：，
所以，因为，所以此时不成立，
综上：到右焦点的距离为，
故选：.
4．B
【分析】先求出点的轨迹方程为，“好曲线”一定与有公共点，联立后求出交点坐标或由判断出有无公共点，判断出结论.
【详解】由题意知：平面内两点，距离之差的绝对值为8，
由双曲线定义知：的轨迹是以，为焦点的双曲线且，，
故，
即轨迹方程为：，
“好曲线”一定与有公共点，
联立与得：，，
故与有公共点，A为“好曲线”，
联立与得：，无解，B不是“好曲线”，
联立与得：，，有解，C为“好曲线”，
联立与得：，，有解，故D为“好曲线”.
故不是“好曲线”的是B．
故选：B．
5．C
【分析】由题，设，可得直线PA方程为：，将其与椭圆方程联立，后利用韦达定理可表示出Q坐标，后利用可得答案.
【详解】由题，设，因A，则直线PA方程为：.
将其与椭圆方程联立：，消去y并化简得：
，由韦达定理有：.又， 则.
代入，可得，
则.又，
则.
则.
故选：C
6．A
【分析】根据双曲线的渐近线方程得出与的关系，即可求解出离心率.
【详解】双曲线的一条渐近线方程：，
，
双曲线的离心率为：，
故选：A.
7．C
【分析】设双曲线的方程为,根据已知条件列方程,确定双曲线的方程,在利用计算即可.
【详解】设双曲线的方程为,
根据已知条件得:,
解得:,
双曲线的方程为,
则,
.
故选:C.
8．A
【分析】根据已知条件求得，从而求得双曲线的离心率.
【详解】由题意，双曲线的焦点在轴上，
由于双曲线的渐近线方程为，
所以，即，
所以.
故选：A
9．A
【分析】根据题意得，，，，由余弦定理解决即可.
【详解】由双曲线定义知，，
因为，
所以，，
因为，，
所以在中，由余弦定理得，
即，化简得，
所以，
故选：A
10．A
【分析】根据双曲线和椭圆的焦点相同,求出椭圆的焦点及,再根据双曲线的离心率求出,写出双曲线方程即可.
【详解】解:由题知在椭圆中,
焦点坐标为,
双曲线中,焦点坐标为,,
,
,,
故双曲线的方程为．
故选:A
11．A
【分析】由斜率公式得出，再由以及离心率公式求解即可.
【详解】由题意得，即，又，
所以，又，故．
故选：A．
12．B
【分析】根据等轴双曲线的性质结合所求双曲线的焦点位置可设其方程为，由条件列方程求即可.
【详解】因为所求双曲线为等轴双曲线，且焦点在轴上，故设双曲线的方程为，因为双曲线的一个焦点坐标为，所以，
则，即，所以双曲线的方程为．
故选：B．
13．ABD
【分析】根据双曲线方程可得，即可根据双曲线的几何性质即可判断ABC，根据点到直线的距离公式即可求解D.
【详解】由双曲线C：可得，
所以，
故离心率为长轴长为，故A正确，C错误，
渐近线方程为，故B正确，
右焦点为，到渐近线的距离为，故D正确，
故选：ABD
14．BC
【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线方程的特征逐项判断作答.
【详解】对于A，当时，，则曲线是圆，A错误；
对于B，当或时，，曲线是双曲线，B正确；
对于C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，C正确；
对于D，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，D错误．
故选：BC.
15．ABD
【分析】先求出双曲线的基本量，然后逐一分析每个选项是否正确.
【详解】由题意，双曲线满足，即，于是，故A选项正确；
双曲线的焦点在轴上，故渐近线方程为：，而双曲线焦点也在轴，
故渐近线为，即它们渐近线方程相同，B选项正确；
焦点为，不妨取其中一个焦点和一条渐近线，
根据点到直线的距离公式，焦点到渐近线距离为：，C选项错误；
椭圆的焦点为，根据C选项可知，椭圆和双曲线焦点一样，D选项正确.
故选：ABD
16．BC
【分析】根据可知若为椭圆，则焦点在轴上，进而可判断A,进而可判断BC，根据椭圆的几何性质可判断D.
【详解】由于，所以，
对于A,当时，故表示焦点在轴上的椭圆，故椭圆的长轴长为，故A错误,
对于B,当时，是双曲线，故B正确,
对于C,由于，故C不可能表示一个圆，故C正确，
对于D,时，，表示焦点在轴上的椭圆，且此时
故椭圆上的点到焦点的最小距离为，故D错误,
故选:BC
17．BC
【分析】根据圆、椭圆、双曲线方程的特征逐一判断即可.
【详解】若此方程表示圆，则有，所以选项A说法不正确；
若此方程表示双曲线，则有，或，所以选项B说法正确；
此方程表示焦点在x轴上的椭圆，则有，所以选项C说法正确；
若此方程表示焦点在y轴上的双曲线，则有，所以选项D说法不正确，
故选：BC
18．BD
【分析】根据的不同取值，结合椭圆和双曲线标准方程的形式，即可判断选项.
【详解】A.当时，，方程化简为，即为圆的方程，故A错误；
B.曲线方程整理为，当时，，曲线是焦点在轴上的椭圆，故B正确；
C.当时，，曲线是焦点在轴上的椭圆，故C错误；
D. 当时，，曲线表示双曲线，故D正确.
故选：BD
19．
【分析】利用直线平行斜率相等可以得到，再利用椭圆与双曲线的定义得到，利用均值不等式求最值即可.
【详解】设椭圆的长轴为，短轴为，双曲线的实轴长为，虚轴长为，
因为椭圆的一个短轴端点为B，直线与双曲线的一条渐近线平行，
根据平行直线斜率相等得，，平方得，，
两边同时加1得，，即，
所以，所以，所以，
所以，当且仅当时等号成立，
因为，所以等号不能成立，所以.
故答案为：.
20．/
【分析】根据向量加法运算及中位线性质得，再结合∠MOF＝60°得到，，利用双曲线定义即可建立a，c关系，即可求解离心率.
【详解】设为双曲线的左焦点，连接，取的中点，如图，
则，
因为，
所以，即.
因为是的中位线，所以，所以.
又∠MOF＝60°，，所以为等边三角形，
所以，∠OFM＝60°，在中，，
由双曲线的定义知，，
所以.
故答案为：.
21．
【分析】不妨设双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为，根据双曲线的离心率公式可得出，进而可求得双曲线的共轭双曲线的离心率.
【详解】不妨设双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为，则，可得，
所以，双曲线的共轭双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为，
因此，双曲线的共轭双曲线的离心率为.
故答案为：.
22．
【分析】求出直线垂直于x轴时线段AB长，再根据这样的直线有且仅有两条列出不等式，求出的范围作答.
【详解】令双曲线半焦距为c，则，由解得，即双曲线的通径长为，而双曲线实轴长为，
由于过左焦点作直线与双曲线交两点，使得的直线有且仅有两条，
则当直线与双曲线两支相交时，，解得，，
当直线与双曲线左支相交于两点时，，解得，，
所以离心率的取值范围是.
故答案为：
【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
23．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由渐近线方程和双曲线过点，求出的值，求出双曲线方程；
（2）先考虑直线斜率存在时，设出其方程，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，利用得到或，排除不合要求的情况，求出所过定点，再考虑直线斜率不存在时，设，则，由求出或1，去掉不合要求的情况，证明出结论.
【详解】（1）由题意得：，渐近线方程为，
故，故双曲线标准方程为；
（2）当直线斜率存在时，
设直线，
联立双曲线方程得：，
则要满足，且，
解得：且，
设，则，，
，
其中，
即，
所以，
整理得：，解得：或，
当时，直线，此时过点，则两点有一点与重合，不合题意，舍去；
当时，此时直线，恒过点，满足要求，
当直线斜率不存在时，设，则，
且，
此时
，
解得：或1，
因为点和都异于点，故时不合要求，舍去，
故，此时直线经过点，
综上：直线过定点，定点坐标为.
【点睛】处理定点问题的思路：
（1）确定题目中的核心变量（此处设为），
（2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式，
（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到，
①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；
②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数.
24．(1)
(2)25
(3)54
【分析】（1）双曲线的焦点在轴上，设出双曲线方程，把已知条件代入解方程组即可；
（2）写出直线AB的方程，与双曲线方程联立，得出韦达定理，根据弦长公式求得；
（3）由双曲线的定义及弦长AB得出的周长．
【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上，设双曲线方程为，
由题意得，解得，所以双曲线方程为.
（2）依题意得直线AB的方程为，设，.
联立，得，
，且，
所以.
（3）由（2）知A，B两点都在双曲线左支上，且，
由双曲线定义，，
从而，
的周长为．
25．(1)
(2)
【分析】（1）由双曲线实轴长为2可得，再利用右焦点到的距离为可得，即可求得双曲线的方程；
（2）联立直线和双曲线方程容易解出，两点坐标即可求得的面积.
【详解】（1）设双曲线的焦距为，
因为双曲线的实轴长为2，所以，解得.
因为右焦点到的距离为，所以，解得或.
因为，所以.可得，
所以双曲线的方程为.
（2）设，，
联立直线和双曲线可得，
即，或
不妨设，，所以.
所以.
即的面积为
26．(1)；
(2)存在，理由见解析.
【分析】（1）根据题意，列出的方程组，解得，则椭圆方程得解；
（2）假设存在点满足题意，设出直线的方程，联立双曲线方程，利用韦达定理以及，即可求解.
【详解】（1）双曲线的左焦点，其中一条渐近线，则；
对双曲线，令，解得，则，解得，
故双曲线方程为：.
（2）根据（1）中所求可知，假设存在轴上的点满足题意，
若直线的斜率不为零，则设其方程为，联立双曲线方程，
可得，则，
即，此时直线与双曲线交于两点，
则，则，
即，即，
则，此时满足题意；
若直线的斜率为零，且过点，此时，满足题意.
综上所述，存在轴上的一点满足.
【点睛】本题考查双曲线方程的求解，以及双曲线中存在某点满足条件的问题；解决问题的关键是合理转化，利用韦达定理进行求解，属综合中档题.
27．(1)
(2)或
【分析】（1）由题意得，解方程组求出，从而可求得双曲线C的方程，
（2）将直线方程代入双曲线方程中化简，然后二次项系数为零和二次项系数不为零，两种情况求解即可
【详解】（1）由题意得，解得
所以双曲线方程为.
（2）由，得，
由题意得，解得.
当，即时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线l与双曲线C只有一个公共点，
所以或.